【强烈推荐】常见特殊数列求和

常见特殊数列求和

徐州 伏建彬

前n 项和公式都是以正整数为自变量的函数，在熟练掌握等差、等比数列求和方法的基础上，还要会用其他方法求常见特殊数列的和。 一、分解法

有些特殊数列可以分解为基本的等差数列或等比数列，再分别求和。

例1：求数列211，412，813，…，n n 2

1的前n 项和n S 。 .解：这个数列可以分解成一个等差数列和一个等比数列之和。

n S =211+412+813+…+n n 21=（1+2+3+…+n ）+（21+41+…+n 21） =()21+n n +2

1121121-⎪⎭⎫ ⎝⎛-n =()21+n n +1-n 21 二、错位相减法

有些数列可以把原数列的前n 项分别乘以一个适当的因数作出一个辅助数列，它与原数列相减，从而得到n S 所满足的一个关系式，然后解出n S 。 例2：求数列21，222，323，…，n n 2的前n 项和n S 。 解：n S =21+222+323+…+121--n n +n n 2①

作辅助数列：上式两边同时乘以21

21n S =221+322+423+…+n n 21-+12+n n ②

于是①-②，得

n S -

21n S =21+（222-221）+（323-322）+…+（n n 2-n n 21-）-12+n n ∴21n S =21+221+321+421+…+n 21-12+n n =2

1121121-⎪⎭⎫ ⎝⎛-n -12+n n =1-n 21-12+n n ∴n S =2-121

-n -n

n 2 评注：设a 1，a 2，a 3，…，a n 组成等差数列，b 1，b 2，b 3，…，b n 组成等比数列，那么求

n S =+++332211b a b a b a …+n

n b a 或S ′=a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3+…+a n b n 都可以考虑用错位相减法求和，一般是在原式两边同时乘以等比数列的公比，作辅助数列，然后两式错位相减。这种方法主要来源于等比数列求和公式的推导。

三、裂项法

把数列的每一项都拆成两项的差，拆分后的相邻两项能够相消去，这样所得的结果只剩下首末两项，再化简就是数列的和。

例3：求数列211∙，321∙，431∙，…，()

11+∙n n 的前n 项和n S 。 解：∵a n = ()11+∙n n =n 1-1

1+n ∴n S =

211∙+321∙+431∙+…+()11+∙n n

=1-21+21-31+31-41+…+n 1-11+n =1-11+n =1+n n 评注：凡属k a a a m ∙⋅⋅⋅∙∙21，1

32+∙⋅⋅⋅∙∙k a a a m ，…，11-++∙⋅⋅⋅∙∙k n n n a a a m ，…（其中a 1，a 2，a 3，…，a n 组成等差数列）。这种形式的数列，一般都可以用“裂项法”求解。

四、累加法

在推导自然数的n 次幂的和的公式时，常用累加法。

例4：求数列12，22，32，…，n 2的前n 项和n S 。

解：∵（n+1）3=n 3+3n 2+3n+1 ∴（n+1）3-n 3=3n 2+3n+1

∴23-13=3×12+3×1+1

33-23=3×22+3×2+1 43-33=3×32+3×3+1

……

（n+1）3-n 3=3n 2+3n+1 把上面各等式两边分别相加，得

（n+1）3-13=3（12+22+32+…+ n 2）+3（1+2+3+…+n ）+n

∴3（12+22+32+…+ n 2）=（n+1）3-13-3×()21+n n -n=()()12161++n n n ∴n S =()()1216

1++n n n 事实上，累加法和裂相法从思路上说都是利用交叉相消的方法求出这类数列的和。

特殊数列求和没有一般规律可循，除上面介绍的四种方法以外，还有一些数列求和的特殊技巧，举例如下：

例5：求n S =7+77+777+...+777 (7)

解：n S =

97（9+99+999+…+999…9） =9

7[（10-1）+（102-1）+（103-1）+…+（10n -1）] =97[(10+102+103+…+10n )-n]= 97()⎥⎦

⎤⎢⎣⎡---n n

10110110 =()

n n 910108171--+ 求特殊数列前n 相的和，一般的做法是将原数列转化为若干个容易求和的数列。特别要注意对数列通项进行分解分析，往往能给人以启示，便于找到解题思路。