第三章 坐标变换与二次曲线的分类.
二次曲线的类型.ppt
x2 y2 a2 b2 0,
(6) 抛物线: y2 2 px 0,
(7) 一对平行直线: y2 a2 0,
(8) 一对虚平行直线: y2 a2 0,
(9) 一对重合直线: y 2 0.
1( x
a14
1
)2
2(
y
a24
2
)2
3(z
a34
3
)2
a124
1
a224
2
a324
3
a44
0
令常数项为 a4' 4 , 得:
1 x2 2 y2 3 z2 a4' 4 0
(1) 123a4' 4 0
(2.7)
1°1, 2 , 3, 同号 ,则同于形式
A E 0
的根,它们全为实数.因此:
1
T
T
AT
2
.
3
对二次曲面的方程(2.3)，我们作如下的右手直角坐
标变换，保持原点不动，从旧坐标系 1 {O;e1,e2,e3}
到新坐标系 2 {O;1 e1,e2,e3} 的过渡矩阵为T,即:
T,
(2.9) 椭圆抛物面 双曲抛物面
(2) a34 0, a4' 4 0, 则(2.8)变为:
1 x2 2 y2 a4'4 0.
(2.10)
9° 1 , 2 同号但与 a4' 4 异号 ,则同于形式:
x2 y2 a2 b2 1 0.
10°1 , 2 , a4' 4 同号,则同于形式:
第三章第一节 仿射坐标变换的一般理论
点的变换公式为：
x 2 1 0 x 1 y 0 1 1 y 2 z 1 0 1 z 0
x 2 x y 1 y y z 2 z x z
e3
e3
ye2 ze3 OM xe1 x (c11e1 c21e2 c31e3 ) y(c12e1 c22e2 c31e3 ) z(c13e1 c23e2 c33e3 ) (c11 x c12 y c13 z )e1 (c21 x c22 y c23 z)e2 (c31 x c32 y c33 z)e3
1.2 图形的坐标变换公式 将空间点的坐标变换公式： x d1 c11 c12 c13 x y d c c c y 21 22 23 2 z d c 3 31 c32 c33 z
于是 I 到 I 的过渡矩阵为 (Cd1 , Cd 2 , Cd 3 ) C (d1 , d 2 , d 3 ) CD 推论： 若I 到I 的过渡矩阵为C ，则 I 到I 1 的过渡矩阵为C 例3. 已知仿射坐标系 I 的三个坐标平面在 仿射坐标系 I 的方程为 yOz面：3 x 2 y 2 z 1 0 xOz面：2 x y - z - 2 0 xOy面：x - 2 y z 2 0 且 I 的原点O 在I 中的坐标为 (1, 4, 2) ， 求I 到 I 的坐标变换公式.
x x 2 y I到II的向量的变换公式: y 2 x y 在I坐标 [ A; e1 , e2 ]下: F E A(0,0), B(1,0), F (0,1), D(2,2) e 2 e2 AC 2 AB AF 2e1 e2 A D e1 C (2, 1) e1 C B E (1, 2) 同理 E 点坐标为： 1 x （x 2 y 2） 3 II到I的点的坐标变换公式: x x 2 y 2 y 1 ( 2 x y 2) 3 y 2 x y 2
《解析几何》向量的线性运算
则称 与 相等, 记作 ＝ . 平行向量: 若向量 与 方向相同或相反, 则称
与 平行, 记作 ∥ .
规定: 零向量与任何向量平行 .
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1.1 向量的概念
反向量: 与 的长度相同, 但方向相反的向量 称为 的反向量, 记作－ .
§1 向量的线性运算 §2 仿射坐标系 §3 向量的内积 §4 向量的外积 §5 向量的多重乘积
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§1 向量的线性运算
1.1 向量的概念 1.2 向量的线性运算 1.3 向量的分解 1.4 在三点共线问题上的应用
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1.1 向量的概念
现实中：温度、时间、身高、体重等量 只有大小，称为数量 (或标量) ;
几何变换法: 通过讨论几何图形在各类几何变换 中性质的变化规律, 由此解决相应 的几何问题.
常见的几何变换: 保距变换, 仿射变换, 射影变换
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课程简介
解析几何的主要创始人 1. 费马 (Fermat Pierre de, 1601-1665, 法国人)
出身商人家庭, 学法律并以律师为职业, 数学只是他 的业余爱好, 尽管如此, 他对数论和微积分作出了第一 流的贡献, 并同帕斯卡(Pascal Blaise) 一起开创了概率 论的研究工作, 他与笛卡儿都是坐标几何的发明者.
的点的坐标所满足的数量关系---来表示,
于是几何问题就可转化为代数问题, 从而
代数方法被引入到几何学的研究中来.
简言之: 坐标法就是建立从几何学对象到某种
数量形式的对应关系, 由此利用代数
方法解决几何问题.
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解析几何中的二次曲线分类
解析几何中的二次曲线分类解析几何是数学中的一个重要分支，它旨在研究图形形状、大小、位置等性质，以及这些性质之间的相互联系。
在解析几何中，二次曲线是一类特殊的几何图形，由于其广泛的应用，在解析几何的研究中占有重要的地位。
本文将介绍二次曲线的分类及其特点。
一、二次曲线的基本概念首先，我们需要澄清二次曲线的定义。
在平面直角坐标系中，我们可以表示一个点的坐标为$(x,y)$。
如果一个点$(x,y)$在坐标系中满足一个由$x$和$y$的二次多项式方程表示的条件，那么这个点就在这个方程所描述的二次曲线上。
二次多项式方程一般的形式为：$$Ax^2+By^2+Cxy+Dx+Ey+F=0$$其中，$A,B,C,D,E,F$为实数，$A$和$B$不能同时为零。
二次曲线的几何形状取决于二次项和常数项的系数。
二、椭圆如果$AC-B^2>0$，那么二次曲线就是椭圆。
这里，$A>0$和$B>0$。
椭圆的特点是，它的任何一条直径都可以被看作是它的两个焦点之间的连线。
此外，椭圆还有一个重要的性质，即它所有点的到两个焦点距离之和是一个定值，叫做椭圆的长轴长度。
三、双曲线如果$AC-B^2<0$，那么二次曲线就是双曲线。
在这种情况下，我们可以定义一个新的变量$y'=\frac{y}{x}$，这样就可以将原方程化为标准式：$$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$$其中，$a$和$b$都是正实数。
双曲线取决于$a$和$b$的大小关系。
如果$a>b$，我们称之为正双曲线；如果$b>a$，我们称之为负双曲线。
无论哪一种情况，双曲线都有一个重要的性质，即它所有点的到两个焦点距离之差是一个定值，叫做双曲线的焦距。
四、抛物线如果$AC-B^2=0$，且$A$和$B$不同时为零，那么二次曲线就是抛物线。
在这种情况下，我们可以将原方程变形为标准式：$$y=ax^2+bx+c$$其中，$a$和$b$都是实数。
坐标变换与二次曲线的分类
第三章 坐标变换与二次曲线的分类本章教学目的：通过本章的学习，掌握仿射坐标变换的一般理论，理解和掌握二次曲线的类型，掌握用方程的系数判别二次曲线的类型,不变量，掌握圆锥曲线的仿射特征组, 度量特征。
本章教学重点：(1) 平面的仿射变换与保距变换, (2) 仿射变换基本定理本章教学难点：(1) 用坐标法研究仿射变换 (2) 图形的仿射分类与仿射性质本章教学内容：第一节 仿射坐标变换的一般理论一 过渡矩阵、向量和点的坐标变换公式1 向量的坐标变换公式在空间中取定两个仿射坐标系，它们的标架分别为231,,,I O e e e ⎡⎤⎣⎦和'''''123,,,I O e e e ⎡⎤⎣⎦。
设向量α在I 和'I 中的坐标(),,x y z 和()''',,x y z 。
又设'1e ,'2e ,'3e 在I 中的坐标依次为()112131,,c c c ，()122232,,c c c ，()132333,,c c c ，即 '1111212313'2121222323'3131232333e c e c e c e e c e c e c e e c e c e c e⎧=++⎪=++⎨⎪=++⎩， 于是由坐标的定义得到α在I 中的坐标为'''111213'''212223'''313233x c x c y c z y c x c y c z z c x c y c z ⎧=++⎪=++⎨⎪=++⎩， ()3.1用矩阵写出为'111213'212223'313233x c c c x y c c c y z c c c z ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦()3.1a 称 ()3.1和()3.1a 为向量的坐标变换公式, ()3.1a 中的矩阵111213212223313233c c c C c c c c c c ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦称为从坐标系I 到'I 的过渡矩阵。
二次曲线方程的化简与分类
(x0 cos y0 (x0 sin
sin )
y0 cos
)
（5.6-4）
平面直角坐标变换公式（5.6-3）是由新坐标系原
点的坐标 (x0, y0 ) 与坐标轴的旋转角 决定的。
确定坐标变换公式，除了上
面的这种情况外，还可以有
其它的方法。
y
M x/ y/
例如给出了新坐标系 的两坐标轴在旧坐标
tg Y a12 a11 , X a22 a12
(aa1211X()aX22a12)YY
0, 0.
