第五章 相似矩阵 试题

第五章 相似矩阵 自测题

一、选择题

1．矩阵1111⎛⎫= ⎪⎝⎭

A 的非零特征值为（ ） A.1 B.2 C.3 D.-1

2．设1λ，2λ，3λ为矩阵111131111A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭

的三个特征值，则321λλλ=（ ）

A. -4

B. 0

C.2

D. 4

3．设1λ，2λ，3λ为矩阵111131111A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭

的三个特征值，则123λ+λ+λ=（ ）

A.4

B.5

C.6

D.7

4．若矩阵A 与B 相似，则下列说法错误的是（ ）

A. A 与B 等价

B. A 与B 合同

C. ||||=A B

D. A 与B 有相同的特征值

5．设矩阵⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=2123A ，则下列向量中是A 的特征向量的是（ ） A. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-10 B. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛12 C. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00 D. ⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-k k 6. 矩阵A 与B 相似，则说法错误的是（ ）

A.有相同的特征多项式

B. 有相同的特征值

C. 有相同的特征向量

D.

=A B

7.设n 阶矩阵A 满足20+=E A ,则A 必有一个特征值等于( ) A. 2 B. -2 C. 1/2 D. -1/2

8.n 阶矩阵A 可对角化的充要条件是（ ）

A. A 有n 个不同的特征值

B. A 为实对称矩阵

C. A 有n 个不同的特征向量

D. A 有n 个线性无关的特征向量

9. 对于n 阶方阵A 与B 相似，下列命题错误的是（ ）

A. A 与B 的特征值相同

B. 存在可逆矩阵Q P , ，使得B PAQ =

C. A 与B 的行列式相同

D. 存在可逆矩阵P ，使得B AP P =-1

二、填空题

1．3阶方阵A 的特征值为3,1,2-，则A =___________

2．若3λ=是可逆方阵A 的一个特征值，则1A -必有一个特征值为

3．设A 为3阶矩阵，8=A ，且其两个特征值分别为1-和4，则其另一特征值为

4.已知矩阵⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=212011c b a A 有特征值2，对应的一个特征向量为()T 311，则=a ，=b ，=c

5. 已知矩阵⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=20120111a A 有一个二重特征值1，一重特征值3，则=a

6. 已知矩阵⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10000002,10100002b B a A 相似，则=a ，=b

7. 设矩阵41212311A a -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦的一个特征向量为112⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

，则=a 三、计算题

1．求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=300121103A 的特征值与特征向量.

2.设

A 的特征值为1，-1，2，求2A A E *+-.

3.问矩阵211020413A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭

能否对角化？说明理由.

4.问x=?时，矩阵⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛---46050361x 能对角化.

四、证明题

1. 设λ是n 阶矩阵A 为的特征值，证明：λ是T A 的特征值。

2. 设0λ≠是n 阶可逆矩阵A 为的特征值，证明：1λ-是1A -的特征值。