八年级数学上册分式方程解法举例(人教版)
八年级-人教版-数学-上册-第2课时-实际问题与分式方程
直线论 波浪式
循环论
3.关于事物发展趋势的原理的方法论意义
事物发展
方向：是前进的、上升的。
方法论意义：
对未来充满信心，支持新事物成长。
道路：是曲折的、迂回的。
方法论意义：
做好充分思想准备，克服前进 道路上的困难。
材料一 ①小树一天天长高
②头发一根根脱落 ③河堤有了蚁穴和鼠洞
材料二
①大树被砍伐，成为 木材 ②满头黑发变秃头
探究：LED灯是不是照明灯发展 历史的终结？为什么？
量变
质变
……
新的量变
新的质变
量变与质变相互转化示意图：
新质产生
新质产生 量变
新质产生 量变
质
旧质灭亡
变
旧质灭亡
事物的发展是连续性与阶段性的统一
2.量变和质变的辩证关系
事物的发展是量变 和质变的统一
（1）事物的发展总是从量变开始的，量变是质变的 必要准备，量变达到一定程度必然引起质变，质变是 量变的必然结果。
只有实现质变，事物才能发展； 因此，质变的完成是不是表明事物 变化发展的终结？
事物发展：量变 质变 量变（新） 质变（新）---
【课堂提升】
用发展 的观点 看问题
事物发展 是前进性 和曲折性 的统一。
量变与质 变相互区 别,相互制 约,相互转 化。
既要对前途 充满信心,又 要准备走曲 折的路。
重视量的积累; 把握适度原 则 ;促进事物 的质变;重视 结构的作用。
量变是质变的必要准备
不积跬步，无以至千里； 不积小流，无以成江海。
水滴石穿，绳锯木断。 一趾之疾，丧七尺之躯； 蝼蚁之穴，溃千里之堤。
冰冻三尺非一日之寒。 一口吃不成胖子，一锹挖不出井来。
第十五章分式之分式方程及其解法人教版2024—2025学年八年级上册
第十五章分式之分式方程及其解法人教版2024—2025学年八年级上册【考点·方法·破译】1．分式方程(组)的解法解分式方程的一般步骤:⑴去分母，将分式方程转化为整式方程;⑵解整式方程;⑶验根.有的分式方程也要依据具体的情况灵活处理.如分式中分子(整式)的次数高于等于分母(整式)的次数时，可利用分拆思想，把分式化为“整式＋分式”的形式，化简原方程再解；或将分式方程两边化为分子(或分母)相等的分式，再利用分母(或分子)相等构成整式方程求解；或利用换元法将分式方程化为整式方程；’或利用倒数法使方程更简便.2．分式方程增根在解分式方程时，通常将分式方程两边同时乘以最简公分母(化为整式方程)，这就扩大了未知数的取值范围，可能产生增根.因此，解分式方程时一定要验根.又如求分式方程的解的取值范围(解是正数，或解是负数)时，要注意剔除正数解或负数解中的增根(因为增根不是分式方程的根).【典型例题解析】类型一、分式方程的解法例1解下列方程 ：（1）2112-=-+x x x （2）163104245--+=--x x x x（3）91817161---=---x x x x （4）)4)(3(1)2)(1(1++=++x x x x【变式训练】1.把分式方程的两边同时乘以（x ﹣2），约去分母，得（ ） A ．1﹣（1﹣x ）＝1B ．1+（1﹣x ）＝1C ．1﹣（1﹣x ）＝x ﹣2D ．1+（1﹣x ）＝x ﹣22．解方程：＝1﹣． 3．解分式方程：﹣1＝．4.解下列分式方程：（1）13252+=++x x x x （2）1416222-=-+-+x x x（3）31415121+++=+++x x x x （4）34455623+++++=+++++x x x x x x x x5.（1）若1=x 是方程21x a +＋22x a-＝0的解，则._______=a （2）若A ＝1x x -，B ＝231x -＋1，当x ＝_______时，A ＝B ． （3）若3=x 是方程102x +＋2k ＝0的解，则3k k +－269k -÷23k -的值为.