柱面坐标系

使用对称性时应注意： 使用对称性时应注意： 积分区域关于坐标面的对称性； １、积分区域关于坐标面的对称性； ２、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴 的奇偶性． 的奇偶性．
一般地， 平面对称， 一般地，当积分区域 关于xoy平面对称， 的奇函数， 且被积函数 f (x, y, z)是关于 z的奇函数，则三 重积分为零， 重积分为零，若被积函数 f (x, y, z)是关于 z的 偶函数， 上方的半个闭 偶函数， 则三重 积分为在xoy平面 上方的半 个闭 区域的三重积分的两倍. 区域的三重积分的两倍.
四 利用球面坐标计算三重积分
z
球面坐标系中的体积元素为
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱdθ
dr
r sindθ rd d
r sin
dv = r sin drddθ ,
2
r
o
∫∫∫ f ( x, y, z )dxdydz =
θ
dθ
y
x
f (r sin cosθ , r sin sin θ , r cos )r 2 sin drddθ . ∫∫∫
2π . = 15
三 球面坐标系
为空间内一点， 设 M(x,y,z) 为空间内一点，则点 M 可用三个有次序的数 r，，θ来确 间的距离， 定，其中 r 为原点 O 与点 M 间的距离，
x
z
r
M ( x,
z
y, z )
o
为有向线段 OM与 z轴正向所夹的角， x OM与 轴正向所夹的角，
A
θ
y
z ln( x + y + z + 1) ∫∫∫ x 2 + y 2 + z 2 + 1 dxdydz = 0.
2 2 2
例7
2
是球面 计算 ∫∫∫ ( x + y + z ) dxdydz 其中 是球面
2
2
x + y + z = 2 所围成的空间闭区域 所围成的空间闭区域.
解
2
= x + y + z + 2( xy + yz + zx)
第四节 利用柱面坐标和球面 坐标计算三重积分
一 二 三 四 五 柱面坐标系 利用柱面坐标计算三重积分 球面坐标系 利用球面坐标计算三重积分 小结
一 柱面坐标系
为空间内一点， 设 M(x,y,z) 为空间内一点，并设点 M 在 xoy 面上的投影 P 的极坐标为 r, ，则这样的三 θ 的柱面坐标． 个数 r, z 就叫点 M 的柱面坐标． θ,
π 0≤≤ , 4
0 ≤ θ ≤ 2π ,
zdv = ∫ dθ ∫ 4 d ∫ r cos r 2 sin dr ∫∫∫ 0 0 0
2a
2π
π
= 2π ∫
=
π
π
2
4 0
4
1 2a sin cos d |0 4
a
例 4 计算 ∫∫∫ x + y + z dv , 其中 由 x + y + z = z
由 r和 r + r , θ和 θ + θ， z和 z + z 所围成的小柱体的体积 近似等于以 r , rθ， z为棱的长方体体积， 为棱的长方体体积， 所以
r
rdθ
dr
dz
o
dθ
y
体积元素为 dv = rdrdθdz ,
x
∴ ∫∫∫ f ( x, y, z )dxdydz = ∫∫∫ f (r cosθ , r sin θ , z )rdrdθdz.
例6
利用对称性简化计算
2 2 2
z ln( x + y + z + 1) ∫∫∫ x 2 + y 2 + z 2 + 1 dxdydz 2 2 2 其中积分区域 = {( x, y, z ) | x + y + z ≤ 1}.
解 积分域关于三个坐标面都对称， 积分域关于三个坐标面都对称， 被积函数是 z 的奇函数
2 2
2
z = r,
D: x2 + y2 ≤1,
: r ≤ z ≤ 1, 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ θ ≤ 2π ,
所以
z x 2 + y 2 dxdydz ∫∫∫
=
=
∫∫∫
zr 2 drd θ dz
1 2 1
∫
2π
0
d θ ∫ r dr ∫ zdz
0 r
1
1 r2 )dr = 2π ∫ r 2 ( 0 2
例3 计算 ∫∫∫ zdv, 其中 是 x2 + y2 + z2 ≤ 2a2 与
z≥ x 2 + y 2 所围成的立体 所围成的立体.
解
由x
由锥面和球面围成 ，采用球面坐标 ，
2
+ y + z = 2a
2 2
2
r = 2a ,
z=
π x + y = , 4
2 2
: 0 ≤ r ≤ 2a ,
( x 2 + y 2 + z 2 )dv ∫∫∫
在球面坐标系下 为
0 ≤ θ ≤ 2π , 0 ≤ ≤ π , 0 ≤ r ≤ 2.
∴ I = ∫0 dθ ∫0 d ∫0 r r sin dr
2 2 2
2π
π
= 2π ∫0 sin d ∫0 r dr
2 4
π
16 = 2π . 5
五、小结
例1
计算 I = ∫∫∫ zdxdydz ，其中 是球面
x 2 + y 2 + z 2 = 4 与抛物面 x 2 + y 2 = 3z
所围的立体. 所围的立体
解
球面与抛物面交线为
r 2 + z 2 = 4 2 r = 3z
z = 1,r = 3,
把闭区域 投影到 xOy 面上
r2 : ≤ z ≤ 4 r 2， 3 0 ≤ r ≤ 3, 0 ≤ θ ≤ 2π .
