初高中数学衔接讲座00 前言 (深圳中学 曾劲松)
初高中数学衔接讲座
高考
你看看：（2010高考）
21.（本小题满分 14 分） 设 A（ x1, y1 ），B（ x2 , y2 ）是平面直角坐标系 xOy 上的
两点，现定义由点 A 到点 B
的一种折线距离 P（A,B）为 (A, B)
x 2
x1
y2
y1
对于平面
xOy
上给定的不同的两点
A（
x1,
y1
）B（
x 2
,
初高中数学衔接讲座
薛勇
刚从初中升上高中的学生普遍不能 一下子适应过来，都觉得高一数学难学， 特别是对意志品质薄弱和学习方法不妥 的那部分学生更是使他们过早地失去学 数学的兴趣，甚至打击他们的学习信心。 如何搞好高初中数学教学的衔接，如何 帮助学生尽快适应高中数学教学特点和 学习特点，跨过“高台阶”，就成为高 一数学教师的首要任务。
本文试图从
1、 知识方面的衔接 2、 数学思想方法的衔接 3、 学习态度与学习方法的衔接 4、 目前初高中数学衔接教学的误区
四个方面探讨高中新生在学习数学中存 在的问题和可能的解决对策。
一、初中毕业后，我们需要衔接的是哪些方面？
（一）知识方面的衔接(预习之前应该做的事情)
1、绝对值 2、整式 3、分式 4、二次根式 5、二次方程（组） 6、二次函数的图象和性质(衔接中最重要的 内容)
解：∵函数 y=x3 的图象经过点 (x1, y1 ) 与 (x2 , y2 ) ，∴ y1 x13 ， y2 = x23 ． ∴ y1 y2 x13 x23 = (x1 x2 )( x12 x1 x2 x2 2 ) ，
∵ x1 x2 ， ∴ x1 x2 0 ．
又 x12
x1 x2
【高中练习示例】 问题1： 解不等式|x-1|<|x+3|
初高中数学衔接讲座00-前言-(深圳中学--曾劲松)
初高中数学衔接讲座曾劲松(深中校训)前 言个人网站：www .sx 一、高中，我们将要学习哪些内容？（高中数学课程框架）●必修模块：●选修系列：网上可查看所有人教版的教材：/●必修课程 (包括5个模块)数学1：集合、函数概念与基本初等函数I （指数函数、对数函数、幂函数）。
数学2：立体几何初步、平面解析几何初步。
数学3：算法初步、统计、概率。
数学4：基本初等函数II（三角函数）、平面上的向量、三角恒等变换数学5：解三角形、数列、不等式。
●选修课程•系列1,由2个模块组成(文科)，•系列2,由3个模块组成(理科),•系列3,由6个专题组成(高考不考), •系列4,由10个专题组成(部分内容高考)。
▲系列1：由2个模块组成(文科) 选修1-1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用。
选修1-2：统计案例、推理与证明、数系的扩充与复数的引入、框图。
▲系列2：由3个模块组成(理科)选修2-1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、空间中的向量与立体几何。
选修2-2：导数及其应用、推理与证明、数系的扩充与复数的引入。
•选修2-3：计数原理、统计案例、概率。
▲系列3：由6个专题组成(高考不考)•选修3-1：数学史选讲。
•选修3-2：信息安全与密码。
•选修3-3：球面上的几何。
•选修3-4：对称与群。
•选修3-5：欧拉公式与闭曲面分类。
•选修3-6：三等分角与数域扩充。
▲系列4：由10个专题组成。
•选修4-1：几何证明选讲(文\理)。
•选修4-2：矩阵与差分。
•选修4-3：数列与差分。
•选修4-4：坐标系与参数方程(文\理) 。
•选修4-5：不等式选讲(理,今年我省压轴题) 。
•选修4-6：初等数论初步。
•选修4-7：优选法与试验设计初步。
•选修4-8：统筹法与图论初步。
•选修4-9：风险与决策。
•选修4-10：开关电路与布尔代数。
数学1 数学2 数学3 数学4 数学5 选修2-1 选修2-2 选修2-3选修4-1 选修4-4 选修4-5 填空题，2选1总结：理科学习内容:数学1 数学2 数学3 数学4 数学5 选修1-1 选修1-2选修4-1 选修4-4 填空题，2选1总结：文科学习内容:二、初中毕业后，我们需要衔接的是哪些方面？（一）知识方面的衔接(预习之前应该做的事情) 1．绝对值绝对值的概念始出现于初一数学课本，它是数学重要概念之一，贯穿于整个初等数学的始终，井随着知识的发展，不断深化．2010年广东省的最后一题便是一道绝对值不等式的问题。
2024年度高中数学件初高中数学课堂衔接ppt课件
教师点评与指导
2024/3/24
点评内容
针对学生的讨论、讲解和展示进行点评，总结亮点和待改进之处 。
指导方法
根据学生的表现和需求，给予个性化的学习建议和方法指导。
拓展延伸
引导学生将课堂所学知识应用到实际生活中，培养解决问题的能力 。
26
THቤተ መጻሕፍቲ ባይዱNKS
感谢观看
2024/3/24
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2024/3/24
14
04
初高中数学衔接点分析
2024/3/24
15
代数衔接点
数的概念扩展
从有理数扩展到实数，引入无理 数和复数，理解数的连续性和完
备性。
代数式的运算
掌握整式、分式的四则运算，理 解因式分解、配方等代数变形方
法。
方程与不等式
从一元一次方程、一元二次方程 到高次方程、分式方程、无理方 程等，理解方程的解法与性质； 掌握不等式的性质与解法，如一
1 2
空间几何体
认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征 ，能够描述这些几何体的形状和大小。
点、直线、平面的位置关系
理解空间中点、直线、平面的位置关系，掌握直 线与平面平行、垂直的判定定理和性质定理。
空间向量及其运算
3
理解空间向量的概念，掌握空间向量的线性运算 和数量积运算，能够运用向量方法解决立体几何 问题。
包括圆的性质、圆的周长与面 积、扇形等。
空间图形
包括长方体、正方体、圆柱、 圆锥等空间图形的性质与计算
。
2024/3/24
8
概率与统计初步
概率初步
包括事件的概率、互斥事件与 对立事件、条件概率等。
2024/3/24
统计初步
初高中数学衔接讲座 精品优选公开课件
例 1 分解因式： （1）x2－3x＋2； （2）x2＋4x－12； （3） x2 (a b)xy aby2 ；
（4） xy 1 x y ．
课堂练习
1.填空题：把下列各式分解因式：
（1） x2 5x 6 __________________________________________________。
例 3. 若 x1 和 x2 分别是一元二次方程 2x2＋5x－3＝0 的两根． （1）求| x1－x2|的值； （2）x13＋x23．
例 4 若关于 x 的一元二次方程 x2－x＋a－4＝0 的一根大于 零、另一根小于零，求实数 a 的取值范围．
练习 1．选择题：
