模式识别-第9章 核方法概要
[数学]模式识别方法总结
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假定有m个类别ω1, ω2, …, ωm的模式识别问题,
每类有Ni(i=1, 2, …, m)个样本, 规定类ωi的判别函数
为
gi (x) min x xik
i
k 1, 2,
, Ni
其中, xki表示第i类的第k个元素。 判决准则: gi (x) ，则x∈ω 若 g j (x) i min j 1,2, , m
定义Fisher线性判决函数为
( 1 2 )2 J F (w ) S1 S2
分子反映了映射后两类中心的距离平方,
该值越大, 类间可
分性越好;
分母反映了两类的类内离散度,
从总体上来讲,
其值越小越好;
JF(w)的值越大越好。 使JF(w)达到最大值的w即为最
在这种可分性评价标准下,
如果P(ω1|x)<P(ω2|x), 则判决x属于ω2;
如果P(ω1|x)=P(ω2|x), 则判决x属于ω1或属于ω2。
这种决策称为最大后验概率判决准则, 也称为贝叶斯 (Bayes)判决准则。 假设已知P(ωi)和p(x|ωi)(i=1, 2, …, m), 最大后验概率判 决准则就是把样本x归入后验概率最大的类别中, 也就是,
0
Sigmoid (a) 取值在(0, 1)内; (b) 取值在(－1, 1)内
神经网络结构 神经网络是由大量的人工神经元广泛互连而成 的网络。 根据网络的拓扑结构不同, 神经网络可分
R( j | x) ( j , i ) P(i | x)
i 1 m
最小风险贝叶斯判决准则: 如果
R( k | x) min R( j | x)
j 1, 2 ,, m
模式识别 总结
2.3 聚类算法
（一）简单聚类 最邻近规则试探法 给定阀值T，聚类到zl （二）层次聚类 初始每个样本点为一类（N类），将类间距离最小者 合并为一类，逐级进行。 类间距离可用：最小、最大、中间、重心、平均距离 等。
（三）动态聚类算法
C-均值算法（适用于团状分布的情况） c 0, zi (1) xi1 , i 1, 2,..., c;
1 z j (k ) Nj
x
i 1
Nj
( j) i
, N N j,
重新聚类
j1
c
x
( j) i
j
ISODATA算法 c（预期类数），Nc（初始类心个数），N（各类最小样本数）， s（类中样本特征分量标准差上限）， jmax， D（聚合中心最小间距），L，I
C-均值算法性能
i j
⑶ 没有不确定区的 两分法 i j 令 dij ( x) di ( x) d j ( x) ( w i wj ) x
if
di ( x ) d j ( x ), j i then x i
or if di ( x ) max[d j ( x )] then x i
Fisher准则函数 2 SB (m1 m2 )2 uS Bu J F (u ) 2 2 max 2 sW1 sW2 uSW u SW
（2）Fisher变换
1 SW SBu u
对于两类问题,
u S S 它所对应的本征矢量 称为Fisher
最佳鉴别矢量。 1 u S Fisher变换函数 W (m 1 m2 ) ： 1 y (m1 m2 )SW x
最近距离 最远距离 中间距离 重心距离
p 1/2 1/2 1/2 np/(np+nq)
模式识别 张学工
代入正态分布公式，可得
1 ˆ ˆi ) 0 P ( | x , ) i k i i ( xk k 1 N
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即
ˆi
P(
k 1 N k 1
N
i
ˆ i ) xk | xk ,
J e 反映了用 c 个聚类中心代表 c 个样本子集所带来的总的误差平方和。
J e 是样本集 Y 与类别集 的函数。
C 均值算法的目标：最小化 J e
Xuegong Zhang, Tsinghua University
——最小方差划分
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另一种角度来看 C 均值方法： 用 c 个码本来代表整个样本集，使这种表示带来的总体误差最小。 ---- 向量量化 Vector Quantisation 算法研究：
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问题：