ctg 2
1 tg 2 2tg
1 (
2
a12 )2 a22 a12
a22
1 ( a12 )( a11 )
a22 a12
2a12
a11 a22 2a12
a22
因此，上面介绍的通过转轴与移轴来化简二 次曲线方程的方法，实际是把坐标轴变换到与二 次曲线的主直径（即对称轴）重合的位置。
例 1 已知两垂直的直线 l1: 2x y 3 0 与
l2 : x 2 y 2 0 ，取 l1为Ox 轴，l2 为Oy 轴，求
坐标变换公式。
解 设 M (x, y) 的新坐标为 (x, y)，那么有
x x 2 y 2 , y 2x y 3 ,
5
5
根据上面的符号选取法则得变换公式为
项系数仅与原方程的二次项系数及旋转角有关，而
与一次项系数及常数项无关。
2o 一次项系数一般要改变。新方程的一次
项系数
a13 a13 cos a23 sin , a23 a13 sin a23 cos ,
解出 a13, a23 得
a13 a13 cos a23 sin , a23 a13 sin a23 cos ,
§5.6 二次曲线方程的化简与分类
§5.6 二次曲线方程的化简与分类一、平面坐标变换1.移轴和转轴：如果平面内一点的旧坐标与新坐标分别为 (x, y)与(x', y')，则移轴公式为或式中(x0, y0)为新坐标系原点在旧坐标系里的坐标. 转轴公式为或式中α为坐标轴的旋转角. 前一公式为正变换公式，后一公式为逆变换公式. 注意两个变换的矩阵互为逆矩阵，因是正交变换，从而互为转置矩阵.2. 一般坐标变换公式为或3.设在直角坐标系里给定了两条相互垂直的直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0,l2：A2x＋B2y＋C2＝0,其中A1A2＋B1B2＝0，如果取l1 为新坐标系中的横轴O'x'，而直线l2为纵轴O'y'，并设平面上任意点M的旧坐标与新坐标分别是 (x, y)与 (x'，y'), 则有其中正负号的选取应使第一式右端x的系数与第二式右端y的系数相等，即要使得这两项的系数是同号的.二、坐标变换对二次曲线方程系数的影响1．在移轴下，二次曲线F(x, y)≡a11x2 + 2a12xy+a22y2+2a13x+2a23y+a33=0的方程变为即新方程为这里因此，在移轴下，二次曲线方程系数的变化规律为：（1）二次项系数不变；（2）一次项系数变为 2F1(x0, y0)与 2F2(x0, y0)；（3）常数项变为F(x0, y0).从而当二次曲线有中心时，可作移轴，使原点与二次曲线的中心重合，则在新坐标系下二次曲线的新方程中一次项消失.2．在转轴下，二次曲线F(x, y)≡a11x2 + 2a12xy+a22y2+2a13x+2a23y+a33=0的方程变为即新方程为这里因此，在转轴下，二次曲线方程系数的变化规律为：（1）二次项系数一般要改变. 新方程的二次项系数仅与原方程的二次项系数及旋转角有关，而与一次项系数及常数项无关.（2）一次项系数一般要改变. 新方程的一次项系数仅与原方程的一次项系数及旋转角有关，而与二次项系数及常数项无关. 当原方程有一次项时，通过转轴不能完全消去一次项，当原方程无一次项时，通过转轴也不能产生一次项.（3）常数项不变. 从而当二次曲线方程中a12≠0时，选取旋转角α，使,则在新坐标系下二次曲线的新方程中xy项消失.三、二次曲线的方程化简1．利用坐标变换化简二次曲线的方程，在中心曲线时一般应先移轴后转轴；在非中心曲线时则一般应先转轴后移轴.例1．利用移轴与转轴, 化简下列二次曲线的方程，并画出它们的图形.（1）5x2＋4xy＋2y2－24x－12y＋18＝0；（2）x2＋2xy＋y2－4x＋y－1＝0；（3）5x2＋12xy－22x－12y－19＝0；（4）x2＋2xy＋y2＋2x＋2y＝0.解：（1）因为I2＝＝6≠0，所以曲线为中心曲线，由解得中心为(2, 1)，作移轴变换代入曲线原方程，整理得5x'2＋4x'y'＋2y'2－12＝0.由ctg2α＝，即,得 tgα＝－2，tgα＝.不妨取tgα＝，则由图5-1可得sinα＝，cosα＝,作转轴变换代入上述化简方程得6 x"2＋y"－12＝0.即.（如图5-2）.（2）因为I2＝＝0，故曲线为无心曲线，由ctg2α＝＝0,得α＝.作转轴变换代入原方程，整理得＝ 0,配方得＝0.作移轴变换得到 x"2＋y"＝0, 即 x"2＝－y". （如图5-3）.（3）因为I2＝＝－36≠0，所以曲线是中心曲线，由,得中心 (1, 1)，作移轴变换代入原方程，整理得5x'2＋12x'y'－36＝0.由ctg2α＝, 即,解得tg α＝－，tg α＝.不妨取tg α＝，则由图5-４可得sinα＝，cosα＝,作转轴变换代入上述方程整理得9 x"2－4y"2＝36,即.（如图5 – 5）.（４）因为I2＝＝0，故曲线为线心曲线，由ctg2α＝＝0,得α＝，作转轴变换代入原方程，整理得＝0, 配方：. 作移轴变换就有x"2＝, （如图5-6）.2. 利用转轴来消去二次曲线方程的xy项，其几何意义，就是把坐标轴旋转到与二次曲线的主方向平行的位置.如果二次曲线的特征根确定的主方向为，则由得，所以.因此通过转轴与移轴来化简二次曲线方程的方法，实际上就是把坐标轴变换到与二次曲线的主直径（即对称轴）重合的位置. 如果是中心曲线，坐标原点与曲线的中心重合；如果是无心曲线，坐标原点与曲线的顶点重合；如果是线心曲线，坐标原点可以与曲线的任何一个中心重合. 因此二次曲线方程的化简，也可以先求出二次曲线的主直径，以它作为新坐标轴，作坐标变换即可.例2. 以二次曲线的主直径为新坐标轴，化简下列方程，写出相应的坐标变换公式，并作出图形.（1）8x2＋4xy＋5y2＋8x－16y－16 ＝0；（2）x2－4xy－2y2＋10x＋4y ＝0；（3）4x2－4xy＋y2＋6x－8y＋3＝0；（4）4x2－4xy＋y2＋4x－2y＝0.解：（1）因为I1＝8＋5＝13，I2＝＝36≠0，故曲线为中心曲线，特征方程为λ2－13λ＋36＝0,解之得λ1＝4，λ2＝9，由它们确定的非渐近主方向分别为X1 : Y1＝－1:2，X2 : Y2＝2:1.