（1）方程 x2 2 3kx 3k 2 0 的根的情况是 （A）有一个实数根 （C）有两个相等的实数根
是初高中数学衔接的重要内容．二次函数作为一种简单 而基本的函数类型，是历年来高考的一项重点考查内容， 经久不衰，以它为核心内容的重点试题，也年年有所变 化．
【初中】确定二次函数的表达式，会用描点法画出 二次函数的图象，并能从图象上认识二次函数的性质， 会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解．
【高中】结合二次函数的图像，判断一元二次方程 根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根 的联系。
A(－1,4) y
函数 y＝ax2＋bx＋c 图象作图要领：
（1） 确定开口方向：由二次项系数 a 决定 （2） 确定对称轴：对称轴方程为 x b
2a
（3） 确定图象与 x 轴的交点情况，①若△>0 则与 x 轴有 两个交点，可由方程 x2＋bx＋c=0 求出②①若△=0 则 与 x 轴有一个交点，可由方程 x2＋bx＋c=0 求出③①若 △<0 则与 x 轴有无交点。
初高中数学衔接讲座课件
概率与统计衔接点
概率初步知识
初中数学中的概率初步知识在高中阶段将更加深入，涉及 到条件概率、事件的独立性等，需要学生掌握概率的基本 思想和方法。
统计初步知识 初中数学中的统计初步知识在高中阶段将更加详细，涉及 到数据的收集与整理、概率分布等，需要学生提高数据处 理和分析能力。
随机变量及其分布
高中数学引入随机变量及其分布，为描述随机现象提供数 学模型，需要学生掌握离散型随机变量及其分布列、连续 型随机变量及其概率密度等知识。
古典概型和几何概型的计算 和应用
02
01
03
统计图表的认识和制作，如 条形图、折线图、扇形图等
数据的收集和整理，包括数 据的来源、数据的分类和整
理方法等
04
05
平均数、中位数、众数等统 计量的计算和应用
03
高中数学新增知识点介绍
函数与导数
一次函数、二次函数、指数函数、 对数函数等基本函数的图像与性 质。
初高中数学衔接讲座 课件
目录
• 引言 • 初中数学知识点回顾 • 高中数学新增知识点介绍 • 初高中数学衔接点分析 • 学习方法与技巧分享 • 案例分析：成功跨越初高中衔接阶
段
01
引言
目的和背景
帮助学生了解初高中数学知识的差异和联系 01
提高学生的数学素养和综合能力，为高中数学学 02 习打下基础
针对高中数学的特点，指 导学生掌握正确的学习方 法和思维习惯。
个性化辅导
心理疏导
针对不同学生的实际情况， 制定个性化的辅导计划， 帮助学生解决学习困难。
关注学生的心理状态，及 时进行心理疏导，帮助学 生保持积极的学习态度。
案例三：家长如何助力孩子跨越衔接阶段
【数学】高初中数学的衔接讲座全套【精华】
高初中数学的衔接讲座-育才编（全套，新课标人教A版）如何做好高、初中数学的衔接●第一讲如何学好高中数学●初中生经过中考的奋力拼搏，刚跨入高中，都有十足的信心、旺盛的求知欲，都有把高中课程学好的愿望。
但经过一段时间，他们普遍感觉高中数学并非想象中那么简单易学，而是太枯燥、乏味、抽象、晦涩，有些章节如听天书。
在做习题、课外练习时，又是磕磕碰碰、跌跌撞撞，常常感到茫然一片，不知从何下手。
相当部分学生进入数学学习的“困难期”，数学成绩出现严重的滑坡现象。
渐渐地他们认为数学神秘莫测，从而产生畏惧感，动摇了学好数学的信心，甚至失去了学习数学的兴趣。
造成这种现象的原因是多方面的，但最主要的根源还在于初、高中数学教学上的衔接问题。
下面就对造成这种现象的一些原因加以分析、总结。
希望同学们认真吸取前人的经验教训，搞好自己的数学学习。
一高中数学与初中数学特点的变化1 数学语言在抽象程度上突变。
不少学生反映，集合、映射等概念难以理解，觉得离生活很远，似乎很“玄”。
确实，初、高中的数学语言有着显著的区别。
初中的数学主要是以形象、通俗的语言方式进行表达。
而高一数学一下子就触及抽象的集合语言、逻辑运算语言以及以后要学习到的函数语言、空间立体几何等。
2 思维方法向理性层次跃迁。
高中数学思维方法与初中阶段大不相同。
初中阶段，很多老师为学生将各种题建立了统一的思维模式，如解分式方程分几步；因式分解先看什么，再看什么。
即使是思维非常灵活的平面几何问题，也对线段相等、角相等,分别确定了各自的思维套路。
因此，初中学习中习惯于这种机械的、便于操作的定势方式。
高中数学在思维形式上产生了很大的变化，数学语言的抽象化对思维能力提出了高要求。
当然，能力的发展是渐进的，不是一朝一夕的。
这种能力要求的突变使很多高一新生感到不适应，故而导致成绩下降。
高一新生一定要能从经验型抽象思维向理论型抽象思维过渡，最后还需初步形成辩证型思维。
3 知识内容的整体数量剧增。
初高中数学衔接讲座
逻辑推理规则
掌握基本的逻辑推理规则 ，如假言推理、拒取式等 ，并能够应用于实际问题 中。
命题的真假判断
学会判断命题的真假，理 解命题之间的关系，如等 价、蕴含等。
排列组合问题解决方法探讨
排列与组合的定义
了解排列与组合的基本概念，理 解其区别与联系。
排列组合公式
掌握基本的排列组合公式，如n个 元素的全排列、从n个元素中取出 m个的组合数等。
得到答案。
逻辑推理法
通过逻辑推理和分析问 题条件，逐步推导出结
论。
高中阶段新引入解题方法介绍
01
02
03
04
函数法
利用函数的概念和性质，通过 构造函数、分析函数图像和性
质求解问题。
数形结合法
将代数问题和几何问题相结合 ，通过图形直观展示数量关系
，简化计算过程。
归纳法
通过观察、实验、猜想、证明 等步骤，发现问题的规律和一
解题方法
探讨解决排列组合问题的常用方法 ，如捆绑法、插空法、隔板法等， 并能够灵活应用于实际问题中。
概率论基础概念及其在生活中应用
概率论的基本概念
了解随机事件、概率、条件概率等基 本概念，理解其含义和性质。
概率在生活中的应用
探讨概率在生活中的应用，如风险评 估、决策分析、游戏策略等。
概率的计算方法
高中数学考试趋势预测
强调数学思想与方法
高中数学考试将更加注重对数学思想和方法的考查，如函数与方 程的思想、数形结合的思想等。
创新型题目增多
为了培养学生的创新能力和思维能力，高中数学考试将增加一些创 新型题目，如开放性问题、探究性问题等。
与实际应用结合更紧密
高中数学考试将更加注重数学与实际应用的结合，考查学生运用数 学知识解决实际问题的能力。
00引入课(初高中数学衔接介绍)
引入课初高中数学教学内容分析教学目标：1．通过介绍，认识到衔接的重要性与必要性，2．了解初高中数学知识的“脱节点”3．初步规划高中数学的学习方法教学重点：知识点的差异与学习方式的差异教学难点：在初中薄弱的数学基础上如何学好高中数学教学过程：阅读材料一：现有初高中数学知识存在以下“脱节”1．立方和与差的公式初中已删去不讲，而高中的运算还在用。
2．因式分解初中一般只限于二次项且系数为“1”的分解，对系数不为“1”的涉及不多，但高中教材许多化简求值都要用到,如解方程、不等式等。
