第五章相似矩阵试题

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矩阵相似的性质：矩阵相似例题

1 矩阵的相似1 定义2性质3定理（证明）4 相似矩阵与若尔当标准形2 相似的条件3 相似矩阵的应用（相似矩阵与特征矩阵相似矩阵与矩阵的对角化相似矩阵在微分方程中的应用【1 】）矩阵的相似及其应用1 矩阵的相似定义1设A,B为数域P上两个n级矩阵，如果可以找到数域P上的n级可逆矩阵X，使得B?X?1AX，就说A相似于B记作A∽B 2 相似的性质（1）反身性A∽A；这是因为A?E?1AE.（2）对称性如果A∽B，那么B∽A；如果A∽B,那么有X，使B?X?1AX，令Y?X?1，就有A?XBX?1?Y?1BY，所以B∽A。

（3）传递性如果A∽B，B∽C，那么A∽C。

已知有X,Y使B?X?1AX，C?Y?1BY。

令Z?XY，就有C?Y?1X?1AXY?Z?1AZ，因此，A∽C。

3 相似矩阵的性质若A,B?Cn?n，A∽B，则（1）r(A)?r(B)；Q是n?n可逆矩阵，引理A是一个s?n矩阵，如果P是一个s?s可逆矩阵，那么秩（A）=秩（PA）=秩（AQ）证明设A,B相似，即存在数域P上的可逆矩阵C，使得B?C?1AC,由引理2可知，秩?1（B）=秩（B?CAC）=秩（AC）=秩（A）（2）设A相似于B，f(x)是任意多项式，则f(A)相似于f(B)，即P?1AP?B?P?1f(A)P?f(B)证明设f(x)?anx?an?1xnnn?1a1x?a0 a1A?a0E a1B?a0E于是，f(A)?anAn?an?1An?1? f(B)?anB?an?1Bn?1kk由于A相似于B，则A相似与B，（k为任意正整数），即存在可逆矩阵X,使得Bk?X?1AkX，?1?1anAn?an?1An?1?因此Xf?A?X?X?a1A?a0E?X?anX?1AnX?an?1X?1An?1X? ?anBn?an?1Bn?1? ?f(B) 所以f(A)相似于f(B)。

?a1X?1AX?a0Ea1B?a0E（3）相似矩阵有相同的行列式，即A?B,trA?trB；证明设A与B相似，即存在数域P上的可逆矩阵C，使得B?C?1AC，两边取行列式?1?1AC?AC?1C?A，从而相似矩阵有相同的行列式。

线性代数第五章(答案)