类型二、分式方程中参数的取值范围例2（1）若分式方程 441+=+-x m x x 产生增根，则.______=m （2）若关于x 的方程 3132--=-x m x 无解，则.______=m6.若关于x 的方程产生增根，则m 的值是（ ） A ．1B ．2C ．1或3D ．3【变式训练】7.（1）分式方程22x x -+－22x x +-＝2164x -的增根是.（2）若分式方程()()611x x +-－1m x -＝1有增根，则它的增根为( ) A ．0 B ．1 C ．－1 D ．1，－1（3）若关于x 的方程23x -＝1－3m x -无解.则m 的值为.（4）分式方程1m x +－21x -＝232x -无解，则m 的值为.8.若关于x 的方程﹣＝﹣1无解，则m 的值是（ ） A ．m ＝ B ．m ＝3C ．m ＝或1D ．m ＝或3思路点拨：分式方程无解有两种情况，（1）化成整式方程时无解（2）整式方程的解为增根例3关于x 的分式方程61x -＝()31x x x +-－k x有解，求k 的取值范围.例4若关于x 的分式方程211=--x m 的解为正数，则m 的取值范围是（ ） A. 1->m B. 1-≠m C. 1>m 且1-≠m D. 1->m 且1≠m【变式训练】 9.若关于x 的分式方程解为非负数，则m 的取值范围是（ ） A ．m ≥4B ．m ≤4且m ≠3C ．m ≥4且m ≠﹣3D ．m ≤410.已知关于x 的分式方程的解是非负数，则m 的取值范围是（ ） A ．m ≤5 B ．m ≤5且m ≠3C ．m ≥5D ．m ≥5且m ≠311.若关于x 的分式方程无解，则m 的值是（ ）A ．m ＝2或m ＝6B ．m ＝2C ．m ＝6D ．m ＝2或m ＝﹣612.关于x 的方程21x a x +-＝1的解是正数，则a 的取值范围是( ) A ．1->a B ． 1->a 且0≠a C ．1-<a D ．1-<a 且2-≠a13.若关于x 的一元一次不等式组至少有2个整数解，且关于y 的分式方程+＝2有非负整数解，则所有满足条件的整数a 的值之和是 ．14.当m 为何值时，关于x 的方程22m x x --＝ 1x x +－ 12x x --的解是正数?15.（1）若解关于x的分式方程+＝会产生增根，求m的值．（2）若方程＝﹣1的解是正数，求a的取值范围．16.已知关于x的分式方程．（1）若分式方程有增根，求m的值；（2）若分式方程的解是正数，求m的取值范围．17．已知关于x的分式方程．（1）若分式方程的根是x＝5，求a的值；（2）若分式方程有增根，求a的值；（3）若分式方程无解，求a的值．18．（1）已知关于x的分式方程．①当a＝5时，求方程的解．②若该方程去分母后所得的整式方程的解是增根，求a的值．（2）关于x的方程有整数解，求此时整数m的值．思路点拨：首先求出关于x的方程的解，然后根据解是正数，再解不等式求出m 的取值范围．例4如果关于x 的分式方程1311a x x x --=++有负分数解，且关于x 的不等式组()⎪⎩⎪⎨⎧+<+--≥-124342x x x x a 的解集为2x <-，那么符合条件的所有整数a 的积是（ ） A. 3- B. 0 C. 3 D. 9思路点拨：先求出分式方程的解，再根据解不等式组求解得到a 的取值范围，再将a 代入分式方程的解中，满足条件即可【变式训练】19.关于x 的方程2222x m x x ++=--的解为正数，且关于y 的不等式组()⎩⎨⎧+≤-≥-222m m y m y 有解，则符合题意的整数m 有（ ）个 A. 4 B. 5 C. 6 D. 720.从﹣3，﹣1，12，1，3这五个数中，随机抽取一个数记为a ，若数a 使关于x 的不等式组()⎪⎩⎪⎨⎧<-≥+03721a x x 无解，且使关于x 的分式方程233x a x x ----=﹣1有整数解，那么这5个数中所有满足条件的a 的值之和是（ ）A.3-B. 2-C. 32-D. 12。
