高数第六章总习题答案

复习题A

一、判断正误:

1、

解析

2、

解析

3、

解析两个相互垂直的非零向量点积也为零．

4 ( √ ) 解析这是叉积运算规律中的反交换律．

二、选择题:

1、 D

)；

解析

(A)0，(B)，(C)

2、下列平面方程中，方程( C )

解析C．

3、( B )；

(A) 椭球面； (B) 椭圆抛物面； (C) 椭圆柱面； (D) 单叶双曲面．

解析

轴的平面截曲面是开口向下的抛物线，根据曲面的截痕法，可以判断曲面是椭圆抛物面．

4、( C )；

解析

5、( B )．

(A) 垂直； (B) 平行； (C) (D)

解析，1，-1}，，-1，1}，

三、填空题:

= 0 ；

1、

2

解．

2、

解平面的法向量，-1，2}

3、

； 解

(-3，1，-2)

和(3，0，5)代入方程，

即

4、

解 直线与平面垂直，则与平面的法向量

，2，-1}

={0，2，-1}，由于直线过原点，所以直线方程为

．

5、

解: 投影柱面为

影曲线方程．

四、解答题:

1、

(c)

解:

，

2、

试求：(1)

标表示； (2)

(3) (4)

向量．

解:(1)

；

(2)

(3) 在

三个坐标轴上的方向余弦分别为

3、

.

解：

4、

解：

5、求满足下列条件的平面方程：

(1)

(2)

解(1)解1：

解2：

量为

解3：

再根据点法式公式写出平

面方程也可．

于是所求平面方程为

（2）

时，所求平面方程为

又，即

．这样它与已知平面

所

，则有

6、

求该平面方程；

解法1：

，得

，则（0，

4）为平面上的点．

相交得到直线的两平面方程的法向量分别为

，5，1}，0，-1}

，

2，-5}，由于所求平面经过直线，故平面的法向量与直线的方向向量垂直，即

，2，-5}

，

，解方程组

所求平面方程为

解法2：用平面束（略）

7、

直线方程.

解法1

从而根据点向

解法2：

解法3：

8、

相交，求该直线方程；

解：

又因为直线过点，则所求直

线方程为，联立

9、指出下列方程表示的图形名称：

解：(a)(b)绕z轴旋转的旋转抛物面． (c)

转的锥面．

(d) (e)

(f)0，0，2）处．

10、

解：

所以柱面平面的交围成的区为曲面

(图略)．

复习题B

1、.

2、

解：

3、

解由于

线，所以可

，，得

4

、

解法1:

以有

解法2:

为零的常数，则

因

所

解所

解法

5、

.

解：

6、

解： 求

的两个方程将消去，即得

同理求

即由得

7、

解法1：

直线1L 的方向向量

由题意可知⊥n (2,1,1)是一点,

在上，所以

,故可取

为所求平面方程．

解法2：

故有

（1）

（2）

（3）

由式（1）、（2）

故平面

π的方程为3x y +-

解法3：

01M M 和1s 共面，其中为所求平面方程．

L L z L L L L L L

8、

解：

（1）

（1）

或

9、

解法1：

解法2：设所求平面

为，即

其法

向量为

，由题意知

，故

另外，

所求的平面方程．

10、

解：

设所求平面为

1，即

或

或

11、

.

解：

平

直的平面方

则

即

程化为：

因此直旋转一周而成的曲面方

程为：

12、

L

的方程．

解法1：用点向式方程.因为直线L

①，又直

根据题设：直线

2

m

=

②，

n

p,

5=

-

解法2：

直线

在过点且

平行于平面

的平面上，平面的

方程为

取为

2

=

i

即+

+

-z

y

x

13、

解