《三角函数的诱导公式》第一课时参考教案
三角函数诱导公式教案
三角函数诱导公式（第一课时）一、教学目标1、知识与技能目标掌握正弦、余弦的诱导公式，能较熟练应用诱导公式进行化简、求值。
2、过程与方法目标经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，学会 观察、归纳、反思。
3、情感与态度目标引导学生获得发现的成就感，逐步养成科学严谨的学习态度，提高代数推理能力。
二、教学重点掌握诱导公式一、二、三、四的推导，能观察分析公式的特点，明确公式用途，熟练驾驭公式．三、教学难点运用诱导公式对三角函数式进行求值、化简以及简单三角恒等式的证明．四、教学过程1、 回顾概念，引出思考到目前为止我们还是只能求0~π之间的一些特殊角的函数值，那么对于sin 360 ，5cos 4π该怎么求呢？是不是有什么公式呢？那么下面我就带领大家一起来探讨下。
首先请一位同学帮助我们一起回顾下三角函数的定义。
2、引导思考、层层深入①问题：α的终边与2k π＋α的终边有何关系？三角函数值又有何关系？师：我们目前所掌握的知识就只有三角函数的定义，所以我们从定义出发，α的终边与2k π＋α的终边有何关系呢？生：相同。
师：根据三角函数的定义，请问它们对应点的坐标是否相同？生：因为是同一个点，所以相同。
师：根据三角函数的定义，那么它们对应的三角函数值又有怎样的关系呢？生：正弦、余弦值都相等，从而正切值相等。
结论：α的终边与2k π＋α的终边相同，在根据三角函数的定义，三角函数值相等。
得到诱导公式一：x y②问题：παα+与的终边有何关系？三角函数值又有何关系？师：在解决了α与2k π＋α的三角函数值之间关系后，请大家继续思考παα+与的终边有何关系？三角函数值又有何关系？生：它们终边在同一条直线上师：那仿照公式一的推导方式，对应交点坐标有何关系呢？从而三角函数值又有何关系呢？生：它们与单位圆的交点关于原点对称，所以对应坐标互为相反数。
再根据三角函数的定义（横坐标对应余弦，纵坐标对应正弦），sin()sin παα+=-，cos()cos παα+=-，tan()tan παα+=。
数学导学案：三角函数的诱导公式(第课时)
第1课时诱导公式二、三、四1.掌握π±α，－α,错误!－α的终边与α的终边的对称性.2。
理解和掌握诱导公式二、三、四的内涵及结构特征,掌握这三个诱导公式的推导方法和记忆方法.3。
会初步运用诱导公式二、三、四求三角函数的值，并会进行一般的三角关系式的化简和证明.1。
特殊角的终边对称性（1)π＋α的终边与角α的终边关于对称，如图①;(2）－α的终边与角α的终边关于对称,如图②；（3）π－α的终边与角α的终边关于对称,如图③；(4）错误!－α的终边与角α的终边关于直线对称，如图④。
【做一做1】已知α的终边与单位圆的交点为PA. P11,22⎛⎫-⎪⎪⎝⎭B.P2错误!C.P3错误!D。
P4错误!2.诱导公式诱导公式一～四可用口诀“函数名不变，符号看象限”记忆，其中“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名,“符号”是指等号右边是正号还是负号，“看象限”是指把α看成锐角时等式左边三角函数值的符号。
【做一做2－1】 若cos α＝m ，则cos(－α)等于( ）A 。
mB 。
－mC 。
|m ｜D 。
m 2【做一做2－2】 若sin(π＋α）＝错误!，则sin α等于( )A.错误!B.－错误!C.3 D 。
－3【做一做2－3】 已知tan α＝4，则tan(π－α)等于（ )A.π－4 B 。
4 C.－4 D 。
4－π3.公式一～四的应用【做一做3】 若cos 61°＝m ，则cos （－2 041°)＝（ )A.m B 。
－m C 。
0 D.与m 无关 答案：1．(1)原点 （2）x 轴 （3）y 轴 (4）y ＝x【做一做1】 C 由于π＋α，－α，π－α，错误!－α的终边与α的终边分别关于原点、x轴、y轴、直线y＝x对称，则P1错误!，P2错误!，P3错误!，P4错误!。
2．tan α－sin αcos α－cos α－tan α同名函数值【做一做2－1】A【做一做2－2】B【做一做2－3】C【做一做3】B cos（－2 041°)＝cos 2 041°＝cos(5×360°＋241°）＝cos 241°＝cos(180°＋61°)＝－cos 61°＝－m。
《三角函数的诱导公式(1)》教学案
课程分析： （本课的作用和学习本课的意义）
1、本节内容在全书及章节的地位： 《三角函数的诱导公式》是苏教版必修 4 第一章第 2 节的 内容。在此之前，学生已学习了任意角的三角函数值的求法,这为过渡到本节的学习起着铺 垫作用。在此基础上，继续学习这四组公式，体会发现过程，由未知到已知的转化过程，为 以后的三角函数求值、化简、证明等打好基础。 本节共二课时，第一课时为公式一、二、三、四，第二课时为公式五、六。 2、数学思想方法分析：作为一名数学老师,不仅要传授给学生数学知识,更重要的是传授给 学生数学思想、数学意识，因此本节课在教学中力图让学生从图形的角度来理解诱导公式， 培养其数形结合的思想。 3、学情分析：教学对象是高一学生，虽然具有一定的分析问题和解决问题的能力，逻辑思 维能力也初步形成，但由于年龄的原因，思维尽管活跃、敏捷，却缺乏冷静、深刻，因而片 面、不够严谨． 4、重点、难点分析： 本着课程标准，在吃透教材基础上，我确立了如下的教学重点、难点 重点：公式的发现，通过多媒体演示去探究发现公式； 难点：发现圆的几何性质（特别是对称性）与三角函数性质的联系，特别是直角坐标系内关 于直线 对称的点的性质与 的诱导公式的关系。 问题:
总结：研究问题的方法策略：由一般到特殊，猜想结论再证明。
三、新知探究：
1. 求 sin( ) 的值。 3
2. 3. 4. 5. 学生思考解决问题的方案：定义法 学生用定义解决； 教师展示学生用定义研究成果。 引导学生提出同样几个问题并让学生回答： 问题 1：
3
与
的终边有怎样的关系？关于 x 轴对称； 3
解：原式＝
七、课堂小结
1.如何来记忆公式？ 2.求任意角的三角函数值的步骤？
《三角函数的诱导公式(一)》示范课教案【高中数学】
《三角函数的诱导公式（一）》教学设计◆教学目标1.了解三角函数的诱导公式的意义和作用.2.理解诱导公式的推导过程.3.能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题．◆教学重难点◆教学重点：推导出四组的诱导公式，能正确运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数．教学难点：解决有关三角函数求值、化简和恒等式证明问题．◆课前准备PPT课件．◆教学过程一、新课导入对称美是日常生活中最常见的，在三角函数中－α、π±α、2π－α等角的终边与角α的终边关于坐标轴或原点对称，那么它们的三角函数值之间是否也存在对称美呢？引语：要解决这个问题，就需要进一步学习三角函数的诱导公式.（板书：7.2.3三角函数的诱导公式（一））设计意图：情境导入，引入新课。
【探究新知】问题1：当角α分别为30°，390°，－330°时，它们的终边有什么特点？它们的三角函数之间有什么关系？师生活动：学生分析解题思路，给出答案．预设的答案：它们的终边重合．由三角函数的定义知，它们的三角函数值相等．诱导公式一：sin（α＋k·2π）＝sinα，cos（α＋k·2π）＝cosα，tan（α＋k·2π）＝tanα，其中k∈Z.即终边相同的角的同一三角函数值相等．问题2：角π＋α的终边与角α的终边有什么关系？角π＋α的终边与单位圆的交点P1(cos(π＋α)，sin(π＋α))与点P(cosα，sinα)呢？它们的三角函数之间有什么关系？师生活动：学生分析解题思路，给出答案．预设的答案：角π＋α的终边与角α的终边关于原点对称，P1与P也关于原点对称，它们的三角函数关系如下：诱导公式二：sin(π＋α)＝－sinα，cos(π＋α)＝－cosα，tan(π＋α)＝tanα.问题3：角－α的终边与角α的终边有什么关系？角－α的终边与单位圆的交点P2(cos(－α)，sin(－α))与点P(cosα，sinα)有怎样的关系？它们的三角函数之间有什么关系？师生活动：学生分析解题思路，给出答案．预设的答案：角－α的终边与角α的终边关于x轴对称，P2与P也关于x轴对称，它们的三角函数关系如下：诱导公式三：sin（－α）＝－sinα，cos（－α）＝cosα，tan（－α）＝－tanα.问题4：角π－α的终边与角α的终边有什么关系？角π－α的终边与单位圆的交点P3(cos(π－α)，sin(π－α))与点P(cosα，sinα)有怎样的关系？它们的三角函数之间有什么关系？师生活动：学生分析解题思路，给出答案．预设的答案：角π－α的终边与角α的终边关于y轴对称，P3与P也关于y轴对称，它们的三角函数关系如下：诱导公式四：sin(π－α)＝sinα，cos(π－α)＝－cosα，tan(π－α)＝－tanα.追问1：如何记忆这四组诱导公式呢？预设的答案：2kπ＋α(k∈Z)，－α，π±α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，可以简单地说成“函数名不变，符号看象限”．