空间相互作用模型的形式_量纲和局域性问题探讨
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鉴于上述问题种种 ,本文将根据近年来出现的 新思想和新理论改进城市和区域的空间相互作用模 型 。借助新的假设论证基于负幂律的空间相互作用 模型的理论基础 ,并且区分两类引力模型适用范围 ; 借助分形思想排除引力模型的量纲问题 ;借助对称 性思想和对偶分析解析地理系统信息熵最大化的数 理本质 。在此基础上 ,对前面提到的几个问题开展 力所能及的理论分析 ,以期为进一步发展地理空间 相互作用理论启发新的思路 。
北京大学城市与环境学院城市与经济地理系 ,北京 100871 , E2mail : chenyg @pku. edu. cn
摘要 借助空间复杂性观念和分形思想发展了地理学的空间相互作用模型 ,解决了长期以来悬而未决的 3 个问 题 。首先 ,通过修正距离成本假设 ,将 Wilson 的空间相互作用模型还原为负幂函数形式 ,从而回避了局域性与长程 作用的矛盾 。其次 ,利用分维概念解决了基于负幂律的空间相互作用模型的量纲问题 ,有助于更好地理解地理引 力测度 。其三 ,运用对称思想和对偶分析解析了人文地理系统熵最大化的本质含义 ,揭示了最大熵与最优化的理 论关系 。论证了源于万有引力类比的引力模型与 Wilson 空间相互作用模型的区别和联系 ,比较了负幂式空间相互 作用模型与负指数式空间相互作用模型的共性和差异 。 关键词 引力模型 ; 空间相互作用 ; 分维 ; 局域性 ; 长程作用 ; 对称 ; 复杂空间系统 中图分类号 K901
化 ,必然得到流的均衡分布 ,即 Tij ≡常数 ,这意味着
所有的流均衡分布 。
但是 ,如果我们考虑流在空间上运动的差异性 ,
情况就会不一样 。假定有的流运行近 ,有的流运行
远 。最近的距离可以是 0 ,最远的距离理论上为无
穷大 。这样 ,我们需要在约束条件中将距离参量突
出出来 。为了简明起见 ,我们不妨从运行成本的角
Abstract The spatial interaction models ( SIMs) in geography are developed by using the ideas from fractals and spatial complexity , and three pending questions are answered. Firstly , based on the supposition that the distance cost exhibits a logarithmic growth instead of a linear growth , the impedance function of Wilsonπs spatial interaction model is converted from a negative exponential expression into an inverse power law. The contradiction of locality to action at a distance of SIM is thus avoided through this revision. Secondly , the inverse power law based gravity model is gotten out of the dimensional dilemma with the concept of fractal dimension. Geographical gravity measure is consequently made more understandable. Thirdly , the notion from symmetry based on the nonlinear dual programming of spatial interaction is employed to reveal the essence of entropy maximizing process of human geographical systems. The relationship between entropy maximization and structural optimization is brought to light for geographical analysis. The distinction and connection between the gravity model originating from the analogy with the law of universal gravitation and Wilsonπs spatial interaction model is discussed , and the similarities and differences are compared between the exponential function based and the power law based SIMs. Key words gravity model ; spatial interaction ; fractal dimension ; locality ; action at a distance ; symmetry ; complex spatial system
