2016—高二高中立体几何证明垂直的专题训练(可编辑修改word版)

E

高中立体几何证明垂直的练习

立体几何中证明线面垂直或面面垂直都可转化为 线线垂直，而证明线线垂直一般有以下的一些方法： （1） 通过“平移”。

（2） 利用等腰三角形底边上的中线的性质。 （3） 利用勾股定理。

（4） 利用三角形全等或三角行相似。 (5) 利用直径所对的圆周角是直角，等等。

(1) 通过“平移”,根据若a // b ,且b ⊥ 平面

,则a ⊥ 平面

1

1.

在四棱锥 P-ABCD 中，△PBC 为正三角形，AB⊥平面 PBC ，AB∥CD，AB= DC ，

2

E 为PD 中点.求证：AE⊥平面 PDC. D

分析：取 PC 的中点 F ，易证 AE//BF ，易证 A

B F⊥平面 PDC

B

C

P

P

2.如图，四棱锥P－ABCD 的底面是正方形，P A⊥底面ABCD，∠

PDA=45°，点E 为棱AB 的中点．

求证：平面PCE⊥平面PCD；F

分析：取PC 的中点G，易证EG//AF，又易证A F⊥平面 PDC

于是E G⊥平面PCD,则平面PCE⊥平面PCD E A D

B C

（第 2 题图）

3、如图所示，在四棱锥P -ABCD 中，AB ⊥平面PAD , AB / /CD , PD =AD ,

E 是PB 的中点，

F 是CD 上的点，且DF =1

AB , PH 为∆PAD 中AD 边上的高。2

（1）证明：PH ⊥平面ABCD ；

（2）若PH = 1，AD =2，FC =1 求三棱锥E -BCF 的体积；（3）证明：EF ⊥平面PAB .

分析：要证EF ⊥平面PAB ，只要把FE 平移

到DG，也即是取AP 的中点G，易证EF//GD,

易证D G⊥平面 PAB

（2）利用等腰三角形底边上的中线的性质

5、在三棱锥P -ABC 中，PC ⊥AC ．

（Ⅰ）求证：PC ⊥AB ；AC =BC = 2 ，∠ACB = 90 ，AP =BP =AB ，

P

（Ⅱ）求二面角B -AP -C 的大小；

A B

C

6、如图，在三棱锥P -ABC 中，⊿ PAB 是等边三角形，∠PAC=∠PBC=90 º

证明：AB⊥PC

因为∆PAB 是等边三角形，∠PAC =∠PBC = 90︒,

所以Rt∆PBC ≅Rt∆PAC ,可得AC =BC 。

如图，取AB 中点D ，连结PD , CD ,

则PD ⊥AB , CD ⊥AB ,

所以AB ⊥平面PDC ,

所以AB ⊥PC 。

（3）利用勾股定理

7、如图，四棱锥 P - ABCD 的底面是边长为 1 的正方形， PA ⊥ CD , PA = 1, PD = 2. 求证: PA ⊥ 平面 ABCD ；

P

_

D

_

B

_ _C

8、如图 1，在直角梯形 ABCD 中， AB // CD ， AB ⊥ AD ，且 AB = AD = 1

CD = 1．

2

现以 AD 为一边向形外作正方形 ADEF ，然后沿边 AD 将正方形 ADEF 翻折，使平面

ADEF 与平面 ABCD 垂直， M 为 ED 的中点，如图 2． （1） 求证： AM ∥平面 BEC ；

（2） 求证： BC ⊥ 平面 BDE ；

E

E

M

C

F

C

A

B

9、如图，四面体 ABCD 中，O 、E 分别是 BD 、BC 的中点，

CA = CB = CD = BD = 2, A B = AD = 2.

A

_

A

M D

（1）求证：AO ⊥平面BCD；

（2）求异面直线AB 与CD 所成角的大小；

（1）证明：连结OC

BO =DO, AB =AD,∴AO ⊥BD.

BO =DO, B C =CD,∴CO ⊥BD.

在∆AOC 中，由已知可得AO =1, C O = 3.

而AC = 2,

∴AO2+CO2=AC 2 , ∴∠AOC = 90o, 即AO ⊥OC.

BD OC =O, ∴AO ⊥平面BCD

, BC ⊥CD ，侧面SAB 为等边三角形，10、如图，四棱锥S -ABCD 中，AB ⊥BC

AB =BC = 2, C D =SD =1．

（Ⅰ）证明：SD ⊥平面SAB ;

（Ⅱ）求AB 与平面SBC 所成角的大小．

解法一：

（I）取AB 中点E，连结DE，则四边形BCDE 为矩

SE ⊥AB, SE = 3.

形，DE=CB=2，连结SE，则

又SD=1，故ED2=SE2+SD2，

所以∠DSE 为直角。

AB ⊥DE, AB ⊥SE, DE SE =E ，

由

得AB ⊥平面SDE，所以AB ⊥SD 。

SD 与两条相交直线AB、SE 都垂直。

所以SD ⊥平面SAB。

（4）利用三角形全等或三角行相似

11.正方体ABCD—A1B1C1D1中O 为正方形ABCD 的中心，M 为BB1的中点，求证：D1O⊥平面MAC.

分析：法一：取AB 的中点E，连A1E,OE,易证△AB M≌A1AE,

于是A M⊥A1E,又∵O E⊥平面 ABB1A1∴OE⊥AM,

∴AM⊥平面 OEA1D1∴AM⊥D1O

法二：连OM,易证△D1D O∽OBM,于是 D1O⊥OM

12. 如图，正三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱长都为2，

D 为CC1中点. 求证：AB1⊥平面A1BD；

分析：取BC 的中点E，连AE,B1E,易证△DC B≌△EBB1，

从而B D⊥EB1

13、.如图，已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，

过点B 作B1C 的垂线交侧棱CC1于点E，交B1C 于点F，

求证：A1C⊥平面BDE；