3．二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中函数、不等式常用的解题技巧。
4．初中教材对二次函数要求较低，学生处于了解水平，但二次函数却是高中贯穿始终的重要内容。
配方、作简图、求值域、解二次不等式、判断单调区间、求最大、最小值，研究闭区间上函数最值等等是高中数学必须掌握的基本题型与常用方法。
5．二次函数、二次不等式与二次方程的联系，根与系数的关系（韦达定理）在初中不作要求，此类题目仅限于简单常规运算和难度不大的应用题型，而在高中二次函数、二次不等式与二次方程相互转化被视为重要内容，高中教材却未安排专门的讲授。
6．图像的对称、平移变换，初中只作简单介绍，而在高中讲授函数后，对其图像的上、下；左、右平移，两个函数关于原点，轴、直线的对称问题必须掌握。
7．含有参数的函数、方程、不等式，初中不作要求，只作定量研究,而高中这部分内容视为重难点。
方程、不等式、函数的综合考查常成为高考综合题。
8．几何部分很多概念（如重心、垂心等）和定理（如平行线分线段比例定理，射影定理，相交弦定理等）初中生大都没有学习，而高中都要涉及。
另外，像配方法、换元法、待定系数法初中教学大大弱化，不利于高中知识的讲授。
阅读材料二：初中数学与高中数学衔接紧密的知识点1 绝对值：⑴在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。
⑵正数的绝对值是他本身，负数的绝对值是他的相反数，0的绝对值是0，即(0)0(0)(0)a aa aa a>⎧⎪==⎨⎪-<⎩⑶两个负数比较大小，绝对值大的反而小⑷两个绝对值不等式:||(0)x a a a x a<>⇔-<<；||(0)x a a x a>>⇔<-或x a>2 乘法公式：⑴平方差公式：22()()a b a b a b-=+-⑵立方差公式：3322()()a b a b a ab b-=-++⑶立方和公式：3322()()a b a b a ab b +=+-+⑷完全平方公式：222()2a b a ab b ±=±+，2222()222a b c a b c ab ac bc ++=+++++ ⑸完全立方公式：33223()33a b a a b ab b ±=±+±3 分解因式：⑴把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变化叫做把这个多项式分解因式。
初高中数学衔接课(高一)PPT课件图文(2024)
02
展示正弦函数、余弦函数、正切函数的图像，分析三角函数的
周期性、奇偶性、单调性等性质。
三角恒等变换
03
介绍三角恒等式，如和差化积、积化和差等公式，以及它们在
三角函数计算中的应用。
13
数列与数学归纳法
2024/1/29
数列的概念及表示方法
阐述数列的定义、数列的通项公式及递推公式等基础知识 。
等差数列与等比数列
详细讲解等差数列和等比数列的定义、性质及求和公式。
数学归纳法及其应用
介绍数学归纳法的原理及步骤，通过实例演示数学归纳法 在证明数列问题中的应用。
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04
初高中数学衔接关键点分析
2024/1/29
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思维方式转变
从具象到抽象
初中数学以具象思维为主，而高 中数学则更强调抽象思维，需要 学生逐渐适应并培养抽象思维能
力。
从静态到动态
初中数学问题多为静态的，而高 中数学则涉及更多动态变化的问 题，需要学生理解并掌握变量之
间的关系。
从单一到多元
初中数学知识点相对单一，而高 中数学知识点更加多元化，需要 学生建立多元化的知识体系和思
维方式。
2024/1/29
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学习方法调整
2024/1/29
课前预习与课后复习
高中数学内容相对复杂，需要学生做好课前预习和课后复习，加 深对知识点的理解和记忆。
教材内容
涵盖初中数学与高中数学衔接部 分的核心知识点，包括函数、方 程、不等式、数列、概率统计等
。
2024/1/29
教材结构
按照知识模块进行划分，每个模块 包含知识点讲解、例题分析、练习 题等内容，便于学生理解和掌握。
辅助资源
高中数学导数教案曾劲松
高中数学导数教案曾劲松教学目标：通过本节课的学习，学生能够掌握导数的概念、求导法则以及应用，并能够熟练地运用导数解决实际问题。
教学重点：导数的概念、求导法则、导数应用教学难点：导数的运算技巧、实际问题的建模与解决教学准备：1. 教师备课：复习导数的相关知识，准备案例分析和习题讲解。
2. 学生准备：提前预习导数的基本概念和求导法则。
教学过程：一、导入新知识（5分钟）1. 回顾导数的概念，即函数在某一点处的斜率。
2. 提出问题：如何求一点处的导数？什么是导数的求导法则？二、讲解导数的求导法则（15分钟）1. 常见函数的导数求导法则：常数函数、幂函数、指数函数、对数函数等。
2. 引导学生通过法则推导，掌握导数的计算技巧。
三、导数应用实例分析（20分钟）1. 案例讲解：通过实际问题，引导学生运用导数解决实际问题，如最优化问题、曲线切线问题等。
2. 学生独立思考：让学生自行尝试求解一些实际问题，提高运用导数的能力。
四、导数练习与作业布置（10分钟）1. 练习题：布置一些导数相关的练习题，巩固学生对导数的运用。
2. 作业布置：要求学生完成《高中数学导数》相关章节的习题，并思考如何解决更复杂的导数应用问题。
五、课堂总结（5分钟）1. 总结导数的基本概念、求导法则以及应用，强调导数在数学和实际问题中的重要性。
2. 引导学生对今天的学习进行反思和总结，以便更好地掌握导数知识。
教学反思：本节课主要围绕导数的概念、求导法则和应用展开，通过案例分析和实际问题探讨，帮助学生深入理解导数的重要性和作用。
在导数的学习过程中，学生需不断练习，加强计算技巧和思维能力的培养，以便更好地应用导数解决实际问题。
通过本节课的学习，学生希望能够掌握导数的基本知识和技巧，并能够灵活运用于解决各类导数相关问题。
初升高衔接课第一讲——开启高中数学成功的钥匙
初升高衔接课第一讲——开启高中数学成功的钥匙一、学习目标：1、认识初高中数学学习的特点和差异2、了解高中数学的考法3、了解高中数学的学习策略和学习方法二、学习重点：1、初高中数学知识差异与学法差异2、针对高中数学的特点与考法，培养适合高中数学的学习方法、养成良好的学习习惯。
三、重点讲解：高中数学的特点是：注重抽象思维，内容庞杂、知识难度大。
高中教材不再像初中教材那样贴近生活，生动形象，知识容量也更为紧密。
客观的说，初高中知识之间存在断层，正是由于这种断层造成很多同学难以在较短时间内适应高中数学的学习。
那么，如何做好初高中数学学习的衔接过渡，使得同学们对高中数学学习有一个正确的认识，并迅速适应新的教学模式呢？下面我们就一起探讨如何应对高中数学的学习。
