二次函数压轴题交点个数问题(讲义及答案)

交点个数问题（讲义）
知识点睛
交点个数问题是确定函数与几何图形是否存在交点及个数的问题，常见问法有交点个数情况、交点是否唯一、存在唯一位置等．
处理此类问题的考虑：
①交点唯一的情形
考虑切点（直线与圆相切）、端点（经过线段端点）、交点（取值范围内唯一）．
②多交点问题常建立方程，转化为方程解个数问题．
精讲精练
1.如图，菱形ABCD的边长为2cm，∠BAD=60°．点P从点A
出发，以3cm/s的速度，沿AC向点C作匀速运动；与此同时，点Q也从点A出发，以1cm/s的速度，沿射线AB作匀速运动，当点P运动到点C时，P，Q两点都停止运动．设点P的运动时间为t（s）．
（1）当点P异于A，C时，请说明PQ∥BC；
（2）以点P为圆心、PQ的长为半径作圆，请问：在整个运动过程中，t为怎样的值时，⊙P与边BC分别有1个公共点和2个公共点？
2.如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴分别交于
点A(6，0)，B(0，8)，点C的坐标为(0，m)，过点C作CE⊥AB于点E，点D为x轴上的一动点，连接CD，DE，以CD，DE为边作□CDEF．
（1）当0＜m＜8时，求CE的长（用含m的代数式表示）；
（2）点D在整个运动过程中，若存在唯一的位置，使得□CDEF 为矩形，请求出所有满足条件的m的值．
3.在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(0，1)，取一点B(b，
0)，连接AB，作线段AB的垂直平分线l1，过点B作x轴的
垂线l2，记l1，l2的交点为P．
（1）当b=3时，在图1中补全图形（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
（2）小慧多次取不同数值b，得出相应的点P，并把这些点用平滑的曲线连接起来发现：这些点P竟然在一条曲线L上．
①设点P的坐标为(x，y)，试求y与x之间的关系式，并指出
曲线L是哪种曲线；
②设点P到x轴、y轴的距离分别是d1，d2，求d1+d2的范围，
当d1+d2=8时，求点P的坐标；
③将曲线L在直线y=2下方的部分沿直线y=2向上翻折，得
到一条“W”形状的新曲线，若直线y=kx+3与这条“W”形状的新曲线有4个交点，直接写出k的取值范围．
图1
4.已知二次函数y=ax2-2ax+c（a＜0）的最大值为4，且抛物线
过点
79
()
24-，，点P(t，0)是x轴上的动点，抛物线与y轴交
点为C，顶点为D．
（1）求该二次函数的解析式及顶点D的坐标；
（2）求|PC-PD|的最大值及对应的点P的坐标；
（3）设Q(0，2t)是y轴上的动点，若线段PQ与函数22
y a x a x c
=-+的图象只有一个公共点，请直接写出t的取值．
【参考答案】1.（1）证明略；
（2）当4361332≤，
，t t t =-<-=时有一个交点；当4361t -<≤时，有两个交点．2.（1）CE =3(8)5m -；（2）满足条件的m 的值为699607213，，或--．3.（1）作图略；
（2）①21122
y x =+，抛物线；②P 1(3，5)，P 2(-3，5)；③3333
k -<<4.（1）223y x x =-++，D (1，4)；
（2）2，P (-3，0)；
（3）332t <≤，72
t =或3t -≤。