如何选择投影方向？ ----- 方差最大的准则有时并不一定最有利于聚类。
Xuegong Zhang, Tsinghua University
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参数化方法
以上介绍方法均属非参数方法，在对数据分布没有先验知识的情况下采用。 如果已知（或可假设）数据分布的概率密度函数的形式，则可采用参数化方法。
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9.4.1
C 均值算法（k 均值，C-means or k-means）
误差平方和聚类准则
Je
i 1
c
y
y mi
2
Ji
i 1
模式识别 模式识别概述
三.关于模式识别的国内、国际学术组织
• 1973年 IEEE发起了第一次关于模式识别 的国际会议“ICPR”，成立了国际模式识 别协会---“IAPR”，每2年召开一次国际学 术会议。 • 1977年 IEEE的计算机学会成立了模式分 析与机器智能（PAMI）委员会，每2年 召开一次模式识别与图象处理学术会议。 • 国内的组织有电子学会，通信学会，自 动化协会，中文信息学会….。
变量 样本 X1 X2 … XN
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x1 X11 X21 … XN1
x2 X12 X22 … XN2
… … … … …
xn X1n X2n … XNn
9
3. 几何表示 一维表示
X1=1.5 X2=3
二维表示
X1=(x1,x2)T=(1,2)T X2=(x1,x2)T=(2,1)T
三维表示
因为x1 , x2 的夹角小，所以x1 , x2 最相似。
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⑦ 相关系数
rij
n
ห้องสมุดไป่ตู้
X
n
ki
Xi Xkj Xj
X
k 1
k 1
ki
Xi
X
2 n k 1
kj
Xj
2
Xi, Xj 为xi xj的均值
注意：在求相关系数之前，要将数据标准化
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§1-2 模式识别系统
• 信息的获取：是通过传感器，将光或声音等信 息转化为电信息。信息可以是二维的图象如文 字，图象等；可以是一维的波形如声波，心电 图，脑电图；也可以是物理量与逻辑值。 • 预处理：包括A\D,二值化，图象的平滑，变换， 增强，恢复，滤波等, 主要指图象处理。
Chapter9_模式识别
9.1.4 模式识别的应用
模式识别已经在天气预报、卫星航空图片解释、工业产 品检测、字符识别、语音识别、指纹识别、医学图像分析 等许多方面得到了成功的应用。 具体来讲，模式识别在图像处理与分析中的应用可分为 以下几个方面： (1) 字符识别 (2) 生物特征识别 (3) 遥感应用 (4) 医学诊断 (5) 军事侦察
• • • • • 手背血管分布 耳朵轮廓 掌纹 步态 气味
9.2 基于模板匹配的识别技术
9.2.1 模板匹配
根据已知模式到另一幅图中寻找相应模式的处理方法 就叫做模板匹配。
Template
Input scene
一、基于灰度的模板匹配
设图像 f(x,y) 大小为 M×N ，若目标模板是 J×K 大 小的 w(x,y) ，常用相关度量 R(x ， y) 来表示它们之间 的相关性：
人工神经网络识别源于对生物神经系统的研究。它将 若干个处理单元(即神经元)通过一定的互连模型连结 成一个网络，这个网络通过一定的机制可以模仿人的 神经系统的动作过程，以达到识别分类的目的。
句法结构模式识别
用简单的基元和结构关系来描述复杂对象
该方法着眼于对识别对象的结构特征的描述，通过考 虑识别对象的各部分之间的联系来达到识别分类的目 的。 将一个待识别对象看成是一个语言结构，例如一个句 子是由单词和标点符号按照一定的语法规则生成的， 同样，一幅图像是由点、线、面等基本元素按照一定 的规则构成的。 模式的相似性由句子的相似性来决定。
选取过程。依据训练样本的特征建立“判别函数”，
进行预分类；再依据预分类结果，调整训练样本，取
得好的分类结果的过程，称为监督分类。
非监督分类 ：在没有先验知识的情况下，通常采用 聚类分析方法，基于“物以类聚”的观点，用数学方 法分析各特征向量之间的距离及分散情况。
