等比数列的性质终极版ppt课件
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《等比数列性质》课件
等比数列的性质
等比数列的性质取决于公比的正负情况。
公比为正的情况
1 单调性
2
当公比大于1时，数列呈现递增趋势；当 公比小于1但大于0时，数列呈现递减趋势。
公比为负的情况
极限值
当公比大于1时，数列趋于正无穷；当公 比小于1但大于0时，数列趋于0。Biblioteka 1 单调性2 极限值
无论公比是多少，等比数列都不会出现单 调性。
无论公比是多少，等比数列都不会收敛于 一个确定的极限值。
等比数列的无穷级数
等比数列的无穷级数指的是将数列的所有项相加，即求和。 如果公比的绝对值小于1，那么等比数列的无穷级数将收敛，其和可以通过以下公式计算： S∞ = a1 / (1 - r)
等比数列在几何意义上的应用
等比数列在图形中的应用
等比数列可以用来生成一些有趣的图形，如分形。分形是一种具有自相似性质的图形，无论放大或缩 小，形状都保持一致。
《等比数列性质》PPT课件
什么是等比数列
等比数列是一种数列，其中每一项与前一项的比值保持不变。它可以用以下 的通项公式来表示： an = a1 × r(n-1) 其中，a1表示等比数列的首项，r表示公比，而an表示第n项。
等比数列的通项公式与前n项和公式
等比数列的通项公式允许我们计算数列中的任何一项。而前n项和公式则可以帮助我们计算数列前n项 的和。 通项公式：an = a1 × r(n-1) 前n项和公式：Sn = a1 × (1 - rn) / (1 - r)
黄金分割的生成与应用
黄金分割是一种与等比数列相关的数学概念，在建筑、艺术、自然界等领域中有广泛的应用。它具有 特殊的美学意义。
相关练习题目
等比数列的计算 填空题 选择题 解析题
4.3.2 等比数列的性质(课件)高二数学课件(人教A版2019选择性必修第二册)
aman a q
2
1
m n2
as a1q s 1
2 s t 2
at a1q t 1 as at a1 q
am an as at
等比数列常用的性质
等比数列的性质
设等比数列 an , 公比为 q.
在等比数列{an}中，由 p+q=s+t
ap.aq=as.at
特别地：①若p+q=2t，则ap.aq=(at)2
(1)由题意，得
a4＋a6＝5，
a4＝2，
解得
a6＝3
a4＝3，
或
a6＝2，
a6
3 a6
2
2
2
∴a ＝q ＝2或a ＝q ＝3.
4
4
a9
又a ＝q2，且 q>1，
7
a9
3
∴a 的值为2.
7
(4)∵{an}成等比数列，
a6a7a8 24
∴a3·
a4·
a5，a6·
a7·
a8，a9·
考点三：等比数列的应用
练习 已知{an}为等差数列，且 a1＋a3＝8，a2＋a4＝12.
(1)求{an}的通项公式；
(2)记{an}的前 n 项和为 Sn, 若 a1，ak，Sk＋2 成等比数列，求正整数 k 的值。
解析：(1)设数列{an}的公差为 d，
2a1＋2d＝8，
由题意知
2a1＋4d＝12，
(2)利用等比数列的性质判断
.
n －1
q n＝1，∴1＝32×
4
3
又∵a
2
，解得
n＝6.
3 1
a7
3
3
等比数列的性质PPT
②
由①得 a2＝16q
③
由②得 a22q－1·q＝－128. 将③代入得：q2－2q－8＝0，
∴q＝4 或 q＝－2.
又 a2＝16q，∴q>0，∴q＝4，∴a＝±8.
当 a＝8 时，所求四个数分别为：－4,2,8,32.
当 a＝－8 时，所求四个数分别为：4，－2，－8，－32.
