第三章 坐标变换与二次曲线的分类.

或 sin
cos
;
1与 2
为反定向的直角坐标
系的充c要os条 件s是inA为正交矩阵co且s|A-|s=i－n1，此时
A= sin
-
cos
或
- sin
-
cos
其中，0≤θ<2π。
到
e1'
设 1 和 2 均为右手直角坐标系
的转角(逆时针方向)为θ,则
,O
'(
x0 ,
y0
),
e1
x cos
程；2 直解{O线';le2设1:, e原x2}'坐.解标2 方系y' 程为 131x0{O在4;原ey1,坐e21标},系新0中坐的标方系程为。 4x 3 y 7 0
得x=1,y=1.因此 O'在 1 中的坐标为（1，1）。
因为 x ' 轴的标准方程为：
x-1 y-1 43
所以 x '轴的方向数为4∶3，于是e1 的 1 坐标为：
aij
其中矩阵A=( 1)称为2从
1
到
2的过渡矩x,阵y,，z 且, x是' ,可y'逆, z的' 。
设 1点M在 和 x下0 , 的y0 坐, z0标分别为a 1 2
,
O’在(a1下, a的2 , a坐3 )标, (a为1 , a2 , a3 ), ，向量 在 和 下的坐标分
别为
形式上可写成
(e1
e2
)
(e1
e2
)
a11 a21
a12 a22
,
矩阵A
a11 a21
a12
a22
称为从坐标系 1
到坐标系 2
的过渡矩阵 .
注: 1 和 2为同定向的直角坐标系的充要
条
cos -sin
件是 Aco为s正交sin矩 阵 且|A|=1，此时 A sin
cos
矩
1 2
1
阵。2 进一步，如果 ， 是同定向的，那么|A|=1;如果 与
是反定向的，那么|A|=－1。
例1 在平面上，设x' 轴， y' 轴在原坐标系中的
方 程分别为
3x-4y+1=0, 4x+3y-7=0, 且新、旧坐标系都是右手直角坐标系。求 1 到 2 的点 的坐标变换公式；直线l1:2x-y+3=0在新坐标系中的方
那么使用平面的坐标变换公式
的推导方法可以得到
x x x0
y
A y
y0
,
z
z z0
(1.6)
a1
a1
a2
Aa2
,
a3
a3
(1.7)
公式（1.6）称为从 1 和 2 的空间点的仿 射坐标 变换公式，公式(1.7)称为从 1 到 2 的空间向量的仿
射坐标变换公式。
如果 1 ， 2 都是直角坐标系，则可以证明A是正交
)
y(a12e1
a22e2 )
x0
a11
x'
a12
y'
e1 ( y0 a21 x a22 y)e2
xe1 ye2
e1
M
e2
o
o
e2
e1
图4.1
所以 x a11 x a12 y x0
y
a21 x
a22
y
y0
将(1.1)写成矩阵形式
(1.1)
x y
a11 a21
a12 a22
a22e2 )
ve2
因此u v
a11u a12u
a21v a22v
(1.3 )
将它写成矩阵形式
u
v
a11 a21
a12 u
a22
v
(1.3)
(1.3)或 1.3'称为平面向量的仿射坐标变换公式。
1 和 2 的坐标向量之间的关系为
ee12
a11e1 a12e1
a21e2 a22e2
55
55
即 x 2 y 4 0 .
从 2 到1 的点的坐标变换公式为
4
x
y
5 3 5
3
5
4
x - 1
y
-
1
.
5
l2 : x 2 y 1 0在 原坐标系中的方程为
4 5
(
x
1)
3 5
(
y
1)
2
3 5
(
x
1)
4 5
(
y
1)
1
0
,
即 2x-11y+14=0.
例2 在右手直角坐标系中，判断曲面 S: (2x y z)2 ( x y z)2 y z 是什么曲面.
y
sin
- sin cos
x y
x0 y0
.
若θ=0，则
x
y
1 0
0 1
x y
x0
y0
x
y
x0
y0Hale Waihona Puke Baidu
,
(1.4)
（1.4）就是移轴公式。
若O与 O' 重合，则
x y
cos sin
- sin
cos
x y
(1.5)
（1.5）就是转角为θ的转轴公式。
平面上的任一右手直角坐标变换都可以经
x y
x0 y0
或
(1.2)
x
y
x0
y0
a11 a21
a12 a22
x
y
(1.2 )
(1.1)或(1.2)称为平面点的仿射坐标变换公式。
设向量
a在
1下的坐标为(u,v)，在
2下的坐标
为
(ua, v(uu)e，a1 11则vev2a12u)e(1a11(eu1 a2a121ev2 )a22v)e(2a12eu1 e1
1 下的坐标分别是
的坐标分别为( x, y)
(a11, a21 ), (a12
和( x, y).
,
a22
),
点M在
1
和
e1
2
下
如图4.1,因为
M
e2
o
o
e2
e1
图4.1
OM OO' O'M
(x0e1 y0 e2 ) x0e1 y0e2
x((xa1' e1e1' 1ya'2e12'e)2
过移轴和转轴得到。
仿
设
1
{O;e1
1
,
e2
,ee3i},
2
{O;e1,e2 ,e3 } 是空间的两个 (a1i , a2i , a3i )
射坐标系，在 下， 的坐标为
那么形式上(e有1 ,
e2
,
e3
)
(e1
,
e2
,
e3
a11 )a21
a12 a22
a(1i3=1,2,3）,
a23
a31 a32 a33
e e1 1). 下面取
1
的1
坐标 4 , 3
5 5
；同样可得 e2 的
1
坐标为
3 5
,
4 5
;.因此从
1
到 2的点的坐标变换公
式为
4
x
y
5 3
-
3 5 4
x y
1 1
.
5 5
l1 : 2x y 3 0 在新坐标系中的方程为
2( 4 x 3 y 1) ( 3 x 4 y 1) 3 0 ,
第三章 坐标变换与二次曲线的分类
•１ •２ •３ •４ •５
仿射坐标变换的一般理论 二次曲线的类型 用方程的系数判别二次曲线的类型和不变量 圆锥曲线的仿射特征 圆锥曲线的度量特征
§ 1.仿射坐标变换的一般理论
标{之O间;e的1 ,平关e2面系}.上.设我给O们了研在两究个同1下仿一的射个坐坐点标标(为向系量(x10),在y{0O),1;e和e11,,ee222下},的在2坐
解 考虑三个平面
1 : 2x+y+z=0, 2 : x-y-z=0,