高中数学选修1-1《变化率问题》教案

人教版选修1-1第三章导数及其应用P72—74

t (d)

20

303421020

30

A (1, 3.5)

B (32, 18.6)

C (34, 33.4)

T (℃)210

教材分析

本节课是导数的起始课，教材从变化率问题开始，引入平均变化率的概念，并用平均变化率探求瞬时变化率，然后，从数学上给予变化率在数量上的精确描述，即导数。这样处理符合学生的认知规律，使学生的导数学习有了生长点，因此函数平均变化率教学的成败，直接决定导数概念的学习与理解。

二、教学目标分析

1、知识与技能：理解平均变化率的意义，为后续建立瞬时变化率和导数的数学

模型提供丰富的背景。

2、过程与方法：感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，经历运用数学描述

和刻画现实世界的过程。

3、情感态度与价值观：体会平均变化率的思想及内涵，使学生逐渐掌握数学研

究的基本思考方式和方法，培养学生互相合作的风格以

及勇于探究、积极思考的学习精神。

三、重点与难点分析:

根据新课程标准及对教材的分析，确定本节课重难点如下：

重点：平均变化率的实际意义和数学意义

难点：平均变化率概念的理解和运用

四、学情分析

1、有利因素：

高二学生个性活泼、思维活跃、积极性高，已具有对数学问题进行合理探究的意志与能力。

2、不利因素：

学生两极分化开始形成，学生个体差异比较明显。

五、教法学法

根据对教材、重难点、目标及学生情况的分析，本着教法为学法服务的宗旨，确定以下教法、学法：

探究发现式教学法、类比学习法，并利用多媒体辅助教学。遵循“以学生为主体、教师是数学课堂活动的组织者、引导者和参与者”的现代教育原则。依据本节为概念学习的特点，以问题的提出、问题的解决为主线，始终在学生知识的“最近发展区”设置问题，倡导学生主动参与，通过不断探究、发现，在师生互动、生生互动中，让学习过程成为学生心灵愉悦的主动认知过程。

六、教学过程设计

（一）创设情景、激发热情

[情境1]：

法国《队报》网站的文章称刘翔以不可思议的速度统治了赛场。这名21岁的中国人跑的几乎比炮弹还快，赛道上显示的12.94秒的成绩已经打破了12.95奥运会记录,但经过验证他是以12.91秒平了世界纪录，他的平均速度达到8.52m/s。

平均速度的数学意义是什么?

【设计意图】

数学学习过程中的兴趣是主体性学习的内在动力，也是学好数学的基本保证。一个引人入胜的开头，会拓宽学生思路，尊重学生的生命活动，激发兴趣，

大大提高教学效率。

（二）感知过程、建构概念

[情境2]：广州市2009年1月18日到2月18日的日最高气温变化曲线: )(C T

（1）温度曲线上A 、B 、C 三点的坐标的涵义是什么？

（2）曲线AB 、BC 哪段更陡峭？

（3）陡峭的现实意义是什么，如何量化陡峭程度？ 【设计意图】

应用温度变化曲线图引导学生从图形直观感知哪一段陡峭，而后要求学生用数量刻画陡峭程度，体现数学是经验性与演绎性的辨证统一。将 “陡峭程度”以及“变化速度”结合起来，并把“数学”与“生活”和“图形”融为一体。为平均变化率的概念及几何意义的学习作好铺垫。

[情境3] 在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时

间t （单位：秒）存在函数关系 h(t)=-4.9t 2+6.5t+10.

（1） 计算[][]2,15.0,0∈∈t t 和 的平均速度。 （2）一般地，[]21,t t t ∈的平均速度如何计算？

【设计意图】

通过层层深入的问题设置，意图让学生再一次在问题解决过程中学习新概念，加深对概念的了解。并教会学生从局部到整体的辨证思维。 （三）归纳概括、恰当表述

1、平均变化率的概念 ：

一般的，函数f(x)在区间上[x 1,x 2]的平均变化率为

2、平均变化率的几何意义：曲线上经过A 、B 两点的斜率。 （四）应用知识、形成图式

例 1 多人都吹过气球，回忆一下吹气球的过程，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加的越来越慢，从数学角度如何解释这种现象? 引导学生从以下三个方面去思考：

（1）问题中的变量是哪两个，并指出哪个是自变量？请写出它们的函数关系。

（2）计算时半径的增加量。，和]21[]1,0[∈∈V V

20

30 34 2

10 20

30 A (1, 3.5) B (32, 18.6) 0 C (34, 33.4)

2 10 2

121

)

()(x x x f x f --

（3）“随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加的越来越慢”，从数学角

度怎样描述？

【设计意图】

通过运用数学知识解释生活现象，不仅可以培养学生解决实际问题的能力，而且可以激发学生深入探究的兴趣，让学生感受数学的价值，体会数学来自生活，又服务于生活。另外，通过层层深入的问题设置突破难点。 （五）变式练习、巩固概型

1、已知函数12)(+=x x f ，试求函数在区间[][]501,1，和-上的平均变化率。

2、试求函数2)(x x f =在下列各区间上的平均变化率。

（1）[-1，1] （2）[1，2] 【设计意图】

选择一次函数模型目的是加深学生对平均变化率几何意义的理解。选择二次函数为材料探讨在区间[-1，1] 上的平均变化率，目的是让学生了解平均变化率只能粗略描述物体的运动状态，为瞬时变化率及导数的学习作好铺垫。另外通过变式练习固化学生新知与旧知的联系，有效将新知纳入已有的认知结构。 （六）归纳小结、深化目标

问题1：本节课你学到了什么？

问题2：本节课体现了哪些数学思想方法？

问题3：用平均速度描述刘翔的跨栏运动有什么问题？ 【设计意图】

以问题的形式帮助学生梳理知识，让学生总结，加深对本节课内容的认识。通过问题三给学生留有继续思考的空间，为瞬时变化率及导数的学习作好铺垫。 （七）布置作业，提高升华 【设计意图】

将作业分为必做题和选作题两个部分，必做题面向全体，注重知识反馈，选作题更注重知识的延伸性和连贯性，让有能力的同学去探求。

必做题：1、 P79 1

2、在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t （单位:秒）近似存在函数关系h(t)=-5t 2+7t+10，能否粗略地描述运动员在0到0.5秒和1到2秒内的运动状态?

选做题：

1．某工厂从2000年开始，近八年以来生产某种产品的情况是：前四年年产量的增长速度越来越慢，后四年年产量的增长速度保持不变，则该厂这种产品的产量

y 与时间t 的函数图像可能是（ ）