人教版数学八年级上册15.3分式方程的解法(教案)
1.教学重点
（1）理解分式方程的定义：重点强调分式方程的形式特点，即方程中包含有分母，且分母不为零，让学生充分理解这一核心内容。
举例：如方程2/x = 3/(x+1)，其中x≠0。
（2）掌握分式方程的解法：包括消元法、代入法、加减法等，特别是消元法在求解分式方程中的应用。
举例：消元法求解方程2/x = 3/(x+1)：
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解分式方程的基本概念。分式方程是指含有分母的方程，它是代数方程的一种特殊形式。分式方程在解决实际问题时具有重要作用，能够帮助我们处理比例、速率、百分比等问题。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。假设小明和小红的糖果总数为10个，要平均分给两人，我们可以建立分式方程x/2 = 10，其中x表示每人应得的糖果数。通过解这个方程，我们可以得到答案。
2.提升学生的数学建模素养：使学生能够将实际问题抽象为分式方程模型，并运用所学方法求解，从而提高解决实际问题的能力；
3.增强学生的数学运算能力：让学生熟练掌握分式方程的消元、代入、加减等解法，培养他们准确、迅速地进行数学运算的能力。
这些核心素养目标与新教材的要求相符，旨在帮助学生形成系统的数学知识体系，提高数学思维品质和解决问题的综合能力。
难点解析：代入法中，学生可能会遇到以下困难：
-不清楚应该将哪个表达式代入另一个表达式中；
-在代入过程ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ，容易忽视方程中的限制条件（如分母不为零）；
-计算过程中可能因粗心导致错误。
（3）分式方程在实际问题中的应用：学生需要学会将实际问题抽象为分式方程，并正确求解。
难点解析：实际问题抽象为分式方程时，学生可能会遇到以下问题：
人教版八年级数学上册第十五章分式方程解轮船顺逆水航行问题
100 千米所用时间，与以最大航速逆流航行 60 千米所用时间相等，江水的流 速为多少？
路程（千米）
速度（千米 / 时） 时间（小时）
顺水航行
逆水航行
时间
48 x4 48 x4
等量关系：顺流用时 + 逆流用时 =5 （小时）
例 2 轮船在顺水中航行 30 千米的时间与在逆水中航行 20 千米所用的时
间相等，已知水流速度为 2 千米／时，求船在静水中的速度。
分析：此题的等量关系很明显：顺水航行 30 千米的时间 = 逆水中航行 20
30千米
20千米
千米的时间，即
=
．设船在静水中的速度为 x 千米
顺水航行速度 逆水航行速度
／时，又知水流速度，于是顺水航行速度、逆水航行速度可用未知数表示，问题
可解决．
解： 设船在静水中速度为 x 千米／时，则顺水航行速度为 ( x 2) 千米／时，
逆水航行速度为 (x 2) 千米／时，依题意，得
30 20
=
，解得 x 10 ．
7 、小芳在一条水流速度是 0.01m/s 的河中游泳，她在静水中游泳的速度是 0.39m/s, 而出发点与河边一艘固定小艇间的距离是 60m, 求她从出发点到小艇来 回一趟所需的时间。
8、志勇是小芳的邻居，也喜欢在该河中游泳，他记得有一次出发点与柳树间来 回一趟大约用了 2.5min ，假设当时水流的速度是 085m/s ，那么出发点与柳树间的距离大约是多少？
