全等三角形复习经典练习题

全等三角形的判定题型

类型一、全等三角形的判定1——“边边边”

例题、已知：如图，AD＝BC，AC＝BD.试证明：∠CAD＝∠DBC.

类型二、全等三角形的判定2——“边角边”

例题、已知，如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，

并且

（AB＋AD），求证：∠B＋∠D＝180°.

AE＝1

2

类型三、全等三角形的判定3——“角边角”

例题、已知：如图，在△MPN中，H是高MQ和NR的交点，且MQ＝NQ．求证：HN＝PM.

类型四、全等三角形的判定4——“角角边”

例题、已知Rt △ABC 中，AC ＝BC ，∠C ＝90°，D 为AB 边的中点，∠

EDF ＝90°，∠EDF 绕D 点旋转，它的两边分别交AC 、CB 于E 、F ．当

∠EDF 绕D 点旋转到DE ⊥AC 于E 时（如图1），易证

1

2

DEF CEF ABC S S S +=

△△△；当∠EDF 绕D 点旋转到DE 和AC 不垂直时，在图2情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请写出你的猜想，不需证明.

类型五、直角三角形全等的判定——“HL ”

下列说法中，正确的画“√”；错误的画“×”，并举出反例画出图形.

（1）一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等．（ ） （2）有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等．（ ） （3）有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等．（ ）

（1）√；（2）×；在△ABC 和△DBC 中，AB ＝DB ，AE 和DF 是其中一边上的高，AE ＝DF

（3）×. 在△ABC 和△ABD 中，AB ＝AB ，AD ＝AC ，AH 为第三边上的高，如下图：

1、

已知：如图，DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，AD ＝BC ，DE ＝BF.

求证：AB∥DC.

2、如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AE是BC边上的中线，

过C作CF⊥AE，垂足为F，过B作BD⊥BC交CF的延长线于D.

（1）求证：AE＝CD；

（2）若AC＝12cm，求BD的长.

启发：三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件

三角形角平分线的性质

三角形三条角平分线交于三角形内部一点，此点叫做三角形的内心且这一点到三角形三边的距离相等.

三角形的一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点.这点叫做三角形的旁心.三角形有三个旁心.所以到三角形三

边所在直线距离相等的点共有4个.如图所示：△ABC 的内心为1P ，旁

心为234,,P P P ，这四个点到△ABC 三边所在直线距离相等.

角的平分线的性质及判定

1、 如图，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，交AB 的延 长线于点E ，DF ⊥AC 于点F ，且DB ＝DC.求证：BE ＝CF.

2、如图，AC=DB ，△PAC 与△PBD 的面积相等． 求证：OP 平分∠AOB ．

启发：观察已知条件中提到的三角形△PAC 与△PBD ，

显然与全等无关，而面积相等、底边相等，于是自然想到可得两三角形的高线相等，联系到

角平分线判定定理可得.跟三角形的高结合的题目，有时候用面积会取得意想不到的效果.

3、如图，DC∥AB，∠BAD和∠ADC的平分线相交于E，过E的直线

分别交DC、AB于C、B两点. 求证：AD＝AB＋DC.

类型一、全等三角形的性质和判定

如图，已知：AE⊥AB，AD⊥AC，AB＝AC，∠B＝∠C，

求证：BD＝CE.

类型二、巧引辅助线构造全等三角形

(1)．作公共边可构造全等三角形：

1、在ΔABC中，AB＝AC.求证：∠B＝∠C

(2)．倍长中线法：

1、已知：如图所示，CE、CB分别是△ABC与△ADC的中线，

且∠ACB＝∠ABC．求证：CD＝2CE．

2、若三角形的两边长分别为5和7, 则第三边的中线长x的取值范

围是( )

A.1 ＜x＜6

B.5 ＜x＜7

C.2 ＜x＜12

D.无法确定

(3).作以角平分线为对称轴的翻折变换构造全等三角形：

的角平分线，H，G分别在AC，AB上，且HD＝

如图，AD是ABC

BD.

(1)求证：∠B与∠AHD互补；

(2)若∠B＋2∠DGA＝180°，请探究线段AG与线段AH、HD之间

满足的等量关系，并加以证明.

（3）.利用截长(或补短)法作构造全等三角形：

1、如图，AD是△ABC的角平分线，AB＞AC,求证：AB－AC＞BD－DC

2、如图所示，已知△ABC中AB＞AC，AD是∠BAC的平分线，

M是AD上任意一点，求证：MB－MC＜AB－AC．

启发：因为AB＞AC，所以可在AB上截取线段AE＝AC，这时BE＝AB－AC，如果连接EM，在△BME中，显然有MB－ME＜BE．这表明只要证明ME＝MC，则结论成立．充

分利用角平分线的对称性，截长补短是关键.

（4）.在角的平分线上取一点向角的两边作垂线段.

1、如图所示，已知E为正方形ABCD的边CD的中点，

点F在BC上，且∠DAE＝∠FAE．求证：AF＝AD＋CF．

启发与角平分线有关的辅助线：在角两边截取相等的线段，

构造全等三角形；在角的平分线上取一点向角的两边作垂线段. 四边形

ABCD为正方形，则∠D＝90°．而∠DAE＝∠FAE说明AE为∠FAD的平分线，按常规过角平分线上的点作出到角两边的距离，而E到AD 的距离已有，只需作E到AF的距离EM即可，由角平分线性质可知ME＝DE．AE＝AE．Rt △AME与Rt△ADE全等有AD＝AM．而题中要证AF＝AD＋CF．根据图知AF＝AM＋MF．故只需证MF＝FC即可．从而把证AF＝AD＋CF转化为证两条线段相等的问题．