模式识别 张学工
6.2 决策树与随机森林
6.2.1 非数值特征（nonmetric features）
名义特征（nominal features）
如性别、民族、职业、字符串中的字符、DNA 序列中的核酸类型（A、C、G、T）等
序数特征（ordinal features）
如序号、分级等，是一种数值，有顺序，但不能看作是欧式空间中的数值
改进：
① 减少计算量和存储量 ② 引入拒绝机制 ③ 根据实际问题修正投票方式 如加权投票，否决票等 如距离加权，考虑样本比例及先验概率等
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6.1.3
近邻法的快速算法
需存储所有训练样本 近邻法在计算上的问题： 新样本需与每个样本做比较
基本思路： 考查样本是否为可能的误导样本， 若是则从样本集中去掉——剪辑。 考查方法是通过试分类，认为错分样本为误导样本。
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基本做法： 将样本集分为考试集 X 剪辑：用 X
NR
NT
和参考集 X
NT
NR
：X
2. 若用 k 近邻剪辑，用最近邻分类，则
PkE (e | x)
P (e | x ) P1E (e | x) 2[1 Pk (e | x)]
* 当 k 时 PkE (e) 收敛于 P （N 应更快地趋向
）
E 3. 多类情况，多类剪辑近邻错误率 Pk c (e | x ) 小于两类情况
与研究目标之间呈非线性关系的数值特征
比如年龄、考试成绩、温度等
模式识别导论第9章模式分析的核方法
第9章 模式分析的核方法
定义9.4(核函数矩阵) 给定输入空间的向量集合X={x1，
x2，…，xn}，核函数矩阵K被定义为n×n的矩阵，且其矩阵 元素为Kij=〈Φ(xi)，Φ(xj)〉=K(xi，xj)。其中，K为核函数。 从定义9.3和9.4中可以看出G和K都是对称矩阵，并且K 是特征空间的Gram 定义9.5 半正定性(连续情况)对于任意的f∈L2(X)，如果 对称函数K(xi，xj)使下式成立；
X X
K ( xi , x j ) f ( xi ) f ( x j )dxi dx j 0
(9-5)
则称函数K(xi，xj)
第9章 模式分析的核方法
(离散情况)对于任意的n，任意的样本集x1，x2，…，
xn X Rq 和任意的系数a1，a2，…，an∈R，如果对称 函数K(xi，xj)满足下式；
定义9.2 对于所有的x， z X Rq ，若函数K K(x，z)=〈Φ(x)，Φ(z)〉 (9-4)
则称函数K是核函数，其中Φ是从输入空间X到特征空间F的 一个映射(见式(9-1))，〈· ，· 〉 下面给出一个核函数的例子来说明非线性特征映射和核 例9.2 考虑一个二维输入空间 z X Rq ，假设通过特 征映射得到
反过来，假设K满足半正定性质，通过构造希尔伯特空 间内的映射Φ，可使K 实际上，特征空间F可以看成原始向量空间中数据点的 映射的集合{Φ(x1)，Φ(x2)，…，Φ(xn)}，这里令 Φ(xi)=K(xi，· )。根据这些已知的数据，我们可以对整个特征 空间进行预测。给定权系数ai，整个特征空间可以表示为
着我们可以计算两个点在原输入特征空间上的内积，而不用 显式地求出它们在新特征空间F的坐标。此外，〈x，z〉2也 可以是下面给出的四维特征映射
第-9-章光学字符识别技术
第9章光学字符识别技术（上）光学字符识别技术是计算机自动、高速地辨别纸上的文字，并将其转化为可编辑的文本的一项实用技术。
它是新一代计算机智能接口的一个重要组成部分，也是模式识别领域的一个重要分支。
文字识别技术的研究涉及图像处理、人工智能、形式语言、自动机、统计决策理论、模糊数学、信息论、计算机科学、语言文字学等学科，它是介于基础研究和应用研究之间的一门综合性学科。
随着计算机技术的推广应用，尤其是互联网的日益普及，人类越来越多地依赖计算机获得各种信息，大量的信息处理工作也都转移到计算机上进行。
在日常生活和工作中，存在着大量的文字信息处理问题，因而将文字信息快速输入计算机的要求就变得非常迫切。
现代社会的信息量空前丰富，其中绝大部分信息又是以印刷体的形式进行保存和传播的，这使得以键盘输入为主要手段的计算机输入设备变得相形见绌，输入速度低已经成为信息进入计算机系统的主要瓶颈，影响着整个系统的效率。
因此，要求有一种能将文字信息高速、自动地输入计算机的方法。