第五章相似矩阵与二次型一、是非题〔正确打√,错误打×〕1．若线性无关向量组r αα,,1 用施密特法正交化为r ββ,,1 则对任何),1(r k k ≤≤向量组k αα,,1 与向量组r ββ,,1 等价. <√>2. 若向量组r αα,,1 两两正交,则r αα,,1 线性无关. <√>3.n 阶正交阵A 的n 个行<列>向量构成向量空间n R 的一个规X 正交基. <√>4.若A 和B 都是正交阵,则AB 也是正交阵. <√>5.若A 是正交阵,Ax y =,则x y =. <√>6．若112⨯⨯⨯=n n n n x x A ,则2是n n A ⨯的一个特征值. <×>7.方阵A 的特征向量只能对应唯一的特征值,反之亦成立. <×>8.n 阶矩阵A 在复数X 围内有n 个不同的特征值. <×>9. 矩阵A 有零特征值的充要条件是0=A . <√>10.若λ是A 的特征值,则)(λf 是)(A f 的特征值<其中)(λf 是λ的多项式>.<√>11.设1λ和)(212λλλ≠是A 的特征值,1x 和2x 为对应特征向量,则21x x +也是A 的特征向量. <×>12.T A 与A 的特征值相同. <√>13.n 阶矩阵A 有n 个不同特征值是A 与对角矩阵相似的充分必要条件. <×>14.若有可逆矩阵P ,使n 阶矩阵A ,B 满足:B PAP =-1,则A 与B 有相同的特征值. <√>15.两个对角矩阵的对角元素相同,仅排列位置不同,则这两个对角矩阵相似. <√>16.设n 阶矩阵A ,B 均与对角阵相似且有相同的特征值,则A 与B 相似. <√>17．实对称矩阵A 的非零特征值的个数等于它的秩. <√>18. 若k ααα,,,21 线性无关且都是A 的特征向量,则将它们先正交化,再单位化后仍为A 的特征向量. <√>19.实对称阵A 与对角阵 Λ相似：Λ=-AP P 1,这里P 必须是正交阵. <×>20．已知A 为n 阶矩阵,x 为n 维列向量,如果A 不对称,则Ax x T 不是二次型. <×>21.任一实对称矩阵合同于一对角矩阵. <√>22．二次型Ax x x x x f T n =),,,(21 在正交变换Py x =下一定化为标准型.<×>23.任给二次型Ax x x x x f T n =),,,(21 ,总有正交变换Py x =,使f 化为规X 型.<×>二、填空题1．向量⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1111α,求两向量2α=____,3α=____,使321,,ααα两两正交.Ans:()T 1,0,12-=α,T⎪⎭⎫ ⎝⎛--=21,1,213α 2.若A 是正交阵,即E A A T =,则=A _____. Ans:1或-13.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=121001065A ,则A 的特征值为________.<-1,2,3>4.n 阶方阵A =)(ij a 的特征值为n λλλ,,,21 ,则=A ___________,=+++nn a a a 2211_____________.5.设二阶行列式A 的特征值为2,3,λ,若行列式482-=A ,则____=λ.<-1>6.设三阶矩阵A 的特征值为-1,1,2,则=--E A 14_____,=-+*E A A 23______. Ans:-15,97. 已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=x A 00110002的伴随矩阵*A 有一特征值为2-,则=x -1或2 .8. 若二阶矩阵A 的特征值为1-和1,则2008A =E .9.当x =___时,矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01010110x A 能对角化.<-1,见教材>10.设A 为2阶矩阵,1α,2α是线性无关的二维列向量,01=αA ,2122ααα+=A ,则A 的非零特征值为_______.提示:由⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1200)()(2,12,1ααααA 知A 与⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1200相似,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1200非零特征值为1.11、设A 为正交矩阵,λ为A 阵的特征值,则λA E -=_____0___.12、设3阶方阵A 的特征值为互不相同,若0=A 行列式则A 的秩为_____.<2>13.<3分>二次型32312123222144)(x x x x x x x x x a f +++++=经过正交变换Py x =可化为标准型216y f =,则a =_____.<a =2>14.二次型()222123123121323,,222f x x x x x x x x x x x x =+++++的秩是______；二次型432143212),,,(x ax x x x x x x f -=的秩为2,则=a .15.已知二次型yz xz xy z y x a f 222)(222-++++=,a 的取值为_____时f 为正定, a 的取值为_____时f 为负定. <1;2- a a >16. 二次型322322214332x x x x x f +++=经过正交变换=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321x x x ______⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321y y y 化为标准形=f _______,从而1),,(321=x x x f 表示的曲面类型是_________. Ans:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3212121212132100001y y y x x x ,23222152y y y f ++=,椭球面三、选择题 1. 若n 阶非奇异矩阵A 的各行元素之和均为常数a ,则矩阵12)21(-A 有一特征值为< C >.<A> 22a ； 22a - ； <C>22-a ； <D>22--a .2.若λ为四阶矩阵A 的特征多项式的三重根,则A 对应于λ的特征向量最多有<A >个线性无关.<A> 3个； 1个； <C> 2个； <D> 4个.3.特征值一定是实数的矩阵是<A>正交矩阵 对称矩阵<C>退化矩阵 <D>满秩矩阵4. 设α是矩阵A 对应于其特征值λ的特征向量,则其对角化矩阵AP P 1- 对应于λ的特征向量为< D >.<A>α1-P ； αP ； <C>αT P ； <D>α .5. 若A 为n 阶实对称矩阵,且二次型Ax x x x x f T n =),,,(21 正定,则下列结论不正确的是< C > .(A) A 的特征值全为正； A 的一切顺序主子式全为正； <C> A 的元素全为正；<D>对一切n 维列向量x ,Ax x T 全为正.6.下列各式中有<A >等于22212136x x x x ++.<A> ()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21213421,x x x x ； ()112213,23x x x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； <C> ()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--21213511,x x x x ； <D> ()112211,43x x x x -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 7.矩阵〔 C 〕是二次型22212136x x x x ++的矩阵. <A>⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--3111；⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3421；<C>⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3331； <D>⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3151；8.设A 、B 为同阶方阵,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n x x x X 21,且BX X AX X T T =,当〔 D 〕时,B A =. <A>)()(B r A r =； A A =T ；<C>B B =T ； <D>A A =T 且B B =T ；9.A 是n 阶正定矩阵的充分必要条件是〔 D 〕. <A>0>A ； 存在n 阶矩阵C,使C C A T =； <C>负惯性指标为零； <D>各阶顺序主子式均为正数； 10.1)()()(),,(22221,21--++-+-=n a x a x a x x x x f n n 是. <A>非正定二次型；正定； <C>负定； <D>不定；11．正定二次型),,(,21n x x x f 的矩阵应是〔 B 〕.<A>非对称且左右对角线上元素都是正数；对称且各阶顺序子式都是正数；<C> 对称且所有元素都是正数；<D> 对称且矩阵的行列式是正数；12．使实二次型 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛z y x k k k k k z y x 0101),,( 正定的参数k 应该是< C >.<A>0>k ；02>k ；<C>不存在； <D>0<k ；13．阶矩阵A 为正定的充分必要条件是< C >. <A>0>A ； 存在n 阶矩阵,使A=C C T ；<C> A 的特征值全大于0； <D> 存在n 维列向量α≠0,有0>ααA T ；14.次型232221321)2()1()1()(x k x k x k x x x f -+-++=,当时是正定的.<A>k>0； k>2； <C> k>1；<D> k=1；15.设A ,B 为正定矩阵,则< C >.<A>AB 、B A +都正定； AB 正定,B A +不一定正定； <C>AB 不一定正定,B A +正定； <D>AB 和B A +都不一定正定；16.设A ,B 都是n 阶实对称矩阵,且都正定,那么AB 是<C> <A>实对称矩阵 正定矩阵<C>可逆矩阵 <D>正交矩阵17.设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=211121112A , ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000010001B ,则A 与B<A>合同, 且相似. 合同, 但不相似 .<C>不合同, 但相似. <D> 既不合同, 又不相似.[ B ]18. 设矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1221A , 则在实数域上与A 合同矩阵为〔 D 〕 <A> ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2112 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2112 <C> ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2112<D> ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1221 19.设21,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为21,αα,则1α,)(21αα+A 线性无关的充分必要条件是<A> 01≠λ 02≠λ <C> 01=λ <D>02=λ [ B ]20.n 阶实对称矩阵A 为正定矩阵的充分必要条件是 < C > <A> 所有k 级子式为正),,2,1(n k = A 的所有特征值非负 <C> 1-A 为正定矩阵 <D>秩<A >=n。