9、一艘轮船在静水中的最大航速为 30 千米 / 时，它沿江以最大航速顺流航 行 100 千米所用的时间与以最大航速逆流航行 60 千米所用的时间相等， 问： 江水的流速为多少？设江水的流速为 x 千米 / 时，则可列方程
人教版数学八年级上册第15章：分式方程的无解与增根
例4、当a为何值时，关于 x的方程
2 x-
2
+
ax x2 -
4
=
x
3 +
2
①有增根； ②无解。
解：方程两边都乘以(x+2)(x-2)，
得2(x＋2)＋ax＝3(x－2)
整理得（a－1）x＝－10
②
（无（综把1解 2上x））＝。 所当当若则把解2述或aa原增得x，--＝－11分根，≠a2=20＝式为a或0代时＝即1方x－入，或－=a程22方=xa4代或1有＝＝或程入x时增2一6=②或．方(-根４a2中－-程1，或，)2②xa时得=＝中-，1a6，0＝原时无－方，解4程原，或无分原6．解式方，方程 程无解．
x2
课堂小结
复习完本课后你有哪些收获？
课后作业：
1、已知关于 x的方程
2x m x-2
3的解为正数，
则的范围是
2、若关于 x的方程
x x
k
1
x
k
1
1的解为负数，
则k的取值范围是
人教版 八年级上册 第十五章
分式方程的增根与无解
知识回顾:
解分式方程的一般步骤
分式方程 去分母 整式方程
一化
解整式方程
二解
目标
X=a
检验
三检验
a是分式 最简公分母不为０ 最简公分母为０ a不是分式
方程的解
方程的解
a就是分式 方程的增根
例1 解方程： 2 4x 3 x 2 x2 4 x 2
1）原方程去分母后的整式方程无解，
2）原方程去分母后的整式方程有解，但解 是增根。
关于分式方程的增根与无解问题 的一般步骤：
八年级数学人教版(上册)小专题(十七)分式方程的解法
(7)2x＋ x 2－xx＋ －22＝xx22－－22x. 解：方程两边同乘 x(x－2)，得
(x－2)(2x＋2)－x(x＋2)＝x2－2.
解得 x＝－12. 检验：当 x＝－12时，x(x－2)≠0. ∴原分式方程的解是 x＝－12.
(8)xx2－－2x－1－x x＝1. 解：去分母，得 x－2＋x2＝x(x－1)， 解得 x＝1. 检验：当 x＝1 时，x(x－1)＝0，
∴x＝1 不是原分式方程的解．
∴原分式方程无解．
(5)(2020·陕西)x－x 2－x－3 2＝1. 解：去分母，得 x2－4x＋4－3x＝x2－2x.
解得 x＝45. 检验：当 x＝45时，x(x－2)≠0， ∴原分式方程的解是 x＝45.
(6)x－x 1－1＝（x－1）3（x＋2）. 解：去分母，得 x(x＋2)－(x－1)(x＋2)＝3. 去括号，得 x2＋2x－x2－2x＋x＋2＝3. 解得 x＝1. 检验：当 x＝1 时，(x－1)(x＋2)＝0， ∴x＝1 不是原分式方程的解． ∴原分式方程无解．
(3)(2021·广西)x＋x 1＝3xx＋3＋1. 解：去分母得 3x＝x＋3x＋3， 解得 x＝－3. 检验：当 x＝－3 时，3(x＋1)≠0. ∴原分式方程的解为 x＝－3.
(4)(2021·攀枝花)x－x 1－1＝x＋2 1. 解：去分母，得 x(x＋1)－(x2－1)＝2(x－1)， 去括号，得 x2＋x－x2＋1＝2x－2， 解得 x＝3. 检验：当 x＝3 时，(x＋1)(x－1)≠0. ∴原分式方程的解为 x＝3.
第十五章 分式
小专题(十七) 分式方程的解法
解下列方程： (1)2xx＋＋39－1＝x＋2 3. 解：去分母，得 2x＋9－(x＋3)＝2. 解得 x＝－4. 检验：当 x＝－4 时，x＋3≠0. ∴原分式方程的解为 x＝－4.