“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名；“符号”是指等号右边是正号还是负号；“看象限”是指假设α是锐角，要看原三角函数值是取正值还是负值，如sin (π＋α)，若把α看成锐角，则π＋α是第三象限角，故sin (π＋α)＝－sinα． 追问2：诱导公式一、二、三、四的作用是什么？预设的答案：公式一的作用在于把绝对值大于2π的任一角的三角函数问题转化为绝对值小于2π的角的三角函数问题；公式三的作用在于把负角的三角函数转化成正角的三角函数；公式二、公式四的作用在于把钝角或大于180°的角的三角函数转化为0°～90°之间的角的三角函数．设计意图：培养学生分析和归纳的能力.【巩固练习】例1. 求值：(1)sin (-60°)+cos 120°+sin 390°+cos 210°；（2师生活动：学生分析解题思路，给出答案．预设的答案：(1) 原式=-sin 60°+cos (180°-60°)+sin (360°+30°)+cos (180°+30°) =-sin 60°-cos 60°+sin 30°-cos 30°1122=+=（2 cos1012cos102︒=︒.反思与感悟：利用诱导公式求任意角三角函数的步骤： (1)“负化正”——用公式一或三来转化；(2)“大化小”——用公式一将角化为0°到360°间的角； (3)“小化锐”——用公式二或四将大于90°的角转化为锐角； (4)“锐求值”——得到锐角的三角函数后求值．设计意图：掌握利用诱导公式求任意角三角函数的方法。
高一数学《三角函数的诱导公式(第1课时)》教案示范三篇
高一数学《三角函数的诱导公式(第1课时)》教案示范三篇高一数学《三角函数的诱导公式(第1课时)》教案1教材分析：高一数学《三角函数的诱导公式(第1课时)》是一节基础性课程，课本中主要包含了三角函数诱导公式的定义、常见角度的三角函数值以及相应的推导方法等内容。
教师需要全面了解教材的内容，并对教材的组织结构、难易程度及与之相应的教学资源进行细致的分析和处理。
教学目标：通过本节课的教学，学生应该能够掌握诱导公式的基本概念、运用方法及其相关定理，能够熟练地计算一些常见角度的三角函数值，并能够对不同情况下的三角函数值进行求解。
教学重点：本节课教学的重点主要集中在诱导公式的定义及其相关定理的理解和运用上，同时也需要教师在教学过程中重点关注学生对于诱导公式的记忆和运用情况。
教学难点：本节课教学难点在于对于一些相对较为复杂的求解题目的讲解和理解，尤其是在涉及到三角函数值之间的相互替换问题时需要引导学生注重方法逻辑的分析和运用。
学情分析：本节课所涉及到的内容主要是在初中阶段所学习的三角函数知识的基础上进一步推广和延伸，对于新生来说可能需要花费一定的时间来加深对于三角函数概念的理解和记忆。
教学策略：教师可以通过引入案例以及图像的呈现等方式来促进学生对于三角函数概念以及诱导公式的理解和记忆，同时也需要关注学生在解题过程中的思维逻辑和分析方法的引导。
教学方法：本节课教学方法需要注重理论掌握和实践操作的结合，可以通过练习习题，讲解案例和互动讨论等方式来提高学生的思维能力和实际操作水平。
同时也可以通过个性化的辅导方式注重对于学生的学习经历和个体差异进行分析和处理。
高一数学《三角函数的诱导公式(第1课时)》教案2本节课的教学过程如下：一、导入环节（约5分钟）教学内容：复习三角函数的基本概念，介绍本节课的主题——三角函数的诱导公式。
教学活动：1.学生们通过手写练习纸，复习三角函数的基本公式和图像；2.老师引导学生们思考有哪些角的三角函数值已知，而另外一个角的三角函数值不易计算；3.通过引导，学生们提出了需要学习三角函数的诱导公式的需求；4.老师介绍三角函数的诱导公式的含义和作用，引发学生们兴趣。
数学4《三角函数的诱导公式》第一课时教学设计
数学４《三角函数的诱导公式》第一课时教学设计株洲县五中高一数学备课组教学目标：1、由问题驱动，体验探究的目标和乐趣，感受到小组合作学习的力量和获得成功的快乐。
2、通过诱导公式二至四的探究，提高对数学内部关联的认识，培养探究能力和联系的学习观。
3、利用单位圆探究得到诱导公式二至四，并且概括得到诱导公式的特点，理解求任意角三角函数值所体现出来的化归思想，能初步运用诱导公式进行求值与化简。
教学重点：诱导公式的探究，运用诱导公式进行求值与化简，提高对单位圆与三角函数关系的认识。
教学难点：发现圆的对称性与三角函数性质的联系。
教学准备：教师准备学案，上一节课后布置学习任务；学生准备计算器、并完成相应的学案。
教学方法：三四五教学法 教学过程： 一、自学反馈1、学习小组组长和教师检查学案中“需要学生完成的学习任务”完成情况，记录学习中的问题，为组内互助作准备。
2、学习小组的代表呈现学案中“自主学习”部分答案，使学生“有据可依”。
3、问题驱动（背投）： （1）030角与0210角的终边有什么关系？（2）030角与210°角终边与单位圆的交点有什么关系？ （3）030角与0210角的三角函数值有什么关系？ （4）045角与0225角有上述（1）至（3）的关系吗？ （5）角α与角0180α+有上述（1）至（3）的关系吗？动画演示：0180α+与α：（1）终边关系；（2）与单位圆交点坐标关系。
使学生：经历特殊到一般及圆的对称性→对称点的数量关系，角终边的对称性→角之间的数量关系→诱导公式的思维过程，为组内互助作铺垫。
二、组内互助1、自学中的问题。
2、受前面启发，你认为角α-与α的终边有什么关系？它们的三角函数之间有什么关系？3、你认为角0180α-与α的终边有什么关系？它们的三角函数之间有什么关系？你还有其他途径得到这种关系吗？各学习小组讨论互助,达成共识,推荐1人,准备交流或提交问题. 三、组际交流１、学习小组汇报组内互助成果,或提交问题,其他组参与补充，点评． ２、求值：（１）0sin 225＝______， （２）11cos 3π=_______，（３）16tan 3π⎛⎫-⎪⎝⎭=______， （４）()0sin 2040-=_____. 通过练习，你认为：（１）公式一至公式四如何理解记忆？（２）你能够自己归纳一下把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤吗？３、化简：（１）019cos 210sin 6π⎛⎫+-= ⎪⎝⎭_______;（２）()()()()sin cos 2sin cos παπαπααπ+⋅+=--⋅--________. 通过练习，你对三角函数化简有什么看法？以学习小组为单位进行板书、发言，鼓励其他学生修改、补充、提问。
三角函数的诱导公式(第一课时)
三角函数的诱导公式学案（第一课时）一、教学目标1、借助单位圆推导诱导公式，特别是学习从单位圆的对称性与任意角终边的对称性中，发现问题（任意角α的三角函数值与π—α，π+α等的三角函数值之间有内在联系），提出研究方法（利用坐标的对称性，从三角函数定义得出相应的关系式）。
2、能正确运用诱导公式求任意角的三角函数值，以及进行简单三角函数式的化简与恒等式证明，从中体会未知到已知，复杂到简单的转化过程。
二、重难点重点：用联系的观点，发现并证明诱导公式，体会把未知问题化归为已知问题的思想方法。
难点：如何引导学生从单位圆的对称性与任意角终边的对称性中，发现问题，提出研究方法。
三、教学过程1、旧知复习①设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y），那么sinα= ；cosα= ；tanα= 。
②公式一：sin(k·2π+α) = ；cos(k·2π+α) = ；tan(k·2π+α) = 。
（其中k∈Z）2、新知探究（1）对称性研究①角的终边的对称性研究α与-α的终边关于对称；α与π+α的终边关于对称；α与π-α的终边关于对称。
②角的终边与单位圆交点的坐标的对称性研究设α的终边与单位圆交点坐标为（x，y）,则-α的终边与单位圆交点的坐标为；π+α的终边与单位圆交点的坐标为；π-α的终边与单位圆交点的坐标为（2）三角函数诱导公式的研究由②可知：第一组：sinα= ；cosα= ；tanα= ；第二组：sin(-α) = ； cos(-α) = ；tan(-α) = ；第三组：sin(π+α) = , cos(π+α) = ；tan(π+α) =第四组：sin(π-α) = , cos(π-α) = ；tan(π-α) =探究一：比较第一组和第二组的结果，你可以得到α与-α的三角函数的关系吗？结论一：（公式三）sin(-α) = ； cos(-α) = ； tan(-α) = 。
《三角函数的诱导公式1》教案
三角函数的诱导公式(第1课时)一.教学目标1．知识与技能（1）能够借助三角函数的定义推导三角函数的诱导公式。
（2）能够运用诱导公式，把任意角的三角函数的化简、求值问题转化为锐角三角函数的化简、求值问题。
2．过程与方法（1）经历由几何直观探讨数量关系式的过程，培养学生数学发现能力和概括能力。
（2）通过对诱导公式的探求和运用，培养化归能力，提高学生分析问题和解决问题的能力。
3．情感、态度、价值观（1）通过对诱导公式的探求，培养学生的探索能力、钻研精神和科学态度。
（2）在诱导公式的探求过程中，运用合作学习的方式进行，培养学生团结协作的精神。
二.教学重点与难点教学重点:探求π+α的诱导公式。
－α与π-α的诱导公式在小结π+α的诱导公式发现过程的基础上，教师引导学生推出。
教学难点:π＋α与角α终边位置的几何关系，发现由终边位置关系导致（与单位圆交点）的坐标关系，运用任意角三角函数的定义导出诱导公式的“研究路线图”。