某市2009年新建住房400万平方米，其中250万平方米是中 低价房，预计今年后的若干年内，该市每年新建住房面积平均 比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积比上 一年增加50万平方米，那么到哪一年底
(2)设新建住房面积构成数列{bn}， 由题意可知，{bn}是等比数列， 其中b1＝400，q＝1.08，则bn＝400×(1.08)n－1， 由题意可知an>0.85bn， 即250＋(n－1)×50>400×(1.08)n－1×0.85满足上述不等式的 最小正整数n＝6.10分
故到2014年年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造 住房面积的比例首次大于85%.12分
则 Sn＝250n＋nn－ 2 1×50＝25n2＋225n， 令 25n2＋225n≥4 750，即 n2＋9n－190≥0， 解得 n≤－19 或 n≥10，而 n 是正整数． ∴n≥10.4 分 故到 2018 年年底，该市历年所建中低价房的累计面积 将首次不少于 4 750 万平方米.6 分
联 (1)若{an}为正项等比数列，则{logaan}为等差数列； 系 (2){an}为等差数列{bn}为等比数列，则{ban}为等比数列.
◎在等比数列{an}中，a5，a9是方程7x2－18x＋7＝0的两个 根，试求a7.
【错解】 因为 a5，a9 是方程 7x2－18x＋7＝0 的两个根，
等比数列的性质 课件
∴q＝2 或 q＝12.
∴qa＝1＝21，，
a1＝4， 或q＝12.
∴an＝2n－1 或 an＝4×12n－1＝23－n.
法二：从而aa11＋ a3＝a3＝ 4，5， 解得 a1＝1，a3＝4，或 a1＝4，a3＝1. 当 a1＝1 时，q＝2；当 a1＝4 时，q＝12. 故 an＝2n－1 或 an＝23－n.
2．等比数列的项的对称性
有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的 积(若有中间项则等于中间项的平方)，即 a1·an＝a2·an－1 ＝ak·__a_n_－_k＋_1_
＝a2 n+1 (n 为正奇数)．
2
3．等比数列的“子数列”的性质
若数列{an}是公比为 q 的等比数列，则 (1){an}去掉前几项后余下的项仍组成公比为 q 的等比数列； (2)奇数项数列{a2n－1}是公比为 q2 的等比数列；偶数项数列{a2n}是公 比为 q2 的等比数列；
∴{an＋1－an}为等比数列，其中首项为 a2－a1＝2a1＋1－a1＝a1＋1＝2， 公比 q＝2. 则 an＋1－an＝2·2n－1＝2n. ∴2an＋1－an＝2n，∴an＝2n－1.
形如 an＋1＝can＋d(c≠1，cd≠0)的递推关系，利用待定系数法可化为 an＋1－1－d c＝can－1－d c，当 a1－1－d c≠0 时，数列an－1－d c为等比 数列．从而把一个非等比数列问题转化为等比数列问题．
[解析] 设第 n 个图形的边长为 an. 由题意知，从第 2 个图形起，每一个图形的边长均为上一个图形边长 的13，所以数列{an}是首项为 1，公比为13的等比数列，故 an＝13n－1. 第 1 个图形的边数为 3，因为从第 2 个图形起，每一个图形的边数均 为上一个图形边数的 4 倍，所以第 n 个图形的边数为 3×4n－1.因此， 第 n 个图形的周长13n－1×(3×4n－1)＝3×43n－1.