人教版 八年级数学上册 第15章分式 分式方程及其应用专题(含答案)
人教版 八年级数学上册 第15章 分式方程及其应用（含答案） 例1. 解方程：x x x --+=1211 分析：首先要确定各分式分母的最简公分母，在方程两边乘这个公分母时不要漏乘，解完后记着要验根解：方程两边都乘以，得()()x x +-11 x x x x x x x x x 22221112123232--=+---=--∴==()()()，即，经检验：是原方程的根。
例2. 解方程x x x x x x x x +++++=+++++12672356 解：原方程变形为：x x x x x x x x ++-++=++-++67562312 方程两边通分，得 167123672383692()()()()()()()()x x x x x x x x x x ++=++++=++=-∴=-所以即 经检验：原方程的根是x =-92。
例3. 解方程：121043323489242387161945x x x x x x x x --+--=--+-- 解：由原方程得：3143428932874145--++-=--++-x x x x 即2892862810287x x x x ---=---于是，所以解得：经检验：是原方程的根。
1898618108789868108711()()()()()()()()x x x x x x x x x x --=----=--== 例4. 解方程：61244444402222y y y y y y y y +++---++-=2 解：原方程变形为：622222220222()()()()()()()y y y y y y y y ++-+--++-= 约分，得62222202y y y y y y +-+-++-=()()方程两边都乘以()()y y +-22，得 622022()()y y y --++= 整理，得经检验：是原方程的根。
21688y y y =∴==5、中考题解：例1．若解分式方程产生增根，则m 的值是（ ）2111x x m x x x x +-++=+A. B. --12或-12或C. D. 12或12或- 分析：分式方程产生的增根，是使分母为零的未知数的值。
人教版八年级上册数学精品教学课件 第1课时 分式方程及其解法3
8
8
x 2 2x 15 x 2 16x 48
x2
x2x159
x2
16x
48
2
经检验, x 9 是原方程的根
2
11 1 1 x 3 x 4 x 5 x 12
1 1 11 x 3 x 12 x 5 x 4
2x 9 0
x
2x
3x
9 12
x
2x 9
5x
4
x 9 2
x2 9x 36 x2 9x 9
经检验, x 9 是 2
原方程的根
例3 ：解方程 y 4 y 5 y 7 y 8 y5 y6 y8 y9
点拨： 此方程的特点是：各分式的分子与分母的次数相
同， 这样一般可将各分式拆成： 整式+分式 的形式。
解：1 1 1 1 1 1 1 1
y 5
y6
y 8
y9
1
1
1
y 1 y 2y01yy12y1,y2102yyy1121y,y220 20
下面的过程请同学们自己完成 相信你们能行
以下各方程能利用换元法进行换元吗？
x x2 1
x2 1 x
5 2
能 y 1 5 y2
( x )2 5( x ) 3 能 y2 5y 3
x 1
x 1
x2 x2
1 1
3(x2 1) x2 1
2x
0
不能
小结
有些分式方程用常规方法-----------去分母，是很复 杂 ，甚至无法求解，有时要采取其他的方法
①采取局部通分法,会使解法很简单.这种解 法称为 ——通 分 法
②各分式的分子、分母的次数相同，且相差 一定的数，可将各分式拆成几项的和。这种 解法称为 —— 拆 项 法
八年级数学人教版(上册)15.3.1分式方程及其解法(共25张PPT)
探究新知
在去分母时，将分式方程转化为整式方程的过程中 出现的不适合于原方程的根 .
特征：增根使最简公分母为零 判断方法：验根时把整式方程的根代入最简公分母
交流讨论
问题1：产生 “ 增根 ” 的原因在哪里呢？
分式方程的求根过程不一定是同解变形，所以分 式方程一定要验根！
问题2：“ 方程有增根 ” 和 “ 方程无解 ” 一样吗？
否为零？
方程的解
例题解析
方程两边同乘以x(x-3)，得 2x=3(x-3)
解得x=9.
检验：当x=9时，x(x-3) ≠0.
