形态学颗粒分析在细胞尺寸分布中的应用

形态学颗粒分析在细胞尺寸分布中的应用

摘要：以数学形态学中开闭运算及其相关性质为基础，研究形态学颗粒分析方法的相关性质。在实验中，先将获取的彩色细胞图像转化为二值图像,利用形态学开运算滤除小噪声斑点后,再采用形态学开颗粒分析,在有效保证细胞形状和大小的前提下,统计出细胞的大小分布

情况。实验表明，该方法能有效地给出细胞体大小分布。

关键词：开闭运算；A-开运算；颗粒分析；细胞分布

1 理论基础

在数学形态学中，开闭运算是所有形态学运算的基础：如果一个集合X被集合A先腐蚀再膨胀，那么可以得到一个比原来更小的集合，将其称为A对X作开运算的结果，记为X·A=(XΘA)⊕A，常用αA(X)表示X被A所作的开运算，即：αA(X)=X·A=(X ΘA)A

如果一个集合X A先膨胀再腐蚀，那么可以得到一

个比原来更大的集合，将其称为A对X作闭运算的结果，记为X·A=(X⊕A)ΘA，常用βA(X)表示X A所作的闭运算，即：βA(X)=X·A=(X⊕A)ΘA

由定义可知开闭运算具有：①递增性若X Y，被同一集合A

作开运算有：αA(X)αA(Y);被同一集合A作闭运算有：βA(X)βA(Y)(X·A)·A=X·A，(X·A)·A=X·A

αA(X)X；闭运算具有扩张性β

A(X)X

文献［4］介绍了A-开运算。A-开运算作为建立形态学颗粒分析

方法的基础，下面具体讨论A-开运算及其两个相关命题的证明。

定义：对于给定的集合X A使得X·A=X，

则称X A-开的。

下面论证关于A-开运算的两个命题：

引理1：集合X A-开的充要条件是存在集合Y使得X=Y

A

证明必要性：若X A-开的，那么X=X×A=(XΘA)A，

令Y=XΘA，即得X=Y⊕A

充分性由闭运算的扩展性知：(Y⊕A)ΘA=Y·A Y，如果

X=Y⊕A

因为膨胀是递增运算((Y⊕A)ΘA)⊕A=(Y·A)⊕A Y⊕A，

于是((Y⊕A)ΘA)⊕A Y⊕A=X

另一方面,由开运算的非扩展性知：((Y⊕A)ΘA)⊕A=(Y⊕

A)·A Y⊕A=X，于是X·A=((Y⊕A)ΘA)⊕A=(Y⊕A)·A=Y⊕A=X

引理2：设集合A,B A是B-开的，那么对于每个集合X R2

X·A X·B（1）

(X·A)·B=(X·B)·A=X·A（2）

证明根据膨胀满足结合律和交换律:A⊕(B⊕C)=(A⊕B)⊕

C，A⊕B=B⊕A

因为A是B-开的，由引理1存在集合C使得A=B⊕C=C⊕B

(X·A)·B=((XΘA)⊕A)·B=((XΘA)⊕(B⊕C))·B

=(((XΘA)⊕C)⊕B)·B=［(((XΘA)⊕C)⊕B)ΘB］⊕B

将(XΘA)⊕C看作一个整体，由引理1证明过的结论((Y⊕A)

ΘA)⊕A=Y⊕A可得：

=［(((XΘA)⊕C)⊕B)ΘB］⊕B=(((XΘA)⊕C)⊕B)

又膨胀满足结合律，可得：

=(((XΘA)⊕C)⊕B)=(XΘA)⊕(C⊕B)=(XΘA)⊕

A=X·A

综上得到(X·A)·B=X·A

根据开运算的非扩展性X·A X，再由开运算的递增性：

X·A=(X·A)·B X·B

即证明了(1)成立。

为了证明(X·B)·A=X·A，因为(X·B)·A X·A是显然成立的。由结论（1）有：

X·A=(X·A)·A(X·B)·A

即证明(X·B)·A=X·A2）成立。

2 颗粒分析

按照A-开运算的原理，选择一个基元A，令A1=A，A

2=A⊕A=A1⊕A，A3=A⊕A⊕A=A2⊕A，……，结合前面

关于A-开给出的两个引理，可知对所有的r，A r+1A r -开的。结合引理2中的结论（1）得到递增的图像序列：

S·A1S·A2S·A3

可以看到在R2中，令{rA}（r＞0）是由结构元组成的集

合，因此对于（s＞r）有sA是rA-开的。假设X是形状和尺寸不一的颗粒组成的集合，用rA和sA分别对X A-开运算原理，即：

αrA(X)=X·rA X·sA=αsA(X)将A看作单位结构圆盘，用αr替代αrA.这一过程可以形象地理解为一个筛子，其中r可认定为筛子的筛孔大小，筛孔越大滤去图像中的部分也越多，但为保证应该保留的东西使之不

致于损失，筛孔的选择是很关键的。

由上面的原理给出下面颗粒分析定义：如果r为一正整数变量，A为形态学基本结构元素，X表示二值图像，那么αr(X)={X·rA}为图像X的颗粒分析，记作{αr}，其中rA=A⊕A⊕…⊕A r

个

根据前面论述的筛子原理，可将r看作是筛子筛孔尺寸的大小，那么不难理解颗粒分析的3个基本特性：①经过筛选后的图象都为原来图像的一个子集；②如果图像A、B存在关系A B，经过颗粒分析{αr}有:αr(A)αr(B)

αr和αs

后顺序影响,所得到

的图像与只用筛孔大的筛子筛选得到的结果是一样的。

颗粒分析{αr}（r＞0）A∩B=Φ，

那么αr(A∪B)=αr(A)∪αr(B)；②若A∩B≠Φ，那么α

r(A∩B)αr(A)∩αr(B)

这两个性质说明在对离散的图像和彼此粘连的两种图像进行颗粒分析时，筛选的结果是有区别的。如果颗粒彼此没有粘连，那么用颗粒分析算子对它们一起筛选和分开筛选时，所得到的结果是一致的；如果颗粒彼此是粘连的，用颗粒分析算子对它们一起筛选和分开筛选，所得到的结果可能相同，也可能存在一个包含关系。因此，在处理彼此粘连颗粒时，应该先设法将它们分开，然后再筛选。借助前面介绍的颗粒分析方法的相关原理和性质，下面我们对医用细胞图片进行形态学分析。

3 实验过程及结果分析

在生物体正常肌体中，活体细胞都有一个生长周期，当一个细胞分裂为两个细胞时，会经历细胞膨胀变大，当分成2个单个细胞后细胞又会变小，除去细胞正常的消亡，细胞的尺寸大小应该会在一个范围内变化。通过细胞学的相关理论我们可以知道，当细胞发生病变时，比如细胞萎缩或肿胀而死亡，在这些过程中细胞的大小是会发生变化的。下面利用前面介绍的理论，对细胞尺寸进行测量和统计分析。以一张彩色的细胞图片为例，其图像实验流程设计见图1。

图1 细胞处理实验流程