目前，文字输入方法主要有键盘输入、手写识别、语音输入和机器自动识别输入等。
人工键盘输入方法需要经过一定时间的学习训练才能掌握；手写识别和语音输入虽然简单便捷，但其输入速度不高，对于大量已有的文档资料，采用这些方法要花费大量的人力和时间。
因此，能够实现文字信息高速、自动输入的只能是计算机自动识别技术，即光学字符识别（OCR）技术。
目前文字识别技术已经广泛地应用到了各个领域中。
它作为计算机智能接口的重要组成部分，在信息处理领域中可以大大提高计算机的使用效率，是办公自动化、新闻出版、计算机翻译等领域中最理想的输入方式；将庞大的文本图像压缩成机器内码可以节省大量的存储空间。
本章和第 10 章主要介绍光学字符识别中的一些关键技术，包括预处理、字符分割、特征提取、分类器设计以及后处理等。
另外，会给出一些相关的算法代码。
当然给出的代码只是一个雏形，只要读者在这个框架的基础上作修改，就可以构建自己的应用系统。
模式识别 张学工
p( x | i ) dx p( x)
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（5）Patrick-Fisher
JP
p( x | 1 ) P1 p( x | 2 ) P2
2
dx
1 2
1 2
IP
p( x | i ) Pi p( x)
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类间平均距离：
c 1 c 1 J D Pi Pj 2 i 1 ni n j j 1
k 1 l 1
ni
nj
(i ) xk , xl( j )
其中，
(i ) xk i ， k 1,, ni
xl( j ) j ， l 1, , n j
2
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名词约定： 特征形成（特征获取、提取） 直接观测到的或经过初步运算的特征——原始特征 特征选择 从 m 个特征中选择 m1 个， m1 m （人为选择、算法选择） 特征提取（特征变换，特征压缩） 将 m 个特征变为 m 2 个新特征 --- 二次特征
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考查两类分布密度之间的交叠程度
定义：两个密度函数之间的距离：
J p () g p (x | 1 ), p (x | 2 ), P1 , P2 dx
它必须满足三个条件： 1. J p 0 2. 若 p ( x | 1 ) p ( x | 2 ) 0, x ，则 J p J max 完全不重叠 3. 若 p ( x | 1 ) p ( x | 2 ), x ，则 J p 0 完全重叠
模式识别 张学工
权值初始化， t 0 （用小随机数） 给出一个训练样本 x x1 , , x n R
T n
计算在 x 输入下的实际输出
Y y1 , , y m
m 和期望输出 D d1 , , d m R T
T
从输出层开始，调整权值，对第 l 层，有
l l wij (t 1) wij (t ) lj xil 1 ,
(b) 对某个样本 yk j ，找出 j 类的子类中最大的判别函数
T l T m ( k ) y max ( k ) yk j k j l 1,,l j
m T l T 若 j (k ) y k i (k ) y k ， i 1, , c ， i
其中， d (t ) 是向量 x(t ) 的正确输出。
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可证，当两类线性可分时，此 算法收敛 问题：Minsky 等发现并证明 (1969)，感知器只能解决一阶 谓词逻辑问题，不能解决高阶 问题，如不能解决 XOR 问题。 出路：多个感知器结点结合， 引入隐节点，如右图的结构可 实现 XOR。 ----- 多层感知器
7
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5.4 多层感知器神经网络
5.4.1
神经元与感知器
神经元（neuron） ：
细胞体（cell） 、 树突（dentrite） 、轴突（axon） 、突触（synapses）
神经元的作用：加工、传递信息（电脉冲信号） 神经系统：神经网：大量神经元的复杂连接 通过大量简单单元的广泛、复杂的连接而实现各种智能活动。
