矩阵思想的形成与发展

1.前言 (1)2.早期行列式计算中孕育的矩阵思想 (2)3.矩阵思想的形成 (2)3.1矩阵的基本思想 (3)3.2矩阵运算 (4)4.矩阵的发展 (7)4.1特征值与特征向量 (9)4.2标准形 (10)4.3方程组的解 (11)5.结论 (12)参考文献 (13)致谢 (14)矩阵形式解方程组在中国古代数学著作《九章算术》中已相当成熟，但这部著作并没有建立起独立的矩阵理论，而仅把矩阵看作一种排列形式来解决实际问题。

矩阵在中国古代的萌芽，蕴含了丰富的矩阵算法与程序化等思想。

矩阵概念产生并发展于19世纪的欧洲，欧洲的社会环境与文化背景为矩阵的早期发展提供了适宜的舞台，一大批矩阵理论的奠基者做了大量的工作，使矩阵从零散的知识发展为系统完善的理论体系，为矩阵理论的形成与发展做出了重要的贡献。

从18世纪末到19世纪中叶，这种排列形式在求解线性方程组和行列形式来解决实际问题，本文通过对矩阵理论发展过程中的众多数学家工作的考察，揭示了矩阵思想从萌芽、早期发展到成熟以及进一步完善的全过程。

关键词：矩阵；矩阵发展；凯莱；矩阵思想AbstractThe matrix form solution of equations in Chinese ancient mathematics" arithmetic in nine sections" has been quite mature, but it hasn't established the independent matrix theory, and only the matrix as an arrangement to solve practical problems. Matrix in ancient China budding, contains rich matrix algorithm and programming ideas. Matrix concept originated from the nineteenth Century in Europe, the European social environment and cultural background for the matrix of early development to provide a suitable stage, a large number of matrix theory of the founders did much work, so that the matrix from a fragmented knowledge development for the system of perfect theory, matrix theory's formation and the development has made important contribution. From the late eighteenth Century to the middle of the nineteenth Century, this kind of arrangement form in solving linear equations and the ranks of the form to the solution of practical problems, based on the matrix theory in the process of development of many mathematicians work study, reveals the idea of matrix from bud, early development to mature and perfect the whole process.Key words: Matrix; Matrix development ; Kailai; matrix theory1引言矩阵直接产生于线性方程组并运用于其求解，这方面的工作在我国最早出现在《九章算术》（公元前1世纪）中解方程组的“遍乘直除”法，这与19世纪高斯创立的“高斯消元法”的思想是一致的。

矩阵作为一个独立的概念是基于行列式的研究基础上，其基本性质在其概念产生之前就因为行列式的工作建立得很完善了。

从逻辑上看，矩阵概念是行列式的前概念，是行列式概念的一般推广，而历史的次序却正好相反。

行列式关注一个方阵所确定出来的一个值，而在很多问题中，并不需要确定这个方m 结构。

这样，行列式向阵所确定的一个值，而是这个方阵本身的结构，并且方阵可以变成任意的n矩阵推广就是很自然的了。

“矩阵”这个名词是西尔维斯特给出的(1850)，不过他仅仅是把矩阵用于表达一个行列式。

把矩阵作为一个独立的对象进行研究，最早的是凯莱。

同样，最初他也是把矩阵作为行列式的推广或者作为线性方程组的表达工具。

不过，在《矩阵论的研究报告》（1855）中就开始把矩阵作为一个独立研究对象。

他从基本的概念开始，定义矩阵的加法、乘法（包括数乘）、矩阵的逆、转置矩阵、方阵的特征方程和特征根（这一术语最早是柯西给出的，见“行列式的发展”）等。

特征方程和特征根的工作被哈密顿、弗罗贝尼乌斯（F.G.Frobenius，1849——1917）等数学家推广了。

矩阵的秩概念是弗罗贝尼乌斯提出的（1896），不变因子和初等因子是从西尔维斯特和魏尔斯特拉斯的工作中产生的，并被弗罗贝尼乌斯用于矩阵中，进一步合乎逻辑地系统化了不变因子和初等因子在矩阵中的理论（1878）。

正交矩阵被赫尔默特（F.R.Helmert，1843——1917）和弗罗贝尼乌斯研究，并引起很多注意。

从魏尔斯特拉斯的行列式工作（1868）中可以直接导出相似矩阵的概念及其性质。

相似矩阵和特征方程的关系被若尔当（M.E.C.Jordan，1838——1922）拓展了，而弗罗贝尼乌斯则用逆变换处理相似变换，并给出合同矩阵概念。

梅茨勒（W.H.Metaler，1863——?）引进了矩阵的超越函数概念并将其写成矩阵的幂级数的形式（1892）。

矩阵用来表示二次型和双线性密切关系。

凯莱提出了把超复数当作矩阵来看待的思想。

行列式和矩阵被推广到了无限阶，并与傅里叶级数相联系，这方面的工作在后来的积分方程理论中展示了广泛的天地。

把矩阵和行列式的元素从整数到实数，再到复数是的另一个方向的推广，不过矩阵的性质还与元素的性质相联系，20世纪对矩阵的研究已经完全将元素置于一般的抽象域，并在物理学中发挥了重要作用。