第五章相似矩阵及二次型线性代数含答案

第五章相似矩阵及二次型5.4.1 基础练习 1. (1223),(3151),(,)αβαβ==∠求.2. 若λ＝２为可逆阵Ａ的特征值，则1213A -⎛⎫⎪⎝⎭的一个特征值为 .3. 试证ｎ阶方阵Ａ的满足2A A =，则Ａ的特征值为0或者1.4.已知三维向量空间中，12(111),(121)TTαα==-正交，试求3123,,αααα，使得是三维向量空间的一个正交基.5. 已知向量1(111)T α=，求3R 的一个标准正交基.6. 已知122224242A -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭，问A 能否化为对角阵？若能对角化，则求出可逆矩阵P ，使1P AP -为对角阵.7. 将二次型222123121323171414448f x x x x x x x x x =++---，通过正交变换x Py =化成标准型.8. 判别二次型()222123123121323,,55484f x x x x x x x x x x x x =+++--是否正定？5.4.2 提高练习1. 设n 阶实对称矩阵A 满足2A A =，且A 的秩为r ，试求行列式det(2E －A).2. 设460350361A ⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭，问A 能否对角化？若能对角化，则求出可逆矩阵P ，使得-1P AP 为对角阵.3. 已知实对称矩阵220212020A -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭，分别求出正交矩阵P ，使1P AP -为对角阵. 4. 化二次型()123121323,,f x x x x x x x x x =++为标准形，并求所作的可逆线性变换.5. 设A，B分别为m阶，n阶正定矩阵，试判定分块矩阵ACB⎛⎫= ⎪⎝⎭是否为正定矩阵？6. 判别二次型22256444f x y z xy xz=---++的正定性.7. 判断下列两矩阵A，B是否相似11100111100,111100nA B⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪==⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭第五章参考答案5.4.1 基础练习 1.[,]cos ||||||||4αβπθθαβ===∴=2.34. 3.略.4. 设3123()0Tx x x α=≠，则[][]1223,0,,0αααα==，即 12313312321002001x x x x x x x x x α-⎛⎫++==-⎧⎧ ⎪⇒⇒=⎨⎨ ⎪-+==⎩⎩ ⎪⎝⎭5. 设非零向量23,αα都与2α正交，即满足方程11230,0T x x x x α=++=或者，其基础解系为： 12100,111ξξ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，令 121321101,0,1111ααξαξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪===== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭1）正交化令 121122121111[,]1,0,[,]11βαβαβαβαββ⎛⎫⎛⎫⎪⎪===-== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭1323233312321122221[,][,][,]12[,][,][,]21βαβαβαβαββαβββββββ-⎛⎫⎪=--=-= ⎪ ⎪-⎝⎭2）标准化令1||||i i i ςββ=，则1231111,0,2111ςςς-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪===⎪⎪⎪⎪⎪⎪--⎭⎭⎭6. 由2122224(2)(7)242A E λλλλλλ---=---=--+--得，1232,7λλλ===-将12λ=λ=2代入()1A-λE x=0，得方程组 12312312322024402440x x x x x x x x x --+=⎧⎪--+=⎨⎪+-=⎩解值得基础解系 12200,111αα⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，同理，对3λ=-7，由()3A-λE x=0，求得基础解系()31,2,2Tα=，由于201120112≠，所以123,,ααα线性无关，即A 有3个线性无关得特征向量，因而A 可对角化，可逆矩阵为：123201(,,)012112P ααα⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭7. 第一步，写出对应得二次型矩阵，并求其特征值 172221442414A --⎛⎫ ⎪=-- ⎪⎪--⎝⎭， ()()2172221441892414A E λλλλλλ---⎛⎫⎪-=---=-- ⎪⎪---⎝⎭，从而A 的全部特征值为1239,18λλλ===。

线性代数填空题

9、答案内容： 1
第四章向量组的线性相关性
n 元齐次线性方程组 Ax 0 与 Bx 0 同解是 R A R B的 ___________条件.
9、答案内容：充分
第五章相似矩阵及二次型
若 n 元实二次型 f xT Ax 正定，则其秩 r ，正惯性指数 p 与 n 满足关系____________ . 9、答案内容： p n
第四章向量组的线性相关性
设向量1,2 线性无关， 21 b, 22 b 线性相关，则 b 用1,2 线性表示的表示式为
____________ .
9、答案内容： 1 2 2
第三章矩阵的初等变换与线性方程组
A 为一个四阶方阵，若 R A 3 ，则其伴随矩阵 A* 的秩 R A* ____________ .
x Py 可化为标准形 f 6 y12 ，则 a ____________ .
9、答案内容： 2
第二章矩阵及其运算
设矩阵
A
1 2
1
3
，
B
A2
3A
2E
，则
B 1
____________
.
1 0 1
9、答案内容：
2
2
2
第三章矩阵的初等变换与线性方程组
设向量组1 a, 0, cT ,2 b, c, 0T ,3 0, a,bT 线性无关，则 a,b, c 必满足关系式
____________ .
9、答案内容： 3
第五章相似矩阵及二次型
若二次型 f x1, x2 , x3 2x12 x22 x32 2x2 x1 tx2 x3 是正定的，则 t 的取值范围是
____________ .
9、答案内容： t 2, 2

西安交大西工大考研备考期末复习线性代数第五部分相似矩阵及二次型(带答案)

第五章相似矩阵及二次型基础练习一、填空1. 设A 为n 阶方阵,0=Ax 有非零解,则A 必有一个特征值为_________。

答案：02. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=122212221A 相似于对角阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-α51,则=α_________。

答案：1-=α3. 二次型xz xy z y x f 44465222++---=的正定性为________。

答案：负定4.设3221232221321222),,(x tx x x x x x x x x f ++++=是正定二次型, 则t 的取值区间为答案：⎛ ⎝5．设A 是n 阶正交矩阵,1-=A ,则()=*TA答案：A -6.若A 是实对称矩阵,则属于A 的不同特征值的特征向量一定答案：正交7.设2=λ是可逆矩阵A 的一个特征值,则矩阵1231-⎪⎭⎫ ⎝⎛A 有一个特征值等于答案：348.设A 是n 阶正定矩阵,则方程组0=AX 的解的集合是答案：09．设 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=2002121x A 相似于对角阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--211, 则=x答案：3-10.矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=314120401A 对应的二次型是_______________答案：22212313232382x x x x x x x +++-11.设可逆方阵A 的特征值为λ，则k A -1的特征值为。

答案：kλ12. 22212312312(,,)2-2f x x x x ax x x x =++为正定二次型，则a 的取值范围为答案：1a >13.与向量组α1= (12,12,12,12)T , α2= (12,12, -12, -12)T , α3= (12,-12,12, -12)T ,都正交的单位向量α4=答案：1111,,,2222T⎛⎫±-- ⎪⎝⎭14、列向量⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=111α 是矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=2135212b a A 的对应特征值λ的一个特征向量. 则λ＝，a ＝，b ＝。

