高中数学选修1-1《变化率问题》教案

人教版选修1-1第三章导数及其应用P72—74
t (d)
20
303421020
30
A (1, 3.5)
B (32, 18.6)
C (34, 33.4)
T (℃)210
教材分析
本节课是导数的起始课，教材从变化率问题开始，引入平均变化率的概念，并用平均变化率探求瞬时变化率，然后，从数学上给予变化率在数量上的精确描述，即导数。

这样处理符合学生的认知规律，使学生的导数学习有了生长点，因此函数平均变化率教学的成败，直接决定导数概念的学习与理解。

二、教学目标分析
1、知识与技能：理解平均变化率的意义，为后续建立瞬时变化率和导数的数学
模型提供丰富的背景。

2、过程与方法：感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，经历运用数学描述
和刻画现实世界的过程。

3、情感态度与价值观：体会平均变化率的思想及内涵，使学生逐渐掌握数学研
究的基本思考方式和方法，培养学生互相合作的风格以
及勇于探究、积极思考的学习精神。

三、重点与难点分析:
根据新课程标准及对教材的分析，确定本节课重难点如下：
重点：平均变化率的实际意义和数学意义
难点：平均变化率概念的理解和运用
四、学情分析
1、有利因素：
高二学生个性活泼、思维活跃、积极性高，已具有对数学问题进行合理探究的意志与能力。

2、不利因素：
学生两极分化开始形成，学生个体差异比较明显。

五、教法学法
根据对教材、重难点、目标及学生情况的分析，本着教法为学法服务的宗旨，确定以下教法、学法：
探究发现式教学法、类比学习法，并利用多媒体辅助教学。

遵循“以学生为主体、教师是数学课堂活动的组织者、引导者和参与者”的现代教育原则。

依据本节为概念学习的特点，以问题的提出、问题的解决为主线，始终在学生知识的“最近发展区”设置问题，倡导学生主动参与，通过不断探究、发现，在师生互动、生生互动中，让学习过程成为学生心灵愉悦的主动认知过程。

六、教学过程设计
（一）创设情景、激发热情
[情境1]：
法国《队报》网站的文章称刘翔以不可思议的速度统治了赛场。

这名21岁的中国人跑的几乎比炮弹还快，赛道上显示的12.94秒的成绩已经打破了12.95奥运会记录,但经过验证他是以12.91秒平了世界纪录，他的平均速度达到8.52m/s。

平均速度的数学意义是什么?
【设计意图】
数学学习过程中的兴趣是主体性学习的内在动力，也是学好数学的基本保证。

一个引人入胜的开头，会拓宽学生思路，尊重学生的生命活动，激发兴趣，
大大提高教学效率。

（二）感知过程、建构概念
[情境2]：广州市2009年1月18日到2月18日的日最高气温变化曲线: )(C T
（1）温度曲线上A 、B 、C 三点的坐标的涵义是什么？
（2）曲线AB 、BC 哪段更陡峭？
（3）陡峭的现实意义是什么，如何量化陡峭程度？ 【设计意图】
应用温度变化曲线图引导学生从图形直观感知哪一段陡峭，而后要求学生用数量刻画陡峭程度，体现数学是经验性与演绎性的辨证统一。

将 “陡峭程度”以及“变化速度”结合起来，并把“数学”与“生活”和“图形”融为一体。

为平均变化率的概念及几何意义的学习作好铺垫。

[情境3] 在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时
间t （单位：秒）存在函数关系 h(t)=-4.9t 2+6.5t+10.
（1） 计算[][]2,15.0,0∈∈t t 和 的平均速度。

（2）一般地，[]21,t t t ∈的平均速度如何计算？
【设计意图】
通过层层深入的问题设置，意图让学生再一次在问题解决过程中学习新概念，加深对概念的了解。

并教会学生从局部到整体的辨证思维。

（三）归纳概括、恰当表述
1、平均变化率的概念 ：
一般的，函数f(x)在区间上[x 1,x 2]的平均变化率为
2、平均变化率的几何意义：曲线上经过A 、B 两点的斜率。

（四）应用知识、形成图式
例 1 多人都吹过气球，回忆一下吹气球的过程，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加的越来越慢，从数学角度如何解释这种现象? 引导学生从以下三个方面去思考：
（1）问题中的变量是哪两个，并指出哪个是自变量？请写出它们的函数关系。

（2）计算时半径的增加量。

，和]21[]1,0[∈∈V V
20
30 34 2
10 20
30 A (1, 3.5) B (32, 18.6) 0 C (34, 33.4)
2 10 2
121
)
()(x x x f x f --
（3）“随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加的越来越慢”，从数学角
度怎样描述？
【设计意图】
通过运用数学知识解释生活现象，不仅可以培养学生解决实际问题的能力，而且可以激发学生深入探究的兴趣，让学生感受数学的价值，体会数学来自生活，又服务于生活。