三.教学方法与教学手段问题教学法、合作学习法，结合多媒体课件四.教学过程（一）复习引入复习单位圆定义的任意角的三角函数定义及诱导公式(一)定义法计算cos120°，cos240°，cos(-60°)（二）尝试推导1.推导出角π+ α与角α的三角函数之间的关系。
角π+α与角α的终边关于原点对称,有sin(π +α) = - sin α，cos(π +α) = - cos α，（公式二）tan(π+α) = tan α。
〖思考〗研究三角函数诱导公式的路线图：角间关系→对称关系→坐标关系→三角函数值间关系。
（三）自主探究2.利用对称推导出π-α,-α与α的三角函数值之间的关系。
（1）角-α与角α的终边关于x轴对称，有：sin(-α) = -sin α，cos(-α) = cos α，（公式三）tan(-α) = -tan α。
（2）角π-α与角α终边关于y轴对称，有：sin(π-α) = sin α，cos(π-α) = -cos α，（公式四）tan(π-α) = -tan α。
三角函数诱导公式教学设计
况，确定此教学目标。
重、难点教学重点、难点:1.重点：诱导公式二、三、四的推导，运用诱导公式进行简单三角函数式的求值，提高对数学内部联系的认识。
2.难点：发现圆的对称性与任意角终边的坐标之间的联系；诱导公式的合理运用。
依据教材的地位与作用及教学目标，确定本节课的教学重点、难点。
教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图活动一：课题引入问题1：任意角α的正弦、余弦、正切是怎样定义的？问题2：2kπ＋α（k∈Z）与α的三角函数之间的关系是什么？问题3：你能求sin750°和sin930°的值吗？sin750°= sin（360 °×2+30 °）= sin 30 °=21sin930 °=sin （360 °×2+210 °）=sin210 °=?说明：1.学生口述三角函数的单位圆定义：sin=y,cos=x,tan=(x≠0)2.学生回忆上节课的内容，用定义解答。
3.根据教师的引导产生探索新知识的欲望。
1.三角函数的定义是学习诱导公式的基础。
2.设置问题情境，产生知识冲突，引发思考，既调动学生学习积极性，激发探究欲望，又顺1.利用公式一，可将任意角的三角函数值，转化为0 °～360°内的三角函数值.其中锐角的三角函数可以查表计算，而对于90°～360°范围内的三角函数值，如何转化为锐角的三角函数值，是我们需要研究和解决的问题2.抓住学求sin930 °的三角函数值时产生思维上认识的冲突，引出课题《三角函数的诱导公式》。
利导入新课。
活动二：合作探究公式二问题（一）：1、对于任意给定的一个角α，角π＋α的终边与角的终边有什么关系？2、设角α的终边与单位圆交于点P（x，y），则角π＋α的终边与单位圆的交点坐标如何？3、根据三角函数定义，sin（π＋α）、cos（π＋α）、tan（π＋α）的值分别是什么？4、对比sinα，cosα，tanα的值，π＋α的三角函数与α的三角函数有什么关系？归纳公式二：sin（π＋α）=-sinα，cos（π＋α）=-cosα，tan（π＋α）= tanα。
《三角函数的诱导公式(第一课时)》教学设计
《三角函数的诱导公式（第一课时）》教学设计一、教学内容分析本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学（4）》（人教A版）第一章第一节1.3三角函数的诱导公式。
根据我所任教的学生的实际情况，我将《三角函数的诱导公式》划分为两节课（第一节探究公式及其规律；第二节公式的准确运用）。
三角函数作为描述具有周期现象的重要数学模型，与其他学科（特别是地理学、物理学）有紧密联系，因此通过三角函数的学习可以培养学生的数学应用能力。
二、学生学习情况分析三角函数诱导公式是在学生系统学习了三角函数定义：单位圆上点的坐标定义（教科书中使用的呈现形式）和比值的定义（教科书中以对话框的形式给出），以及终边相同的角的三角函数公式的基础上进行研究的，是学生对三角函数相关问题的第一次探究。
三、设计思想1.三角函数是历来高考中的必考内容，而学生往往出现的问题是公式太多易于混淆从而导致辛苦半天得出一个错误的结论，而造成这个结果的主要原因是：没有准确的认识到公式之间内在的联系，只是单一的套用公式。
而这种方法也是学习数学不可取得。
本节课，力图让学生从应用定义---发现规律---归纳总结，对三角函数的诱导公式进行一个全方位的研究，并通过对比总结得到研究的方法，让学生去体会这种的研究方法,以便能教会学生一些学习和研究的方法。
2.结合我承担的区级课题《读书指导法在高中数学课堂中的实践与运用》，在本课的教学中我努力实践以下两点：⑴.在课堂活动中通过同伴合作、自主探究培养学生积极主动、勇于探索的学习方式。
⑵.在教学过程中努力做到生生对话、师生对话，并且在对话之后重视体会、总结、反思，力图在培养和发展学生数学素养的同时让学生掌握一些学习、研究数学的方法。
3.通过课堂教学活动向学生渗透数学思想方法。
四、教学目标（一）知识与技能目标⑴理解正弦、余弦的诱导公式．⑵培养学生化归、转化的能力．（二）过程与能力目标（1）能运用三角函数的定义及公式一推导出公式二、三、四、五．并由公式四、五推出公式六。
诱导公式教案完整版
1.3 三角函数的诱导公式（第1课时）一、教学目标：1.知识与技能（1）借助单位圆，推导出诱导公式。
（2）理解和掌握公式的内涵及结构特征，能正确运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，掌握有关三角函数求值问题，并进行简单三角函数式的化简和证明。
2.过程与方法（1）通过诱导公式的推导，培养学生的观察力、分析归纳能力，领会数学的归纳转化思想方法。
（2）通过诱导公式的推导、分析公式的结构特征，使学生体验和理解从特殊到一般的数学归纳推理思维方式。
（3）通过基础训练题组和能力训练题组的练习，提高学生分析问题和解决问题的实践能力。
3.情感、态度与价值观（1）通过诱导公式的推导，培养学生主动探索、勇于发现的科学精神，培养学生的创新意识和创新精神。
（2）通过归纳思维的训练，培养学生踏实细致、严谨科学的学习习惯，渗透从特殊到一般、把未知转化为已知的辨证唯物主义思想。
二、教学重点、难点:1、重点：诱导公式二、三、四的探究，运用诱导公式进行简单三角函数式的求值，提高对数学内部联系的认识。
2、难点：发现圆的对称性与任意角终边的坐标之间的联系；诱导公式的合理运用。
三、教学方法与手段：1、教学方法：讲解法、讨论法、探究法、演示法2、教学手段：多媒体、几何画板四、教学过程：（一）复习引入师：问题1：任意角α的正弦、余弦、正切是怎样定义的？生：学生口述三角函数的单位圆定义：sin =y,cos =x,tan =xy (x ≠0) 师：问题2：试写出诱导公式（一），并说出诱导公式的结构特征；生：诱导公式一：()∂=∙+sin 2sin παk ；απαcos )2cos(=∙+k ；απαtan )2tan(=∙+k ； （其中Z k ∈）结构特征：①终边相同的角的同一三角函数值相等②把求任意角的三角函数值问题转化为求0°～360°角的三角函数值。
师：这节课咱们继续学习三角函数的诱导公式，看看今天的诱导公式是解决什么问题的。
1.3 三角函数的诱导公式(第1课时) 精品教案
1.1.1 诱导公式（一）
【课题】：诱导公式（一） 【教学三维目标】： 一、知识与技能 1、借助单位圆推导诱导公式，特别是学习从单位圆的对称性鱼任意角终边的对称性中发现问题（任意角α的三角函数值与πα-，πα+等三角函数值之间有内在联系），提出研究方法（利用坐标的对称性，从三角函数定义得出相应的关系式）；
2、能正确运用诱导公式求任意角的三角函数值，以及进行简单三角函数式的化简与恒等式证明，并从中体会未知到已知、复杂到简单的转化过程； 二、过程与方法
1、理解诱导公式的推导方法；
2、掌握诱导公式并运用之进行三角函数式的求值、化简以及简单三角恒等式的证明；
3、培养学生化归、转化的能力； 三、情感态度与价值观
通过诱导公式的应用，使学生认识到转化“矛盾”是解决问题的一条行之有效的途径． 【教学重点】：理解并掌握诱导公式． 【教学难点】：相关角边的几何对称关系及诱导公式结构特征的认识。
【课前准备】：三角板、圆规、多媒体．。
三角函数的诱导公式教案
三角函数的诱导公式(第一课时)成都七中实验学校 韩雄 教学目标：1、知识目标：理解四组诱导公式及其探究思路，学会利用四组诱导公式求解任意角的三角函数值，会进行简单的化简与证明。
2、能力目标：培养学生数学探究与交流的能力，培养学生直觉猜想与抽象概括的能力。
3、情感目标与价值观：通过不断设置悬念、疑问，来引起学生的困惑与惊讶，激发学生的好奇心和求知欲，通过小组的合作与交流，来增强学生学习数学的自信心。
教学重点：理解四组诱导公式利用四组诱导公式求任意角的三角函数值和简单的化简与证明。
教学难点：四组诱导公式的推导过程为了区分下节课的几组公式，要理解为何名称不变理解确定符号的方法教学方法：自主探究式结合变式教学方法，结合多媒体课件演示教学工具：多媒体电脑，投影仪教学过程:一、 问题情景：回顾前面已经学习的理论知识，我们已经学习了任意角的三角函数的定义，学习了三角函数线，还有同角三角函数关系，但是我们还有一个关键问题没有解决，那就是：我们如何来求任意角的三角函数值呢？二、 学生活动：思考：（1）你能求sin390°的值吗？（2）你能求sin570°的值吗？（3）你能求sin （-30°）的值吗？教师指导：我们前面学过了三角函数的定义和三角函数线，知道角的终边和单位圆的交点的坐标就是角对应的三角函数值，大家先画出一个单位圆，然后把第一个角的终边画出来，它和单位圆的交点记为（00,x y ），然后我们以每两排为一组前后左右可以相互讨论，分别画出另外四个角的终边和单位圆的交点，每组画一个，然后每组推出一名代表发言，看看你在画图的时候发现了什么。