由于F1(x, y)＝8x＋2y＋4，F2(x, y)＝2x＋5y－8，从而由λ1，λ2确定的主直径分别为x－2y＋5＝0, (x')2x＋y＝0, (y')得坐标变换公式为从而有正变换公式（注意此变换的系数矩阵就是上一变换矩阵的转置矩阵）代入原方程并整理得9 x'2＋4y'2－36＝0,即.同时 cosα＝，sinα＝，(x0, y0)＝(－1, 2)，由图6-7可得tgα＝，从而可确定α并作出图形，如图5-8.（２）因为I1＝1－2＝－1，I2＝＝－6 ≠0，故曲线为中心曲线，特征方程为λ2＋λ－6＝0.解之得λ1＝2，λ2＝－3，由它们确定的非渐近主方向分别为X1 : Y1＝－2: 1，X2 : Y2＝1: 2,由于F1(x, y)＝x－2y＋5，F2(x, y)＝－2x－2y＋2，从而由λ1，λ2确定的主直径分别为2x－y＋4＝0, (x')x＋2y－3＝0, (y')得坐标变换公式为从而有正变换公式代入原方程并整理得－3 x'2＋2y'2－1＝0.即－.同时sinα＝，cosα＝，(x0, y0)＝(－1, 2)，如图5—10.（3）因为I1＝4＋1＝5, I2＝＝0,,故曲线为无心曲线，特征方程为λ2－5λ＝0,解之得λ1＝5，λ2＝0，由λ1确定的非渐近主方向X1 : Y1＝－2: 1，由λ2确定的渐近主方向为X2 : Y2＝1: 2,由于F1(x, y)＝4x－2y＋3，F2(x, y)＝－2x＋y－4，，从而由λ1确定的唯一主直径为2x－y＋2＝0,将它取为O'x'轴，由解得曲线的顶点为，过它且垂直于2x－y＋2＝0的直线方程为x＋2y＋＝0,将它取为轴O 'y'，得坐标变换公式为，从而有正变换公式代入原方程并整理得5y' 2 －x'＝0.即y' 2 ＝x'.同时sinα＝，cosα＝，(x0, y0)＝, 如图5-12.（4）因为I1＝4＋1＝5, I2＝＝0, ，故曲线为线心曲线，特征方程为λ2－5λ＝ 0,解之得λ1＝5，λ2＝0，由λ1确定的非渐近主方向X1 : Y1＝－2: 1，由λ2确定的渐近主方向为X2 : Y2＝1: 2,由于F1(x, y)＝4x－2y＋2，F2(x, y)＝－2x＋y－1，从而由λ1确定的唯一主直径为2x－y＋1＝0,将它取为O'x'轴，过原点与它垂直的直线x＋2y＝0取为O'y'轴，得坐标变换公式为从而有正变换公式代入原方程并整理得5y' 2 －1＝0,即y' 2 ＝.同时 sinα＝，cosα＝，(x0, y0)＝,如图5-14.四、二次曲线的分类1.不论采用哪种方法化简方程，尽管所化简的曲线方程其形式可能不一致，但它们所刻划的几何图形相对于原坐标系而言是完全一致的.2.适当选取坐标系，二次曲线的方程总可以化成下列三个简化方程中的一个：(I) 中性心线： a11x2＋a22y2＋a33＝0，a11a22≠ 0；(II)无心曲线： a22y2＋2a13 x＝0，a22a13≠ 0；(III) 线心曲线： a22y2＋a33＝0，a22≠ 0.3.二次曲线以上三种简化方程总可以写成下面九种标准方程的一种形式：(I) 中性心线：[1] ＝ 1 (椭圆)；[2] ＝－1 (虚椭圆)；[3] ＝ 1 (双曲线)；[4] ＝ 0 (点或称两相交于实点的共轭虚直线)；[5] ＝ 0 (两相交直线)；(II) 无心曲线：[6] y2＝2px (抛物线)；(III) 线心曲线：[7] y2＝a2 (两平行直线)；[8] y2＝－a2 (两平行共轭虚直线)；[9] y2＝ 0 (两重合直线).例3. 试证中心二次曲线ax2＋2hxy＋ay2＝d的两条主直径为x2－y2＝0，曲线的两半轴的长分别是及.证明：因为曲线为中心曲线，所以I1＝a＋a＝2a，I2＝＝a2－h2 ≠ 0, a ≠±h,特征方程为λ2－2aλ＋(a2－h2)＝ 0,解之得λ1＝a＋h，λ2＝a－h，由它们确定的非渐近主方向分别为X1 : Y1＝1: 1，X2 : Y2＝－1: 1,由于F1(x, y)＝ax＋hy，F2(x, y)＝hx＋ay，从而由λ1，λ2确定的主直径分别为x＋y＝0, (y') x－y＝0, (x')即曲线的两条主直径为x2－y2＝0. 将它们分别取作O'y'轴与O'x'轴，得坐标变换公式为从而求得正变换公式代入曲线原方程整理得（依题意d ≠0）,即.所以两半轴长分别为和.例4. 已知≠0，且a1 a2＋b1 b2＝0，试求二次曲线(a1x＋b1y＋c1)2＋(a2x＋b2y＋c2)2＝1的标准方程与所用的坐标变换公式.解：因为a1 a2＋b1 b2＝0，所以直线a1x＋b1y＋c1＝0 与a2x＋b2y＋c2＝0互相垂直，分别取为O'y'轴与O'x'轴，得坐标变换公式为[其中a i, b i (i=1,2)不全为0]式中正负号的选取使得第一式中x的系数与第二式中y的系数相同，代入原方程得.由a1 a2＋b1 b2＝0 知λ≠ 0则a1＝λb2，b1＝－λa2，从而,注意到a2，b2不全为0，≠ 0, 代入得＝1,或令λ'=≠ 0，有＝1.作业题：1. 试证在任意转轴下，二次曲线新旧方程的一次项系数满足关系式.2. 利用坐标变换方法或主直径方法，化简下列二次曲线的方程，并画出它们的图形.(1) 2xy－4x－2y＋3＝0；(2) 5x2＋8xy＋5y2－18x－18y＋9＝0；(3) x2＋2xy＋y2－4x＋y－1＝0;(4) x2－3xy＋y2＋10x－10y+21＝0;(5) x2－xy＋y2＋2x－4y＝0；(6) x2+6xy＋y2＋6x+2y－1＝0；(7) x2－2xy＋y2＋2x－2y－3＝0；(8) x2+2xy＋y2＋2x＋y＝0.。
二次曲线的方程化简与分类
x y
A2 x A1x
B2 y C2 z
A22 B22 B1 y C1z
A2 A22 B22
cos ，
A12B2B12 A22 B22
sin ，
（﹡）
A1 A12 B12
sin ，
B1 A12 B12
cos
．
（*）的符号选取要使得第一式右端 x 的系数与第二式
与二次曲线的中心重合，则在新坐标系下二次曲线的新方程 中一次项消失.