（一）高中数学教材分析高中数学课程分为必修和选修。
必修课程由5个模块（5本书）构成；选修课程有4个系列，其中系列1、系列2由若干模块构成（系列1两本书、系列2三本书），系列3、系列4由若干专题组成。
内容涉及初等函数、数列、概率与统计、算法、平面解析几何、立体几何等等。
进入高中，我们首先学习的是《必修1》模块，我们应先对这一模块有一个大体的了解。
《必修1》模块由两章构成，分别是：第一章：集合第二章：函数如何理解集合呢？集合是一种数学语言，我们要能够使用最基本的集合语言表示有关的数学对象，提高我们运用数学语言进行交流的能力。
在初中学习函数的基础上，我们还要进一步学习函数，只不过高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，在初中一次函数、二次函数、反比例函数的基础上，我们还将学习指数函数、对数函数、幂函数这些新的函数类型，而函数的思想方法将贯穿高中数学的始终。
（二）高中数学与初中数学特点的变化1、数学语言在抽象程度上的突变。
初中的数学主要是以形象、通俗的语言方式进行表达。
而高中数学一开始即在初中学习的“函数”的基础上触及抽象的“集合语言”。
初高中数学衔接讲义
初高中数学衔接讲义摘要：I.引言- 介绍初高中数学衔接讲义的背景和目的II.初高中数学衔接的重要性- 分析初中数学和高中数学的差异- 强调初高中数学衔接的必要性III.初高中数学衔接讲义的内容- 初中数学知识的回顾与巩固- 高中数学知识的预先介绍- 初高中数学衔接的策略与方法IV.初高中数学衔接讲义的实践效果- 学生学习兴趣的提高- 学生数学成绩的提高- 学生思维能力的培养V.结论- 总结初高中数学衔接讲义的意义和价值正文：I.引言初高中数学衔接讲义是为了帮助学生更好地从初中数学过渡到高中数学，建立初高中数学知识的桥梁。
通过本讲义，学生可以提前了解高中数学知识，更好地理解高中数学课程，提高学习效率和兴趣。
II.初高中数学衔接的重要性初中数学和高中数学之间存在很大的差异，初中数学知识以基础为主，而高中数学知识更加深入和抽象。
如果没有一个良好的衔接，学生可能会在进入高中后感到难以适应，影响学习效果。
因此，初高中数学衔接非常必要。
III.初高中数学衔接讲义的内容初高中数学衔接讲义主要包括初中数学知识的回顾与巩固，高中数学知识的预先介绍，以及初高中数学衔接的策略与方法。
通过这些内容，学生可以温故知新，更好地理解高中数学知识，掌握学习方法。
IV.初高中数学衔接讲义的实践效果初高中数学衔接讲义在实际教学中取得了良好的效果。
学生通过学习讲义，不仅提高了学习兴趣，而且数学成绩也有所提高。
同时，讲义中的思维训练题目也有效地培养了学生的思维能力。
V.结论总的来说，初高中数学衔接讲义对于学生适应高中数学学习，提高学习效果具有重要意义。
广东深圳中学高中数学必修一导学案22函数的最大小值和应用
22．函数的最大（小）值及其应用曾劲松 学习目标1．会用函数图象或函数性质研究函数的最大（小）值． 2．会用换元法研究复合函数的最大（小）值． 3．会用方程思想研究复合函数的最大（小）值．4．能利用函数0ax b a b y ac cx d c d +⎛⎫=≠≠ ⎪+⎝⎭，与()0by ax a x=+>求简单的分式函数的最值． 5．对“不等式恒成立”与“不等式有解”这两种题型能利用函数思想进行等价转化． 一、夯实基础 基础梳理题型三 函数最值的实际应用 基础达标1．函数()f x ax b =+，[]11x ∈-，最大值是（ ）．A ．a b +B ．a b -+C ．a b +D ．a b +2．函数()()20f x ax bx c c =++≠的图象关于直线2x =对称，那么在函数值()1f -，()1f ，()2f ，()5f 中，最小听一个不可能是（ ）A ．()1f -B ．()1fC ．()2fD ．()5f3函数()()111f x x x =--的最大值是（ ）．A ．45B ．54C ．34D ．434．设1a >，()log a f x x =在区间[]2a a ，上的最大值与最小值之差为12，则a =（ ）．A B ．2 C ． D ．45．若函数()()2log 231a y x x a a =++->没有最小值，则实数a 的取值范围是__________． 二、学习指引 自主探究1．（1）给出二次函数()()210f x x bx a =++>，我们知道，它对应的抛物线开口向上，对称轴位置不确定．你在求()f x 在闭区间[]m n ，上的最大值时，应该分哪几种情况讨论？如果是求最小值呢？你这样分类的理由是什么？（2）若二次函数()()20f x ax bx c a =++≠，[]x m n ∈，的最大值在x m =处取得，则系数a ，b ，c 应满足什么条件，请结合函数图象加以说明．2．（1）回顾函数最小值的定义，用定义的方法证明函数()()00bf x ax a b x=+>>，在()0+∞，上的最小值为x 的值．（2）利用（1）的结论及函数的奇偶性，证明函数()()00bf x ax a b x=+>>，在()0-∞，上的最大值为-，并指出取最小值时x 的值．（3）借用以上结论求()23511x x y x x ++=>-+的最小值．3．若函数()f x 是奇函数，函数()()21g x f x =+有最大值M ，最小值m ，你能否求出M m +的值？()g x 的图象有何特点？4．“不等式恒成立”与“不等式有解”问题通常中转化为函数的最值来解决． 已知定义在D 上的函数()f x 最大值为M ，最小值为m ，请将下列问题等价转化：注：如果函数()f x 在D 上没有最大（小）值，或不等式由“>”变成“≥”时，要特别小心分析． 想一想所有的单调函数都有最值吗？ 案例分析1．分别求函数241y x x =-+在下列范围上的最大值、最小值．（1）134x ≤≤； （2）01x ≤≤；（3）05x ≤≤．【解析】()224123y x x x =-+=--，∴抛物线的顶点为()23-，，对称轴为直线2x =．(三)(二)(一)（1）由图（一）知，当34x ≤≤时，y 随x 的增大而增大．∴当3x =时，y 有最小值2-；当4x =时，y 有最大值1．（2）由图（二）知，当01x ≤≤时，y 随x 4的增大而减小．∴当0x =时，y 有最大值1；当1x =时，y 有最小值2-．（3）由图（三）知，当0x ≤≤2时，y 随x 的增大而减小；当25x ≤≤时，y 随x 的增大而增大．∴当2x =时，y 有最小值3-．再比较0x =与5x =的函数值可知，当5x =时，y 有最大值6．2．已知函数()221f x x ax =++，[]12x ∈-，的最大值为4，求a 的值．【解析】()()221y f x x a a ==++-，抛物线的对称轴为直线x a =-．