矩阵相似的性质：矩阵相似例题

（3）传递性如果A∽B，B∽C，那么A∽C。

已知有X,Y使B?X?1AX，C?Y?1BY。

令Z?XY，就有C?Y?1X?1AXY?Z?1AZ，因此，A∽C。

线性代数期末试题

第一章行列式一、填空题：1、设A 为3阶方阵，|A | = 2，则 |23*1A A -⎪⎭⎫ ⎝⎛-|=_______， |*123⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-A A |=_______. 2、设A 为m 阶方阵，B 为n 阶方阵，且|A |=3，|B|=2，C=00A B⎛⎫⎪⎝⎭，则|C |=___________. 3、设四阶行列式3214214314324321，ij A 是其()j i ,元的代数余子式，则_______3331=+A A ，_______3432=+A A .4、线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=-+430302321321321ax x x x ax x x x ax 有非零解的充要条件是a 满足._____________二、选择题：1、设5阶方阵,()i j A a =的行列式展开式中应有一项为（）(A) 1123455344a a a a a (B) 1123344554a a a a a (C)1123355244a a a a a (D) 1123355144a a a a a2、设列向量组321,,ααα，则与三阶行列式|,,|321ααα等值的行列式是（）（A ）|,,|321311αααααα+++ （B ）|3,,|31332ααααα++（C ）|,,|123ααα （D ）|,,|133221αααααα+++3、n 阶行列式D 不为零的充分必要条件是（）（A ）D 中至少有n n -2个元素不为零（B ）D 中所以元素都不为零（C ）D 的任意两列元素之间不成比例（D ）以D 为系数行列式的线性方程组有唯一解4、已知x 的一次多项式111111111111101-------=x D ，则式中一次项的系数为（）（A ）4 （B ）4- （C ）1 （D ）1-三、计算下列行列式：xxax xaa x x D n=、1 nn y y y d +++=111111111221、其中021≠n y y y .四、解下列线性方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=++=++=++=+150651650651655454343232121x x x x x x x x x x x x x . 五、设a 、b 、c 、d 为互异实数，则0111144443333=d c b a dcbad c b a 的充要条件为0=+++d c b a .（一）填空题答案：1、16125,1；2、6)1(mn -；3、48,68-；4、01753=--a a ；（二）选择题答案：1、C ；2、C ；3、D ；4、B ；（三）解：.)))(1(()1()()1()1))(1((101100))1((111))1(()1(112)1(12/)1(1-++--+--+-=----+=---+=-+==n n n n n n nn x a n x a x a n x a xa x a n x a x ax a x x n x a xx ax x a a x x D,110111111111111011011111111111)2(111211212121---+=+=+++++=+++=n n n n n nnn y y d y y y d y y y y y y y y y d因为021≠n y y y ，令,21n n n y y y d c =则有n n n y c c 11+=-，1111y c +=，因此n n y y c 1111+++= ，从而.)111(211n nn y y y y y d +++= （四）解：由Cramer 法则知：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛66521213379353713322966515075432154321D D D D D D D D D D x x x x x . （五）证明：因,))()()()()()()()()((111111525352453554444443333322222M yM M y M y M y a b b c a c c d b d a d d y c y b y a y y d c b a y d c b a y d c b a yd c b a +-+-=----------=其中ij M 是),(j i 元的余子式，特别地，44443333451111d c b a dcbad c b a M =，比较上式中3y 的系数知，))()()()()()((45a b b c a c c d b d a d d c b a M ------+++=，又a 、b 、c 、d 为互异实数，从而.0045=+++⇔=d c b a M第二章矩阵及其运算一、填空题：1、设)1,2,1(=α，)1,2,1(-=β，βαTA =，则________=nA ，________=n A .2、设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0034001210001200A ，则__________1=-A ，___________)(*1=-A . 3、设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=101020101A ，则__________334=-A A .4、设方阵A 满足0323=-+E A A ，其中E 为单位矩阵，则________)(1=+-E A .二、选择题：1、设A 、B 、A +B 、11--+B A都是n 阶可逆阵，则111)(---+B A =（）。

相似矩阵习题答案

相似矩阵、二次型部分例题参考答案（一）特征值，特征向量的求法例1 求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=144241422217A 的特征值与特征向量。

解1818041422217144241421217----=---=-λλλλλλλλA E ()172218214411λλλ-=---()174218210401λλλ-=-- ()()()()918162271822--=+--=λλλλλ得到特征值是1821==λλ，93=λ当18=λ时，由()018=-x A E ，即⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000000221442442221得基础解系()T0,1,21-=α，()T 1,0,22-=α因此属于特征值18=λ的特征向量是2211ααk k +（1k ，2k 不全为零）当9=λ时，由()09=-x A E ，即⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---000110102000110452542452228得基础解系()T2,2,13=α，因此属于特征值9=λ的特征向量是33αk （03≠k ）例2 设矩阵322232223A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭010101001P ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，1*P A P β-=，求2B E +的特征值与特征向量，*A 为A 的伴随矩阵，E 为三阶单位阵。

解：计算*522252225A --⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭，1011100001P --⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，1*700254223B P A p -⎛⎫⎪==-- ⎪ ⎪--⎝⎭从而 9002274225B E ⎛⎫ ⎪+=-- ⎪ ⎪--⎝⎭[]2(2)(9)(3)E B E λλλ-+=-- 129λλ==时，1(1 1 0)T η=-，2(2 0 1)T η-；33λ=时，3(0 1 1)T η=例3 设n 阶方阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111 b b b b b b A （1）求A 的特征值和特征向量；（2）求可逆阵P ，使AP P 1-为对角阵。

《线性代数》第五章相似矩阵及二次型精选习题及解答

故， β 3 = ( −
1 3
1 3
1 3
1) T ⇒ γ 3 =
β3 3 = (− 6 β3
3 6
3 3
3 T ) 2
⎛ 3 2 4⎞ ⎜ ⎟ 例 5.3 计算 3 阶矩阵 A＝ 2 0 2 的全部特征值和特征向量. ⎜ ⎟ ⎜ 4 2 3⎟ ⎝ ⎠
n n
f ( x) = xT Ax ，其中 A T = A .
6．熟悉矩阵 A 合同（或相合）于 B 的定义，理解合同关系是等价关系. 7．熟练掌握化二次型 xT Ax 为平方和（标准形）或求实对称矩阵 A 的相合标准形的 3 种方法：正交变换法；配方法；和同型初等行、列变换法. 8．了解惯性定理，会求矩阵 A 的正、负惯性指数和符号差，会求二次型的规范形. 9．熟练掌握正定二次型（正定矩阵）的定义和判别方法. 10．熟悉实对称矩阵 A 正定（二次型正定）的各种等价命题（正定的充要条件）. 11．理解 A 正定的必要条件： a ii > 0( i = 1, 2, L , n ); det( A ) > 0 . 12．会利用正交变换化二次型为标准型和极坐标平移方法判别一般二次曲线和曲面的类型.
故 A 是正交矩阵. 例 5.2 已知向量 α 1 = (1,1, 0, 0 ) , α 2 = (1, 01, 0 ) , α 3 = ( − 1, 0, 0,1) 是线性无关向
T T T
量组，求与之等价的正交单位向量组. 解法一先正交化，再单位化 (1) 取 β 1 =
α1
(2) 令 β 2 = k β 1 + α 2 ，使得 β2 与 β 1 正交
T −1 ∗
5.3 例题分析
例 5.1 设 a 是 n 阶列向量， E 是 n 阶单位矩阵，证明 A = E −