所以，原分式方程的解为x=9.
解得x=-2. 检验：当x=-2时，(x+2)(x-2) =0. 因此x=-2不是原分式方程的解．
所以，原分式方程无解.
x = -2 时， 分式方程 的分母为
当堂达标
C
C
C C
C
x=3是增根，原分式方程无解 .
去分母时，原方程的整式部分漏乘． 约去分母后，分子是多项式时， 要注意添括号． 忘记检验 . 注意去括号时前面的负号 .
例题解析
课堂小结：
说能出你这节课的收获和体验让大家与
你分享吗？
解分式方程的步骤
①去分母 ： 化分式方程为整式方程 . 即把分式方 程两边同乘以最简公分母 . ②解这个整式方程 . ③检验 ：把整式方程的解 ( 根 ) 代入最简公分母， 若结果为 0 ，则必须舍去，否则，它是原方程的 根. ④写结论 .
将x=0代入得3× (0-1)+6×0=0+k . 解得k=-3 . 将x=1代入得3× (1-1)+6×1=1+k . 解得k=5. 所以k=-3或k=5
初中数学人教版八年级上册分式方程的解法
一、探究实际问题
如果设江水流速为v km /h,则轮船顺流航行90km
90
60
所用时间为 30 v 逆流航行60km所用间 30 v ，
由方程
90 60 30 v 30 v
可解出v的值。
1、归纳分式方程的概念： 分母中含有未知数的方程。
2、巩固练习 下列各式哪些是分式方程？
(1)
90 60 30 v 30 v
（最简公分母为0）
2、本节课用到的数学思想： 化归思想 、程序化思想和建模思想
1.
2 4 x 1 x2 1
5
1
2.
0
x2 x x2 x
90
(3)
1
30 v
(5) x 1 1 2
哪些是整式方程？
(2)
30 v 30 v
90
60
(4) 90(30 v) 60(30 v)
(6) 5 7 x x2
(7)
1 x5
10 x2 25
(8)
5 1 0
x 3 x 1
二、探究分式方程的解法
1. 求探究实际问题的解
90 60 30 v 30 v
第十五章 分式
15.3 分式方程（第一课时）
1.了解分式方程的概念。 2.会用去分母的方法解可化为一元一次方程的简单
分式方程，体会化归思想和程序化思想。 3.了解需要对分式方程的解进行检验的原因。
利用去分母的方法解分式方程。
了解用去分母的方法解分式方程产生增根 的原因。
一、探究实际问题
问题：一艘轮船在静水中的最大航速为 30km /h,它以最大航速沿江顺流航行90km 所用时间，与以最大航速逆流航行60km所 用时间相等，江水的流速为多少？
人教版八年级上册数学《分式方程》分式说课复习(分式方程及其解法)
x+5=10．
解得
x=5．
x=5是原分式方 程的解吗？
将x=5代入原分式方程检验，发现这时分母 x-5和x2-25的值都为0，相应的分式无意义．因 此x=5虽是整式方程x+5=10的解，但不是原分式 方程的解，实际上，这个分式方程无解.
巩固练习
练习3 解方程并检验.
1 2 . 2x x 3
解：最简公分母为
巩固练习
练习4
解关于x 的方程
x
a
a
b
1（ b ≠ 1）.
解：方程两边同乘x-a，得
a+b（x-a）= x-a
去括号，得 a+bx-ab =x-a
移项、合并同类项，得
（b-1）x = ab-2a
∴x
ab 2a b 1
检验：当 x
ab b
2a 1
时，∵
b
≠
1，∴b-1
≠0，
x ab 2a
方程① 当v=6时，（30+v）（30-v）≠0，这就是说，去分
母时，方程①两边乘了同一个不为0的式子，因此
方程② 所当得x=整5时式，方（程x的-5）解（与x①+的5）解=相0，同这. 就是说，去分母
时，方程②两边乘了同一个等于0的式子，这时所 得整式方程的解使②出现分母为0的现象，因此这 样的解不是②的解.