区间[]12-，的中点为12． ① 当12a -≤，即12a -≥时，函数在2x =处有最大值，即()2544f a =+=，解得14a =-；②当12a ->，即12a <-时，函数在1x =-处有最大值，即()1224f a -=-=，解得1a =-． 综上所述：14a =-或1a =-．3．画出函数()13f x x x =---的图象，并回答下列问题： （1）若关于x 的不等式13x x a --+>恒成立，求a 的取值范围； （2）若关于x 的不等式13x x a --+>有解，求a 的取值范围． 【解析】函数可化为：43223141x y x x x <-⎧⎪=---<⎨⎪-⎩，，，，，，≤≥函数图象如右．容易看出，y 有最大值4，最小值4-．函数()y f x =的最大值为4，最小值为4-．（1）作出函数y a =的图象，要使不等式恒成立，()y f x =的图象必须恒在y a =的图象的上方，这等价于()y f x =的最小值大于4a ∴<-，即实数a 的取值范围是()4-∞-，． （2）要使不等式有解，就必须保证()y f x =的图象存在点在y a =的图象上方．只需()y f x =的最大值大于a ，∴4a <，即实数a 的取值范围是()4-∞，． 4．函数()349x x x f x a =++⋅，若对一切[]11x ∈-，，恒有()0f x >，求实数a 的取值范围． 【解析】3434349009999x x x x xxxa a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅>⇔++>⇔>+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．设()3499x xg x ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，易知()g x 在[]11x ∈-，上单调递增，从而()g x 的最大值为()719g =-． 对一切[]11x ∈-，，恒有()0f x >⇔对一切[]11x ∈-，，恒有()max 3499xxa a g x ⎛⎫⎛⎫>+⇔> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，[]11x ∈-，．所以，79a >-．三、能力提升 能力闯关1．函数()2413y ax a x =+--，[]02x ∈，在2x =时取得最小值，则a 的取值范围是__________． 2．若不等式210x ax ++≥对于一切()02x ∈，成立，求a 的最小值是． 拓展迁移1．已知函数()()log 2x xa f x a -=-()1a >，当2x >时，()0f x >恒成立，求实数a 的最小值．2．定义在R 上的单调函数()f x 满足()30f >，且对任意的x ，y R ∈都有()()()fx y f x f y+=+． （1）求主：()f x 是奇函数；（2）若()()33920x x x f k f ⋅+--<对任意的x R ∈恒成立，求k 的取值范围． 挑战极限1．（2012年湖南）已知两条直线1l y m =：各()28021l y m m =>+：，1l 与函数2log y x =的图像从左至右相交于点A ，B ，2l 与函数2log y x =的图像从左至右相交于C ，D ．记线段AC 和BD 在x 轴上的投影长度分别为a ，b ，当m 变化时，ba的最小值为（ ）．A ．B ．C ．D ．课程小结1．函数的最大值就是函数图象上最高点纵坐标，最小值就是函数图象上最低点的纵坐标，所以如果能够画出函数图象，则我们容易得到时函数最值点的位置．2．函数的单调性与函数最值密切相关，若函数在定义域上单调，则函数的最值必在端点发生． 3．不等式()f x C ≥恒成立可等价转化为()min f x C ≥；不等式()f x C ≤恒成立可等价转化为()max f x C ≤．在解决“恒成立”与“存在有解”的两种类型的问题时，可以利用数形结合的方法来帮助思考．4．对形如2ax bx c y x d++=+形式的分式函数，我们一般使用换元法求其值域或最值，具体步骤如下：（1）令u x d =+，把2ax bx c y x d ++=+变形为()00ny mu p m n u=++>>，形式；22．函数的最大（小）值及其应用基础梳理 任意≤ ≥ ()0f x M = 高 低基础达标1．C ．【解析】当0a >时，函数在定义域上单调递增，()()max 1f x f a b a b ==+=+； 当0a <时，函数在定义域上单调递减，()()max 1f x f a b a b =-=-+=+； 当0a =时，函数为常函数，()max f x b a b ==+．综上所述：()max f x a b =+．2．B 【解析】若0a >，函数()f x 是开口向上的二次函数，在函数值()1f -，()1f ，()2f ，()5f 中，()2f 最小，若0a <，函数()f x 是开口向下的二次函数，在函数值()1f -，()1f ，()2f ，()5f 中，()()15f f -=最小，综上，()1f 不可能最小．3．D 【解析】令()221311124u x x x x x ⎛⎫=--=-+=-+ ⎪⎝⎭，显然34u ≥，()143f x u =≤当且仅当12x =时等号成立，所以函数()()111f x x x =--的最大值是43．4．D 【解析】1a >，()log a f x x =在区间[],2a a 上单调递增，所以由题充有()1log 2log 2a a a a -=，1log 242a a ∴=⇔=． 5．{}|14a a <≤【解析】方法一：()()22log 23log 14a a y x x aa x a ⎡⎤=++-=++-⎣⎦．若4a >，()min log 4a y a =-，不符合题意；若14a <≤，函数值域为()0,+∞，无最小值，所以实数a 的取值范围是{}|14a a <≤方法二：223y x x a =++-与x 轴有交点，从而()4430a ∆=--≥．自主探究1．【解析】（1）求最大（小）值的关键是弄清给定区间上函数的单调性，分类的目的就是为了明确函数()f x 在[],m n 的单调性，若求最大值，则分两种情况：①当2b m n a +-≤时，最大值为()f n ；②当22b m n +->时，最大值为()f m ．若求最小值，则分三种情况：①当[],2bm n -∈时，最小值为2b f ⎛⎫- ⎪⎝⎭；②当2b m -<，最小值为()f m ；③当2b n ->，最小值为()f n ．（2）若0a >，则2y ax bx c =++图象为开中向上的抛物线，横坐标离对称轴2bx a=-越远，函数数值越大，因此已知等价于在区间[],m n 上，x m =离对称轴2bx a=-最远，因此对称轴应落在区间[],m n 中点的右侧，即应有22b m na +-≥，若0a <，则2y ax bx c =++图象为开口向下的抛物线，横坐标离对称轴2bx a=-越近，函数值越大，因此已知等价于在区间[],m n 上，x m =离对称轴线，横坐标对称轴2bx a=-越近，函数值越大，因此已知等价于在区间[],m n 上，x m =离对称轴2b x a =-最近，因此有2bm a-≤，综上所述，系数a ，b ，c 应满足的条件是022a bm n a >⎧⎪+⎨-⎪⎩≥或02a b m a<⎧⎪⎨-⎪⎩≤． 