张 之 正 解析几何
6
Mathematical Scien20c2e1/C8o/2l9lege
2．二次曲线方程的化简与分类
2. 转轴：
数学科学学院
x xcos ysin
y
x sin
y
cos
转轴变换规律：
1°二次项系数一般要改变．
定理2 通过适当选取坐标系，二次曲线的方程 总可以写成下面九种标准方程的一种形式：
[1] x2 y2 1 (椭 圆) a2 b2
张 之 正 解析几何
12
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2．二次曲线方程的化简与分类
数学科学学院
[2]
x2 a2
y2 b2
1 (虚 椭 圆)
a12 0 ．为此，取 ，使得
a12 a22 a11sin cos a12 cos2 sin2 0 ，
即 a22 a11 sin 2 2a12 cos 2 0 ，
cot 2 a11 a22
∴
2a12
张 之 正 解析几何
8
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§5.6 二次曲线的方程化简与分类
解析几何 第三章 坐标变换与二次曲线的分类
x y
x y
d1 d2
19
§2 二次曲线的类型
先讨论在平面右手直角坐标系中，二次方程： a11x2 a22 y2 2a12 xy 2b1x 2b2 y c 0
所代表的二次曲线 的几何形状。 目标：寻找一个新的右手直角坐标系，使得 在其中
的方程成为标准方程，从而看出其几何形状。
方法：转轴（消去交叉项）+ 移轴（进一步化简）
r e2
r e3
)
C
x
y z
r ( e1
r e2
r e3
)
c11 c21 c31
x x x
c12 c22 c32
y y y
c13 z c23 z c33 z
9
对比 可知
r
r ( e1
r e2
r e3 )
x
y z
x x c11x c12 y c13z
y z
C
,r
n
和
r
1,
r
2
,L
r
, m 为两组向量，
若
Lrrr12mLLaaa111L12mrr1L1r1Laaa22L122rmrL22r2LLLLLLaanLna12nrLrmnnrn
则利用形式写法可记为：
rr
(1 2 L
r
n)
(r1
r2
L
rn
)
a11 a21 L
a12 a22 L
L L L
an1 an2 L
10
M g
er3
r e3
er2 o er1
o er1
r e2
两个标架之间的关系:
①
uuur OO
二次曲线的分类和二次曲面的分类-概述说明以及解释
二次曲线的分类和二次曲面的分类-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述：二次曲线和二次曲面是解析几何学中重要的研究对象，它们具有许多美妙的几何性质。
在本文中，我们将讨论二次曲线和二次曲面的分类，包括椭圆、抛物线、双曲线、椭球面、抛物面和双曲面等。
通过对这些曲线和曲面的特点和性质进行深入的研究，我们可以更好地理解它们在几何学中的应用和意义。
本文将分析这些曲线和曲面的方程、图像和几何特征，帮助读者全面了解它们的分类和区分。
希望本文能够对二次曲线和二次曲面的研究有所启发，并为相关领域的学习和研究提供参考和帮助。
文章结构部分内容如下:1.2 文章结构：本文主要分为引言、正文和结论三个部分。
在引言部分，将概述二次曲线和二次曲面的概念，说明文章结构和目的。
在正文部分，将详细讨论二次曲线和二次曲面的分类，包括椭圆、抛物线、双曲线以及椭球面、抛物面、双曲面的形态和特点。
最后在结论部分，对文章进行总结，并探讨二次曲线和二次曲面在实际应用中的意义，展望未来可能的发展方向。
整个文章结构严谨有序，逻辑清晰，旨在帮助读者更深入地了解二次曲线和二次曲面的分类和特性。
文章1.3 目的：本文旨在对二次曲线和二次曲面进行分类和介绍，帮助读者更好地理解和区分不同类型的二次曲线和曲面。
通过本文的阐述，读者将了解椭圆、抛物线、双曲线、椭球面、抛物面和双曲面的定义、性质和特点。
同时，本文也旨在展示二次曲线和曲面在数学、物理和工程等领域的应用，以及未来对其研究的展望。
通过本文的阅读，读者将深入了解二次曲线和曲面的重要性和应用价值。
": {}}}}请编写文章1.3 目的部分的内容2.正文2.1 二次曲线的分类二次曲线是一个二次方程所描述的平面曲线。
在代数几何学中，二次曲线可以分为三种基本类型：椭圆、抛物线和双曲线。
这些曲线在平面上具有不同的几何性质和形态。
2.1.1 椭圆椭圆是一个闭合的曲线，其定义为所有到两个定点的距离之和等于一个常数的点的集合。
解析几何 第一章
2.3 几何应用举例
有了仿射坐标系，用向量的线性运算就可把几何 问题的计算过程数量化。 例1.6 设在空间仿射坐标系中,向量α, β的坐标分别为 ( x1 , y1 , z1 )和( x2 , y2 , z 2 ), 则 α//β x1 x2 y1 y2 y1 y2 z1 z2 x1 x2 z1 z2 0.
2.向量与数乘积
定义1.2 向量α与实数的乘积是一个向量， 记作α. 其大小为 | α || | | α | . 方向为 若 0, 则α与α同向; 若 0, 则α与α反向; 这种运算叫做数与向量的乘法, 简称数乘.
由定义，α// α , 反之, 若α 0, 并且向量β// α,则必存在 |β| 实数 , 使β α,事实上只需取 , 这里 |α| 1, 当β与α同向, 1, 当β与α反向. β 注 : 以后把这个数记作 . α 则当β, γ都平行于α时有 β γ β γ , α α α 当α, β, γ两两平行 ,并且α, β都不为零时 , 有 γ β γ . β α α
CB 易知， (1) ( A, B, C )( B, A, C ) 1, (2) ( A, B, C ) ( A, C , B) 1. 并且＝( A, B, C )与s的关系是＝ s . 1 s
例1.3 设三角形ABC中，点D, E , F分别在AB, BC , AC边上，使得线段AE, BF 和CD交于一点O. 已知 1 ( A, B, D) (C , A, F ) , 求( B, C , E ), ( A, E , O), 2 (C , D, O)和( B, F , O).
§2 仿射坐标系 2.1仿射坐标系的定义
定义1.3 空间中一点O与三个不共面向量e1 , e2 , e3一起 构成空间的一个仿射标架，记作[O; e1 , e2 , e3 ]. 称O为 它的原点，称e1 , e2 , e3为它的坐标向量.对于空间的任 意一点A, 把向量OA(称为A的定位向量)对e1 , e2 , e3的 分解系数构成的有序数组称为点A关于上述仿射标 架的仿射坐标. 这样得到的空间的点与三元有序数组 的对应关系称为由仿射标架[O; e1 , e2 , e3 ]决定的空间 仿射坐标系 .
二次曲线分类及标准型
二次曲线分类及标准型
二次曲线是二次多项式方程的图像，通常可以表示为形如 y = ax^2 + bx + c 的方程，其中 a、b、c 是实数且a ≠ 0。
根据二
次曲线的特征，可以将其分为以下几类，抛物线、椭圆、双曲线和圆。
1. 抛物线，抛物线是最常见的二次曲线类型。
根据二次项系数
a 的正负性，抛物线可以分为两类，当 a > 0 时，抛物线开口向上，称为正抛物线；当 a < 0 时，抛物线开口向下，称为负抛物线。
抛
物线的标准型为 y = ax^2 + bx + c，其中a ≠ 0。
2. 椭圆，椭圆是一种闭合曲线，其定义为到两个给定点的距离
之和等于常数的点的轨迹。
椭圆的标准型为 x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，其中 a 和 b 分别是椭圆的长半轴和短半轴。
3. 双曲线，双曲线是一种开放曲线，其定义为到两个给定点的
距离之差等于常数的点的轨迹。
双曲线的标准型为 x^2/a^2
y^2/b^2 = 1，其中 a 和 b 分别是双曲线的长半轴和短半轴。
4. 圆，圆是一种特殊的椭圆，其定义为到给定点的距离等于常
数的点的轨迹。
圆的标准型为 (x h)^2 + (y k)^2 = r^2，其中 (h, k) 是圆心的坐标，r 是半径的长度。
需要注意的是，以上标准型是简化形式，实际上二次曲线的方
程可能经过平移、旋转等变换后的形式会有所不同。
除了上述分类和标准型，二次曲线还有许多其他的性质和特点，如焦点、直径、离心率等。
这些性质可以通过对二次曲线方程进行
进一步的分析和计算来得到。
二次曲线方程的化简与坐标变换
二次曲线方程的化简与坐标变换
二次曲线方程可以通过合并同类项并以标准形式表示，也可以通过坐标变换将其转化为标准形式。
合并同类项就是将二次项、一次项和常数项中的同类项合并在一起，得到形式为“ax²+bx+c”的二次曲线方程。
其中，a、b、c分别为三个系数。
将二次曲线方程转化为标准形式可以通过坐标变换来实现，常见的坐标变换有平移变换和旋转变换。
平移变换是指将坐标系的原点平移一定的距离，以达到将曲线方程化为标准形式的目的。
对于一般的二次曲线方程，可以通过将坐标系的原点平移到顶点处来实现化简，具体方法可以参考平面几何中的相关知识。
旋转变换是指将坐标系旋转一定的角度，以达到将曲线方程化为标准形式的目的。
对于某些特殊情况下的二次曲线，如双曲线、椭圆和抛物线等，可以通过坐标系的旋转来实现化简。
具体方法也可以参考平面几何中的相关知识。
总之，二次曲线方程的化简和坐标变换是数学中常用的技巧，需要结合具体情况进行操作。
《二次函数曲线与坐标变换》
《二次函数曲线与坐标变换》
《二次函数曲线与坐标变换》是一篇关于函数曲线以及如何应用它们的坐标变换的文章，主要内容如下：
首先，二次函数曲线是其中最重要的函数曲线之一。
它表示由二次项组成的多项式函数曲线，其函数参数可以改变这些曲线的形状和特性。
它可以具有不同的凸度和拐点，其极值可能是极大值、极小值或者驻点，并且它们可以移动到任意平面上。
其次，使用坐标变换来进行函数曲线的分析非常有用，尤其是二次函数曲线。
它们能够更改曲线的形状和特性，例如更改凸度和拐点的位置，从而帮助理解曲线的变化。
此外，坐标变换还允许曲线可以在不同空间内同时变换。
最后，可以将坐标变换与其他图形进行比较，以观察不同模型的变化，并进行更复杂的分析。
例如，可以使用坐标变换来比较多种函数曲线之间的差异，以及如何在实际中应用它们。
总之，二次函数曲线与坐标变换是函数曲线分析的重要组成部分，其应用可以让我们更好地理解曲线的变化，以及不同模型之间的比较。
我们可以将它们应用到实际问题中，解决诸如函数曲线绘制等更复杂的问题。
3-1仿射坐标变换的一般理论
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1.1, 1.2 坐标变换公式
= xe1 + ye2 + ze3
= x(c11e1 + c21e2 + c31e3) + y(c12e1 + c22e2 + c32e3) + z(c13e1 + c23e2 + c33e3)
第三章 二次曲线的分类
在空间或平面中, 同一点在不同坐标系下的坐标 不相同, 从而图形方程也不相同.