（给五分钟画图、总结，学生在画图中容易看出另外的几个角和开始的锐角的关系）三、 意义建构：教师指导：请每组推出的代表发言。
（按顺序，没合适人选时，教师可以随机指出一名代表） （此处引出本节课题，在运用公式时，注意“弧度”与“度”两种度量制不要混用）第一组：由画图发现030-的角的终边和6π的终边是关于x 轴对称的，由三角函数定义可知,它们的余弦值相等，正弦值和正切值互为相反数。
《三角函数的诱导公式》第一课时参考教案【优质】
1.2.4 诱导公式（一）一、学习目标1．通过本节内容的教学，使学生掌握α+πk2，-α角的正弦、余弦和正切的诱导公式及其探求思路，并能正确地运用这些公式进行任意角的正弦、余弦和正切值的求解、简单三角函数式的化简与三角恒等式的证明；2．通过公式的应用，培养学生的化归思想，以及信息加工能力、运算推理能力、分析问题和解决问题的能力；二、教学重点、难点重点：四组诱导公式及这四组诱导公式的综合运用.难点：公式(四)的推导和对称变换思想在学生学习过程中的渗透.三、教学方法先由学生自学，然后由教师设置一些问题供学生思考，在此基础上，可以通过讲授再现概念，通过练习理解概念，完成教学.四、教学过程教学环节教学内容师生互动设计意图复习引入1、初中我们已经会求锐角的三角函数值。
2、和30°、45°、60°终边相同的角如何表示？本节我们将研究任意角三角函数值之间的某中关系，以及如何求任意角的三角函数值。
教师提问：0°、30°、45°、60°、90°的正弦、余弦、正切的三角函数值是多少？学生回答我们如何求360°、390°、－315°的三角函数值呢？温故知新公式导入1.公式(一)απαsin)sin(=∙+2kαπαcos)cos(=∙+2kαπαtan)tan(=∙+2k（其中Z∈k）诱导公式（一）的作用：把把绝对值大于360º的任意角的正弦、余弦、正切的三角函数问题转化为绝对值小于360º角的正弦、余弦、正切三角函数问题，其方法是先在绝对值小于360º角找出与角α终边相同的角，再把它写成诱导公式（一）的形式，然后得出结果2．公式（二）:αα-sinsin(=-）ααcoscos(=-）ααtantan(-=-）它说明角-α与角α的正弦值互为相反数，而它们的余弦值相等．这是因为，若没α的终边与单位圆交于点P(x，y)，则角-α的终边与单位圆的交点必为P´(x，-y)（如图4-5-2）．由正弦函数、余弦函数的定义，即可得sinα=y， cosα=x,让学生在单位圆中画出α角与－α角，观察两个角的位置关系。
《三角函数诱导公式》教学设计(完美版)
“三角函数的诱导公式(第一课时)”教学设计一、教学内容与内容解析“三角函数的诱导公式”是普通高中教科书人教版必修1第五章第三节，其主要内容是三角函数的诱导公式中的公式二至公式六，是三角函数的主要性质.学生在前面已经学习了诱导公式一和任意角的三角函数的定义，这节课在此基础上，继续学习公式二至公式四.三角函数的诱导公式是圆的对称性的“代数表示”，利用对称性，让学生自主发现终边分别关于原点或坐标轴对称的角的三角函数值之间的关系，使得“数”与“形”得到紧密结合，成为一个整体.通过简单问题的提出、诱导公式的发现、问题的解决，体会由未知到已知的转化，为以后的三角函数求值、化简、简单证明以及后续学习的三角函数图像和性质等知识打好基础．诱导公式的主要用途是把任意角的三角函数值问题转化为求0°～90°角的三角函数值.诱导公式的推导过程，体现了“数形结合”和复杂到简单的“转化”的数学思想方法，反映了从特殊到一般的归纳思维形式．对培养学生的创新意识、发展学生的思维能力，掌握数学的思想方法具有积极的作用. 诱导公式的学习和推证过程还体现了三角函数之间的内部联系，是定义的延伸与应用，在本章中起着承上启下的作用.本节课的重点是诱导公式的探究，运用诱导公式进行简单函数式的求值与化简，提高对数学知识之间（圆的对称性与三角函数性质）联系的认识，把过去渗透在具体数学内容中的重要的方法以集中的、显性的形式呈现出来，使学生更加明确这些方法，并能在今后的学习中有意识地使用它们.二、教学问题诊断分析在教师的组织和引导下学生以自主探索、动手实践、合作交流的方式进行学习.在学习中了解和体验公式的发生、发展过程，让学生领会到诱导公式是前面三角函数定义、单位圆对称性等知识的延续和拓展，应用迁移规律，引导学生联想、类比、归纳推导公式.在教学中可能会遇到如下几个问题：1．在利用多媒体引导学生从特殊到一般的学习过程中，部分学生认为只要记住公式，会做题就可以，对公式的推导重视不够.为了尽量避免这种情况的出现，我采用小组讨论制，考虑到学生的个体差异，把“强”、“中”、“弱”合理搭配，安排组长监管收集讨论的结果，记录收集每一阶段的过程材料.2．角α的任意性，怎样向学生交代清楚是这节课我一直思考的问题.为了解决这个问题我自己利用几何画板制作教学课件，通过用角终边的任意一点的拖动，显示三角函数值在各个象限的变化，让学生明白角α不局限为第一象限的角，它具有任意性，从而突破了难点.3．公式的记忆也是个难点.特别是十字口诀更是理解不深.对于幻灯片中的公式，教师对照几何画板课件逐字逐句的分析，让其明白公式中的角是任意的，而记忆时将其看成锐角.另外，反思学习过程时，体会角的终边的对称性与三角函数值之间的关系也有利于公式的记忆.三、目标和目标解析（一）教学目标1.能借助三角函数的定义及单位圆的对称性推导出诱导公式,会利用诱导公式进行简单的三角函数式的求值与化简.2.通过诱导公式的推导过程，体会数形结合及转化思想的运用.3.培养学生由特殊到一般的归纳意识，学会用联系的观点看待问题.（二）目标解析在初中学生已经学习过关于原点、x轴以及y轴对称的点的坐标的内在联系，并且前面学生能运用三角函数的定义和公式一进行三角函数求值，但对于任意角的三角函数之间存在的联系还不清楚，或者只有一点模糊的感性认识．数学课程标准强调：“学生要获得必要的数学基础知识和基本技能，理解数学结论的本质，了解概念、结论等产生的背景、应用，体会其中所蕴含的数学思想和方法，以及它们在后续学习中的作用．通过不同形式的自主学习、探究活动，体验数学发现和创造的历程．”所以，根据课程标准、教材的特点、对本节课的教学要求以及学生的认知水平，从三个不同的方面确定了教学目标．根据教学内容的结构特征及教学目标，本节课采用了“问题——发现——归纳——类比”的教学方法和“自主探究——小组合作”的学习方式.由问题驱动，通过诱导公式二至四的探究，概括得到诱导公式的特点，提高对数学内部关联的认识，理解求任意角三角函数值所体现出来的化归思想，培养学生的探究能力.教学目标实现过程：1．利用已有知识导出新的问题，创设问题情境，引起学生学习兴趣，激发学生的求知欲，达到以旧拓新的目的.2．由特例(18030)︒+︒与30°(36030)︒-︒与30°，(18030)︒-︒与30°的关系提出问题，启发学生的思维，引导他们分析角的终边对称关系，利用定义进行推导得到公式二，再利用多媒体动态演示，使学生对“α为任意角”的认识自然合理.之后如法炮制公式三、四，通过联想，类比、方法迁移，学生很轻松的发现公式，每小组积极发言并且通过实物展台展示交流，发现任意角α与(180)α︒+，α-，(180)α︒-三角函数值的关系，体会了从特殊到一般的归纳推理过程，使学生的思维得到科学训练，有助于培养学生的概括能力和创新能力.3．采用问题设疑，观察演示，步步深入，逐层引导，探究合作的教学方法，旨在让学生充分感受和理解知识的产生和发展过程.在教师适时的启发点拨下，学生在类比、归纳的过程中积极主动地去探索、发现数学规律（公式），培养学生的创新意识和创新精神.通过引导学生探索并发现公式，将发现与证明合为一体，体现了“数形结合”的思想方法.4．通过例1和变式，把诱导公式（一）、（二）、（三）、（四）的应用进一步拓广，发展学生的思维能力和计算能力.例2的扩展让学生认识到公式的实用性和学习的必要性.本节课的教学设计力求体现 “问题性”、“科学性”与“思想性”，以多媒体为辅助手段，采用教师为主导学生为主体的启发式与探究式相结合的方法，使学生快乐地学习.四、教学支持条件分析在进行本节课的教学时，学生已经学习了三角函数的定义、各象限角的三角函数值的符号和公式一，这些内容是学生理解、归纳公式二至公式四的基础，因此教学时应充分注意利用这一有利条件，引导学生多进行归纳与概括.另外，信息技术的使用也为突破教学难点、启发学生思维、增加课堂容量提供了有力的支持.五、教学过程设计7.1 创设问题情境师生活动：教师提问，学生思考、回答，学生口述的同时，教师加以引导并用幻灯片展示．问题1：（1）各象限内三角函数值的符号是什么？（只讨论正弦、余弦、正切）（2）任意角的三角函数的定义是什么？（3）公式一的内容与作用是什么？问题2:已知1sin 30,2︒=如何求sin 210,sin330,sin150︒︒︒的值. 教师引导：能否再把0︒360︒间的角的三角函数，化为我们熟悉的0︒90︒间的角的三角函数问题呢？这节课我们就来学习和研究这样的问题.设计意图：通过复习旧知，为新知识的学习打下基础.