2．【解析】（1）任取()0,x ∈+∞，则()b f x ax x -=+-()21ax b x =-+210x=-≥（当且仅当x 时取等号）．又f =()0f x f -≥，即()f x f ≥． ∴当x 时， ()f x的最小值为方法二：设最小值为()0f x ，则()()00f x f x -≥在()0,+∞恒成立． 由()()()()200010b f x f x ax f x ax f x x b x x ⎡⎤-=+-=-+⎣⎦≥．()0,x ∈+∞． 得()200ax f x x b -+≥，()0,x ∈+∞．上式恒成立，且能取到等号，则二次函数()20y ax f x x b =-+开口向上且与x 轴只有一个交点．从而()2040f x ab ⎡⎤∆=-=⎣⎦，即()0f x =，此时0x = （2）任取(),0x ∈-∞，则()0,x -∈+∞由（1）知()f x f -≥，()f x 是奇函数，()()f x f x ∴-=-． ()()()f x f f x ff x f ⎛∴-⇒-⇒= ⎝≥≤≤ ∴当x =()f x的最大值为-． （3）先将()23511x x y x x ++=>-+化为py mx n cx d=+++的形式． （配凑法）()()()()222141133531111111x x x x x x y x x x x x +++++++++====+++++++≥其它变形方法：（换元法）设1x t +=，则1x t =-，()()21315t t y t-+-+=-，后略．（待定系数法）令1c y ax b x =+++，则()21ax a b x b c y x ++++=+比较2351x x y x ++=+可得113253a a ab b bc c ==⎧⎧⎪⎪+=⇒=⎨⎨⎪⎪+==⎩⎩所以321y x x =+++，后略．3．()()()()1212g x g x f x f x -=+⇔=，()g x 有最大值M ，最小值m ，()f x ∴的最大值、最小值分别是12M -，12m -，函数()f x 是奇函数，所以110222M m M m --+=⇔+=． 由于()2f x 是奇函数，图象关于原点对称，从而()g x 的图象关于点()0,1对称． 说明：利用()g x 的图象关于点()0,1对称也可以得其最大值与最小值的关系． 4．【解析】能力闯关1．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】当0a =时，43y x =--，[]0,2x ∈是一次函数，且y 随x 的增大而减小，符合题意；当0a >时，()2413y ax a x =+--为二次函数，且开口向上，对称轴为()412a x a-=-，横坐标离对称轴越近，相应的纵坐标越小，所以2x =是区间[]0,2距离对称轴最近的横坐标，故必须()4122a a --≥，又0a >，解得12a <≤，当0a <时，同样的方法分析得()4102a a --≤，又0a <，解得0a <，综上所述，a 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．2．【解析】方法一：()0,2x ∈时，210x ax ++≥1a x x⇔-+≤，令()212f x x x =+=+1x ⇔=时，()()min 12f x f ==．14a x -+≤在()0,2x ∈上恒成立()m i n 22a f x a ⇔-=⇔-≤≥，所以，a 的最小值为2-．方法二：设()21g x x ax =++，问题转化为()min 0g x ≥，后略．拓展迁移1．【解析】记()2x x g x a -=-，由题知，当2x >时，()1g x >恒成立．()1x y a a =>为增函数，2x y -=为减函数，()2x x g x a -∴=-在()2,+∞上为增函数，2x ∴>时，()()2124g x g a >=-，所以()1g x >在2x >上恒成立，当且仅当()21214g a =-≥，即a a．2．【解析】（1）对任意的x ，y ∈R 都有()()()f x y f x f y +=+． 令0x y ==，得()()()0000f f f +=+，()00f ∴=．令y x =-，得()()()f x x f x f x -=+-()()()00f x f x f ∴+-==，()f x ∴是奇函数数∶ （2）()()300f f >>，所以单调函数()f x 为R 上单调增函数，又()f x 是奇函数；()()()3392932x x x x x f k f f ∴<---=-+即3932x x x k ⋅<-+对任意的x R ∈恒成立．方法一：令3x t =，即()21320x t k -+⋅+>对任意的0t >恒成立． 令()()2132x g t t k =-+⋅+．其对称轴12kx +=． 当102k+<时，即1k <-时，()020g =>．符合题意． 当102k +≥时，即1k -≥时，()0g t >对任意0t >恒成立，则()211420k k -⎧⎪⎨∆=+-⨯<⎪⎩≥解得11k -<-+≤综上所述，1k <-+()()33920x x x f k f ⋅+--<对任意的x R ∈恒成立． 方法二：139323213xxxxxk k ⎛⎫⋅<-+⇔<+- ⎪⎝⎭，记右边为y ，问题转化为min k y <令()30xt t =>，则12321113xxy t t ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭≥，这表明y的最小值为1．综上所述，1k <-+()()33920x x x f k f ⋅+--<对任意的x R ∈恒成立． 挑战极限1．B 【解析】在同一坐标系中作出y m =，()8021y m m =>+，2log y x =图像如下图， 由2log x m =，得12mx -=，22mx =，28log 21x m =+，得82132m x +=，82142m x +=依照题意得82122mm a -+=-，82122mm b +=-8218821218212222222mm m mm m m m b a++++-+-===-821m m ++ 141174122222m m =++--=+≥ （也可用判别式求法最值）minb a ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭2x。
第五届全国高中数学青年教师观摩与评比活动：《导数的概念》说课(广东省深圳市深圳中学曾劲松)