解：设该厂原来每天加工x个零件，则采用新技 术后，每天加工2x个零件，
根据完成时间的等量关系，得
100 600 100 7
x
2x
去分母，得200 + 500 =14x，
解得
x = 50.
检验：x = 50时，2x ≠ 0.
所以x = 50是原方程的根.
八年级数学上册 分式方程的解法 人教版
解得: x=1
检验：当x=1时，(x-1)(x+2) ＝0 ,因此x＝1不 是原方程的解.
所以，原分式方程无解
备选练习
解下列方程：
(1) 5 7 x x2
解：方程两边乘x(x-2)，得: 5(x-2)=7x 解得: x=-5 检验：当x=-5时，x(x-2) ≠0
所以，原分式方程的解为 x＝-5
①
30v 30v
方程①有何特点？
方程①中含有分式，并且分母中含有未知 数，像这样的方程叫做分式方程.
你还能举出一个分式方程的例子吗？
练习
判断下列各式哪些是分式方程?
(1)xy5; (2)x22y-z; (3)1;
5
3
x
(4) y 0; (5)12x5
x5
x
（1）（2）是整式方程； （3）是分式；
约去分母，得： 90（30－v）＝60（30+ v）
解这个整式方程，得：v＝6
所以江水的流速为6 km/h.
解分式方程的过程，实质上是将方程的两边 乘同一个整式，约去分母，把分式方程转化为整 式方程来解.所乘的整式通常取方程中出现的各分 式的最简公分母.
解方程：
1 10 x 5 x2 25
怎样才能拿得起？王国维《人间词话》中曾提出，古今之成大事业者，须经过三重境界。这三重境界体现的正是儒家精神，所以正是路径所在。 第一重境界是“昨夜西风凋碧树，独上高楼，望尽天涯路”。登上高楼，远眺天际，正是踌(chóu)躇(chú)满志，志存高远，高瞻远瞩，一腔抱负。人生，志向决定方向，格局决定高度；小溪只能入湖，大河则能入海。所以做事，要先立心中志向；成事，要先拓胸中格局。
如何才能放得下？唐代禅宗高僧青原行思曾提出参禅的三境界，那正是路径所在。 第一重境界是“看山是山，看水是水”。人之最初，比如年少之时，心思是简单的，看到什么就是什么，别人说什么就相信什么。这样看待世界当然是简单而粗糙的，所看到的往往只是表面。但同时，正是因为简单而不放在心上，于是不受其困扰，这就是放下的心境。只是还太脆弱，容易被现实击碎。 第二重境界是“看山不是山，看水不是水”。人随着年龄渐长，经历的世事渐多，就发现这个世界的问题越来越多、越来越复杂，经常是黑白颠倒、是非混淆，无理走遍天下、有理寸步难行，好人无好报、恶人活千年。这时人是激愤的，不平的，忧虑的，怀疑的，警惕的，复杂的。于是人不愿意再轻易地相信什么，容易变得争强好胜、与人比较、绞尽脑汁、机关算尽，永无满足的一天。大多数人都困在这一阶段，虽然纠结、挣扎、痛苦，这却恰恰是顿悟的契机。因为看到了，才能出来；经历了，才能明白。 第三重境界是“看山还是山，看水还是水”。那些保持住本心、做得到忍耐的人，等他看得够了，经得多了，悟得深了，终于有一天豁然顿悟，明白了万般只是自然，存在就有存在的合理性，生会走向灭，繁华会变成寂寞，那些以前认为好的坏的对的错的，都会在规律里走向其应有的结局，人间只是无常，没有一定。这个时候他就不会再与人计较，只是做自己，活在当下之中。任你红尘滚滚，我自清风朗月；面对世俗芜杂，我只一笑了之。这个时候，就是放下了。
人教版-数学-八年级上册-如何利用分式方程解水流问题？
初中-数学-打印版
如何利用分式方程解水流问题？
难易度：★★★★
关键词：水流问题
答案：
顺水速度=静水速度+水流速度，逆水速度=静水速度-水流速度，等量关系一般在题目中.