矩阵相似例题

矩阵相似例题下面是一个关于矩阵相似的例题：考虑两个矩阵A和B，其中A如下所示：A = [[1, 2],[3, 4]]而B如下所示：B = [[2, 4],[6, 8]]我们需要确定是否存在一个可逆矩阵P，使得 A 和 B 是相似的。

解法：要确定 A 和 B 是否相似，我们需要找到一个可逆矩阵P，使得P^{-1}AP = B。

我们可以按照如下步骤进行计算：1. 计算矩阵A 的特征值和特征向量。

特征值是满足方程|A - λI| = 0 的λ 值，其中I 是单位矩阵。

计算得到A 的特征值为λ1 = -0.3723 和λ2 = 5.3723。

对于每个特征值，我们可以求解(A - λI)x = 0 得到相应的特征向量。

对于λ1 = -0.3723，我们得到特征向量x1 = [-0.8246, 1]。

对于λ2 = 5.3723，我们得到特征向量x2 = [-0.4152, 1]。

2. 构建特征向量矩阵P。

将特征向量按列排列得到矩阵P，即P = [x1, x2]。

3. 计算逆矩阵P^{-1}。

由于P 是一个2x2 的矩阵，我们可以使用逆矩阵的公式计算P 的逆矩阵P^{-1}。

4. 计算P^{-1}AP。

将P^{-1} 和A 相乘，并再与P 相乘，得到相似矩阵B。

在这个例题中，我们可以进行如下计算：P = [[-0.8246, -0.4152],[1, 1]]P^{-1} = [[-1.2070, 0.1941],[1.2070, -0.1941]]P^{-1}AP = [[2, 0],[0, 8]]因此，我们可以看到 A 和 B 是相似的，因为存在一个可逆矩阵P，使得P^{-1}AP = B。

考研数学线代习题—矩阵的相似精编版

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模块十二矩阵的相似1、已知四阶矩阵A相似于B,A的特征值为2,3,4,5,E为四阶单位矩阵,则B E-=.2、已知三阶矩阵A的特征值为111,,234，且三阶矩阵B与A相似，则1B E-+=.3、下列矩阵中，A和B相似的是（）（A）201200000,001000000A B⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪==⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（B）120211231,120015102A B-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪==⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭（C）201203000,000000000A B⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪==⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（D）200100020,030003003A B⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪==⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭4、假设矩阵A和B相似，且A可逆，证明：*A与*B相似。

5、设矩阵212533102A-⎛⎫⎪=-⎪⎪--⎝⎭，试判断矩阵A是否可相似对角化。

6、设矩阵022222222A--⎛⎫⎪=-⎪⎪--⎝⎭，试判断矩阵A是否可相似对角化。

7、设矩阵123213336A⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭，试判断矩阵A是否可相似对角化。

8、下列矩阵中不能相似对角化的为（）(A)120203030⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (B)000100023⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (C)000010023⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (D)000000123⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.9、31202003A a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭和对角矩阵相似，则a 取何值？10、设矩阵3221423A k k -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦.问当k 为何值时,存在可逆矩阵P ,使得1P AP -为对角矩阵?并求出P 和相应的对角矩阵.11、已知矩阵20000101A x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦与20000001B y ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦相似: (1)求x 与y ;（2）求一个满足1P AP B -=的可逆矩阵P . 12、设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0011100y x A 有三个线性无关的特征向量，（1）求x 和y 应满足的条件；（2）若1x =，求可逆矩阵P ,使得1P AP -为对角矩阵.13、已知矩阵200204z A z x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，22B y ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭相似（1）求,,x y z ，（2）求P ，使1P AP B -=.参考答案1、242、603、（C ）4、略.5、不可相似对角化6、不可相似对角化7、可相似对角化8、(B)9、2-10、1000100011110,,200021k P -⎛⎫ ⎪Λ=- ⎪-⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎝⎭⎪⎭11、（1）01x y =⎧⎨=⎩；（2）100011011P ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 12、（1）0x y +=；（2）101011101-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.13、（1）2,4,0x y z =-=-=；（2）100011021P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭.在紧张的复习中，中公考研提醒您一定要充分利用备考资料和真题，并且持之以恒，最后一定可以赢得胜利。

2004-2015年考研线代试题整理(数三)(学生复印)

）
c1， c2， c3 ， c4为任意常数，则下列向量组线性相关的是（
（A） 1 ， 2， 3 （C） 1 ， 3， 4 （B） 1 ， 2， 4 （D） 2， 3， 4
2010 年每小题 4 分(5) 设向量组Ⅰ： 1， 2，下列命题正确的是（A）若向量组Ⅰ线性无关，则 r s （C）若向量组Ⅱ线性无关，则 r s
2 1 0 (A) 1 1 0 . 0 0 2 2 0 0 (C) 0 1 0 . 0 0 2
1 1 0 (B) 1 2 0 . 0 0 2 1 0 0 (D) 0 2 0 . 0 0 2
*
O A | A | 2,| B | 3 ，则分块矩阵的伴随矩阵为 B O
(A)
O 2A O 2B
* *
3B* . O 3 A* . O
2
(B)
O 3A O 3B
* *
2 B* . O 2 A* . O
(A) a , d
)
(B) a , d
(C) a , d (D) a , d
1 2 3 4 2014 年（20）（本题满分 11 分）设 A 0 1 1 1 ， E 为 3 阶单位矩阵。 1 2 0 3
4.3 向量组的秩 4.4 线性方程组的解的结构
1 1 1 1 2015 年每小题 4 分(5)设矩阵 A 1 2 a , b d .若集合 1, 2 ，则线性方程组 1 4 a 2 d2
Ax b 有无穷多解的充分必要条件为 (
1 （A） 2 1 2 （C） 1 2