《导数的概念》教案说明广东省深圳市深圳中学曾劲松一、教学内容及分析导数是微积分的核心概念之一，它是一种特殊的极限，反映了函数变化的快慢程度．导数是求函数的单调性、极值、曲线的切线以及一些优化问题的重要工具，同时对研究几何、不等式起着重要作用．导数概念是我们今后学习微积分的基础．同时，导数在物理学，经济学等领域都有广泛的应用，是开展科学研究必不可少的工具.教材安排导数内容时，学生是没有学习极限概念的．教材这样处理的原因，一方面是因为极限概念高度抽象，不适合在没有任何极限认识的基础上学习．所以，让学生通过学习导数这个特殊的极限去体会极限的思想，这为今后学习极限提供了认识基础．另一方面，函数是高中的重要数学概念，而导数是研究函数的有力工具，因此，安排先学习导数方便学生学习和研究函数．基于学生已经在高一年级的物理课程中学习了瞬时速度，因此，先通过求物体在某一时刻的平均速度的极限去得出瞬时速度，再由此抽象出函数在某点的平均变化率的极限就是瞬时变化率的的模型，并将瞬时变化率定义为导数，这是符合学生认知规律的．进行导数概念教学时还应该看到，通过若干个特殊时刻的瞬时速度过渡到任意时刻的瞬时速度；从物体运动的平均速度的极限是瞬时速度过渡到函数的平均变化率的极限是瞬时变化率，我们可以向学生渗透从特殊到一般的研究问题基本思想．二、教学目标及分析1．使学生认识到：当时间间隔越来越小时，运动物体在某一时刻附近的平均速度趋向于一个常数，并且这个常数就是物体在这一时刻的瞬时速度；2．使学生通过运动物体瞬时速度的探求，体会函数在某点附近的平均变化率的极限就是函数在该点的瞬时变化率，并由此建构导数的概念；3．掌握利用求函数在某点的平均变化率的极限实现求导数的基本步骤；4．通过导数概念的构建，使学生体会极限思想，为将来学习极限概念积累学习经验；5．通过导数概念的教学教程，使学生体会到从特殊到一般的过程是发现事物变化规律的重要过程．上述目标中，目标1是形成概念的基础，它提供了一个具体的导数模型．目标2是教学重点，是本节课要花近一半时间去完成的目标．目标3体现了算法思想，这是教学中应该充分重视的方面．目标4和5体现了数学育人的重要价值．三、教学问题诊断要使学生能通过观察发现运动的物体在某一时刻的平均速度的极限是一个不变的常数，而且这个常数就是物体在这一时刻的瞬时速度，一个非常难突破的问题就是大量平均速度的计算问题．为解决这个问题，在教学时为每个学生准备一台Ti－nspire CAS图形计算器，利用这种计算器的CAS功能，可以在较短的时间内解决计算问题，从而使学生有更多的时间用于观察与发现．另外，从具体的模型中提炼出一般的概念的困难在于具体模型的数量，因此，设计本节课的教学时，在教材的基础上增加了计算跳水运动员瞬时速度的数目，以此大大方便了学生归纳与概括．四、教法特点及预期效果本节课在教学方法的选择上，充分尊重学生认知事物的基本规律，强调教师的启发与学生的参与度，给学生操作感知、观察发现的时间充分．由于技术的介入，大大方便了学生获得导数概念的表象，因此学生通过表象抽象出导数概念的过程自然到位，并且能帮助学生更准确地理解导数的本质．。
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初高中数学衔接讲座曾劲松(深中校训)前言个人网站：www .sx 一、高中，我们将要学习哪些内容？（高中数学课程框架）●必修模块：●选修系列：网上可查看所有人教版的教材：/●必修课程(包括5个模块)数学1：集合、函数概念与基本初等函数I （指数函数、对数函数、幂函数）。
数学2：立体几何初步、平面解析几何初步。
数学3：算法初步、统计、概率。
数学4：基本初等函数II（三角函数）、平面上的向量、三角恒等变换数学5：解三角形、数列、不等式。
●选修课程•系列1,由2个模块组成(文科)，•系列2,由3个模块组成(理科),•系列3,由6个专题组成(高考不考),•系列4,由10个专题组成(部分内容高考)。
▲系列1：由2个模块组成(文科)选修1-1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用。
选修1-2：统计案例、推理与证明、数系的扩充与复数的引入、框图。
▲系列2：由3个模块组成(理科)选修2-1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、空间中的向量与立体几何。
选修2-2：导数及其应用、推理与证明、数系的扩充与复数的引入。
•选修2-3：计数原理、统计案例、概率。
▲系列3：由6个专题组成(高考不考)•选修3-1：数学史选讲。
•选修3-2：信息安全与密码。
•选修3-3：球面上的几何。
•选修3-4：对称与群。
•选修3-5：欧拉公式与闭曲面分类。
•选修3-6：三等分角与数域扩充。
▲系列4：由10个专题组成。
•选修4-1：几何证明选讲(文\理)。
•选修4-2：矩阵与差分。
•选修4-3：数列与差分。
•选修4-4：坐标系与参数方程(文\理) 。
•选修4-5：不等式选讲(理,今年我省压轴题) 。
•选修4-6：初等数论初步。
•选修4-7：优选法与试验设计初步。
•选修4-8：统筹法与图论初步。
•选修4-9：风险与决策。
•选修4-10：开关电路与布尔代数。
数学1数学2数学3数学4数学5选修2-1选修2-2选修2-3选修4-1选修4-4选修4-5填空题，2选1总结：理科学习内容:数学1数学2数学3数学4数学5选修1-1选修1-2选修4-1选修4-4填空题，2选1总结：文科学习内容:二、初中毕业后，我们需要衔接的是哪些方面？（一）知识方面的衔接(预习之前应该做的事情)1．绝对值绝对值的概念始出现于初一数学课本，它是数学重要概念之一，贯穿于整个初等数学的始终，井随着知识的发展，不断深化．2010年广东省的最后一题便是一道绝对值不等式的问题。
【初中】借助数轴理解绝对值的意义，并会求有理数的绝对值（绝对值符号内不含字母）．【高中】含绝对值不等式在选修系列4—5不等式选讲．【建议】含字母的绝对值，简单的含绝对值的方程（不等式）的解法．高考你看看：（2010高考）21.（本小题满分14分） 设A （11,x y ），B （22,x y ）是平面直角坐标系xOy 上的两点，现定义由点A 到点B 的一种折线距离P （A,B ）为2121(,)A B x x y y ρ=-+- 对于平面xOy 上给定的不同的两点A （11,x y ）B （22,x y ）（1） 若点C （x,y ）是平面xOy 上的点，试证明p （A,C ）+p （C,B ）≥p （A,B ） （2） 若平面xOy 上是否存在点X （x,y ），同时满足① p （A,C ）+p （C,B ）=pA,B ）；②p （A,C ）= p （C,B ） 若存在，请求出。