j ， l 1,, li
第9章 神经网络模式识别 - 西安电子科技大学
0
(9-5)
1 exp( x) g ( x) 1 exp( x)
0
(9-6)
第9章 神经网络模式识别
图 9-2Sigmoid函数示意图 (a) 取值在(0, 1)内; (b) 取值在(－1, 1)内
第9章 神经网络模式识别
9.1.2
神经网络结构
神经网络是由大量的人工神经元广泛互连而成的网络。 根据网络的拓扑结构不同, 神经网络可分为层次型网络和网状
入和输出都是对网络内部的, 隐含层节点具有计算功能, 所 以隐含层纳入层数的计算中。 多层前馈神经网络的结构如 图9-4 所示。
第9章 神经网络模式识别
图9-4
多层前馈神经网络
第9章 神经网络模式识别
2. 反馈网络
反馈网络和前馈网络的不同在于, 反馈网络的输出层接
有反馈环路, 将网络的输出信号回馈到输入层。 一个无隐含 层的反馈网络如图9-5所示, 网络由单层神经元构成, 每个神 经元都将其输出反馈到其他所有神经元的输入。 图9-5中所 描述的结构不存在自反馈环路, 即没有输出神经元将输出反 馈到其本身输入的情况。 单层反馈网络有多种, 其中最典型 的是Hopfield网络。
wim xi wim
其中, α是小的学习常数。
(9-1５)
第9章 神经网络模式识别
7.内星和外星学习规则
内星和外星学习规则按下式计算：
（内星训练法）
wij n 1 wij n xi wij n
（外星训练法）
(9-16)
(9-12)
wij rj xi
该规则可以看做δ规则的特殊情况。 5. 相关学习规则 相关学习规则为
模式识别-第四版Sergios Theodoridis
模式识别第四版Pattern Recognition Fourth EditionSergios Teodoridis / Konstantinos Koutroumbas第1章导论1.1 模式识别重要性1.2 特征、特征向量和分类器1.3 有监督、无监督和半监督学习1.4 MATLAB程序1.5 本书内容安排第2至10章有监督模式识别第2章估计未知概率密度函数的贝叶斯分类技术——重点关注：贝叶斯分类、最小距离、最近邻分类器、朴素贝叶斯分类器、贝叶斯网络。
第3章线性分类器的设计——均方理论的概率、偏差-方差、支持向量机（SVM Support Vector Machines）、线性可分性感知器算法均方和最小二乘法理论第4章非线性分类器的设计——反射传播算法基本原理、Cover定理、径向基函数（RBF Radial Basis Function）网络、非线性支持向量机、决策树、联合分类器第5章特征选择（介绍现有的知名技术）——t检验、发散、Bhattacharrya距离、散布矩阵、（重点）两类的Fisher线性判别方法（Fisher’s linear discriminant method LDA）第6章如何利用正交变换进行特征提取——KL变换、奇异值分解、DFT\DCT\DST\Hadamard\Haar变换、离散小波变换、第7章图像和声音分类中的特征提取一阶和二阶统计特征以及行程长度方法第8章模板匹配动态规划和Viterbi算法（应用于语音识别），相关匹配和可变形模板匹配的基本原理第9章上下文相关分类隐马尔可夫模型，并应用于通信和语音识别第10章系统评估和半监督学习第11章至第16章无监督模式识别第2章基于贝叶斯决策理论的分类器2.1 引言模式识别系统中的分类器设计共三章，这是其中的第1章以特征值的统计概率为基础。
设计分类器是将未知类型的样本分类到最可能的类别中。
现在的任务是定义什么是“最可能”首先要完成的任务是条件概率的计算，而贝叶斯规则条件概率是非常有用的2.2 贝叶斯决策理论BAYES DECISION THEORY概率中的贝叶斯规则P（x）是x的概率密度函数贝叶斯分类规则bayes classification rule结论等价表示为：若先验概率相等，上式可表示为：错误率Pe的计算公式最小化分类错误率Minimizing the Classification Error Probability：要证明贝叶斯分类器在最小化分类错误率上是最优的the Bayesian classifier is optimal with respect to minimizing the classification error probability.最小平均风险Minimizing the Average Risk用惩罚Penalty来衡量每一个错误it is more appropriate to assign a penalty term to weigh each error2.3 判别函数和决策面下面的主要讨论在高斯密度函数的情况下，与贝叶斯分类决策面有关的情况。