等比数列课件ppt
02
等比数列的通项公式
等比数列的通项公式推导
01
02
03
定义等比数列
等比数列是一个序列，其 中任意两个相邻项的比值 都相等。
推导通项公式
假设等比数列的首项为 $a_1$，公比为$r$，则第 $n$项$a_n$的通项公式 为$a_n = a_1 times r^{(n-1)}$。
证明通项公式
通过数学归纳法或迭代法 证明通项公式的正确性。
等比数列课件
• 等比数列的定义与性质 • 等比数列的通项公式 • 等比数列的求和公式 • 等比数列的应用 • 习题与解答
01
等比数列的定义与性质
等比数列的定义
总结词
等比数列是一种特殊的数列，其 中任意两个相邻项之间的比值都 相等。
详细描述
等比数列中，任意两个相邻项的 商是常数，这个常数被称为公比 。在等比数列中，每一项都是前 一项与公比的乘积。
举例说明
通过具体的例子来解释等比数列求和公式的推导过程。
等比数列求和公式的应用
解决实际问题
等比数列求和公式在解决实际问题中有着广泛的应用，如金融、工程、物理等 领域。
举例说明
通过具体的例子来展示等比数列求和公式的应用。
等比数列求和公式的变体
等差数列与等比数列的关系
01
等差数列和等比数列是两种不同的数列，但它们之间存在一定
01
第三组数列是等比数列，因为相 邻两项的比值都是1/2。
02
第四组数列也是等比数列，因为 相邻两项的比值都是1/2。
习题二：等比数列的通项公式
01
题目：已知等比数列的首项为 a，公比为q，求第n项的通项
公式。
02
答案与解析
《等比数列的性质》课件
《等比数列的性质》PPT 课件
欢迎大家来到今天的课程，我们将一起探索等比数列的性质。等比数列是数 学中非常重要的一个概念，它不仅在实际问题中有广泛应用，同时也是计算 机算法分析和音乐学中来自重要基础。什么是等比数列？
等比数列是一种特殊的数列，每一项与前一项的比相等。通项公式为 $a_n = a_1 q^{n-1}$，其中 $a_1$ 为首项，$q$ 为公比。
等比数列的性质
当$q > 1$时，数列为递增数列； 当$0 < q < 1$时，数列为递减数列； 当$q = -1$时，数列为交错数列； 当$q < -1$且$n$为偶数时，数列为单调递增的正数数列。
$\d frac{a_{m }}{a_{n}} = q^{m-n}$
$S_n = \d frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$，当$q \neq 1$时成立。 • 公比$q$的取值范围： • 比值公式： • 前$n$项和公式：
等比数列的应用
复利问题、电路中的 应用
等比数列在复利问题以及 电路中能够提供有效的计 算方法和分析工具。
计算机算法的时间复 杂度分析
等比数列可以帮助我们分 析和评估计算机算法的时 间复杂度。
音乐领域中的应用
上下行音程的音高可以用 等比数列来表示，为音乐 理论和演奏提供了重要工 具。
思考题
在一个等比数列中，有两个数 $a$ 和 $b$，它们的乘积等于 $ab^m$。请问，这个数列的公比的取值范 围是多少？
欢迎大家来到今天的课程，我们将一起探索等比数列的性质。等比数列是数 学中非常重要的一个概念，它不仅在实际问题中有广泛应用，同时也是计算 机算法分析和音乐学中来自重要基础。什么是等比数列？
等比数列是一种特殊的数列，每一项与前一项的比相等。通项公式为 $a_n = a_1 q^{n-1}$，其中 $a_1$ 为首项，$q$ 为公比。
等比数列的性质
当$q > 1$时，数列为递增数列； 当$0 < q < 1$时，数列为递减数列； 当$q = -1$时，数列为交错数列； 当$q < -1$且$n$为偶数时，数列为单调递增的正数数列。
$\d frac{a_{m }}{a_{n}} = q^{m-n}$
$S_n = \d frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$，当$q \neq 1$时成立。 • 公比$q$的取值范围： • 比值公式： • 前$n$项和公式：
等比数列的应用
复利问题、电路中的 应用