如在平面上, 圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线) 只在直角坐标系中的方程才是标准方程:
a x2 2b y2 2 1 , a x2 2b y2 2 1 , y22px 在其他坐标系下方程可能会很复杂. 在第二章中 的椭球面、单叶双曲面、双叶双曲面、椭圆抛 物面和马鞍面等也是在直角坐标系中讨论的.
= (c11x + c12y + c13z) e1 + (c21x + c22y + c23z) e2 + (c31 x + c32y+ c33z) e3
说明 在 I 中的坐标为
x c11x c12y c13z y c21x c22y c23z z c31x c32y c33z
(3.1)
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1.1, 1.2 坐标变换公式
点的坐标变换公式 设点 M 在 I 和 I 中的坐标分别为(x, y, z) 和
(x, y, z), 它们分别是向量 OM 在 I 中的坐标 和 OM 在 I 中的坐标. 根据 (3.1a) 得 OM 在 I 中的坐标为
高中几何知识解析二次曲线的分类及性质
高中几何知识解析二次曲线的分类及性质二次曲线在高中几何学中是一个重要的概念，它们在代数和几何之间建立了联系。
本文将解析二次曲线的分类及其性质，帮助读者更好地理解和应用这一知识。
一、二次曲线的分类二次曲线是由二次方程定义的。
一般来说，二次方程的标准形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为常数，且a≠0。
根据二次曲线的方程的系数，我们可以将二次曲线分为以下三种情况：1. 抛物线当a>0时，二次曲线是一个抛物线。
具体而言，a的正负决定了抛物线的开口方向。
当a>0时，抛物线开口朝上；当a<0时，抛物线开口朝下。
此外，当二次方程无实根时，抛物线完全位于x轴的上方或下方；当二次方程有一个实根时，抛物线与 x 轴相切；当二次方程有两个实根时，抛物线与 x轴相交于两点。
2. 椭圆当a和b的系数符号都相同且不为零时，二次曲线是一个椭圆。
椭圆的形状可以通过a和b的值来确定，其中a决定了椭圆的纵轴长度，b决定了椭圆的横轴长度。
若a>b，椭圆的长轴与y轴平行；若a<b，椭圆的长轴与 x 轴平行。
椭圆的中心为坐标原点(0,0)。
3. 双曲线当a和b的系数符号不同且不为零时，二次曲线是一个双曲线。
双曲线分为两支，形状与椭圆相似，但各支之间有一条明显的空隙。
双曲线的形状也可以通过a和b的值来确定，其中a决定了双曲线的纵轴长度，b决定了双曲线的横轴长度。
若a>b，双曲线的长轴与y轴平行；若a<b，双曲线的长轴与 x 轴平行。
双曲线的中心为坐标原点(0,0)。
二、二次曲线的性质除了分类外，二次曲线还有许多重要的性质值得了解。
1. 对称性二次曲线具有与x轴、y轴或原点对称的性质。
具体而言，当二次曲线关于x轴对称时，方程中只含有偶次项；当二次曲线关于y轴对称时，方程中只含有x的奇次项；当二次曲线关于原点对称时，方程中只含有奇次项。
2. 焦点和准线对于椭圆和双曲线，它们都有焦点和准线。
二次曲线方程的化简与分类
－92－§5.8 二次曲线方程的化简与分类1．坐标变换下二次曲线方程的系数变化规律设二次曲线Γ 的方程为F (x , y )≡022233231322212211=+++++a y a x a y a xy a x a(1)为了选择适当的坐标变换以使曲线Γ在新坐标系下的方程最为简单，我们必须先了解在坐标变换下二次曲线方程的系数的变化规律．因为一般的坐标变换总可以看成是由移轴与转轴组成的，我们首先分别考察在移轴与转轴下，二次曲线Γ 的方程（1）的系数是怎样变化的．在移轴（5.7－1）⎩⎨⎧+'=+'=00y y y x x x下，设二次曲线Γ 的新方程为 ))((2)(),(0012201100y y x x a x x a y y x x F +'+'++'≡+'+'0)(2)(2)(330230132022=++'++'++'+a y y a x x a y y a化简整理得：022233231322212211='+''+''+''+'''+''a y a x a y a y x a x a这里⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++++='=++='=++='='='='),(222),(),(,,00330230132022001220113300223022012230011301201113222212121111y x F a y a x a y a y x a x a a y x F a y a x a a y x F a y a x a a a a a a a a (2)因此可得命题5.8.1 在移轴（5.7－1）下，二次曲线方程（1）的系数的变换规律为： 1°二次项系数不变；2°一次项系数变为),(2001y x F 与),(2002y x F ； 3°常数项变为),(00y x F ．因为当（x 0，y 0）为二次曲线（1）的中心时，有),(001y x F = 0，0),(002=y x F ，所以当二次曲线有中心时，作移轴使新原点与二次曲线的中心重合，则在新坐标系下二次曲线的新方程中就不再包含一次项．把转轴公式（5.7－3），即⎩⎨⎧'+'='-'=ααααcos sin sin cos y x y y x x 代入（1），得在转轴（5.7－3）下二次曲线（1）的新方程为022233231322212211='+''+''+''+'''+''a y a x a y a y x a x a这里－93－⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧='+-='+='+-='-+-='++='3333231323231313222122112222121122122221221111cos sin sin cos cos cos sin 2sin )sin (cos cos sin )(sin cos sin 2cos a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a αααααααααααααααα (3)于是有命题5.8.2 在转轴（5.7－3）下，二次曲线方程（1）的系数的变换规律为： 1°二次项系数一般要改变．新方程的二次项系数仅与原方程的二次项系数及旋转角有关，而与一次项系数及常数项无关．2°一次项系数一般要改变．新方程的一次项系数仅与原方程的一次项系数及旋转角有关，与二次项系数及常数项无关．3°常数项不变． 从（3）中的ααααcos sin sin cos 231323231313a a a a a a +-='+='中解出2313,a a ，得ααααcos sin sin cos 231323231313a a a a a a '+'='-'=则可看到，在转轴下，二次曲线方程（1）的一次项系数2313a a 、的变换规律与点的坐标x ，y 的变换规律完全一致．当原方程有一次项时，通过转轴不能完全消去一次项；当原方程无一次项时，通过转轴也不会产生一次项．二次曲线方程（1）里，若012≠a ，我们往往使用转轴使新方程中的012='a ．为此，只要取旋转角α，使0)sin (cos cos sin )(2212112212=-+-='ααααa a a a 即可． 令 02cos 22sin )(121122=+-ααa a a 得 12221122cot a a a -=α (5.8－1)因为余切的值可以是任意实数，所以总有α 满足（5.8－1），也就是说总可以经过适当的转轴消去（1）中的xy 项．2．确定坐标变换步骤的基本原则对任何一条二次曲线的方程，我们都可以先移轴、后转轴进行坐标变换，也可以先转轴、后移轴进行坐标变换，两种方法都可以将方程化简．如果决定先转轴，则根据（5.8－1）可以确定坐标系的旋转角．因而无论对于何种类型的二次曲线，先转轴总是可行的．如果决定先平移，就得先确定把旧坐标系的原点移到何处．对于中心二次曲线，我们一般把新坐标系的中心定为曲线的中心，而中心可以先求出．但对于无心二次曲线，为了得到曲线的标准方程，应该把新坐标系的中心定为曲线的顶点，而顶点却不易先求出．于是，我们在利用坐标变换对二次曲线的方程进行化简时，一般都按照下面的原则进行： 先根据I 2判断曲线的类型．如果I 2 ≠ 0，说明曲线是中心型的．应先求出中心，再移轴，然后转轴．