特别是各象限三角函数的符号，对于诱导公式记忆起关键作用.提出的新问题，引导学生进一步思考，激起学生们的兴趣.7.2 探索开发新结论教师引导：为了解决以上问题，我们采用各个击破的方法.首先看21030180︒=︒+︒，如果我们知道一个任意角α与()πα+三角函数值的关系，问题就解决了.探究一：任意角α与()πα+三角函数值的关系.问题3：①α与 ()πα+角的终边关系如何？（互为反向延长线或关于原点对称）②设α与()πα+角的终边分别交单位圆于点1P ，2P ，则点1P 与2P 位置关系如何？（关于原点对称）③设点1(,)P x y ，那么点2P 的坐标怎样表示？（2(,)P x y --）④sin α与sin()πα+，cos α与cos()πα+，tan α与tan()πα+的关系如何？ 经过探索，归纳成公式()()()sin πsin cos πcos tan πtan αααααα+=-+=-+= ------公式 二1sin 210sin(30180)sin 302︒=︒+︒=-︒=-. 设计意图：公式二的三个式子中，ααsin )πsin(-=+是第一个解决的问题，由于方法及思路都是未知的，所以采取教师引导，师生合作共同完成办法．通过脚手架式的层层提问，引导学生自主推导诱导公式二，让学生体验证明猜想的乐趣，凸显学生学习的主体地位.同时，试图通过环环相扣的问题给学生传递“由宏观到微观考虑问题”的思维习惯，从而达到“授人以渔”的目的.后两个均由学生类比讨论完成．学生活动：小组讨论，代表发言交流．问题4：公式中的角α仅是锐角吗？设计意图：课前提问的问题是以30︒引入的，之后的讨论只是用代数方法换成了一般形式的角α，有些同学肯定会有这样的疑问，所以这个问题的解决好，就是突破难点的关键.引导学生互相讨论，交流可以使学生记忆更深刻.师生活动：演示几何画板课件，首先作出第一象限的任意角，之后得到相应的三角函数值，拖动其终边上任意点，再让学生观察每一象限内三角函数值的符号和它们之间存在的对称关系，从而验证了猜想，使学生更好的理解了这个公式．设计意图：通过多媒体演示，发现变化规律，从而总结出三角函数的诱导公式．类比第一个问题的解决方法，我们再来解决后面的两个问题.观察33036030︒=︒-︒，由公式一知330︒的终边与30-︒的终边相同，所以我们必须知道一个任意角α与(α-)三角函数值的关系.探究二：任意角α与(α-)三角函数值的关系.问题5：①α与(α-)角的终边位置关系如何？(关于x 轴对称)②设α与(α-)角的终边分别交单位圆于点1P ，2P 点1P 与2P 位置关系如何(关于x 轴对称)③设点1(,)P x y ，则点2P 的坐标怎样表示？[2(,)P x y -］④sin α与sin()α-，cos α与cos()α- ，tan α与tan()α-关系如何？经过探索，归纳成公式()()()sin sin cos cos tan tan αααααα-=--=-=--------------公式 三1sin 330sin(36030)sin(30)sin 302︒=︒-︒=-︒=-︒=-. 设计意图：通过学生自主探究与合作交流，完成由角的终边点的对称性得到公式的过程，充分调动学生学习的积极性和激发学生的参与、探究和体验的欲望，让他们既动脑又动手，让学生参与教学活动.让学生体验数与形的关系，尝试自主探究的乐趣.教师引导：那15018030︒=︒-︒，我们须知α与(π－α)的三角函数值的关系，同学们继续发挥聪明才智解决它吧！探究三：α与()πα-的三角函数值的关系．问题6：①α与()πα-角的终边位置关系如何？(关于y 轴对称)②设α与()πα-角的终边分别交单位圆于点1P ，2P 点1P 与2P 位置关系如何？(关于y 轴对称)③设点1(,)P x y ，则点2P 的坐标怎样表示？[2(,)P x y -］④sin α与sin()πα-，cos α与cos()πα- ，tan α与tan()πα-关系如何？ 经过探索，归纳成公式()()()sin πsin cos πcos tan πtan αααααα-=-=--=- ------公式 四1sin150sin(18030)sin 302︒=︒-︒=︒= 设计意图：与探究二的教法相同，学生分组讨论，尝试推导公式，教师巡视，及时反馈、矫正、讲评．采用合作学习有助于观察的多种方式的呈现，通过学生多角度的观察所得到结论的交流，让学生感受数学美和发现规律（公式）的喜悦，激发学生更积极地去寻找规律、认识规律.同时让学生感受到只要做个有心人，发现规律并非难事.(三)总结概括新结论师生活动：为了更好的使学生们把自己的研究成果记忆牢靠，师生共同大声朗读这四组公式.三角函数的诱导公式公式一：sin(2π)sin ,cos(2π)cos tan(2π)tan (Z),k k k k αααααα+=+=+=∈， 公式二：sin()sin cos()cos tan()tan .αααααα-=--=-=-，，公式三：sin(π)sin cos(π)cos tan(π)tan .αααααα-=-=--=-，，公式四：sin(π)sin cos(π)cos tan(π)tan .αααααα+=-+=-+=，，说明：公式中的α指使公式两边有意义的任意一个角．问题7：你能用一句话概括公式一、二、三、四吗？为了让学生更好的记忆公式，通过幻灯片展示，猜想验证，如果把角α看成锐角，2π,π,π,k αααα+-+-分别位于第一、二、三、四象限，由课前提问各象限内三角函数值的符号，学生可以试着叙述.师生活动：总结概括公式一、二、三、四：ααα-±∈±,π,Z)(π2k k 的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.公式特点：“函数名不变，符号看象限”设计意图：逐步理解十字口诀含义，并且训练学生的概括能力.(四)巩固应用结论例1 求下列三角函数值：师生活动：学生板书，教师巡视，纠正错误．（1）cos225︒；（2）11πsin3；（3）16πsin()3-；（4）cos(2040)-︒ 分析：先将不是02π范围内角的三角函数，转化为02π范围内的角的三角函数（利用诱导公式一）或先将负角转化为正角然后再用诱导公式化到02π范围内角的三角函数的值.解：（1）cos 225cos(18045)cos 452︒=︒+︒=-︒=-．（2）11πππsin sin(4)sin 3332π=-=-=-．（3）16π16πππsin()sin sin(5π)(sin )3333-=-=-+=--= （4）cos(2040)cos 2040cos(6360120)-︒=︒=⨯︒-︒ =1cos120cos(18060)cos602︒=︒-︒=-︒=-． 问题8：用诱导公式可将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，其一般步骤是什么？（学生大胆说，互相讨论）①化负角的三角函数为正角的三角函数；②化大于2π的正角的三角函数为02π内的三角函数； ③化02π内的三角函数为锐角的三角函数．变式：已知α是第三象限的角且1sin 3α=-，求sin(π)α+，sin(π)α-（学生口答）【设计意图】在得到诱导公式后，在此让学生独立去实践解决问题，，一般情况下，1、2小题都能很快解决，只是到了第3、4小题时，条件变化稍复杂一些，同学们就会出现思维障碍，需及时引导他们去进行角的转化，在实践中体会诱导公式在解题过程中的应用，使任意一个角都转化为他们所熟知的锐角，体会从未知到已知的化归思想，从而为总结出解题的一般步骤埋下伏笔.变式是为了让学生进一步理解公式中角的任意性而设立.例2 化简()cos(180)sin 360sin(180)cos(180)αααα︒++︒--︒-︒-． （学生板书）解：[]sin(180)sin (180)sin(180)(sin )sin ααααα--︒=-︒+=-︒+=--=，[]cos(180)cos (180)cos(180)cos αααα-︒-=-︒+=︒+=-，所以原式=cos sin 1sin (cos )αααα-=-． 变式：已知π1sin()63α-=，求5πsin()6α+的值. 【设计意图】在例题的选取与设计上，主要体现“由易到难，由简单到复杂，层层推进”的想法，例1体现在求值上，例2主要体现在化简上，使学生明白公示的应用所在.变式需要利用诱导公式进行一下变形再求值，对于初学者有点难度，需要教师从旁指导.练习是递进，体现化归思想、整体思想、使学生思维得到锻炼，体验学习的乐趣，从而达到初步掌握知识应用的目的.(五)课堂小结问题9 ：通过这节课的学习，大家有什么收获吗？主要提示从以下三方面 （由学生完成）1．四组诱导公式及公式的记忆方法2．求任意角的三角函数的步骤：上述过程体现了由未知转化为已知的化归思想.3．公式中的α的任意性.【设计意图】通过提问的形式，引导学生概括归纳已有知识，发现知识规律及其结构特征，形成知识系统；深化对诱导公式内涵和实质的理解，挖掘知识形成过程中所体现归纳和转化的思想方法，形成知识网络和方法网络，培养学生的抽象概括能力，．（六）作业布置：1．思考题给定一个角α，终边与角α的终边关于直线y x =对称的角与角α有什么关系？它们的三角函数之间有什么关系？能否证明？2．27页练习2、3【设计意图】通过训练，巩固本课所学知识，检测运用所学知识解决问题的能力；思考题的设置为了下节课学习公式五、六做预习准备的.教会学生利用所学知识进行数学学习，这是本节内容的一个提高与拓展.。