模式识别方法概述
模式识别方法概述范会敏，王浩（西安工业大学计算机科学与工程学院，陕西西安710032）摘要：模式识别技术在社会生活和科学研究的许多方面有着巨大的现实意义，己经在许多领域得到了广泛应用。
文中就其理论基础与主要方法作了详细的介绍与阐述。
分别介绍了统计模式识别、句法结构模式识别、模糊模式识别、人工神经网络模式识别、模板匹配模式识别、支持向量机的模式识别。
关键词：模式；模式识别；统计模式识别；神经网络模式识别；模板匹配中图分类号：TP391.4文献标识码：A文章编号：1674－6236（2012）19-0048-04An overview of the pattern recognition methodsFAN Hui -min ，WANG Hao（Department of Computer Science and Engineering ，Xi ’an Technological University ，Xi ’an 710032，China ）Abstract:Pattern recognition technology has great practical significance in many sides of social life and scientific research ，and it has been widely applied in many fields.The theoretical basis and principal methods of it have been thoroughly introduced in this paper.Describes the statistical pattern recognition ，sentence structure pattern recognition ，fuzzy pattern recognition ，artificial neural network pattern recognition ，template matching pattern recognition ，Support Vector Machines pattern recognitionKey words:pattern ；pattern recognition ；statistical pattern recognition ；neural network pattern recognition ；templatematching收稿日期：2012-06-08稿件编号：201206065作者简介：范会敏（1960—），女，陕西富平人，教授。
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i 1
S 的最优插值
如果 Xt X 可逆 w (Xt X)1 Xty
w (Xt X)(Xt X)2 Xty Xt
yi
i
xi
=
i1
i
xi
训练点的线性组合
如果 Xt X 不可逆：伪逆——岭回归
9.1核方法概述——岭回归
如果 Xt X 不可逆：数据不够，或存在噪声 ——没有足够信息，精确指明解法（不适定ill-posed）
L(w, S) 2Xty 2Xt Xw 0 w Xt Xw Xty
如果 Xt X 可逆 w (Xt X)1 Xty
9.1核方法概述——线性回归
• 给定n维空间中训练集合 S (x1, y1), ,(x , y ) ，寻
n
找齐次线性函数 g(x) w, x wtx wi xi 使其为
9.1核方法概述——核函数举例
考虑一个 n 维输入空间 X n ，那么函数 (x, z) x, z 2
是一个核函数，对应的特征映射为：
: x (x1, x2 )
因为：
(x) (xi x j )in, j1 F 3
(x), (z) (xi x j )in, j1, (zi z j )in, j1
n
n
n
xi x j zi z j xi zi x j z j x, z 2
i, j1
i1
j 1
9 模式识别中的核方法
• 9.1核方法概述 • 9.2核方法基础 • 9.3凸优化与SVM
核矩阵