2早期行列式计算中孕育的矩阵思想从数学史看，优良的数学符号和生动的概念是数学思想产生的动力和钥匙。

行列式与矩阵的发明就属于这和情形。

行列式出现于线性方程组的求解。

它的名称最先由柯西使用。

现在的两条竖线记法是由凯莱最先给出的（1841）。

柯西给出行列式的第一个系统的、几乎是近代的处理，得到行列式的乘法定理ij ij ij c b a =⋅，其中ij a 和ij b 代表n 阶行列式，而∑=kkj ik ij b a c ，即在乘积的第i 行第j 列的项是ija 的第i 行和ijb 的第j 列的对应元素和乘积之和。

柯西还改进了拉普拉斯行列式展开定理，并给了一个证明。

行列式理论的另一发展者是英国数学家西尔威斯特（J.J.Sylvester ，1814——1897）。

他改进了从一个n 次的和一个m 次的多项式中消去x 的方法，引入了初等因子概念，还对矩阵理论有所创见。

最先讨论函数行列式的是雅可比。

他于1841年给出函数行列式的求导公式∑=∂∂=∂∂ji ij ij ij ij a A t D A a D ,', 其中ij a 是t 的函数，ij A 是ij a 的余子式，D 是行列式。

他还将行列式应用到多重积分的变数替换中，得出某些结果。

矩阵一词是西尔威斯特于1850年首先使用的，但矩阵理论早已见诸于各种数学论著。

中国古代《九章算术》中的方程组解法实质上就是一种南增广矩阵的运算。

在行列式的研究中也涉及一些矩阵方法。

不过，将矩阵作为一个数学对象来研究是由凯莱开始的，他被认为是矩阵论的创立者。

1855年凯莱引进矩阵以化简线性变换的记号，给出一些基本概念。

1858年他双定义了零矩阵、矩阵的和与积等概念，讨论了特征方程与特征值，得到与特征方程有关的凯莱-哈密顿定理等 。

弗罗贝尼乌斯于1879年引入了矩阵的秩的概念，还于1878年将行列式中的不变因子和初等因子理论。

同时他使用了正交矩阵一词，证明了：如果S 表示一对称矩阵，T 表示一斜对称矩阵，则正交矩阵总能写成)/()(T S T S +-的形式，或简记为)/()(T I T I +-。

他的论述还涉及矩阵的相似变换，合同矩阵或同步矩阵的概念等。

现代行列式与矩阵的研究从形式上已推广到无限阶，从内容上已有属于抽象域的元素的矩阵，这些理论都在继续发展之中。

3矩阵思想的形成矩阵思想其实很早就有了，至少可以追溯到汉代中国学者在解线性方程时的应用，《九章算术》中有许多例子，我们举一例。

例1 今有五羊、四犬、三鸡、二兔，直钱一千四百九十六；四羊、二犬、六鸡、三兔，直钱一千一百七十五；三羊、一犬、七鸡、五兔，直钱九百五十八；二羊、三犬、五鸡、一兔，直钱八百六十一。

问羊、犬、鸡、兔价各几何？答曰：羊价一百七十七；犬价一百二十一；鸡价二十三；兔价二十九。

术曰：如方程，以正负术入之。

861958117514961532576331242345用左列第一行数遍乘行中各数，由所得新数减去右列适当倍数，以消去头数为止。

同样的方法消去右边各列头数。

然后消去第二行数，如此下去求得兔价。

其实和今天列方程解是一样的。

今解：设羊、狗、鸡、兔每只钱各为x 、y 、z 、u ，则依据题设条件列方程：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++=+++8615329585731175362414962345u z y x u z y x u z y x u z y x 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====2923121177u z y x在18世纪或者更早些时候，数的方阵的行列式已被计算和使用了通常是在解线性方程组时使用。

尽管在当时阵列本身并没有单独引起注意。

19世纪的其他工作导致阵列更加形式的计算，并在19世纪中叶导致了矩阵概念的定义以及矩阵代数的发展。

除了这些形式化的工作，还有矩阵论发展中深刻的一面，即从高斯二次型的研究中发展出来的成果，并最终引起了相似、对角化和标准型的矩阵分类。

3.1矩阵的基本思想高斯在他的次型理论中讨论到了可以把一个形式转化成另一个形式的线性变换的思想，如果222cy bxy ax F ++=，那么变换⎩⎨⎧'+'='+'=y x y y x x δγβα把F 变成一个新的形式F '，它的系数依赖于F 的系数和变换本身，高斯特别指出如果F '通过另外一个变换⎩⎨⎧''+''='''+''='y x y y x x θηξε变成F ''，这两个变换的复合就把F 变成F ''的一个新变换：⎩⎨⎧''++''+=''++''+=.)()(,)()(y x y y x x δθγηδηγεβθαξβηαε 在他研究的三元二次型222222Fz Eyz Dxz Cy Bxy Ax +++++时的计算过程，实际上就是33⨯矩阵的相乘法则。