(完整版)5-3.4相似矩阵

性质2 实对称矩阵的相异特征值所属的特征向量必正交。
证设 Ap须1 证 1pp1T1 ,p2Ap02 2 p2 (1 2 ), A AT
1 p1T (1 p1 )T ( Ap1 )T p1T AT p1T A,
1 p1T p2 p1T Ap2 p1T (2 p2 ) 2 p1T p2
4 0 0
例1
解
设A 求004可13逆013阵,P求, 使 0正P交1阵A(P4P,为使P对)(1角2AP阵6为?对 8角) 阵.
E－A 0
0
3 1P
1
( q13
q
2
(q43
)
)2 (2 1
)
2,
2 3 4.
1 2 的特征向量为 q1 (0，1， 1)T ;
将 q1 (0，1， 1)T 单位化，得： p1 （0，1 ， 1 ）T .
(1 2 ) p1T p2 0
p1T p2 0 p1与p2正交。
特征值λ 的重数k ≥ λ对应的线性无关的特征向量的个数
定理8
n – R(λE-A) 个
n 阶实对称矩阵 A 的 k 重特征值 λ 所对应的线性
无关的特征向量恰有 k 个。
R (λE-A ) = n－ k
实对称矩阵A一定与对角矩阵相似
反之不真
若A 有重特征值, 不能马上断言A 是否与对角阵相似, 这时要看重根对应的特征向量. 只要 k 重特征值正好对应 k 个线性无关的特征向量即可
四、对角化的方法
例1 判断下列实矩阵能否化为对角阵？
1 2 2
2 1 2
(1) A 2 2 4 (2)A 5 3 3
2 4 2
1
为对角矩阵，
即
0

第五章相似矩阵及二次型单元测试

第5章单元测试1．若A 是正交矩阵，则（）不是正交矩阵.(A) A －1 (B) A T (C) A * (D) kA (k ≠0)2．若A 3×3的特征值之积为6，则A－1的特征值之积为（）. ( A) 6 (B) 61(C) 1 (D) (－1)3613．已知α为可逆矩阵A 的属于特征值λ的特征向量，则α未必是（）的特征向量.(A) A －1 (B) A T (C) A * (D) A 24．若四阶矩阵A 与B 相似，矩阵A 的特征值为51413121，，，，则行列式|B －1－E |=（）.( A) 12 (B) 36 (C) 24 (D) 485．n 阶方阵A 有n 个不同的特征值是A 与对角阵相似的( ).( A) 充分必要条件 (B) 充分而非必要条件(C) 必要而非充分条件 (D) 既非充分也非必要条件6．设三阶实对称矩阵A 的特征值为1，2，3；矩阵A 的属于特征值1，2的特征向量分别为(－1，－1，1)T ，(1，－2，－1)T ，则A 的属于3的特征向量可取为（）.(A) (1，1，1)T (B) (0，1，1)T (C) (1，1，0)T (D) (1，0，1)T7．矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111111111A 的非零特征值为（）. ( A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 48．设n 阶矩阵A 与B 相似，则（）.(A) A －λE =B －λE (B) A 与B 有相同的特征值与特征向量(C) A 与B 相似于一对角矩阵 (D) 对任意常数t ，A －tE 与B －tE 相似9．若方程组A n ×n x =0有非零解，则A 必有一特征值为（）.( A) 0 (B) 1 (C) n (D) －110．设A 为n 阶实对称阵，则（）.( A) A 必有n 个不同特征值 (B) 存在正交矩阵Q ，使得Q T AQ 为对角阵(C) A 的特征值必为正数 (D) A 的任何两个特征向量均正交11．设A 为n 阶实方阵，则（）.( A) A 必可对角化 (B) A 的特征值均为实数(C) A 的属于不同特征值的特征向量正交(D) 存在正交矩阵Q ，使得(AQ )T (AQ )为对角阵12．矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=542452222A 的属于1的所有特征向量是（）. (A) k ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-012，k ≠0 (B) k ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛102，k ≠0(C) k 1⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-012＋k 2⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛102，k 1，k 2不全为0 (D) k 1⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-012＋k 2⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛102，k 1，k 2全不为013．设A 属于特征值λ、μ（λ≠μ）的特征向量分别为α、β，则p α＋q β仍为A 的特征向量的充要条件为（）.(A) p ，q 不全为0 (B) p ，q 全不为0(C) p ，q 全为0 (D) p ，q 恰有1个为014．若n 阶方阵A 与B 合同，则（） .(A) A =B (B) A 与B 相似 (C) |A |=|B | (D) R(A )=R(B )15．实对称矩阵A 的所有特征值均大于0是A 正定的（）.( A) 充分必要条件 (B) 充分而非必要条件(C) 必要而非充分条件 (D) 既非充分也非必要条件16．若二次型f 的标准形为f =2222211n n y d y d y d +++ ，则（）.(A) d 1，d 2，…，d n 均为A 的特征值 (B) d 1，d 2，…，d n 均不是A 的特征值(C) d 1，d 2，…，d n 不一定是A 的特征值 (D) |A|=d 1d 2…d n17．下列矩阵中，必可对角化的矩阵是（）.(A) 可逆矩阵 (B) 正交矩阵 (C) 上三角形矩阵 (D) 负定矩阵18．正定矩阵未必是（）.(A) 对称矩阵 (B) 正交矩阵 (C) 满秩矩阵 (D) 可逆矩阵19．设U 为可逆矩阵，则一定有（）.(A) U T U 是正定矩阵 (B) U T ＋U 是正定矩阵(C) U 2是正定矩阵 (D) U 是正定矩阵20．对称矩阵A 为正定的充分必要条件是（）.(A) A 的特征值互不相同 (B) |A | ＞0(C) A 的特征值均非负 (D) 存在可逆矩阵U ，使得A =U T U答案：1．(D) 2．(B) 3．(B) 4．(C) 5．(B) 6．(D) 7．(C) 8．(D) 9．(A) 10．(B) 11．(D) 12．(C) 13．(D) 14．(D) 15．(A)16．(C) 17．(D) 18．(B) 19．(A) 20．(D)。

线性代数课件第五章相似矩阵及二次型-习题课

解答题
证明二次型经过可逆线性变换后，其标准型不变。
综合练习题
选择题
给定矩阵A和B，判断以下哪些说法是正确的？
解答题
求矩阵A的特征值和特征向量，并判断 A是否可对角化。如果可对角化，求出相似对角矩阵。
THANK YOU
感谢聆听
• 解析：首先，我们需要找到矩阵$A$的特征值和特征向量。通过计算，我们得到特征值$\lambda_1 = 1, \lambda_2 = 2$，以及对应的特征向量$\alpha_1 = (1, -1)^T, \alpha_2 = (1, 1)^T$。然后，我们构造矩阵$P = (\alpha_1, \alpha_2) = \begin{pmatrix} 1 & 1 \ -1 & 1 \end{pmatrix}$，并验证$P^{1}AP = B$。
线性代数课件第五章相似矩阵及二次型-习题课
目
CONTENCT
录
• 相似矩阵的定义与性质 • 二次型的定义与性质 • 习题解析与解答 • 解题技巧与注意事项 • 课后练习与巩固
01
相似矩阵的定义与性质
定义与性质
相似矩阵的定义
如果存在一个可逆矩阵P，使得 $P^{-1}AP=B$，则称矩阵A与B相似。
100%
特征值问题
在解决特征值问题时，可以利用相似变换将原矩阵转化为易于计算的形式。
80%
数值计算
在数值计算中，可以利用相似变换来加速计算过程和提高计算精度。
02
二次型的定义与性质
二次型的定义
二次型是线性代数中的一种重要概念，它是一个多项式函数，其自变量是一组向量，因变量是一个标量。
综合习题解析
题目