－94－如果I 2＝0，说明曲线是非中心型的，先转轴，消去交叉项xy 后把所得的方程配方，一般就可以确定新坐标系的原点，再移轴．经验证明，这里给出的原则可以在一定程度上减少方程化简的运算量．3．二次曲线方程的化简实例与方法分析以下通过对几个例题的分析，说明如何具体地对一个给定的二次曲线方程进行化简． 例1 化简二次曲线方程01124422=+-+++y x y xy x ，并画出它的图形． 解 I 2 = 1 × 4 － 2 2 = 0，曲线是抛物型（非中心型）的，应先转轴． 设旋转角为α，则应有：434412cot -=-=α 即 43tan 2tan 12-=-αα所以 02tan 3tan 22=--αα从而得 21tan -=α 或 tan α＝2取tan α＝2（若取tan α＝－ 1 / 2，同样可将原方程化简），则有51cos ,52sin ==αα所以得转轴公式为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'+'='-'=)2(51)2(51y x y y x x 代入原方程化简整理得转轴后的新方程为01555252=+'-'+'y x x配方得05552='-⎪⎪⎭⎫⎝⎛+'y x 再作移轴⎪⎩⎪⎨⎧'=''+'=''y y x x 55曲线方程就化为最简形式052=''-''y x或写成标准方程为y x ''=''52这是一条抛物线．它的顶点是新坐标系O"－x"y" 的原点，原方程的图形可以根据它在坐标系O"－x"y" 中的标准方程作出，如图5.8.1所示．作图要点：坐标系O －xy 旋转角度︒≈44.63)5/2arcsin(，成O'－x'y'，再把坐标系O'－x'y' 平移到（5/5-，0），图5.8.1－95－得 O"－x"y"．在新坐标系O"－x"y" 中可 根据抛物线的标准方程y x ''=''52作图．为了看出曲线在原坐标系中的位置，作图时需要将新旧坐标系同时画出． 例2 化简二次曲线方程018122424522=+--++y x y xy x并画出它的图形．解 因 I 2＝5 × 2 － 22＝6≠0，所以曲线为中心二次曲线．解方程组⎩⎨⎧=-+≡=-+≡0622),(01225),(21y x y x F y x y x F 得中心为 (2，1)．取 (2，1) 为新原点，作移轴⎩⎨⎧+'=+'=12y y x x 原方程变为0424522=-'+''+'y y x x①这里实际上只需计算F (2，1)＝－ 4，因为移轴时二次项系数不变．再转轴消去y x ''项．令434252cot =-=α 即 43tan 2tan 12=-αα所以 02tan 3tan 22=-+αα从而得 21tan =α 或 tan α＝－ 2取tan α＝1 / 2，可得51sin ,52cos ==αα，用转轴公式 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧''+''='''-''='y x y y x x 52515152代入①，可将方程化简为12622=''+''y x标准方程是112222=''+''y x 这是一个椭圆，它的图形如图5.8.2图5.8.2所示．要比较准确地画出新旧坐标系和曲线的图形，必须掌握好比例、新旧原点的位置以及坐标轴的旋转角．本题中坐标轴的旋转角︒≈=6.26)5/1arcsin(α．注 本题转轴时若取tan α＝－ 2，则可得52s i n ,51c o s -==αα（旋转角是︒-≈-=4.6352arcsin α），所得的转轴公式是－96－⎪⎪⎩⎪⎪⎨''+''-='y x y 515255 得到的标准方程为 121222=''+''y x ，图形相对于原坐标系的位置不变．此时O"x"轴的正向恰好是图5.8.2中y" 轴的反向．利用转轴消去二次曲线方程的xy 项的几何意义，就是把坐标轴旋转到与二次曲线的主方向平行的位置．这是因为，如果二次曲线的特征根λ确定的主方向为X ︰Y ，那么有⎩⎨⎧=-+=+-0)(0)(22121211Y a X a Y a X a λλ 由此可得平行于主方向的斜率为12112212tan a a a a X Y-=-==λλα ∴122211221212112212221222212222121tan 2tan 12cot a a a a a a a a a a a a a -=-⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-=λλλλλααα 因此，上面介绍的通过转轴与移轴来化简二次曲线方程的方法，实际上是把坐标轴变换到与二次曲线的主直径（即对称轴）重合的位置．如果是中心曲线，坐标原点与曲线的中心重合；如果是无心曲线，坐标原点与曲线的顶点重合；如果是线心曲线，坐标原点可以与曲线的任何一个中心重合．根据消去二次曲线方程中交叉项的几何意义，我们在化简二次曲线（1）的方程时，也可以先求出曲线的主直径，然后以它作为新坐标轴，作坐标变换．例3 化简二次曲线方程021*******=+-++-y x y xy x并作出它的图形．解法1 I 2＝1 × 1 － 45232-=⎪⎭⎫⎝⎛- < 0，所给的二次曲线是双曲型的．令 ⎩⎨⎧=-+-=+-0102301032y x y x解得中心坐标为 (－ 2，2) ． 作坐标平移⎩⎨⎧+'=-'=22y y x x 就将原方程化为01322=+'+''-'y y x x令 03112cot =--=α 得转轴应取的旋转角为 π / 4．故转轴xx'yy'x"y"OO'图5.8.3－97－⎪⎪⎩⎪⎪⎨''+''=')(212y x y就把二次曲线的方程化简为01252122=+'+'-y x 即15/2222='-'y x 这是一条双曲线，其图形如图5.8.3所示．解法2I 1＝1 ＋ 1＝2， I 2＝1 × 1 － 45232-=⎪⎭⎫⎝⎛-于是曲线的特征方程是04522=--λλ 解得两特征根为25,2121=-=λλ因而曲线的两个主方向为1X ︰231-=Y ︰1)121(=--︰12X ︰232-=Y ︰1)125(-=-︰1曲线的两条主直径为0523523=⎪⎭⎫⎝⎛-+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-y x y x与0523523=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+--y x y x 即x ＋ y ＝0 与x － y ＋ 4＝0取x － y ＋ 4＝0为x' 轴，x ＋ y ＝0为y' 轴，根据（5.7－7）可取坐标变换公式为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+--='+='242y x y y x x 反解出x 与y 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+'+'=-'-'=2212122121y x y y x x代入已知曲线方程，经过整理得曲线在新坐标系下的标准方程为15/2222='-'y x 这是一条双曲线．在作图时，必须首先确定x' 轴的正向．在变换公式的x' 表达式的右端，x 项的系数为,21y 项的系数为,21把这些系数与公式（5.7－7）比较就知道21cos ,21sin ==αα，－98－因此x' 轴与x 轴的交角为4π=α，同时从坐标变换公式也可以直接看到新坐标系的原点的旧坐标是 (－ 2，2)．当新坐标系确定之后，曲线就可以在新坐标系里按标准方程作出，其图形还是图3－7，可认为移轴和转轴是一次完成的． 两种解法相比，解法1显得简便一些，其计算量小，步骤也比较规范，具有较强的“可操作性”．但解法2强调直接根据主直径得出一般坐标变换公式，在理论上有一定的价值．无心二次曲线只有一条主直径，若按解法2选其为坐标轴后，另一条坐标轴如何确定呢？我们可以求出这条主直径与二次曲线的交点——二次曲线的顶点，然后取过顶点垂直于已知主直径的直线作为另一条坐标轴，则可写出一般坐标变换公式，进而将二次曲线的方程化简．例4 化简二次曲线方程02222=++++y x y xy x ．解 由于I 1 = 1 ＋ 1 = 2，I 2 = 1 × 1 － 12= 0，曲线是非中心型的． 解特征方程022=-λλ，得特征根为 λ 1 = 2， λ 2 = 0．