等比数列在复利问题以及 电路中能够提供有效的计 算方法和分析工具。
计算机算法的时间复 杂度分析
等比数列可以帮助我们分 析和评估计算机算法的时 间复杂度。
音乐领域中的应用
上下行音程的音高可以用 等比数列来表示，为音乐 理论和演奏提供了重要工 具。
思考题
在一个等比数列中，有两个数 $a$ 和 $b$，它们的乘积等于 $ab^m$。请问，这个数列的公比的取值范 围是多少？
等比数列求和公式及性质课件PPT
的符号相反。
公比为负数的等比数列求和公式： S = a_1 * (1 - q^n) / (1 - q)
公比为负数的等比数列具有特殊 的性质，如对称性、周期性等。
公比为1的性质
当公比q=1时，等比 数列退化为等差数列， 各项相等。
公比为1的等比数列 具有特殊的性质，如 对称性、周期性等。
公比为1的等比数列 求和公式：S = n * a_1
研究电磁波的传播特性
在研究电磁波的传播特性时，常常需要用到等比 数列求和公式来求解与波动相关的数学模型。
在经济中的应用
分析股票价格波动
评估投资回报
在股票市场中，股票价格常常呈现一 定的波动规律，利用等比数列求和公 式可以分析股票价格的波动规律。
在投资领域中，利用等比数列求和公 式可以评估投资回报的长期收益，为 投资者提供参考。
4. 在等比数列中，两个相同项之间的项数可以确定为n， 那么这两项之间的所有项的和可以表示为a_n * (q^n - 1) / (q - 1)。
等比数列的通项公式
总结词
等比数列的通项公式是用来表示等比数列中每一项的数学表达式。
详细描述
等比数列的通项公式为a_n = a_1 * q^(n-1)，其中a_1是首项，q是公比，n是 项数。这个公式可以用来计算等比数列中的任何一项，只要知道首项、公比和 项数。
差数列、等比数列的性质、通项公式等。
在物理中的应用
1 2 3
解决与周期性运动相关的问题
等比数列求和公式在物理学中有广泛的应用，如 求解与周期性运动相关的问题，如简谐运动、波 动等。
分析量子力学中的概率幅
在量子力学中，概率幅常常以等比数列的形式出 现，利用等比数列求和公式可以方便地计算出概 率幅之和。
公比为负数的等比数列求和公式： S = a_1 * (1 - q^n) / (1 - q)
公比为负数的等比数列具有特殊 的性质，如对称性、周期性等。
公比为1的性质
当公比q=1时，等比 数列退化为等差数列， 各项相等。
公比为1的等比数列 具有特殊的性质，如 对称性、周期性等。
公比为1的等比数列 求和公式：S = n * a_1
研究电磁波的传播特性
在研究电磁波的传播特性时，常常需要用到等比 数列求和公式来求解与波动相关的数学模型。
在经济中的应用
分析股票价格波动
评估投资回报
在股票市场中，股票价格常常呈现一 定的波动规律，利用等比数列求和公 式可以分析股票价格的波动规律。
在投资领域中，利用等比数列求和公 式可以评估投资回报的长期收益，为 投资者提供参考。
4. 在等比数列中，两个相同项之间的项数可以确定为n， 那么这两项之间的所有项的和可以表示为a_n * (q^n - 1) / (q - 1)。
等比数列的通项公式
总结词
等比数列的通项公式是用来表示等比数列中每一项的数学表达式。
详细描述
等比数列的通项公式为a_n = a_1 * q^(n-1)，其中a_1是首项，q是公比，n是 项数。这个公式可以用来计算等比数列中的任何一项，只要知道首项、公比和 项数。
差数列、等比数列的性质、通项公式等。
在物理中的应用
1 2 3
解决与周期性运动相关的问题
等比数列求和公式在物理学中有广泛的应用，如 求解与周期性运动相关的问题，如简谐运动、波 动等。
分析量子力学中的概率幅
在量子力学中，概率幅常常以等比数列的形式出 现，利用等比数列求和公式可以方便地计算出概 率幅之和。
等比数列的性质 课件
典例导悟
类型一 等比数列的性质及应用 [例 1] 在等比数列{an}中，a2＝4，a5＝－12，求数列 的通项 an.
[分析] 思路 1：设首项为 a1，公比为 q，由题目中两 等式列方程组，解出 a1，q，进一步可求出 an.
思路 2：利用 am＝anqm－n，可求 q，再进一步求 an.