国家自然科学基金资助项目 (40771061) 收稿日期 : 2008204205 ; 修回日期 : 2008205215
333
北京大学学报 (自然科学版)
第 45 卷
最初是牛顿万有引力模型的物理学类比的结果 ,似 乎缺乏理论依据 ,这是问题之一 。一方面 ,地理学家 不甘心使用一个源于物理学类比的公式 ,另一方面 , 地理引力模型长期以来找不到引力常数[5] ———实际 上也许根本没有这种地理引力常数 。其次 ,地理引 力模型在解释方面存在量纲的困难[6] 。由于幂次引 力模型的距离摩擦系数不是整数 ,标度指数涉及分 数的维数 ,这在早年是无法解释的 ,地理学家因此而 困惑不已 。在这种背景下 ,Wilson 空间相互作用模 型一经提出 ,立即受到地理学界的普遍欢迎 。地理 学家认为找到了与物理学不同的 、而且具有明显理 论意义的引力模型[7] 。Gould[8] 高度评价了 Wilson 的研究成果 “: Wilson 的工作为许多基于不太严格的 物理学类比的空间相互作用模型提供了更为坚实的 理论基础 ,使得引力模型像凤凰 (phoenix) 一样在积 木自焚后的灰烬中获得再生 。”
1 模型的改进
空间相互作用模型实际上包括两类模型 :一是
引 (重) 力模型 ,二是流量分配模型 。前者来自物理 学类比 ,后者来自 Wilson 的最大熵假设 。由于这两 类模型表达式在一定条件下同构 ,在通常的情况下 方程 式 相 似 , 人 们 一 般 不 作 严 格 的 概 念 区 分 。 Wilson 本人将自己发展的流量分配模型视为地理引 力模型[223] 。下面我们就从 Wilson 的流量分配模型 出发开始讨论 。假定将一个区域 (region) 分为 n 个 子区 (zone) ,则流的路线的数量为 n ×n 个 。进一步 假定总流量为 T ,则从子区 i 到子区 j 的流量为 Tij 。 流的空间运行距离不等 ,最近的为 0 ,最远的假定为 无穷大 。理论上 ,可以假设 n →∞。这样 ,流量可以 在空间上形成连续分布 ,从而离散的量在技术上可 以转化 为 连 续 的 量 。于 是 各 种 流 组 成 的 状 态 数 为[1 ,2 ,15 ]
北京大学学报 (自然科学版) ,第 45 卷 ,第 2 期 ,2009 年 3 月 Acta Scientiarum Naturalium Universitatis Pekinensis , Vol. 45 , No. 2 (Mar. 2009)
空间相互作用模型的形式 、量纲和局域性问题探讨
陈彦光
W ( Tij ) =
T
T11 T12 … T21 … Tnn
∏ =
T11
! T12
T! ! …T21
! …Tnn
!
=
T ! 。 (1) Tij !
i ,j
式中 i , j = 1 ,2 , …, n 。根据流的分布状态 ,可以定
义信息熵如下 :
∏ H = ln W ( Tij ) = ln T ! - ln Tij ! i ,j
度考虑距离 : 单位流量运行越远 ,费用越高 。这样 ,
不同距离的流量有不同的单位费用。假定从 i 到 j
的单位流量费用为 cij ,全部旅行的总费用为 C ,则第
3 个约束条件可以改写为
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第 2 期
陈彦光 : 空间相互作用模型的形式 、量纲和局域性问题探讨
∑∑cij Tij = C 。
Wilson 的最大熵模型在理论地理学界产生了巨 大的影响 ,并且引发了众多的理论研究和应用探讨 。 基于负指数式阻抗函数的空间相互作用理论似乎已 经不可动摇 ,但实际上却隐含着更为深刻的理论难 题 。问题之一 ,简单与复杂 。指数函数意味着简单 , 而幂指数函数暗示着复杂[9210] 。城市和区域都是复 杂的空间系统[3 ,11] ,空间相互作用过程理当服从负 幂律 ,而不是负指数律 。问题之二 ,局域性与长程作 用 。波谱分析表明 ,负指数暗示着局域性 ,而负幂律 才表明长程作用 。地理空间相互作用理当是非局域 的 ,否则与地理学第一定律[12213] 发生矛盾 。问题之 三 ,线性与非线性 。过去人们假设交通运输成本随 距离的增加而线性变化 , 这个假定也未必符合事 实[14] 。此外 ,对于地理空间而言 ,最大熵究竟意味 着什么 ? 这也是一直令人感到似懂非懂 、似是而非 的问题 。
情况下 ,追求流量分布的最大熵。只要找到熵最大化