线性代数练习题库及答案

线性代数练习册答案第五章相似矩阵及二次型51内积52方阵的特征值与特征向量一．填空题：1.A 是正交矩阵，则A 1A.2.已知n 阶方阵A 的特征值为12,,,n，则EA12n.3.已知3阶方阵A 的特征值为1,1,2，则232BAA 的特征值为1,5,8；A2；A 的对角元之和为2.4.若0是A 的特征值，则A 不可逆（可逆，不可逆）.5.A 是n 阶方阵，Ad ，则AA 的特征值是,,,d d d （共n 个）.二．用施密特法把下列向量组规范正交化123111(,,)124139解：111,1,1T2122121,61,2,31,1,11,0,13TTT313233122212,,1481211,4,91,1,11,0,1,,32333TT TT 故11111,1,13Tb ，22211,0,12Tb ，33311,2,16Tb .三．求下列矩阵的特征值和特征向量1. 1221A2. 100020012B 解：1. A 的特征多项式为12(3)(1)21A E故A 的特征值为123,1.当13时，解方程30A E x .由2211322rA E:得基础解系111P ，故1(0)kP k是对应于13的全部特征向量. 当21时，解方程0A E x .由22112200rA E :得基础解系211P ，故2(0)kP k是对应于21的全部特征向量.2.B 的特征多项式为210020(1)(2)12B E故B 的特征值为1231,2.当11时，解方程0B E x .由000011010010011rBE :得基础解系1100P ，故1(0)kP k 是对应于11的全部特征向量.当232时，解方程20B E x.由10010*********11rBE :得基础解系201P ，故2(0)kP k 是对应于232的全部特征向量.四．证明下列各题1. x 为n 维列向量，且1Tx x，求证：2THExx 是对称的正交阵.2. 设A 、B 为同阶正交阵，证明：AB 也是正交阵. 证明：1.222TTTTTTTTHExxHExxExxH故H 为对称阵.又224444TTTTT TTTH HE xxExxExxx x x xExxxxE故H 为正交阵.2. 因,A B 为同阶正交阵，故,TTA AE B BE .又TT TT TABAB B A ABB EBB BE ，故AB 为正交阵.五．A 是n 阶方阵，命题P 为：A 的特征值均不为0.请尽量多的列举与P 等价的命题.（如A 可逆.至少列举3个）解：等价命题：1P ：A 的列（行）向量组线性无关2P ：0A3P ：齐次线性方程组0Ax只有0解4P ：A 的秩为n53相似矩阵54实对称矩阵的相似矩阵一．填空题：1.若是A 的特征向量，则1P是1P AP 的特征向量. 2.若A 与B 相似，则AB .3.20000101Ax与2000001B y 相似，则x 0，y 1.4.若是A 的k 重特征根，则必有k 个相应于的线性无关的特征向量，不对（对，不对），若A 是实对称的呢？对（对，不对）.二．多项选择题（选出全部正确的选项，可能不只一个）1.n 阶方阵A 相似于对角矩阵的充分必要条件是A 有n 个（C ）（A ）互不相同的特征值；（B ）互不相同的特征向量；（C ）线性无关的特征向量；（D ）两两正交的特征向量；2.方阵A 与B 相似，则必有（BD ）（A ）E A E B ；（B ）A 与B 有相同的特征值；（C ）A 与B 有相同的特征向量；（D ）A 与B 有相同的秩；3.A 为n 阶实对称矩阵，则（ACD ）（A ）属于不同特征值的特征向量必定正交；（B ）0A ；（C ）A 必定有n 个两两正交的特征向量；（D ）A 的特征值均为实数；三．100021012A，试求一个可逆矩阵P 使得1P AP 为对角阵，并求mA .解：先求A 的特征值和特征向量.2100021(1)(3)12EA故A 的所有特征值为1233,1.当13时，解方程30A E x.2001003011011011rA E :令1011P ，则1P 即为对应于13的特征向量.当231时，解方程0A E x.00000011011011rAE:令2310,101P P ，则23,P P 即为对应于231的特征向量.显然，123,,P P P 线性无关.令123010,,10111PP P P ，则1111003131312211313022mmmmm m P APAP PAPP四．三阶实对称矩阵A 的特征值为0,2,2，又相应于特征值0的特征向量为1111P ，求出相应于2的全部特征向量. 解：因为A 为三阶实对称矩阵，故A 有三个线性无关的特征向量，且对应于不同特征值的特征向量两两正交.已知对应于10的特征向量为1P ，设对应于232的特征向量为23,P P ，则12130,0T TP P P P .即23,P P 为齐次线性方程组10T P x 的两个线性无关的解.由10TP x得1230x x x .令2310,1x x ，则11,1x .取23111,001P P ，则23,P P 即为对应于232的特征向量.令2233k P k P （23,k k 不全为零），则为对应于232的全部特征向量.五．设3阶方阵A 的特征值为1231,0,1，对应的特征向量分别依次为1231222,2,1212P P P ，求A . 解：因为123，故A 可对角化，且123,,所对应的特征向量123,,P P P 线性无关.显然112312323,,,,A P P P P P P ，令123,,PP P P ，故111231102100123122A P PP P.55二次型及其标准形56用配方法化二次型为标准形57正定二次型一．填空题：1. 22(,)22f x y xxy yx 是不是二次型？答：不是.2. 123121323(,,)422f x x x x x x x x x 的秩是3；秩表示标准形中平方项的个数．3．2110100A k k,A 为正定矩阵,则k 满足大于1.二．A 为实对称矩阵，选出全部的A 为正定矩阵的充分必要条件（12346）1.对任意的列向量0x ，0x Ax2.存在可逆方阵C ，使得A C C3.A 的顺序主子式全部大于零4.A 的主子式全部大于零5.A 的行列式大于零6.A 的特征值全部大于零三．212312331001(,,)(,,)3043x f x x x x x x x x 1.求二次型123(,,)f x x x 所对应的矩阵A ；2.求正交变换xPy ，将二次型化为标准形.解：1. 2112312331232123001(,,)(,,)300(,,)34343x x f x x x x x x x x x x x x x x 22212233343xxx x x故二次型123(,,)f x x x 所对应的矩阵100032023A. 2.问题可转化为求正交矩阵P ，将A 化为对角形. 210032(1)(5)23AE故A 的特征值为1231, 5.当121时，解方程0A E x.000011022*******rA E :.令1310,1x x ，得20,1x .取1210,101，则12,即为对应于121的特征向量.显然，12,正交.将12,单位化得121212110,2012P P 当35时，解方程50A E x.4001005022011022rA E :.令31x ，得1201x x .取311，则3即为对应于35的特征向量.将3单位化得3331212P .令123PP P P ，则1115P AP.故123(,,)f x x x 的标准形为2221235y yy .四．已知A 和B 都为n 阶正定矩阵，求证A B 的特征值全部大于零.证明：因为,A B 都为n 阶正定矩阵，则对任意n 维列向量0x，有0,00T T Tx Axx BxxA B x .即A B 是正定矩阵.故A B 的特征值全部大于零. 五．已知A 为n 阶正定矩阵，求证1A E.证明：因为A 为n 阶正定矩阵，则A 的n 个特征值12,,,n全大于零且存在正交矩阵P ，使得112211nnP APAPP .由1122111nnAE P PPPPE P121111nPP ，得121121111111nnA E PP六.求22:1L x xy y围成的面积.解：设二次型22112(,),112x f x y xxy yx yy.令112112A，则A 是对称矩阵且正定.设12,为A 的特征值，可知存在正交矩阵P ，使得112TP APP AP.由0E A，得1213,22.因为正交变换不改变向量的长度，故可用正交变换12z x P z y，使得1221122TT TT X AXZ P APZZ P APZzz ，其中12,z x XZz y.综上可知，经过正交变换后，221213(,)22f x y zz .故L 的面积即为椭圆：221213122zz的面积.面积23S .第五章复习题三、计算题1、设3阶对称阵A 的特征值为6，3，3，与特征值6对应的特征向量为11,1,1Tp ，求A解：因为对称矩阵对应于不同特征值的特征向量是两两正交的，所以求对应于3的特征向量即为求与1,1,1T正交的特征向量。