[解] 方法 1：设首项为 a1，公比为 q，则 a2＝a1q＝4， a5＝a1q4＝－12，
等比数列的性质
1．等比数列的项与序号的关系以及性质
两项关系
多项关系
项的运算性质：若 m＋n＝
通项公式的推广：an＝ p＋q(m，n，p，q∈N*)，则
am·qn－m(m，n∈N*)
am·an＝ ap·aq
.
2.等比数列的项的对称性 有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等 于首末两项的积(若有中间项则等于中间项的平方)，即 a1·an
＝a2· an－1 ＝ak·an＋1－k (＝ ，n 为正奇数)．
3．等比数列的运算性质 (1)若{an}是公比为 q 的等比数列，则 ①{c·an}(c 是非零常数)是公比为 q 的等比数列； ②{|an|}是公比为 |q| 的等比数列； (2)若{an}，{bn}分别是公比为 q1，q2 的等比数列，则数 列{an·bn}是公比为 q1·q2 的等比数列．
[解析] (1)∵{an}成等比数列， ∴a2，a6，a10 仍成等比数列． ∴a26＝a2a10，∴a10＝aa262＝1262＝128. (2)(a1a2a3)×(a7a8a9)＝a65＝50，a4a5a6＝a35＝5 2.
[答案] (1)128 (2)A
类型二 等比中项的设项方法 [例 3] 有四个实数，前三个数依次成等比，它们的积 是－8，后三个数依次成等差，它们的积为－80，求出这四的关系，即找到由周长所 构成的数列的通项公式．
等比数列第三课时等比数列的性质课件.ppt
an am (n m)d
am an ar as
则ak1 , ak2 , akn 成等差数列
sk , s2k sk , s3k s2k 成等差数列
动一动:探究性质
（ 性等1）质比在数1.列a2,{与Gan},中8b之成，间等插入 比一数个列数A，，使 则这有三G个2数成ab, 称等G比为数列a,，b的求A等. 比中项。 性(2质)a22.等4,比a4 数 1列6,求{aqn;}a中9 ，2,aqn9 12a,m求qna18m;(n, m N *)
等比数列的性质： 性质1：等比数列中，下标成等差数列
的项也构成等比数列.
等比数列 an中，若k1, k2 ,, kn成等差
数列，则 ak1 , ak2 ,akn 构成等比数列.
性质2：
等比数列 an中，若 m n p q
则 am an ap aq , m, n, p, q N
性质3 m+n=r+s
性质4
若k1, k2,, kn 成等差数列，
性质5
an amqnm aman ar as
则ak1 , ak2 , akn 成等比数列
an am (n m)d
am an ar as
则ak1 , ak2 , akn 成等差数列
sk , s2k sk , s3k s2k 成等差数列
等比数列的Leabharlann 质说一说:等比数列的定义和通项公式
an1 q, q 0，n N * . an a1qn1
an
写一写:等差数列的性质
性质1
等比数列
性质2
性质3 m+n=r+s
性质4
am an ar as
则ak1 , ak2 , akn 成等差数列
sk , s2k sk , s3k s2k 成等差数列
动一动:探究性质
（ 性等1）质比在数1.列a2,{与Gan},中8b之成，间等插入 比一数个列数A，，使 则这有三G个2数成ab, 称等G比为数列a,，b的求A等. 比中项。 性(2质)a22.等4,比a4 数 1列6,求{aqn;}a中9 ，2,aqn9 12a,m求qna18m;(n, m N *)
等比数列的性质： 性质1：等比数列中，下标成等差数列
的项也构成等比数列.
等比数列 an中，若k1, k2 ,, kn成等差
数列，则 ak1 , ak2 ,akn 构成等比数列.
