弹性变形势能的计算

第11章 能量法

本章介绍弹性变形势能，并将虚位移原理、势能驻值原理及最小势能原理用于变形固体。本章重点介绍单位载荷法，这是一种用能量原理求位移的方法，是一种很简单实用的方法。

§11-1弹性变形势能的计算

当构件发生弹性变形时，其内部会贮存能量，从而使构件具有作功的能力。例如，被跳水运动员压弯的跳板，因变形而贮存了能量，再利用释放出来的能量对运动员作功，加强了运动员的弹跳力。这种因弹性变形而贮存的

能量称为弹性变形势能，简称变形能或应变能，用 表示，单位为J，l J=1 N·m。单位体积的应变能称为应

变能密度，用 表示，单位为 。

外力由零开始缓慢地增加到最终值，构件始终处于平衡状态，动能的变化及其他能量的损耗均可略去不计。根据能量守恒定律，构件内部贮存的应变能在数值上等于外力所作的功 W，即

（11.1）

此关系称为功能原理。

1 .外力功的计算

外力由零缓慢增加到最终值 F，外力作用点的位置发生移动，移动量为△(见图11．1a)，则此力的功为

若材料服从胡克定律，力和位移的关系是线性的，如图 11．1b所示，显然此时外力功等于斜直线下三角形面积，即

（ 11.2 ）

应该指出，此处所讲的力和位移都是广义的，外力可以是力，也可以是力偶，相应的广义位移则分别为线位移或角位移。

2 . 应变能的计算

根据功能原理，应变能可以通过外力功的计算求得。在线弹性范围内有

1．轴向拉压时的应变能

若杆件在轴向外力 F的作用下，轴向变形为△ l ，且 △ l 与 F成正比，则

由于轴力 ， ， 所以

若轴力 沿轴线为一变量 ，则有应变能的一般表达式

（11.3）

若结构为， n根直杆组成的桁架时，整个结构内的应变能为

式中 、 、 和 分别为桁架中第i根杆的轴力、长度、弹性模量和横截面面积。

2.圆轴扭转时的应变能

若圆轴在扭转力偶矩 的作用下，端面扭转角为 (图11.2a)，且 与 成正比(图11.2b)，则

由于扭矩 ，

所以

若扭矩T沿轴线为一变量T(x)，则有应变能的一般表达式

(11.4)

3.梁弯曲时的应变能

纯弯曲梁 AB如图11.3a所示，用第6章求弯曲变形的方法，可以求出A和B两个端截面的相对转角为

可见 与 也是成正比的 (图11.3b)，则

由于弯矩

， 所以

若弯矩M沿轴线为一变量M(x)，则有应变能的一般表达式

(11.5)

横力弯曲时，梁的横截面上除了弯矩还有剪力，应分别计算与弯曲和剪切相对应的应变能。剪切应变能的表达式为

式中 K是量纲为1的量，它与横截面形状和尺寸有关，矩形截面K为 导，实心圆截面 K为 ，薄壁圆管时 K为2。但在细长梁的情况下，对应于剪切的应变能与弯曲应变能相比，一般很小，所以常常略去不计。

4.组合变形构件的应变能

由于小变形情况下各内力分量引起的应变能互不耦合，所以组合变形构件的总应变能 (不计剪

力的影响)为

+ + （11.6）

若杆件不是圆截面，应将上式中 换为 ，若杆件为变截面杆，那么上式中 A ， ， I 均为 x的函数。

§11-2 虚功原理用于变形固体

1 .虚位移原理用于变形固体

虚位移原理是分析静力学的一个基本原理，是适用于任意质点系的。现在研究的是变形体，所以除了外力在虚位移上要作功外，内力在相应的变形虚位移上也要作功。前者称为外力虚功，用

表示；后者称为内力虚功，用 表示。此处的内力虚功，相应于刚体系统中的弹簧力所作的虚功。那么用于变形固体的虚位移原理(又称虚功原理)可以表述为：

变形固体平衡的充分必要条件是作用于其上的外力系和内力系在任意一组虚位移上所作的虚功之和为零，即

(11.7)

此处的虚位移是除作用在杆件上的原力系本身以外，由其他因素所引起的满足约束条件的假想的无限小位移。它是在原力系作用下的平衡位置上再增加的位移。它可以是真实位移的增量，也可以是与真实位移无关的其他位移，例如另外的广义力或温度变化，支座移动等引起的位移，甚至是完全虚拟的。但是这种虚位移必须满足边界位移条件和变形连续性条件，并符合小变形要求。

虚位移既然与作用的力无关，就不受外力与位移关系的限制，也不受材料应力应变关系的限制，所以虚位移原理可以用于非线性情况。

2 .内力虚功的表达式

在结构中取出一微段dx，如图11.4a所示。微段上的变形虚位移可分解为 ，，，如图11.4b、c、d所示。

对于该微段而言， ， ， 及 ， ， 都应看作是 外力。这个微段的虚位移可分为刚性虚位移和变形虚位移。该微段因其他各微段的变形而引起的虚位移称为刚性虚位移，而由于该微段本身变形而引起的虚位移则称为变形虚位移。由于该微段在上述外力作用下处于平衡状态，所有外力对于该微段的刚性虚位移所作的总虚功必等于零。因此只需考虑外力在该微段的变形虚位移上所作的虚功，即

略去式中高阶无穷小项，得

该微段的内力虚功则可由虚位移原理式 (11.7)求得，即

则有

于是整个结构的内力虚功为

式中求和符号表示考虑结构中的所有杆件。若横截面上还存在扭矩，则内力虚功中应增加 -

这一项。

这样，虚位移原理式 (11.7)可具体表达为

（11.8）

式中 是作用在结构上的原力系中的广义力， 是 i点沿 作用方向的广义虚位移。此外，

在式(11.8)中规定 的符号与 指向或转向一致者为正，相反者为负。

§11-3 单位载荷法

1 .单位载荷法

由虚位移原理可以得到计算结构中一点位移的单位载荷法。以图11.5a所示梁为例，梁上任意一点K沿任意方向aa的位移为△。要想求得△，可以再取一根同样的梁，只在K点沿aa方向作用