考虑 l 个训练样本在 N 维特征空间中映射，记为 l × N 矩阵
X (x1), ,(xl )t
称 G XXt ,Gi, j xi ,x j 为Gram 矩阵 ki xi , x
g(x) w, x ixi , x i xi , x iki
i1
i1
i1
g(x) α,k yt G I 1 k
G:训练点对间的内积
k：训练点和测试点之间的内积
9.1核方法概述——核函数
数据 核函数
核矩阵
PA算法
模式函数
• 核方法的4个关键：
– 数据嵌入特征空间
从基于线性函数类的模式 中抽取出来的模式函数
– 在特征空间中寻找线性模式
– 在嵌入空间中，不需要计算点的坐标，只用两两内积
– 利用核函数，可以直接从初始数据高效地计算内积。
9.1核方法概述——线性回归
• 给定n维空间中训练集合 S (x1, y1), ,(x , y ) ，寻
跳过显式计算 (xi ) 直接计算 (xi ),(x) ——核函数： 核（kernel）是一个函数 ( , )，对于所有 x, z X 满足：
(x,z) (x),(z)
其中 是从 X 到（内积）特征空间 F 的一个映射 ：指至数无维限，维甚特
: x (x) F
征空间。
9.1核方法概述——核函数举例
考虑一个二维输入空间 X 2 同时考虑特征映射：
: x (x1, x2 ) (x) (x12, x22, 2x1x2 ) F 3
那么，F中的线性函数为：
g(x) w11x12 w22 x12 w12 2x1x2
将特征空间中的线性 关系与输入空间中的 二次关系相对应：
(x, z) (x),(z) (x12, x22, 2x1x2 ),(z12, z22, 2z1z2 )
称与之相关的L × L Gram矩阵为核矩阵 ，其元素为
Kij (xi ),(x j ) (xi , x j )
核矩阵可写作：
K XXt
基本运算
• 如Байду номын сангаас 1,2是核，B是一个半正定矩阵，p( x )是一
个正系数多项式，那么下面都是核:
(x,z) 1(x,z) 2 (x,z) (x,z) p1(x,z)
考虑一个嵌入映射 : x n (x) F N
将 x n 上的非线性关系转化为 N 高维空间上的线性关系
f (x, y) y g(x) y w,(x)
直接法：N 很大时，w (Xt X)1Xty 解N × N 的方程组代价过大 对偶法：需要的所有信息为特征空间 F 中的内积
Gi, j (xi ),(x j ) ki (xi ),(x)
g(x) w,x ytX
XtX In
1
x
9.1核方法概述——对偶岭回归
L(w, S) 2Xty 2Xt Xw 2w 0
w
训练点的线性组合
w 1Xt (y Xw) Xtα
α ：对偶变量
α 1(y Xw)
α (y Xw)
α (y XXtα)
α (XXt I )1y
(x,z) 1(x, z) (x, z) 1(x, z)2 (x, z) (x, z) xt Bx
(x,z) exp1(x,z)
第9章 模式识别中的核方法
9 模式识别中的核方法
• 9.1核方法概述 • 9.2核方法基础 • 9.3凸优化与SVM
9.1核方法概述
• 模式识别的核方法：
– 首先把数据嵌入到合适的特征空间 – 然后采用基于线性代数、几何、统计学算法，
发现嵌入数据的模式
9.1核方法概述
k(x, z)
K
A
ik(xi , z)
x12 z12 x22z12 2x1x2z1z2 x1z1 x2z2 2 x, z 2
不用显式计算特征空 直接计算特征空间中 特征空间并不由核
间中的坐标
的内积
函数唯一确定
(x, z) x, z 2 也可计算如下映射空间的内积
: x (x1, x2 ) (x) (x12, x22, x1x2, x2x1) F 4
添加某种条件（或偏置），限制函数的选择（正则化）
L(w, S) 2 w 2
选择范数较小的w
2
范数与损失之间的相对权衡
L(w, S) 2Xty 2Xt Xw 2w 0
w
Xt X In w Xty In 是一个 n 阶单位阵， 0 时总可逆
w Xt X In 1 Xty
n
找齐次线性函数 g(x) w, x wtx wi xi 使其为
i 1
S 的最优插值
令 X (x1t , , xtl ), y ( y1, , yl )t
y g(x) w, x y Xw
yi
i
xi
通过给定的n维点，拟 合一个超平面
L(w, S) 2 (y Xw)t (y Xw) 2