《三角函数的诱导公式》第一课时参考教案

1.2.4 诱导公式（一）

一、学习目标

1．通过本节内容的教学，使学生掌握α+πk2，-α角的正弦、余弦和正切的诱导公式及其探求思路，并能正确地运用这些公式进行任意角的正弦、余弦和正切值的求解、简单三角函数式的化简与三角恒等式的证明；

2．通过公式的应用，培养学生的化归思想，以及信息加工能力、运算推理能力、分析问题和解决问题的能力；

二、教学重点、难点

重点：四组诱导公式及这四组诱导公式的综合运用.

难点：公式(四)的推导和对称变换思想在学生学习过程中的渗透.

三、教学方法

先由学生自学，然后由教师设置一些问题供学生思考，在此基础上，可以通过讲授再现概念，通过练习理解概念，完成教学.

四、教学过程

教

学

环

节

教学内容师生互动设计意图

复习引入

1、初中我们已经会求锐角

的三角函数值。

2、和30°、45°、60°终

边相同的角如何表示？

本节我们将研究任意角三

角函数值之间的某中关系，以

及如何求任意角的三角函数

值。

教师提问：0°、30°、

45°、60°、90°的正弦、

余弦、正切的三角函数值

是多少？

学生回答

我们如何求360°、

390°、－315°的三角函

数值呢？

温故知新

公式导入1.公式(一)

α

π

αsin

)

sin(=

∙

+2

k

α

π

αcos

)

cos(=

∙

+2

k

α

π

αtan

)

tan(=

∙

+2

k

（其中Z

∈

k）

诱导公式（一）的作用：

把把绝对值大于360º的任意

角的正弦、余弦、正切的三角

函数问题转化为绝对值小于

360º角的正弦、余弦、正切三

角函数问题，其方法是先在绝

对值小于360º角找出与角α

终边相同的角，再把它写成诱

导公式（一）的形式，然后得

出结果

2．公式（二）:α

α-sin

sin(=

-）

α

αcos

cos(=

-）

α

αtan

tan(-

=

-）

它说明角-α与角α的正弦值

互为相反数，而它们的余弦值

相等．这是因为，若没α的终

边与单位圆交于点P(x，y)，

则角-α的终边与单位圆的交

点必为P´(x，-y)（如图

4-5-2）．由正弦函数、余弦函

数的定义，即可得

sinα=y， cosα=x,

让学生在单位圆中画出α

角与－α角，观察两个角

的位置关系。

1．根据任意角

的三角函数定

义可知两个角

若终边相同，那

么它们的三角

函数值也应该

相同。由此导出

公式（一）

2．学生在单位

圆中画出α角

与－α角，观察

出角的终边关

于x轴对称，结

合三角函数定

义可得到公式

（二）

α

α

-

x

y

P(x,y)

P′(x，-y)

M O

(4-5-2)

α

α

+ 180x y

P(x,y)

P′(-x ，-y)

M

M′

O

(4-5-1)

sin(-α)=-y, cos(-α)=x, 所以：sin(-α)= -sin α, cos(-α)= cos α 公式二的获得主要借助于单

位圆及正弦函数、余弦函数的定义．根据点P 的坐标准确地确定点P ´的坐标是关键，这

里充分利用了对称性质．事实上，在图1，点P ´与点P 关于x 轴对称．直观的对称形象为我们准确写出P ´的坐标铺平

了道路，体现了数形结合这一数学思想的优越性． 公式(三)

[]απαcos 2(cos -=++1)k []απαsin 2(sin -=++1)k []απ

αtan 2(tan =++1)k

由公式（一）可以看出，角α和α加上π偶数倍的所有三角函数值相等。角α和α加上π奇数倍的正，

余弦值互为相反数； 角α和α加上π奇数倍的正切函数值相等。

⎩⎨

⎧-=+为偶数

，为奇数

，ααααπαsin sin )sin(n ⎩⎨

⎧-=+为偶数

，为奇数

，ααααπαcos cos )cos(n απαtan )tan(=+n

引导学生在单位圆中画出

α角与π＋α角，观察其位置关系，在结合公式（一）得到公式（三）

3．利用角的终边在单位圆中的不同位置关系而得到相应的诱导公式。

应用举例例1．下列三角函数值：

（1）cos210º；

(2)sin

4

5π

解：（1）cos210º=cos(180º+30

º)=－cos30º=－

2

3

；

（2）

sin

4

5π

=sin(

4

π

π+)=－

sin

4

π

=－

2

2

例2．求下列各式的值：（1）

sin(－

3

4π

)；(2)cos(－60º)

－sin(－210º)

解：（1）sin(－

3

4π

)

=－sin(

3

π

π+)=sin

3

π

=

2

3

；

（2）原式=cos60º+sin(180º

+30º)

=cos60º－sin30º=

2

1

－

2

1

=0

例3．化简

)

180

sin(

)

180

cos(

)

1080

cos(

)

1440

sin(

︒

-

-

⋅

-

︒

-

︒

-

⋅

+

︒

α

α

α

α

解：原式

=

分析：本题是诱导公

式三的巩固性练习题．求

解时，只须设法将所给角

分解成180º+α或（π

+α），α为锐角即可．

分析：本题是诱导公

式二、三的巩固性练习

题．求解时一般先用诱导

公式二把负角的正弦、余

弦化为正角的正弦、余弦，

然后再用诱导公式三把它

们化为锐角的正弦、余弦

来求．