实训练习题4

实训练习题4

一、填空题 1、数集()⎭

⎬⎫

⎩

⎨⎧+

-n n

11有 个聚点. 2、

⎰

2

sin π

dx x x

2

π. 3、瑕积分

()

()0>-⎰

p a x dx

b a

p

当 时收敛. 4、级数

∑∞

=⎪⎭⎫ ⎝

⎛+13121n n n 的和为 . 5、()()0sup lim =-∈∞→x f x f n D

x n 是函数列{}n f 在区间D 上一致收敛于f 的 条件.

二、判断题 1、开区间集合⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧=⎪⎭⎫

⎝⎛+ ,2,11,11n n 构成了开区间()1,0的一个开覆盖.（ ）

2、设平面曲线C 的参数方程为()()[]βα,,,∈==t t y y t x x ，称C 为一条光滑曲线是指

()()022≠'+'t y t x .（ ）

3、若函数f 在[]b a ,上只有有限个间断点，则函数f 在[]b a ,上可积.（ ）

4、在级数的项中任意加括号后所得级数收敛，则原级数也收敛.（ ）

5、级数

∑∞

=0

n n

x

在区间[]()10,<<-a a a 上一致收敛.（ ）

6、点ξ是点集S 的聚点的充要条件是存在各项互异的收敛数列{}S x n ⊂，使得

ξ=∞

→n n x lim .（ ）

7、若f 在[]b a ,上可积，则f 在[]b a ,上也可积.（ ）

8、设()()⎪⎩

⎪⎨⎧=>==内的无理数，以及互素，、101,0,0,,1x p

q q p q p x q x f ，则()010

=⎰dx x f .（ ） 9、若

()dx x f a

⎰

∞

+收敛，则()0lim =+∞

→x f x .（ ）

10、设函数项级数

()x u n

∑在闭区间[]b a ,上收敛于()x f ，且每一项()x u n

都在闭区间

[]b a ,上连续，()x f 在闭区间[]b a ,上可积，则()()dx x u dx x u b

a n

b a n ⎰∑∑⎰=.（ ）

三、计算题 1、讨论无穷积分

⎰

∞++13

1arctan dx x x

x

的收敛性.

2、求幂级数 +++++n

nx x x x 3

2

32的和函数.

3、计算摆线()()()0cos 1,sin >-=-=a t a y t t a x 一拱的弧长及其与x 轴所围平面图形的面积.