本题考了：（1）∣a ＋b ∣≤∣a ∣＋∣b ∣；（2）∣a －b ∣≤∣a －c ∣＋∣c －b ∣.【高中练习示例】【高一前应掌握练习】【例1】解关于x 的不等式：|x －m|＜1. 【例2】解下列方程或不等式：（1）6|6||3||12|=-+--+x x x ．（2）|x +3|－|2x －1|＜2x+1．【例3】（1）不等式组⎩⎨⎧≤>ax x 2||恰好有三个正整数解，求a 的取值范围；（2）不等式组⎩⎨⎧≥-≠--0102|2|2x x 的所有解都满足不等式|||1|a x x +<+（a ＜1），求a 的取值范围．问题1：解不等式|x -1|<|x +3|二、初中毕业后，我们需要衔接的是哪些方面？（一）知识方面的衔接2．整式整式的变形是重要的代数式的恒等变形，也是高中数学中极其常见的运算．【初中】要求了解整式的概念，会进行简单的整式加、减运算，乘法运算（其中的多项式相乘仅指一次式相乘）；会利用平方差、完全平方公式进行简单计算；会用提公因式法、公式法（直接用公式不超过二次）进行因式分解（指数是正整数）．【高中】不再学习整式．【建议】1、乘法公式（1）立方和公式：3322))((b a b ab a b a +=+-+； （2）立方差公式：3322))((b a b ab a b a -=++-； （3）三数和平方公式：ac bc ab c b a c b a 222)(2222+++++=++；（4）两数和立方公式：2233333)(ab b a b a b a +++=+； （5）两数差立方公式：2233333)(ab b a b a b a +--=-．2、因式分解的新方法：（1）分组分解法；（2）十字相乘法；（3）求根法；（4）待定系数法．思考：分解因式：x 3-3x+2【高中练习示例】求证：函数y =x 3是增函数。
本题实质是：已知函数y =x 3的图象经过点),(11y x 与),(22y x ，且21x x <，求证：21y y <． 解：∵函数y =x 3的图象经过点),(11y x 与),(22y x ，∴311x y =，2y =32x ． ∴=-21y y 3231x x -=))((22212121x x x x x x ++-， ∵21x x <， ∴021<-x x ． 又43)2(22222121222121x x x x x x x x x +++=++ =043)2(22221>++x x x ，（由于21x x ≠，所以不能取等号）∴021<-y y ，即21y y <．【高一前应掌握练习】【例1】分解因式：（1）3832--x x ；（2）2265y xy x +-； （3）12267222--++-y x y xy x ．【例2】比较222c b a ++与ca bc ab ++的大小．【例3】把多项式2223++-x x x 表示成d x c x b x a +-+-+-)1()1()1(23的形式．问题2：对于任意实数x ，下列不等式都成立吗？为什么？02010802>+-x x二、初中毕业后，我们需要衔接的是哪些方面？（一）知识方面的衔接3．分式【初中】了解分式的概念，会利用分式的基本性质进行约分和通分，会进行简单的分式加、减、乘、除运算；会解可化为一元一次方程的分式方程（方程中的分式不超过两个）；能确定分式函数的自变量取值范围，并会求出函数值．【高中】不再学习。
高二选修中，有少量分式不等式的学习。
【建议】接触更复杂的分式运算（如分式拆分，分式乘方）；解可化为一元二次方程的分式方程．【例1】判断：函数1212)(+-=x xx f 是奇函数还是偶函数。
本题的实质是：比较1212+-x x与1212+---x x是相等，还是互为相反数。
【例2】(理科)椭圆12222=+b y a x (a ＞b ＞)0与直线1=+y x 交于P 、Q 两点，且OQ OP ⊥，其中O 为坐标原点．（1）求2211ba +的值；（2）若椭圆的离心率e 满足33≤e ≤22，求椭圆长轴的取值范围．本题第（2）问的实质是：已知2211ba +=2， 222b ac -=2233≤≤a c 求a的取值范围。
解,322121131122222222≤≤⇒≤-≤∴-=a b a b a b a c又12222-=a ab26252345321212122≤≤⇒≤≤⇒≤-≤∴a a a【高一前应掌握练习】【例1】已知函数132++=x x y ．（1）将它化为1++=x b a y （a ,b 为常数）的形式； （2）画出函数的图象，并说明当x ≥－2时，y 的取值范围． 练习：将1532+++=x x x y 化为d cx p n mx y +++=的形式． 【例2】解方程 21421224x x x x +-=+--． 【例3】（1）已知0>>b a ，求证：ba 11<．（2）已知0>x ，求证：21≥+x x ． 【例4】解下列不等式： 1313-≥-+x x ； 0322322<--+-x x x x ． 问题3：下列是一个同学觉得比较简单的题，请大家试试，你能全对吗：①当1≥x 时，x 1的范围是 ；②当1≤x 时，x1的范围是 ； ③当1-≥x 时，x 1的范围是 ；④当1-≤x 时，x1的范围是 ．二、初中毕业后，我们需要衔接的是哪些方面？（一）知识方面的衔接4．二次根式高中阶段，我们在学习函数、解析几何、数列等内容时，涉及到大量的与二次根式有关的计算．【初中】了解二次根式的概念及其加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关实数的简单四则运算(不要求分母有理化)．【高中】会学习有理指数幂及运算。
【建议】根据需要，我们应掌握最简二次根式、同类根式的概念与运用，分子(母)有理化，简单的无理方程（不等式）．【高中练习示例】已知动点P （x,y ）满足：6)2()2(2222=+-+++y x y x 求点P 的轨迹方程。
本题的实质：化简该方程。
结果是：15922=+y x ，化简后马上就可以知道，点P 的轨迹是椭圆。
【高一前应掌握练习】【例1】化简：（1）21；（2）2323+-；（3）)2(424242422222>-++--++--+-++n n n n n n n n n ． 【例2】化简：（1）18211+．（2）2212(01)x x x +-<<．【例3】解方程：（1）012152=+-++x x x ；（2）1542=+--x x ；（3）0393253222=+++-+x x x x ．【例4】不等式x x ≥-2的解集是（ ）．A ．12≤≤-xB ．2≤xC ．1≤xD ．21≤≤x二、初中毕业后，我们需要衔接的是哪些方面？（一）知识方面的衔接5.二次方程（组）【初中】会用因式分解法、公式法、配方法解简单的数字系数的一元二次方程．【高中】不再学习。
【建议】（1）理解一元二次方程的根的判别式，并能用判别式判定根的情况；（2）掌握一元二次方程根与系数的关系，并能运用它求含有两根之和、两根之积的代数式的值，还能构造以、为根的一元二次方程；（3）能解决二元二次方程组的相关问题．20.（本小题满分14分）2010年广东高考题已知双曲线2212x y -=的左、右定点分别为12,A A ,点P （12,x y ），Q （12,x y -）是双曲线上不同的两个动点。