【举一反三】
典例：一只船在静水中的速度为每小时10千米，它顺流航行60千米用的时间与逆流航行
20千米所用的时间相等，求水流速度.
思路导引：设水流速度为x千米/时，则顺水速度为（x+10）千米/时,逆水速度是（10- x）千米/时，根据它顺流航行60千米用的时间与逆流航行20千米所用的时间相等列得方
程为
标准答案：设水流速度为x千米/时，则顺水速度为（x+10）千米/时,逆水速度是（10- x）千
米/时，根据题意得，解这个方程得x=5
经检验x=5是原分式方程的解
答：水流速度为5千米/时.
初中-数学-打印版。
人教版八年级数学上册第15章：分式方程及其解法
这个程是我们以前学过的方程吗？它与一元一次方程有什 么区别？
新课讲解
1 分式方程的概念
观察前面所列方程：
90 60 30+v 30 v
此方程的分母中含有未知数v,像这样分母中含未知数的方 程叫做分式方程.
新课讲解
下列方程中,哪些是分式方程？哪些是整式方程？
(1) x 2 x 23
真相揭秘：分式两边同乘了等于0的式子,所得整 式方程的解使分母为0,这个整式方程的解就不是 原分式方程的解.
新课讲解
★分式方程解的检验——必不可少的步骤
解分式方程时,去分母后所得整式方程的解有可能 使原方程的分母为0,所以分式方程的解必须检验．
检验方法： 将整式方程的解代入最简公分母,如果最简公分母的值不
新课讲解
下面我们再讨论一个分式方程：
x
1 5
10 x2 25
解：方程两边同乘(x+5)(x-5),得
x+5=10, 解得x=5.
x=5是原分式 方程的解吗？
检验：将x=5代入原方程中,分母x-5和x2-25的值都为0,
相应的分式无意义.因此x=5虽是整式方程x+5=10的解,
但不是原分式方程
x
1
RJ八(上) 教学课件
第十五章 分 式
15.3 分式方程
第1课时 分式方程及其解法
学习目标
1.理解分式方程的概念. 1.掌握解分式方程的基本思路和方法.（重点） 2.理解分式方程时可能无解的原因.（难点）
情境导入
一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时,它沿江以最大 航速顺流航行90千米所用时间,与以最大航速逆流航行60千 米所用时间相等.江水的流速为多少？ 设江水的流速为v千米/时,根据题意可列出怎样的方程？
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第1页 共1页 分式方程解法举例
教学目标：学会可化为一元一次方程或一元二次方程的分式方程的解法，会用去分母求方
程的解.掌握解分式方程的一般步骤
教学重点：去分母法解可化为一元一次方程或一元二次方程的分式方程. 验根的方法. 教学难点：解分式方程的一般步骤
教学过程：
复习引入：1.什么叫分式方程？
2. 解分式方程的基本思想：
分式方程−−−−−−−−−−→−分母（去分母）方程两边都乘以最简公
整式方程 3.解方程1
73+=x x （学生板演） 讲授新课：
1. 由上述学生的板演归纳出解分式方程的一般步骤
（1） 去分母：在方程的两边都乘以最简公分母，化为整式方程；
（2） 解这个整式方程；
（3） 检验：将所得的解代入原方程的最简公分母，若最简公分母为0，则为增
根，必须舍去；若不为0，则为原方程的根.
2. 范例讲解
（学生尝试练习后，教师讲评）
例1：解方程
x
x +=--11112 例2：解方程12
3211222=-+--x x x x 例3：解方程22482122-+=-++-x x x x x x 讲评时强调：1.怎样确定最简公分母？（先将各分母因式分解）
2.解分式方程的步骤.
巩固练习：P147 1t ，2t.
课堂小结： 解分式方程的一般步骤
布置作业：见作业本.。