的极值条件 ,就可以建立流量与成本的关系 ,进一步
得到流量与距离的关系。根据 Wilson 的思路 ,为求最
大熵的条件 ,根据高等数学求条件极值的原理 ,需要
借助目标函数和约束条件构造 Lagrange 函数
∑∑ ∑ ∑ L ( Tij ) = ln T ! -
地理引力模型有两种常见的表达形式 :一是基 于负幂律的阻抗函数 ,二是基于负指数律的阻抗函 数 。长期以来 ,人们总是认为只有 Wilson 指数式引 力模型才具有理论意义 ,因为该模型可以用最大熵 方法推导出来[123] 。幂次引力模型仅仅是一种经验
模型 。但是 ,事实并非如此简单 。基于幂律的引力 模型也可以借助一定的假设条件演绎出来[4] 。既然 都有一定的理论基础 ,那么哪一种模型更为可取呢 ? 为了论证这个问题 ,我们首先需要明确 Wilson 模型 究竟是在什么情况下创生的 。首先 ,地理引力模型
On the Mathematical Form , Dimension , and Locality of the Spatial Interaction Model
CHEN Yanguang
College of Urban and Environmental Sciences , Peking University , Beijing 100871 , E2mail : chenyg @pku. edu. cn
(6)
i
j
于是问题转化为寻求熵最大化条件 。该问题可以表
示为非来自百度文库性规划形式 。
∑∑ 目标函数 : max H = ln T ! -
ln Tij ! ,
i
j
约束条件 :
∑Tij = Oi , j
∑ s. t.
Tij = Dj ,
(7)
i
∑∑cij Tij = C 。
i
j
上式的含义是 : 在给定流出量、流入量和运输成本的
∑∑ = ln T ! -
ln Tij !。
(2)
i
j
约束条件为
∑Tij = Oi ,
(3)
j
∑Tij = Dj ,
(4)
i
∑∑ ∑ ∑ Tij = Oi = Dj = T 。 (5)
i
j
i
j
式中 Oi 为第 i 个源区 (出发地) 的流出量 , Di 为第 j
个汇区 (到达地) 的流入量 。此时如果假定熵最大
北京大学城市与环境学院城市与经济地理系 ,北京 100871 , E2mail : chenyg @pku. edu. cn
摘要 借助空间复杂性观念和分形思想发展了地理学的空间相互作用模型 ,解决了长期以来悬而未决的 3 个问 题 。首先 ,通过修正距离成本假设 ,将 Wilson 的空间相互作用模型还原为负幂函数形式 ,从而回避了局域性与长程 作用的矛盾 。其次 ,利用分维概念解决了基于负幂律的空间相互作用模型的量纲问题 ,有助于更好地理解地理引 力测度 。其三 ,运用对称思想和对偶分析解析了人文地理系统熵最大化的本质含义 ,揭示了最大熵与最优化的理 论关系 。论证了源于万有引力类比的引力模型与 Wilson 空间相互作用模型的区别和联系 ,比较了负幂式空间相互 作用模型与负指数式空间相互作用模型的共性和差异 。 关键词 引力模型 ; 空间相互作用 ; 分维 ; 局域性 ; 长程作用 ; 对称 ; 复杂空间系统 中图分类号 K901
化 ,必然得到流的均衡分布 ,即 Tij ≡常数 ,这意味着
所有的流均衡分布 。
但是 ,如果我们考虑流在空间上运动的差异性 ,
情况就会不一样 。假定有的流运行近 ,有的流运行
远 。最近的距离可以是 0 ,最远的距离理论上为无
穷大 。这样 ,我们需要在约束条件中将距离参量突
出出来 。为了简明起见 ,我们不妨从运行成本的角
Abstract The spatial interaction models ( SIMs) in geography are developed by using the ideas from fractals and spatial complexity , and three pending questions are answered. Firstly , based on the supposition that the distance cost exhibits a logarithmic growth instead of a linear growth , the impedance function of Wilsonπs spatial interaction model is converted from a negative exponential expression into an inverse power law. The contradiction of locality to action at a distance of SIM is thus avoided through this revision. Secondly , the inverse power law