线性代数习题册(第五章相似矩阵及二次型参考答案)

二、计算题
7. 用施密特（Schimidt）正交化过程将向量= 组α1
1 = 1 ,α2 1
1 = 2 ,α3 3
1

4

规范正交化.
9
解：根据施密特正交化方法,
1
b=1
a=1

1

,
1
−1
b2
= a2 − [[bb11,,ab12
−1
=
1 2

0 1

,

b3
=
= b3 | b3 |
1
1 6

−2 1

。
三、证明题
8. 设α 是一个 n 维非零列向量，试证 A=
E
−
α
2 Tα
αα
T
是一个正交矩阵.
解：
AT
A
= E − α2Tα αα
T
T

E
−
2 αTα
αα
T

( A) λ −1 A n
(B) λ −1 A
(C ) λ A
( D) λ −1 A n−1
分析：设 Aξ = λξ ，又 A 可逆，所以 A−1ξ = 1 ξ ， | A | A−1ξ =| A | 1 ξ
λ
λ
⇒ A*ξ = | A | ξ ， λ
5. 设 3 阶矩阵 A 的特征值为1, 3, 5 ，则 A 的行列式 A 等于（ D ）.
第五章相似矩阵及二次型
单元 12 向量的内积与正交性
一、选择题
1. 设 x, y ∈ Rn , [ x, y] 表示向量 x 与 y 的内积，则下列不正确的是（ D ）.

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第五章相似矩阵自测题
一、选择题
1．矩阵1111⎛⎫= ⎪⎝⎭
A 的非零特征值为（） A.1 B.2 C.3 D.-1
2．设1λ，2λ，3λ为矩阵111131111A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭
的三个特征值，则321λλλ=（）
A. -4
B. 0
C.2
D. 4
3．设1λ，2λ，3λ为矩阵111131111A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭
的三个特征值，则123λ+λ+λ=（）
A.4
B.5
C.6
D.7
4．若矩阵A 与B 相似，则下列说法错误的是（）
A. A 与B 等价
B. A 与B 合同
C. ||||=A B
D. A 与B 有相同的特征值
5．设矩阵⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=2123A ，则下列向量中是A 的特征向量的是（） A. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-10 B. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛12 C. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00 D. ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-k k 6. 矩阵A 与B 相似，则说法错误的是（）
A.有相同的特征多项式
B. 有相同的特征值
C. 有相同的特征向量
D.
=A B
7.设n 阶矩阵A 满足20+=E A ,则A 必有一个特征值等于( ) A. 2 B. -2 C. 1/2 D. -1/2
8.n 阶矩阵A 可对角化的充要条件是（）
A. A 有n 个不同的特征值
B. A 为实对称矩阵
C. A 有n 个不同的特征向量
D. A 有n 个线性无关的特征向量
9. 对于n 阶方阵A 与B 相似，下列命题错误的是（）
A. A 与B 的特征值相同
B. 存在可逆矩阵Q P , ，使得B PAQ =
C. A 与B 的行列式相同
D. 存在可逆矩阵P ，使得B AP P =-1
二、填空题
1．3阶方阵A 的特征值为3,1,2-，则A =___________
2．若3λ=是可逆方阵A 的一个特征值，则1A -必有一个特征值为
3．设A 为3阶矩阵，8=A ，且其两个特征值分别为1-和4，则其另一特征值为
4.已知矩阵⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=212011c b a A 有特征值2，对应的一个特征向量为()T 311，则=a ，=b ，=c
5. 已知矩阵⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=20120111a A 有一个二重特征值1，一重特征值3，则=a
6. 已知矩阵⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10000002,10100002b B a A 相似，则=a ，=b
7. 设矩阵41212311A a -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦的一个特征向量为112⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
，则=a 三、计算题
1．求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=300121103A 的特征值与特征向量.
2.设
A 的特征值为1，-1，2，求2A A E *+-.
3.问矩阵211020413A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭
能否对角化？说明理由.
4.问x=?时，矩阵⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛---46050361x 能对角化.
四、证明题
1. 设λ是n 阶矩阵A 为的特征值，证明：λ是T A 的特征值。

2. 设0λ≠是n 阶可逆矩阵A 为的特征值，证明：1λ-是1A -的特征值。

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