《三角函数的诱导公式(一)》示范课教案高中数
目录
• 课程介绍与目标 • 知识回顾与铺垫 • 诱导公式推导与理解 • 典型例题分析与解答 • 课堂互动与讨论环节 • 知识拓展与延伸思考 • 课堂总结与作业布置
01
课程介绍与目标
Chapter
示范课背景
三角函数是高中数学的重要内容，诱导公式是三角函数 知识体系的基础。
诱导公式的逆运用思考
已知三角函数值求角度
通过诱导公式，我们可以将任意角的三角函数值转化为锐 角的三角函数值，进而通过查表或计算求出相应的角度。
简化三角函数的计算
利用诱导公式，我们可以将复杂的三角函数表达式化简为 简单的形式，从而方便进行计算和求解。
证明三角恒等式
诱导公式在证明三角恒等式时也有重要作用。通过运用诱 导公式，我们可以将不同的三角函数表达式进行转化和化 简，从而证明它们之间的恒等关系。
学生需要掌握诱导公式，以便更好地理解和应用三角函 数。
本节课将通过示范教学，帮助学生深入理解和掌握诱导 公式的应用。
教学目标与要求
知识目标
01
理解并掌握三角函数的诱导公式。
能力目标
02
能够运用诱导公式解决与三角函数相关的问题。
情感、态度和价值观目标
03
培养学生严谨的数学思维习惯，增强数学学习的兴趣和信心。
相关数学史话介绍
三角函数的起源
三角函数起源于古代的天文学和地理学，人们为了研究天体运行和地理测量而发明了三角 函数。在古代，人们使用弦表等工具来计算三角函数值。
欧拉公式与三角函数
欧拉公式是数学中的一个重要公式，它将三角函数和复数相关联。通过欧拉公式，我们可 以将三角函数的计算转化为复数的运算，从而简化计算过程。
三角函数的诱导公式教案
三角函数的诱导公式(第1课时)教学设计说明一、教学背景分析1.教材的地位和作用本节教学内容是4组三角函数诱导公式的推导过程及其简单应用。
承上，有任意角三角函数正弦、余弦和正切的比值定义、三角函数线、同角三角函数关系等；启下，学生将学习利用诱导公式进行任意角三角函数的求值化简，以及三角函数的图象与性质（包括三角函数的周期性）等内容。
同时，学生在初中就接触过对称等知识，对几何图形的对称等知识相当熟悉。
这些构成了学生的知识基础。
诱导公式的作用主要在于把任意角的三角函数化归成锐角的三角函数，体现了把一般化特殊、复杂化简单、未知化已知的数学思想。
2.目标定位诱导公式可以帮助我们把任意角的三角函数化为锐角三角函数，但是随着计算器的普及，上述意义不是很大。
我们认为，诱导公式的教学价值主要体现在以下几个方面：第一，感受探索发现，通过几何对称这个研究工具，去探索发现任意角三角函数间的数量关系式，即三角函数的基本性质乃是圆的几何性质（主要是其对称性质）的代数解析表示。
第二，学会初步应用，能够选用恰当的诱导公式将任意角的三角函数转化为锐角三角函数问题并求解。
第三，领悟思想方法，在诱导公式的学习过程中领悟化归、数形结合等思想方法。
第四，积累数学经验，为学生认识任意角三角函数既是一个起源于圆周运动的周期函数又是研究现实世界中周期变化现象的“最有表现力的函数”做好准备。
为此，我们制定了本节的教学目标（详见教案），以及本节课的教学重、难点。
二、教学设计分析在进行本课教学设计时，有以下两条典型教学路线可供选择：（1）两个角的终边有哪些特殊的对称关系？（2）怎样把非第一象限的角转化为第一象限的角？我们最终选择了第一条路线，主要基于以下两点考虑。
1.尊重教材的编写方式。
从对教材的分析来看，苏教版教材将三角函数作为一种数学模型来定位，力图在单位圆中借助对称性来考察对应点的坐标关系，从而统整各组诱导公式。
教材的编写处理体现了教材专家的集体智慧和版本教材的一贯特色，教师应该努力体会和把握，不宜轻率抛开教材另搞一套。
必修四13三角函数的诱导公式(教案)
1.3 三角函数的诱导公式教案A教学目标一、学问与技能1.理解诱导公式的推导过程；2.通过诱导公式的具体运用，娴熟正确地运用公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题，体会数式变形在数学中的作用．3.进一步领悟把未知问题化归为问题的数学思想，通过一题多解，一题多变，多题归一，提高分析问题和解决问题的力量．二、过程与方法利用三角函数线，从单位圆关于x 轴、y 轴、直线y x 的轴对称性以及关于原点O 的中心对称性动身，通过学生的探究，明白三角函数的诱导公式的来龙去脉，理解诱导公式的推导过程；培育学生的规律推理力量及运算力量，渗透转化及分类争论的思想．三、情感、态度与价值观通过本节的学习使学生生疏到了解任何事物须从它较为生疏的一面入手，利用转化的方法将事物转化为我们熟知的事物，从而到达了解事物的目的，并使学生养成乐观探究、科学争论的好习惯．教学重点、难点教学重点：五组诱导公式的推导和六组诱导公式的敏捷运用，三角函数式的求值、化简和证明等．教学难点：六组诱导公式的敏捷运用．教学关键：五组诱导公式的探究．教学突破方法：问题引导，充分利用多媒体引导学生主动探究．教法与学法导航教学方法：探究式，讲练结合．学习方法：切实贯彻学案导学，以学生的学为主，教师起引导的作用，具体表现在教学过程当中．1.充分利用多媒体引导学生完善从特别到一般的认知过程；2.强调记忆规律，加强公式的记忆；3.通过对例题的学习，完成学习目标．教学预备教师预备：多媒体，投影仪、直尺、圆规．学生预备：练习本、直尺、圆规．教学过程一、创设情境，导入课我们利用单位圆定义了三角函数，而圆具有很好的对称性．能否利用圆的这种对称1性来争论三角函数的性质呢？例如，能否从单位圆关于x 轴、y 轴、直线y=x 的轴对称性以及关于原点O 的中心对称性等动身，获得一些三角函数的性质呢？二、主题探究，合作沟通提出问题①锐角α的终边与π+α角的终边位置关系如何？②它们与单位圆的交点的位置关系如何？师生互动：引导学生充分利用单位圆，并和学生一起争论探究角的关系．无论α为锐角还是任意角，π+α的终边都是α的终边的反向延长线，所以先选择π+α为争论对象．利用图形还可以直观地解决问题②，角的终边与单位圆的交点的位置关系是关于原点对称的，对应点的坐标分别是P1(x，y)和P2(-x，-y)．指导学生利用单位圆及角的正弦、余弦函数的定义，导出公式二：sin(π+α)=-sinα，cos( π +α)=-cosα，tan(π+α)=tanα．提出问题：-α角的终边与角α的终边位置关系如何？师生互动：让学生在单位圆中争论-α与α的位置关系，这时可通过复习正角和负角的定义，启发学生思考．-α角的终边与角α的终边关于x 轴对称，它们与单位圆的交点坐标的关系是横坐标相等，纵坐标互为相反数．从而完成公式三的推导，即：sin(-α)=-sinα，cos(-α)=cosα，tan(-α)=-tanα．教师点拨学生留意：无论α是锐角还是任意角，公式均成立．并进一步引导学生观看分析公式三的特点，得出公式三的用途：可将求负角的三角函数值转化为求正角的三角函数值．提出问题：π-α角的终边与角α的终边位置关系如何？师生互动：争论π-α与α的位置关系，这时可通过复习互补的定义，引导学生思考：任意角α和π-α的终边的位置关系；它们与单位圆的交点的位置关系及其坐标：π-α角的终边与角α的终边关于y 轴对称，它们与单位圆的交点坐标的关系是纵坐标相等，横坐标互为相反数．从而完成公式四的推导，即：sin(π-α)=sinα，cos(π-α)=-cosα，tan(π-α)=-tanα．强调无论α是锐角还是任意角，公式均成立．引导学生观看分析公式三的特点，得出公式四的用途：可将求π-α角的三角函数值转化为求角α的三角函数值．让学生分析总结诱导公式的构造特点，概括说明，加强记忆．我们可以用下面一段话来概括公式一～四：2α+k·2π(k∈Z)，-α，π±α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．进一步简记为：“函数名不变，符号看象限”．点拨、引导学生留意公式中的α是任意角．提出问题终边与角α的终边关于直线y=x 对称的角有何数量关系？师生互动：我们借助单位圆探究终边与角α的终边关于直线y=x 对称的角的数量关系．教师充分让学生探究，启发学生借助单位圆，点拨学生从终边关于直线y=x 对称的两个角之间的数量关系，关于直线y=x 对称的两个点的坐标之间的关系进展引导．π争论结果：如图，设任意角α的终边与单位圆的交点P1 的坐标为(x，y)，由于角2-απ的终边与角α的终边关于直线y=x 对称，角2 -α的终边与单位圆的交点P2与点P1关于π直线y=x 对称，因此点P2 的坐标是(y，x)，于是，我们有sinα=y，cosα=x，cos(2-α)=y，πsin(2 -α)=x．从而得到公式五：ππcos(2 -α)=sinα，sin( 2 -α)=cosα．提出问题π能否用已有公式得出2 +α的正弦、余弦与α的正弦、余弦之间的关系式？ππ师生互动：教师点拨学生将2 +α转化为π- ( 2 -α)，从而利用公式四和公式五到达πππ我们的目的．由于2 +α可以转化为π-(2 -α)，所以求2 +α角的正余弦问题就转化为利用公式四接着转化为利用公式五，这时可以让学生独立推导出公式六：πsin (2 +α)=cosα，πcos(2 +α)=-sinα．提出问题你能概括一下公式五、六吗？3师生互动：结合上一堂课争论公式一～四的共同特征引导学生寻求公式五、六的共同特征，指导学生用类比的方法即可将公式五和公式六进展概括．争论结果：π±α 的正弦(余弦)函数值，分别等于 α 的余弦(正弦)函数值，前面加上2一个把 α 看成锐角时原函数值的符号．