based gravity model is gotten out of the dimensional dilemma with the concept of fractal dimension. Geographical gravity measure is consequently made more understandable. Thirdly , the notion from symmetry based on the nonlinear dual programming of spatial interaction is employed to reveal the essence of entropy maximizing process of human geographical systems. The relationship between entropy maximization and structural optimization is brought to light for geographical analysis. The distinction and connection between the gravity model originating from the analogy with the law of universal gravitation and Wilsonπs spatial interaction model is discussed , and the similarities and differences are compared between the exponential function based and the power law based SIMs. Key words gravity model ; spatial interaction ; fractal dimension ; locality ; action at a distance ; symmetry ; complex spatial system
国家自然科学基金资助项目 (40771061) 收稿日期 : 2008204205 ; 修回日期 : 2008205215
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北京大学学报 (自然科学版)
第 45 卷
最初是牛顿万有引力模型的物理学类比的结果 ,似 乎缺乏理论依据 ,这是问题之一 。一方面 ,地理学家 不甘心使用一个源于物理学类比的公式 ,另一方面 , 地理引力模型长期以来找不到引力常数[5] ———实际 上也许根本没有这种地理引力常数 。其次 ,地理引 力模型在解释方面存在量纲的困难[6] 。由于幂次引 力模型的距离摩擦系数不是整数 ,标度指数涉及分 数的维数 ,这在早年是无法解释的 ,地理学家因此而 困惑不已 。在这种背景下 ,Wilson 空间相互作用模 型一经提出 ,立即受到地理学界的普遍欢迎 。地理 学家认为找到了与物理学不同的 、而且具有明显理 论意义的引力模型[7] 。Gould[8] 高度评价了 Wilson 的研究成果 “: Wilson 的工作为许多基于不太严格的 物理学类比的空间相互作用模型提供了更为坚实的 理论基础 ,使得引力模型像凤凰 (phoenix) 一样在积 木自焚后的灰烬中获得再生 。”
1 模型的改进
空间相互作用模型实际上包括两类模型 :一是
引 (重) 力模型 ,二是流量分配模型 。前者来自物理 学类比 ,后者来自 Wilson 的最大熵假设 。由于这两 类模型表达式在一定条件下同构 ,在通常的情况下 方程 式 相 似 , 人 们 一 般 不 作 严 格 的 概 念 区 分 。 Wilson 本人将自己发展的流量分配模型视为地理引 力模型[223] 。下面我们就从 Wilson 的流量分配模型 出发开始讨论 。假定将一个区域 (region) 分为 n 个 子区 (zone) ,则流的路线的数量为 n ×n 个 。进一步 假定总流量为 T ,则从子区 i 到子区 j 的流量为 Tij 。 流的空间运行距离不等 ,最近的为 0 ,最远的假定为 无穷大 。理论上 ,可以假设 n →∞。这样 ,流量可以 在空间上形成连续分布 ,从而离散的量在技术上可 以转化 为 连 续 的 量 。于 是 各 种 流 组 成 的 状 态 数 为[1 ,2 ,15 ]
北京大学学报 (自然科学版) ,第 45 卷 ,第 2 期 ,2009 年 3 月 Acta Scientiarum Naturalium Universitatis Pekinensis , Vol. 45 , No. 2 (Mar. 2009)
空间相互作用模型的形式 、量纲和局域性问题探讨
陈彦光
W ( Tij ) =
T
T11 T12 … T21 … Tnn
∏ =
T11
! T12
T! ! …T21
! …Tnn
!