三重积分换元法
柱面坐标 球面坐标
（1） 柱面坐标的体积元素 ）
dxdydz = rdrdθdz
（2） 球面坐标的体积元素 ）
dxdydz = r sin drdθd
2
（3） 对称性简化运算 ）
例 5 计算 I = ∫∫∫ ( x + y ) dxdydz ，其中 是锥
2 2
面 x + y = z ， 与平面 z = a 体.
2 2 2
( a > 0) 所围的立
解1
采用球面坐标
a ∵z = a r = , cos
x + y = z =
2 2 2
π
4
,
a π ∴ : 0 ≤ r ≤ , 0 ≤ ≤ , 0 ≤ θ ≤ 2π , cos 4
规定： 规定：0 ≤ r < +∞ ,
z
M ( x,
∞ < z < +∞.
注意： 注意：柱面坐标系就是平 面极坐标系加上 z 轴.
x
0 ≤ θ ≤ 2π ,
y, z )
o
θ
r
P (r ,θ )
y
柱面坐标系的三坐标面是
r 为常数 θ为常数
圆柱面； 圆柱面
z
x = r cosθ , y = r sin θ , z = z.
半平面； 半平面 平 z 为常数 面． 柱面坐标与直角坐标的 关系为
M ( x, y , z )
z
o
θ
r
r = x 2 + y 2 y 或 tan θ = x z = z
P (r ,θ )
y
x
二 利用柱面坐标计算三重积分
z
利用柱面坐标系的三组坐 标面来分割积分区域，如图， 标面来分割积分区域，如图
2 2 2
其 中 xy + yz 是关 于 y 的奇 函数 ,
面对称, 且 关于 zox 面对称
∴
∫∫∫ ( xy + yz ) dv = 0 ,
同理
的奇函数, ∵ zx是关于 x 的奇函数
且 关于 yoz 面对称,
2
∴ ∫∫∫ xzdv = 0
则 ∫∫∫ ( x + y + z ) dv =
:r ≤ z ≤ a, 0 ≤ r ≤ a, 0 ≤ θ ≤ 2π ,
I = ∫∫∫ ( x + y )dxdydz = ∫ dθ ∫ rdr ∫ r 2 dz 0 0 r
2 2
2π
a
a
a a π 5 = 2π ∫0 r (a r )dr= 2π [a ] = a . 4 5 10
a
4
5
3
补充：利用对称性化简三重积分计算
I = ∫0 dθ ∫0 dr ∫
3
2π
4r 2
r2 3
13 r zdz = π . 4
例2 计算 ∫∫∫ z x 2 + y 2 dxdydz , 其 中 是 由圆锥面
x 2 + y 2 = z 2 与 z = 1所围成的区域。 所围成的区域。
解 所围成的立体如图， 所围成的立体如图，
∵x + y = z
2 2 2
2
2
2
所围空间闭区域． 和 x + y + z = 2 z 所围空间闭区域．
2 2 2
解
为0 ≤ θ ≤ 2π ,0 ≤ ≤ , cos ≤ r ≤ 2 cos ． 2
π
I = ∫0 dθ ∫ d ∫cos r 3 sin dr
2 0
2π
π
2 cos
15 π 2 cos 4 sin d = ∫0 2 3 = π 2
y
P
θ为从正 z 轴来看自 x 轴按逆时针方向 转到有向线段 OP 的角，这里 P 为点 M 的角， 面上的投影， 在 xoy 面上的投影，这样的三 个数 r，， 的球面坐标． θ就叫做点 M 的球面坐标．
规定： 规定：
0 ≤ r < +∞ ,
0 ≤ ≤ π,
0 ≤ θ ≤ 2 π.
如图， 如图，三坐标面分别为
I = ∫∫∫ ( x + y )dxdydz
2 2
= ∫0 dθ ∫ d ∫
4 0
2π
π
a cos 0
r sin dr
4 3
1 a5 = 2π ∫04 sin 3 ( 5 0)d 5 cos π 5
= 10 a.
π
解2
2
采用柱面坐标
2 2
∵ x + y = z z = r,
D:
x2 + y2 ≤ a2 ,
r 为常数
球 面； 圆锥面； 圆锥面； 半平面. 半平面
为常数
θ为常数
如图， 如图，
z
设点 M 在 xoy 面上的投影为 P， 点 P 在 x 轴上的投影为 A，
则 OA = x , AP = y , PM = z .
球面坐标与直角坐标的关系为
A
x
r
M ( x,
z
y, z )
o
θ
y
x
y
P
x = r sin cosθ, y = r sin sinθ, z = r cos.