曲线的非渐近主方向为对应于λ 1 = 2的主方向X ︰Y ＝1︰1，所以曲线的主直径为021)1(=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++y x y x即 x ＋ y ＋43= 0将此主直径的方程与原曲线的方程02222=++++y x y xy x 联立，即求得曲线的顶点为(3 / 16，－15 / 16)．过顶点且以求得的非渐近主方向为方向的直线为116/15116/3+=-y x 即 x － y －89= 0这也是过顶点垂直于主直径的直线．取主直径043=++y x 为新坐标系的x' 轴，取直线089=--y x 为y' 轴，作坐标变换，则变换公式为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++='--='24/328/9y x y y x x 解出x 与y 得到 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-'+'-=+'+'=1615)(21163)(21y x y y x x代入已知方程，经过整理得02222='+'x y ，化为标准方程就是 x y '-='422 这是一条抛物线．若要画出这条抛物线，必须确定代表x' 轴的直线的正向．设x' 轴与x 轴的交角为α，则根据变换公式有21sin -=α，21cos =α，因此4π-=a ，于是x '轴的正向就能确定了．新坐标轴作出后，就能在新坐标系下，根据抛物线的标准方程来作出它的图形（图形略）．－99－例5 化简二次曲线的方程 0322222=--++-y x y xy x ． 解 所给二次曲线的矩阵为A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----311111111 A 的第一行和第二行的元素成比例，这表示F 1 (x ，y ) = 0和F 2 (x ，y ) = 0是同一条直线，曲线为线心曲线，它的惟一的一条直径即曲线的中心直线，也就是曲线的主直径，其方程就是F 1 (x , y ) = 0：x － y ＋ 1 = 0取其为新坐标系的x' 轴，再取任意垂直于此中心直线的直线，比如x ＋ y ＝0为新坐标系的y' 轴作坐标变换，则变换公式为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+--='+='212y x y y x x 解出x 与y ，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+'+'=-'-'=212121212121y x y y x x代入已知方程，经过整理得0422=-'y即 2y '= 2 或 y'＝2± 这是两条平行直线（图5.8.4）．对于线心曲线，我们可以直接从原方程分解为两个一次因式，从而可立即作出它的图形．如例5的方程可以改写为 03)(2)(2=--+-y x y x 就是 0)1)(3(=--+-y x y x因此原方程表示两条直线图5.8.4x － y ＋ 3 = 0 与 x － y － 1 = 0它们的图象如图5.8.4所示．当二次曲线的方程表示两条实直线时，直接分解得到两个一次方程通常是最简单有效的化简方法，因为这样可避免进行坐标变换．除了线心曲线外，中心二次曲线是两条相交直线时，也可对原方程直接分解．例6 化简二次曲线方程021*******=+---+y x y xy x ．解 计算得I 2 < 0，I 3 = 0，可知所给二次曲线是退化的双曲型曲线，表示两条相交直线．直接将原方程左边分解因式，得(x － y ＋ 3)(2x ＋ 3y － 7) = 0故原二次曲线的方程表示两条相交直线x － y ＋ 3 = 0 和 2x ＋ 3y － 7 = 0－100－ 4．二次曲线的简化方程通过上面的例子，我们可以得出下面的一般结论．命题 5.8.3 通过适当的坐标变换，二次曲线的方程总可以化成下面三个简化方程中的一个：（I ）0,0221133222211≠=++a a a y a x a ；（II ）0,021********≠=+a a x a y a ； （III ）0,02233222≠=+a a y a ．证 二次曲线可分为中心曲线、无心曲线与线心曲线三类，现按这三种情况来讨论． 1°当已知二次曲线为中心曲线时，取它的一对既共轭又相互垂直的主直径作为坐标轴建立直角坐标系．设二次曲线在这样的坐标系下的方程为022233231322212211=+++++a y a x a y a xy a x a因为这时原点就是曲线的中心，所以方程中没有一次项，即02313==a a其次，二次曲线的两条主直径（即坐标轴）的方向为1︰0与0︰1，它们互相共轭，因此必有012=a ．所以曲线的方程为（I ）033222211=++a y a x a又因为它是中心曲线，所以又有0221121222112≠=-=a a a a a I2°当已知二次曲线为无心曲线时，取它的惟一主直径为x 轴，取过顶点（即主直径与曲线的交点）且以非渐近主方向为方向的直线（即过顶点垂直于主直径的直线）为y 轴建立坐标系，这时假设曲线的方程为022233231322212211=+++++a y a x a y a xy a x a因为这时主直径的共轭方向为X ︰Y ＝0︰1，所以主直径的方程为0232212=++a y a x a它就是x 轴，即与直线y ＝0重合，所以有0,0222312≠==a a a又因为顶点与坐标原点重合，所以 (0，0) 满足曲线方程，从而又有a 33 = 0．其次，由于曲线为无心曲线，所以231322121211a aa a a a ≠=，而,0,02212≠=a a 所以有0,01311≠=a a ．因而曲线的方程为（II ）0,02132213222≠=+a a x a y a3°当已知二次曲线为线心曲线时，取它的中心直线（即曲线的惟一直径，也是主直径）为x 轴，任意垂直于中心直线的直线为y 轴建立坐标系，设曲线的方程为022233231322212211=+++++a y a x a y a xy a x a因为线心曲线的中心直线的方程是0131211=++a y a x a与0232212=++a y a x a中的任何一个，而第二个方程表示x 轴的条件为－101－02312==a a ，022≠a但第一个方程在012=a 的条件下，不可能再表示x 轴，所以它必须是恒等式，因而有01311==a a ，所以线心曲线的简化方程为： （III ）0,02233222≠=+a a y a命题证毕．5．二次曲线的分类根据命题5.8.3中二次曲线的三种简化方程系数的各种不同情况，我们可以写出二次曲线的各种标准方程，从而得出二次曲线的分类．（I ）中心曲线0,0221133222211≠=++a a a y a x a当033≠a 时，方程可化为122=+By Ax其中 33223311,a a B a a A -=-=． 如果A > 0，B > 0，那么设221,1b B a A ==就得方程[1]12222=+b y a x （椭圆） 如果A < 0，B < 0，那么设221,1b B a A -=-= 就得方程[2]12222-=+b y a x （虚椭圆） 若A 与B 异号，不失一般性，可设A ＞0，B ＜0（在相反情况下，只要把两坐标轴Ox 和Oy 对调）．设221,1b B a A -==则得方程[3]12222=-by a x （双曲线） 当033=a 时，如果a 11与a 22同号，可以假设a 11＞0，a 22＞0（在相反情况只要在方程两边同乘 － 1），再设2222111,1b a a a ==就得方程[4]02222=+b y a x （点椭圆，也可看作相交于实点的二共轭虚直线） 如果a 11与a 22异号，那么类似地有－102－ [5] 02222=-b y a x （两相交直线） （II ）无心曲线0,021********≠=+a a x a y a不妨设a 13与a 22异号（同号时令x = － x'，y = y'即异号），令p a a =-2213，即得 [6] px y 22= （抛物线）（III ）线心曲线033222=+a y a ，a 22≠0 方程可以改写为：22332a a y -= 当a 33与a 22异号时，设2233a a -2a =，则得方程 [7] 22a y = （两平行实直线）若a 33与a 22同号，设2233a a 2a =，则得方程 [8]22a y -= （两平行共轭虚直线） 当a 33＝0时，得方程为[9] 02=y （两重合实直线） 于是我们就得到了下面的命题：命题5.8.4 通过适当地选取坐标系，二次曲线的方程总可以写成下面9种标准方程中的一种形式： [1] 12222=+b y a x （椭圆）； [2] 12222-=+b y a x （虚椭圆）； [3] 12222=-b y a x （双曲线）； [4] 02222=+b y a x （点椭圆，或看成相交于实点的两共轭虚直线）； [5] 02222=-b y a x （两相交直线）； [6] px y 22=（抛物线）； [7]22a y = （两平行直线）； [8] 22a y -= （两平行共轭虚直线）；[9] 02=y （两重合直线）．根据此命题，二次曲线共分为9类．其中，把圆、虚圆和点圆分别归入 [1]、[2] 和 [4]类中．。