=
T ! 。 (1) Tij !
i ,j
式中 i , j = 1 ,2 , …, n 。根据流的分布状态 ,可以定
义信息熵如下 :
∏ H = ln W ( Tij ) = ln T ! - ln Tij ! i ,j
度考虑距离 : 单位流量运行越远 ,费用越高 。这样 ,
不同距离的流量有不同的单位费用。假定从 i 到 j
的单位流量费用为 cij ,全部旅行的总费用为 C ,则第
3 个约束条件可以改写为
334
第 2 期
陈彦光 : 空间相互作用模型的形式 、量纲和局域性问题探讨
∑∑cij Tij = C 。
Wilson 的最大熵模型在理论地理学界产生了巨 大的影响 ,并且引发了众多的理论研究和应用探讨 。 基于负指数式阻抗函数的空间相互作用理论似乎已 经不可动摇 ,但实际上却隐含着更为深刻的理论难 题 。问题之一 ,简单与复杂 。指数函数意味着简单 , 而幂指数函数暗示着复杂[9210] 。城市和区域都是复 杂的空间系统[3 ,11] ,空间相互作用过程理当服从负 幂律 ,而不是负指数律 。问题之二 ,局域性与长程作 用 。波谱分析表明 ,负指数暗示着局域性 ,而负幂律 才表明长程作用 。地理空间相互作用理当是非局域 的 ,否则与地理学第一定律[12213] 发生矛盾 。问题之 三 ,线性与非线性 。过去人们假设交通运输成本随 距离的增加而线性变化 , 这个假定也未必符合事 实[14] 。此外 ,对于地理空间而言 ,最大熵究竟意味 着什么 ? 这也是一直令人感到似懂非懂 、似是而非 的问题 。
情况下 ,追求流量分布的最大熵。只要找到熵最大化
的极值条件 ,就可以建立流量与成本的关系 ,进一步
得到流量与距离的关系。根据 Wilson 的思路 ,为求最
大熵的条件 ,根据高等数学求条件极值的原理 ,需要
借助目标函数和约束条件构造 Lagrange 函数
∑∑ ∑ ∑ L ( Tij ) = ln T ! -
地理引力模型有两种常见的表达形式 :一是基 于负幂律的阻抗函数 ,二是基于负指数律的阻抗函 数 。长期以来 ,人们总是认为只有 Wilson 指数式引 力模型才具有理论意义 ,因为该模型可以用最大熵 方法推导出来[123] 。幂次引力模型仅仅是一种经验
模型 。但是 ,事实并非如此简单 。基于幂律的引力 模型也可以借助一定的假设条件演绎出来[4] 。既然 都有一定的理论基础 ,那么哪一种模型更为可取呢 ? 为了论证这个问题 ,我们首先需要明确 Wilson 模型 究竟是在什么情况下创生的 。首先 ,地理引力模型
On the Mathematical Form , Dimension , and Locality of the Spatial Interaction Model
CHEN Yanguang
College of Urban and Environmental Sciences , Peking University , Beijing 100871 , E2mail : chenyg @pku. edu. cn
(6)
i
j
于是问题转化为寻求熵最大化条件 。该问题可以表
示为非来自百度文库性规划形式 。
∑∑ 目标函数 : max H = ln T ! -
ln Tij ! ,
i
j
约束条件 :
∑Tij = Oi , j
∑ s. t.
Tij = Dj ,
(7)
i
∑∑cij Tij = C 。
i
j
上式的含义是 : 在给定流出量、流入量和运输成本的
∑∑ = ln T ! -
ln Tij !。
(2)
i
j
约束条件为
∑Tij = Oi ,
(3)
j
∑Tij = Dj ,
(4)
i
∑∑ ∑ ∑ Tij = Oi = Dj = T 。 (5)
i
j
i
j
式中 Oi 为第 i 个源区 (出发地) 的流出量 , Di 为第 j
个汇区 (到达地) 的流入量 。此时如果假定熵最大