性质2：
等比数列 an中，若 m n p q
则 am an ap aq , m, n, p, q N
性质3 m+n=r+s
性质4
若k1, k2,, kn 成等差数列，
性质5
an amqnm aman ar as
则ak1 , ak2 , akn 成等比数列
an am (n m)d
am an ar as
则ak1 , ak2 , akn 成等差数列
sk , s2k sk , s3k s2k 成等差数列
等比数列的Leabharlann 质说一说:等比数列的定义和通项公式
an1 q, q 0，n N * . an a1qn1
an
写一写:等差数列的性质
性质1
等比数列
性质2
性质3 m+n=r+s
性质4
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6
【解析】 (1)由等比数列性质 a2a4＝a23， a4a6＝a25， 把 a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25 化为 a23＋2a3a5＋a25＝25 ⇒(a3＋a5)2＝25(an＞0) ⇒a3＋a5＝5.
(2)由题意得 a1a2a3…a15a16a17
＝(a1a17)·(a2a16)·(a3a15)·…·a9
所以aman asat .
要积极 思考哦
4
例1. 等比数列{an}中，a4=4,则a2·a6等于 （）来自A.4 B.8 C.16
D.32
5
等比数列的性质
例2 (1)已知{an}是等比数列，且an＞0，a2a4＋ 2a3a5＋a4a6＝25，那么a3＋a5的值等于________． (2)等比数列{an}中，若a9＝－2，则此数列前17项之 积为________．
{bn}是公比为q的等比数列
１： bm bn q mn
2：若an-k,an,an+k是{an}的
b b b 三项，则
2 n=
n-k•
n+k
性质３： 若n+m=p+q
3：若n+m=p+q
则am+an=ap+aq
性质４：从原数列中取出偶数项组 成的新数列公差为2d.(可推广)
则bn·bm=bp·bq,
且 m , n , s , t N+
若m+n=s+t ,则aman=asat
若m n 2s,则aman as2.
特别地，a1an＝a2an－1＝a3an－2＝…
3
证明 则an a1qn1, am a1qm1,
从而an am
a q2 mn2 1
同理可得as at
a q2 st2 1
又因为m n s t
a3＋a4，…；③a1a2，a2a3，a3a4，…；④a1＋a2，a3
＋a4，a5＋a6……均成等比数列．
10
5.已知各项均为正数的等比数列{an}中，a1·a2·a3＝5，a7·a8·a9
＝10，则 a4·a5·a6＝( )
A．5 2
B．7 C．6
D．4 2
[解题过程] a1·a2·a3＝a23＝5
４：从原数列中取出偶数项， 组成的新数列公比为 .(可
推广q)2
性质５: 若{cn}是公差为d′的等差数 ５：若{dn}是公比为q′的等
列 ， 则 数列 {an+cn} 是 公 差 为 d+d′ 比数列,则数列{bn•dn}是公比
的等差数列。
为q·q′的等比数列.
18
12
三个数成等比数列，它们的和等于14，它们 的积等于64，求这三个数。
若三个数成等比数列，则设这三个数
为：a ， a,aq.
q 再由方程组可得：q=2
1 或 2 既这三个数为2，4，8或8，4，2。
13
练习 已知三个数成等比数列，它们的积为27，
它们的平方和为91，求这三个数．
解：设这三个数为a , a, aq q
1
性质1：设an , am为等比数列an中任意两项，
且公比为q，则an
am q nm .
或q n m
an am
注：运用此公式，已知任意两项，
可求等比数列中的其他项
练习、在等比数列an中，已知 a2 5 ，
a4 10 ，则公比q的值为________
2
性质2： 若等比数列{an}的首项为a1 ，公比q，
8
性质四：
如果 an,bn 是项数相同的等比数列，
那么
an
.bn
， abnn
也是等比数列。
公比分别为 q1.q2，qq12
9
性质五： 在等比数列中，序号成等差数列的新数列， 仍是等比数列。 等间隔的k项和(或积)仍成等比数列．即：
例如：{an}是等比数列，则
①a1，a3，a5，…，a2n－1；②a1＋a2，a2＋a3，
法二：设后三个数为 4－d,4,4＋d，则第一个数为
14(4－d)2，由题意14(4－d)2·(4－d)·4＝216，解得 4
－d＝6.∴d＝－2.故所求得的四个数为 9,6,4,2. 17
{an}是公差为d的等差数列
性质１： an=am+(n-m)d
a a a a 性质２：若 n-k, n, n+k是{ n}中 的三项， 则2an=an-k+an+k
a7·a8·a9＝a83＝10
a4·a5·a6＝a53
又∵a52＝a2·a8，∴a53＝(a2·a8)32
∴a4·a5·a6＝(a23a83)12＝(5×10)12＝5 2.故选 A.