第三章 坐标变换与二次曲线
例3.3 设(a1 , b1 , c1 )与(a2 , b2 , c2 )不成比例, 证明 在任意仿射坐标系I中, 形如 f (a1 x b1 y c1 z , a2 x b2 y c2 z ) 0 的方程的图像S是柱面. (1)
解 : 因( a1 , b1 , c1 )与( a2 , b2 , c2 )不成比例, 故存在数组 a1 b1 (a3 , b3 , c3 ), 使C a2 b2 a b 3 3 c1 c2 是可逆矩阵. c3
设向量α在两个坐标系下的坐标分别为 ( x, y, z )和( x, y, z ), 则有 x x 2 α (e1 , e2 , e3 ) y (e1 , e , e3 ) y ; z z 设点P在两个坐标系下的坐标分别为 ( x, y, z )和( x, y, z ), 则有 x x 2 P (e1 , e2 , e3 ) y (e1 , e , e3 ) y ; z z
设点O(即向量OO)在I中的坐标为(d1 , d 2 , d 3 ). 则由OM OO OM , 可得
d1 x x 2 (e1 , e2 , e3 ) y (e1 , e2 , e3 ) d 2 (e1 , e , e3 ) y , d z z 3 从而得点的坐标变换公式 : x x d1 y C y d 2 . z z d 3
解 : 设I 到I的过渡矩阵为D, 则有点的坐标变换公式 x x 1 y D y 4 . z z 2 已知条件可化为 2 x 3 y 2 1 z 1 2 2 x 1 0 1 y 2 0 . 1 z 2 0 (1)
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解 考虑三个平面
1 : 2x+y+z=0, 2 : x-y-z=0,
x y
x0 y0
或
(1.2)
x
y
x0
y0
a11 a21
a12 a22
x
y
(1.2 )
(1.1)或(1.2)称为平面点的仿射坐标变换公式。
设向量
a在
1下的坐标为(u,v)，在
2下的坐标
为
(ua, v(uu)e，a1 11则vev2a12u)e(1a11(eu1 a2a121ev2 )a22v)e(2a12eu1 e1
形式上可写成
(e1
e2
)
(e1
e2
)
a11 a21
a12 a22
,
矩阵A
a11 a21
a12
a22
称为从坐标系 1
到坐标系 2
的过渡矩阵 .
注: 1 和 2为同定向的直角坐标系的充要
条
cos -sin
件是 Aco为s正交sin矩 阵 且|A|=1，此时 A sin
cos
aij
其中矩阵A=( 1)称为2从
1
到
2的过渡矩x,阵y,，z 且, x是' ,可y'逆, z的' 。
设 1点M在 和 x下0 , 的y0 坐, z0标分别为a 1 2
,
O’在(a1下, a的2 , a坐3 )标, (a为1 , a2 , a3 ), ，向量 在 和 下的坐标分
别为
过移轴和转轴得到。
仿
设
1
{O;e1
1
,
e2
,ee3i},
2
{O;e1,e2 ,e3 } 是空间的两个 (a1i , a2i , a3i )
射坐标系，在 下， 的坐标为
那么形式上(e有1 ,
e2
,
e3
)
(e1
,
e2
,
e3
a11 )a21
a12 a22
a(1i3=1,2,3）,
a23
a31 a32 a33
第三章 坐标变换与二次曲线的分类
•１ •２ •３ •４ •５
仿射坐标变换的一般理论 二次曲线的类型 用方程的系数判别二次曲线的类型和不变量 圆锥曲线的仿射特征 圆锥曲线的度量特征
§ 1.仿射坐标变换的一般理论
标{之O间;e的1 ,平关e2面系}.上.设我给O们了研在两究个同1下仿一的射个坐坐点标标(为向系量(x10),在y{0O),1;e和e11,,ee222下},的在2坐
e e1 1). 下面取
1
的1
坐标 4 , 3
5 5
；同样可得 e2 的
1
坐标为
3 5
,
4 5
;.因此从
1
到 2的点的坐标变换公
式为
4
x
y
5 3
-
3 5 4
x y
1 1
.
5 5
l1 : 2x y 3 0 在新坐标系中的方程为
2( 4 x 3 y 1) ( 3 x 4 y 1) 3 0 ,
55
55
即 x 2 y 4 0 .
从 2 到1 的点的坐标变换公式为
4
x
y
5 3 5
3
5
4
x - 1
y
-
1
.
5
l2 : x 2 y 1 0在 原坐标系中的方程为
4 5
(
x
1)
3 5
(
y
1)
2
3 5
(
x
1)
4 5
(
y
1)
1
0
,
即 2x-11y+14=0.
例2 在右手直角坐标系中，判断曲面 S: (2x y z)2 ( x y z)2 y z 是什么曲面.
a22e2 )
ve2
因此u v
a11u a12u
a21v a22v
(1.3 )
将它写成矩阵形式
u
v
a11 a21
a12 u
a22
v
(1.3)
(1.3)或 1.3'称为平面向量的仿射坐标变换公式。
1 和 2 的坐标向量之间的关系为
ee12
a11e1 a12e1
a21e2 a22e2
程；2 直解{O线';le2设1:, e原x2}'坐.解标2 方系y' 程为 131x0{O在4;原ey1,坐e21标},系新0中坐的标方系程为。 4x 3 y 7 0
得x=1,y=1.因此 O'在 1 中的坐标为（1，1）。
因为 x ' 轴的标准方程为：
x-1 y-1 43
所以 x '轴的方向数为4∶3，于是e1 的 1 坐标为：
)
y(a12e1
a22e2 )
x0
a11
x'
a12
y'
e1 ( y0 a21 x a22 y)e2
xe1 ye2
e1
M
e2
o
o
e2
e1
图4.1
所以 x a11 x a12 y x0
y
a21 x
a22
y
y0
将(1.1)写成矩阵形式
(1.1)
x y
a11 a21
a12 a22
那么使用平面的坐标变换公式
的推导方法可以得到
x x x0 y 源自A yy0,
z
z z0
(1.6)
a1
a1
a2
Aa2
,
a3
a3
(1.7)
公式（1.6）称为从 1 和 2 的空间点的仿 射坐标 变换公式，公式(1.7)称为从 1 到 2 的空间向量的仿
射坐标变换公式。
如果 1 ， 2 都是直角坐标系，则可以证明A是正交
矩
1 2
1
阵。2 进一步，如果 ， 是同定向的，那么|A|=1;如果 与
是反定向的，那么|A|=－1。
例1 在平面上，设x' 轴， y' 轴在原坐标系中的
方 程分别为
3x-4y+1=0, 4x+3y-7=0, 且新、旧坐标系都是右手直角坐标系。求 1 到 2 的点 的坐标变换公式；直线l1:2x-y+3=0在新坐标系中的方
或 sin
cos
;
1与 2
为反定向的直角坐标
系的充c要os条 件s是inA为正交矩阵co且s|A-|s=i－n1，此时
A= sin
-
cos
或
- sin
-
cos
其中，0≤θ<2π。
到
e1'
设 1 和 2 均为右手直角坐标系
的转角(逆时针方向)为θ,则
,O
'(
x0 ,
y0
),
e1
x cos
y
sin
- sin cos
x y
x0 y0
.
若θ=0，则
x
y
1 0
0 1
x y
x0
y0
x
y
x0
y0
,
(1.4)
（1.4）就是移轴公式。
若O与 O' 重合，则
x y
cos sin
- sin
cos
x y
(1.5)
（1.5）就是转角为θ的转轴公式。
平面上的任一右手直角坐标变换都可以经
1 下的坐标分别是
的坐标分别为( x, y)
(a11, a21 ), (a12
和( x, y).
,
a22
),
点M在
1
和
e1
2
下
如图4.1,因为
M
e2
o
o
e2
e1
图4.1
OM OO' O'M
(x0e1 y0 e2 ) x0e1 y0e2
x((xa1' e1e1' 1ya'2e12'e)2