进一步可以简记为：函数名转变，符号看象限．利用公式五或公式六，可以实现正弦函数与余弦函数的相互转化． 公式一～六都叫做诱导公式． 三、拓展创，应用提高例 1 利用公式求以下三角函数值：〔1〕cos225°；〔2〕sin 11π；〔3〕sin( - 16π)；〔4〕cos(-2 040°)．3 3解：〔1〕cos225°=cos(180°+45°)=-cos45°= -2 ；2〔2〕sin11π =sin(4π - π )=-sin π= -3 ；33 32〔3〕sin( - 16π )=-sin 16π =-sin(5π+ π )=-(-sin π )= 3；3 3 3 3 2〔4〕cos(-2 040°)=cos2 040°=cos(6×360°-120°) =cos120°=cos(180°-60°)=-cos60°= -1．2点评：利用公式一～四把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，一般可按以下步骤进展：上述步骤表达了由未知转化为的化归的思想方法．例 2化简cos(180︒ +α) sin(α + 360︒) .sin(-α -1800) cos(-180︒ -α)解：sin(-α -180︒) = sin[-(α +180︒)] = -sin(α +180︒) = -(-sin α) = sin α4πcos(-180︒ -α) = cos[-(180︒ +α)] = cos(180︒ +α) = - cos α.所以，原式=-cos α sin α= 1. sin α (-cos α)3π3π例 3 证明：〔1〕sin(2-α)=-cos α；〔2〕cos(2-α)=-sin α．3ππ π证明：〔1〕sin(2 -α)=sin[π+( 2-α)]=-sin( 2 -α)=-cos α；3π ππ〔2〕cos(2-α)=cos[π+( 2 -α)]=-cos( 2-α)=-sin α．3π 点评：由公式五及六推得22k + 1±α 的三角函数值与角 α 的三角函数值之间的关系，从而进一步可以推广到用．2π(k ∈Z )的情形．本例的结果可以直接作为诱导公式直接使例 4 化简 sin(2π - a )cos( π + a )cos( π+ a )cos( 11π- a )2 2 . cos(π - a )sin(3π - a )sin( -π - a )sin( 9π+ a )2 (-sin a )(-cos a )(-sin a )cos[5 π + ( π- a )]解：原式=2 π (-cos a )sin( π - a )[-sin(π + a )]sin[4π + ( + a )]2-sin 2 a cos a [-cos( 2 - a )] - sin a =四、小结(-cos a )sin a [-(-sin a )]sin( π+ a ) 2= cos a=-tan a ． ①熟记诱导公式；②公式一至四记忆口诀：函数名不变，正负看象限；并进展简洁的求值； ③运用诱导公式进展简洁的三角化简． 课堂作业1. 在△ABC 中，以下等式肯定成立的是()A +BC A. sin 2 =-cos 2B. sin(2A +2B )=-cos2CC. sin(A +B )=-sin CD ．sin(A +B )=sin C 2．假设 f (sin x )=cos x ，那么 f (-cos x )等于()5A ．sin xB ．cos xC ．-sin xD ．-cos x3．计算以下各式的值：〔1〕sin(-1 200°)cos(1 290°)+cos(-1 020°)sin(-1 050°)+tan945°； 〔2〕tan(27°-α)tan(49°-β)tan(63°+α)tan(139°-β)．4．化简：参考答案： 1．D 2．A 3．〔1〕2；〔2〕-1． 4．-tan a ．教案 B教学目标一、学问与技能1. 牢记诱导公式.2. 理解和把握公式的内涵及构造特征，会初步运用诱导公式求三角函数的值，并进展简洁三角函数式的化简和证明.二、过程与方法1. 通过诱导公式的推导，培育学生的观看力、分析归纳力量，领悟数学的归纳转化思想方法.2. 通过诱导公式的推导、分析公式的构造特征，使学生体验和理解从特别到一般的数学归纳推理思维方式.3. 通过根底训练题和力量训练题的练习，提高学生分析问题和解决问题的实践能力.三、情感、态度与价值观1. 通过诱导公式的推导，培育学生主动探究、勇于觉察的科学精神，培育学生的创意识和创精神.2. 通过归纳思维的训练，培育学生踏实细致、严谨科学的学习习惯，渗透从特别到一般、把未知转化为的辨证唯物主义思想.教学重点、难点教学重点：用联系的观点，觉察并证明诱导公式，进而运用诱导公式解决问题． 教学难点：如何引导学生从单位圆的对称性和任意角终边的对称性中，觉察问题，提出争论方法． 学法与教学用具学法：在教师的组织和引导下学生以自主探究、动手实践、合作沟通的方式进展学 习．在学习中了解和体验公式的发生、进展过程，让学生领悟到诱导公式是前面三角函数定义、单位圆对称性等学问的连续和拓展，应用迁移规律，引导学生联想、类比、归6sin(540 - a ) •tan(a - 270 )cos( a - 270︒) .cos(a - 180 ) tan(810 + a )sin( -a - 360 )+α)纳推导公式．教学用具：电脑、投影机、三角板． 教学设想：一、创设情境在前面的学习中，我们知道终边一样的角的同名三角函数值相等，即公式一，并且利用公式一可以把确定值较大的角的三角函数转化为0°到 360°(0 到 2π)内的角的三角函π数值，求锐角三角函数值，我们可以通过查表求得，对于90°到 360°(2到 2π)范围内的角的三角函数怎样求解，能不能有像公式一那样的公式把它们转化到锐角范围内来求解，这一节就来探讨这个问题．二、探究知1. 诱导公式二：思考：〔1〕锐角α 的终边与180 +α 的终边位置关系如何？ 〔2〕写出α 的终边与180 +α 的终边与单位圆交点P , P ” 的坐标．〔3〕任意角α 与180 +α 呢？结 论 ： 任 意 α 与 180 的 终 边 都 是 关 于 原 点 中 心 对 称 的 ． 则 有P (x , y ), P ”(-x , - y ) ，由正弦函数、余弦函数的定义可知：sin α = y ，cos α = x ；sin(180 = - y ，cos(180 = - x ．从而，我们得到诱导公式二：sin(180 = -sin α ； cos(180 = - cos α ．说明：①公式中的α 指任意角；②假设α 是弧度制，即有sin(π +α ) = -sin α ， cos(π +α ) = - cos α ； ③公式特点：函数名不变，符号看象限；④可以导出正切：tan(180 = 用弧度制可表示如下：= -sin α- cos α= - tan α ．2. 诱导公式三：思考：〔1〕360 -α 的终边与-α 的终边位置关系如何？从而得出应先争论-α ；7sin(π + α〕= -sin α ； cos(π + α〕= -cos α ； tan(π + α〕= tan α ．+α +α ) +α) +α ) +α) sin(180 +α) cos(180 +α)〔2〕任意角α与-α的终边位置关系如何？结论：同诱导公式二推导可得：诱导公式三：sin(-α) =-sinα；cos(-α) = cosα．说明：①公式中的α指任意角；②在角度制和弧度制下，公式都成立；③公式特点：函数名不变，符号看象限；④可以导出正切：tan(-α) =- tanα．3.诱导公式四：sin(180 -α) = sinα；cos(180 -α) =- cosα．说明：①公式四中的α指任意角；②在角度制和弧度制下，公式都成立；③公式特点：函数名不变，符号看象限；④可以导出正切：tan(180 -α) =-tanα．用弧度制可表示如下：sin(π-α〕= sinα；cos(π-α〕= -cosα；tan(π-α〕=-tanα．4.终边与角α的终边关于直线y=x 对称的角有何数量关系．结论：如下图，设任意角α的终边与单位圆π的交点P1的坐标为〔x，y〕，由于角2-α的终边与角α的终边关于直线y=x 对称，角π-α的终边与单位2圆的交点P2 与点P1关于直线y=x 对称，因此点P2的坐标是〔y，x〕，于是我们有sinα=y，cosα=x；ππsin(2 -α) = x，cos( 2 -α) = y．从而得到诱导公式五：πsin(2 -α) = cosα，πcos(2 -α) = sinα．ππ由于2+α=π-(2-α)，由公式四及五可得83公式六πsin( 2 +α) = cos α，π cos( 2+α) =- sin α．公式五和公式六可以概括如下：π2±α的正弦〔余弦〕函数值，分别等于α的余弦〔正弦〕函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.利用公式五或公式六，可以实现正弦函数与余弦函数的相互转化. 公式一～六都叫做诱导公式. 三、例题讲解例 1 求以下三角函数值：〔1〕sin 960 ； 〔2〕 cos(- 43π) ． 6解：〔1〕sin 960= sin(180 + 60 ) = -sin 60 = -3 ．2〔2〕cos(- 43π) = cos 43π = cos(7π + 6π) = cos 7π 6 6 6 6= cos( π + π) = - cos π= - ．