11
等比数列的设法及求解 三个数成等比数列时，常设这三个数分别为 a， aq，aq2 或aq，a，aq； 四个数成等比数列时，常设这四个数分别为 a， aq，aq2，aq3 或qa3，aq，aq，aq3(公比为 q2)．
＝a197＝(－2)17＝－217.
7
性质三：{an}是等比数列，则{ an }{a2n}、 1
{ an}(an>0)、{an}、{|an|}均为等比数列．
公比分别为 q, q2, q, 1 , q q
若 {an} 是 正 项 等 比 数 列 ， 则 {lgan} 是 等 差 数
列．公比为 lgq
15
例4 有四个实数，前三个数成等比数列，且它 们的乘积为216，后三个数成等差数列，且它们 之和为12，求这四个数． 【思路点拨】 根据三个数成等比数列，可以设 三个数为aq，a，aq；根据三个数成等差数列且它 们之和为 12，可以设三个数为 4－d,4,4＋d.
16
【解】 法一：设前三个数为aq，a，aq，则aq·a·aq＝216， ∴a3＝216.∴a＝6.因此前三个数为6q，6,6q. 由题意第 4 个数为 12q－6. ∴6＋6q＋12q－6＝12，解得 q＝23. 故所求的四个数为 9,6,4,2.
由题意得：
（
a
a a q ）2 a 2
aq 27 （aq）2
91
q
解得
q
a 3 3或者
1 3
14
若 q＝3，则 a1＝1；q＝－3，则 a1＝－1； 若 q＝13，则 a1＝9；若 q＝－31，则 a1＝－9. 故这三个数为：1,3,9 或－1,3，－9 或 9,3,1 或－9,3， －1.
【解析】 (1)由等比数列性质 a2a4＝a23， a4a6＝a25， 把 a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25 化为 a23＋2a3a5＋a25＝25 ⇒(a3＋a5)2＝25(an＞0) ⇒a3＋a5＝5.
(2)由题意得 a1a2a3…a15a16a17
＝(a1a17)·(a2a16)·(a3a15)·…·a9
所以aman asat .
要积极 思考哦
4
例1. 等比数列{an}中，a4=4,则a2·a6等于 （）来自A.4 B.8 C.16
D.32
5
等比数列的性质
例2 (1)已知{an}是等比数列，且an＞0，a2a4＋ 2a3a5＋a4a6＝25，那么a3＋a5的值等于________． (2)等比数列{an}中，若a9＝－2，则此数列前17项之 积为________．
{bn}是公比为q的等比数列
１： bm bn q mn
2：若an-k,an,an+k是{an}的
b b b 三项，则
2 n=
n-k•
n+k
性质３： 若n+m=p+q
3：若n+m=p+q
则am+an=ap+aq
性质４：从原数列中取出偶数项组 成的新数列公差为2d.(可推广)
则bn·bm=bp·bq,
且 m , n , s , t N+
若m+n=s+t ,则aman=asat
若m n 2s,则aman as2.
特别地，a1an＝a2an－1＝a3an－2＝…
3
证明 则an a1qn1, am a1qm1,
从而an am
a q2 mn2 1
同理可得as at
a q2 st2 1
又因为m n s t
a3＋a4，…；③a1a2，a2a3，a3a4，…；④a1＋a2，a3
＋a4，a5＋a6……均成等比数列．
10
5.已知各项均为正数的等比数列{an}中，a1·a2·a3＝5，a7·a8·a9
＝10，则 a4·a5·a6＝( )
A．5 2
B．7 C．6
D．4 2
[解题过程] a1·a2·a3＝a23＝5
４：从原数列中取出偶数项， 组成的新数列公比为 .(可
推广q)2
性质５: 若{cn}是公差为d′的等差数 ５：若{dn}是公比为q′的等
列 ， 则 数列 {an+cn} 是 公 差 为 d+d′ 比数列,则数列{bn•dn}是公比
的等差数列。
为q·q′的等比数列.