另外，通过层层深入的问题设置突破难点。

（五）变式练习、巩固概型
1、已知函数12)(+=x x f ，试求函数在区间[][]501,1，和-上的平均变化率。

2、试求函数2)(x x f =在下列各区间上的平均变化率。

（1）[-1，1] （2）[1，2] 【设计意图】
选择一次函数模型目的是加深学生对平均变化率几何意义的理解。

选择二次函数为材料探讨在区间[-1，1] 上的平均变化率，目的是让学生了解平均变化率只能粗略描述物体的运动状态，为瞬时变化率及导数的学习作好铺垫。

另外通过变式练习固化学生新知与旧知的联系，有效将新知纳入已有的认知结构。

（六）归纳小结、深化目标
问题1：本节课你学到了什么？
问题2：本节课体现了哪些数学思想方法？
问题3：用平均速度描述刘翔的跨栏运动有什么问题？ 【设计意图】
以问题的形式帮助学生梳理知识，让学生总结，加深对本节课内容的认识。

通过问题三给学生留有继续思考的空间，为瞬时变化率及导数的学习作好铺垫。

（七）布置作业，提高升华 【设计意图】
将作业分为必做题和选作题两个部分，必做题面向全体，注重知识反馈，选作题更注重知识的延伸性和连贯性，让有能力的同学去探求。

必做题：1、 P79 1
2、在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t （单位:秒）近似存在函数关系h(t)=-5t 2+7t+10，能否粗略地描述运动员在0到0.5秒和1到2秒内的运动状态?
选做题：
1．某工厂从2000年开始，近八年以来生产某种产品的情况是：前四年年产量的增长速度越来越慢，后四年年产量的增长速度保持不变，则该厂这种产品的产量
y 与时间t 的函数图像可能是（ ）
2．直角梯形OABC 中AB ∥OC 、AB=1、OC=BC=2，
直线t x l :截该梯形所得位于l 左边图形面积为S ， 则函数S=)(t f 的图像大致为（ ）
（A ） （B ）
（C ） （D ）
六、教学评价
教学评价的及时有效能调动课堂的气氛、感染学生的情绪，对课堂教学发挥
着积极的推动作用，因此，我将教学评价贯穿于本节课的每个教学环节中。

例如情景导入的表达式评价、得出函数平均变化率概念的归纳评价、解题时的规范性评价等。

通过多种评价方式让更多的学生获得学习的自信，使学生在轻松融洽的课堂评价氛围中完成本节课的学习任务。

当然我也会通过对学生作业的批改获得更全面的对学生知识掌握的评价和课堂效果的反思，并在后续的时间里修订课堂设计方案，达到教学相长。

x
y O
2 1
1
C B
A
l
t
S
O
t S
O
t S O t
S
O 2 1 2 1
2 1
1
3 2 1
2 1 2
1
2
1 4
8
y
o
t
4
8
y
o
t
4
8
y
o
t
4
8
y
o
t
C
D
A
B
附：
教案设计说明
此教学方案是依据新课程标准、教材及本人的教学风格并考虑学生的学习兴趣来设计的，下面就本课教案做以下几点说明：
一、选材：
本节课选取的内容为数学发展中具有代表性的知识。

教材从变化率问题开始，引入平均变化率的概念，并用平均变化率探求瞬时变化率，然后，从数学上给予变化率在数量上的精确描述，即导数。

这样处理符合学生的认知规律，使学生的导数学习有了生长点，因此函数平均变化率教学的成败，直接决定导数概念的学习与理解。

通过本节内容的学习，让学生在掌握知识的同时感受到数学的实用价值。

二、理念：
本节课的教案设计体现了“以学生为主体，教师是课堂活动的组织者、引导者和参与者”的现代教育理念。

在教学的每一个环节中均设计了问题，始终以教师提出问题，引导学生解决问题的方式进行，让课堂活动变得生动而愉悦。

三、注重知识扩展：
本课设计时有意识的选取了“温度变化曲线”、“高台跳水问题”、“气球膨胀率问题”等知识，让学生感受到生活中到处都有数学，要学会用数学的眼光观察世界，发现自然界的奥秘。

四、精选习题：
课堂教学中的例题、习题和课后作业具有代表性、实用性和可操作性，均围绕着教学的重点、难点选取，选取题目数字简单易于操作注重知识的运用。

选题时注重知识的延续性，为以后的学习奠定了基础，同时考虑到了学生学习过程中可能出现的各种错误，预先准备好了解决的方案。

五、课堂教学模式：
“特殊引例探求→一般知识探索→特殊练习题求解”符合学生认知习惯，易于学生接受。

并根据学生的个体差异，在各个环节采用分层教学法。