18
12
三个数成等比数列，它们的和等于14，它们 的积等于64，求这三个数。
若三个数成等比数列，则设这三个数
为：a ， a,aq.
q 再由方程组可得：q=2
1 或 2 既这三个数为2，4，8或8，4，2。
13
练习 已知三个数成等比数列，它们的积为27，
它们的平方和为91，求这三个数．
解：设这三个数为a , a, aq q
1
性质1：设an , am为等比数列an中任意两项，
且公比为q，则an
am q nm .
或q n m
an am
注：运用此公式，已知任意两项，
可求等比数列中的其他项
练习、在等比数列an中，已知 a2 5 ，
a4 10 ，则公比q的值为________
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性质2： 若等比数列{an}的首项为a1 ，公比q，
8
性质四：
如果 an,bn 是项数相同的等比数列，
那么
an
.bn
， abnn
也是等比数列。
公比分别为 q1.q2，qq12
9
性质五： 在等比数列中，序号成等差数列的新数列， 仍是等比数列。 等间隔的k项和(或积)仍成等比数列．即：
例如：{an}是等比数列，则
①a1，a3，a5，…，a2n－1；②a1＋a2，a2＋a3，
法二：设后三个数为 4－d,4,4＋d，则第一个数为
14(4－d)2，由题意14(4－d)2·(4－d)·4＝216，解得 4
－d＝6.∴d＝－2.故所求得的四个数为 9,6,4,2. 17
{an}是公差为d的等差数列
性质１： an=am+(n-m)d
a a a a 性质２：若 n-k, n, n+k是{ n}中 的三项， 则2an=an-k+an+k
a7·a8·a9＝a83＝10
a4·a5·a6＝a53
又∵a52＝a2·a8，∴a53＝(a2·a8)32
∴a4·a5·a6＝(a23a83)12＝(5×10)12＝5 2.故选 A.
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等比数列的设法及求解 三个数成等比数列时，常设这三个数分别为 a， aq，aq2 或aq，a，aq； 四个数成等比数列时，常设这四个数分别为 a， aq，aq2，aq3 或qa3，aq，aq，aq3(公比为 q2)．
＝a197＝(－2)17＝－217.
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性质三：{an}是等比数列，则{ an }{a2n}、 1
{ an}(an>0)、{an}、{|an|}均为等比数列．
公比分别为 q, q2, q, 1 , q q
若 {an} 是 正 项 等 比 数 列 ， 则 {lgan} 是 等 差 数
列．公比为 lgq
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例4 有四个实数，前三个数成等比数列，且它 们的乘积为216，后三个数成等差数列，且它们 之和为12，求这四个数． 【思路点拨】 根据三个数成等比数列，可以设 三个数为aq，a，aq；根据三个数成等差数列且它 们之和为 12，可以设三个数为 4－d,4,4＋d.
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【解】 法一：设前三个数为aq，a，aq，则aq·a·aq＝216， ∴a3＝216.∴a＝6.因此前三个数为6q，6,6q. 由题意第 4 个数为 12q－6. ∴6＋6q＋12q－6＝12，解得 q＝23. 故所求的四个数为 9,6,4,2.
由题意得：
（
a
a a q ）2 a 2
aq 27 （aq）2
91
q
解得
q
a 3 3或者
1 3
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若 q＝3，则 a1＝1；q＝－3，则 a1＝－1； 若 q＝13，则 a1＝9；若 q＝－31，则 a1＝－9. 故这三个数为：1,3,9 或－1,3，－9 或 9,3,1 或－9,3， －1.