6 62例 2 ： tan α = 3 ，求 2cos( π -α) - 3sin( π +α) 的值.4cos( -α) + sin(2π -α)解：∵ tan α = 3 ，∴原式= -2cos α + 3sin α=-2 + 3tan α = 7 ． 4cos α - sin α 4 - tan α例 3 化简sin(α + n π) + sin(α - n π) (n ∈ Z ) ．sin(α + n π)cos(α - n π)解：①当n = 2k ，k ∈ Z 时，原式= sin(α + 2k π) + sin(α - 2k π) = 2 ．sin(α + 2k π)cos(α - 2k π) cos α②当n = 2k +1,k ∈ Z 时，9= sin(960 - 720 ) = sin 2401-cos 2( 2π -α) 3 1 - m 21 - m23 3=3原式= sin[α + (2k +1)π] + sin[α - (2k +1)π] = -2sin[α + (2k +1)π]cos[α - (2k +1)π] cos α例 4． π <α < 2π ， cos(α + π) = m (m ≠ 0) ，求tan(2π -α ) 的值． 6 3 3 3 解：由于 2π -α =π-(α + π) ，所以，cos( 2π -α) =cos[π-(α + π)] = -cos(α + π) ＝-m .π <α < 2π6 3于是3 3 30< 2π -α < π3 2sin( 2π-α) = 3. 2πsin( 2π -α) 所以， tan( 3 -α) =四、课堂小结cos( 2π -α)= - m 31．五组公式可概括如下：α + k ⋅ 360 (k ∈ Z ), -α,180 ±α,360 -α 的三角函数值等于α 的同名函数值，前面加上一个把α 看成锐角时原函数值的符号；2. 要化的角的形式为k ⋅90 ±α 〔 k 为常整数〕；记忆方法：“奇变偶不变，符号看象限”；〔k 为奇数还是偶数〕3. 利用五组诱导公式就可以将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数．其化简方向仍为：“负化正，大化小，化到锐角为终了”．五、作业课本第 29 页习题 1．3B 组第 1、2 题.10由于 所以。
三角函数的诱导公式(第一课时)教学设计
教材版本：人民教育出版社三角函数的诱导公式第一课时10分钟片段课设计乌鲁木齐第十中学刘倩倩三角函数的诱导公式（第一课时）10分钟片段课设计 教学目标知识与技能识记诱导公式，理解和掌握公式的内涵及结构特征.过程与方法借助单位圆推导诱导公式，特别是学习从单位圆的对称性与任意角终边的对称性中，发现问题（任意角α的三角函数值与,,παπαα-+-等的三角函数值之间有内在联系），利用坐标的对称性，从三角函数定义得出相对应的关系式.情感、态度与价值观通过诱导公式得出的过程，培养学生勇于发现的科学精神，培养学生的创新意识和创新精神. 教学重难点重点：用联系的观点，发现诱导公式，体会把未知问题化归为已知问题的重要思想.难点：如果引导学生从单位圆的对称性与任意角终边的对称性中，发现问题，提出研究方法. 教学基本流程一、 复习回顾 借助于挂图回顾复习任意角三角函数的定义及诱导公式一我们学习了在单位圆中定义任意角的三角函数，任意角α的终边与单位圆交于点(,)p x y ，那么，y 叫做α角的正弦，记作sin α，即sin ;y α=x 叫做α角的余弦，记作cos α，即cos ;x α=y x叫做α角的正切，记作tan α，即tan ;y x α= 若将角的终边旋转整数个周后与原角α终边相同，则此时同名三角函数的值不变.二、 课题引入圆具有良好的对称性，能否利用圆的这种对称性来研究三角函数的性质呢？这是本节研究的内容.寻找终边与角α的终边对称的角 探究终边和角α的终边对称的角与α的数量关系 探究终边和角α的终边对称的角的三角函数与α的三角函数的关系三、 探究新知⑴与原角α的终边关于原点对称的是πα+角的终边，与单位圆交于1(,)p x y --，此时，我们根据任意角三角函数的定义得：sin()sin y παα+=-=-；cos()cos x παα+=-=-；tan()tan y xπαα-+==-. ⑵同理，与原角α的终边关于x 轴对称的是α-角的终边，与单位圆交于2(,)p x y -，此时，我们根据任意角三角函数的定义得：sin()sin y αα-=-=-；cos()cos x αα-==；tan()tan y xαα--==-. ⑶由学生自行探究第三组点坐标的对称关系得出三角函数的关系，与原角α的终边关于y 轴对称的是πα-角的终边，与单位圆交于3(,)p x y -，此时，我们根据任意角三角函数的定义得：sin()sin y παα-==；cos()cos x παα-=-=-；tan()tan y xπαα-==--. 至此，我们得到了三角函数的四组诱导公式.在此过程中，需认真体会类比推理、数形结合，转化与化归的数学思想.以上机组诱导公式将任意角的三角函数转化为锐角三角函数解决，即负角化正角，大角化小角，化成锐角为终了.四、 板书设计。
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1.2.4 诱导公式（一）
一、学习目标
1．通过本节内容的教学，使学生掌握α+πk2，-α角的正弦、余弦和正切的诱导公式及其探求思路，并能正确地运用这些公式进行任意角的正弦、余弦和正切值的求解、简单三角函数式的化简与三角恒等式的证明；
2．通过公式的应用，培养学生的化归思想，以及信息加工能力、运算推理能力、分析问题和解决问题的能力；
二、教学重点、难点
重点：四组诱导公式及这四组诱导公式的综合运用.
难点：公式(四)的推导和对称变换思想在学生学习过程中的渗透.
三、教学方法
先由学生自学，然后由教师设置一些问题供学生思考，在此基础上，可以通过讲授再现概念，通过练习理解概念，完成教学.
四、教学过程
教
学
环
节
教学内容师生互动设计意图
复习引入
1、初中我们已经会求锐角
的三角函数值。
2、和30°、45°、60°终
边相同的角如何表示？
本节我们将研究任意角三
角函数值之间的某中关系，以
及如何求任意角的三角函数
值。
教师提问：0°、30°、
45°、60°、90°的正弦、
余弦、正切的三角函数值
是多少？
学生回答
我们如何求360°、
390°、－315°的三角函
数值呢？
温故知新
公式导入1.公式(一)
α
π
αsin
)
sin(=
∙
+2
k
α
π
αcos
)
cos(=
∙
+2
k
α
π
αtan
)
tan(=
∙
+2
k
（其中Z
∈
k）
诱导公式（一）的作用：
把把绝对值大于360º的任意
角的正弦、余弦、正切的三角
函数问题转化为绝对值小于
360º角的正弦、余弦、正切三
角函数问题，其方法是先在绝
对值小于360º角找出与角α
终边相同的角，再把它写成诱
导公式（一）的形式，然后得
出结果
2．公式（二）:α
α-sin
sin(=
-）
α
αcos
cos(=
-）
α
αtan
tan(-
=
-）
它说明角-α与角α的正弦值
互为相反数，而它们的余弦值
相等．这是因为，若没α的终
边与单位圆交于点P(x，y)，
则角-α的终边与单位圆的交
点必为P´(x，-y)（如图
4-5-2）．由正弦函数、余弦函
数的定义，即可得
sinα=y， cosα=x,
让学生在单位圆中画出α
角与－α角，观察两个角
的位置关系。
1．根据任意角
的三角函数定
义可知两个角
若终边相同，那
么它们的三角
函数值也应该
相同。
由此导出
公式（一）
2．学生在单位
圆中画出α角
与－α角，观察
出角的终边关
于x轴对称，结
合三角函数定
义可得到公式
（二）
α
α
-
x
y
P(x,y)
P′(x，-y)
M O
(4-5-2)
α
α
+ 180x y
P(x,y)
P′(-x ，-y)
M
M′
O
(4-5-1)
sin(-α)=-y, cos(-α)=x, 所以：sin(-α)= -sin α, cos(-α)= cos α 公式二的获得主要借助于单
位圆及正弦函数、余弦函数的定义．根据点P 的坐标准确地确定点P ´的坐标是关键，这
里充分利用了对称性质．事实上，在图1，点P ´与点P 关于x 轴对称．直观的对称形象为我们准确写出P ´的坐标铺平
了道路，体现了数形结合这一数学思想的优越性． 公式(三)
[]απαcos 2(cos -=++1)k []απαsin 2(sin -=++1)k []απ
αtan 2(tan =++1)k
由公式（一）可以看出，角α和α加上π偶数倍的所有三角函数值相等。
角α和α加上π奇数倍的正，
余弦值互为相反数； 角α和α加上π奇数倍的正切函数值相等。
⎩⎨
⎧-=+为偶数
，为奇数
，ααααπαsin sin )sin(n ⎩⎨
⎧-=+为偶数
，为奇数
，ααααπαcos cos )cos(n απαtan )tan(=+n
引导学生在单位圆中画出
α角与π＋α角，观察其位置关系，在结合公式（一）得到公式（三）
3．利用角的终边在单位圆中的不同位置关系而得到相应的诱导公式。
应用举例例1．下列三角函数值：
（1）cos210º；
(2)sin
4
5π
解：（1）cos210º=cos(180º+30
º)=－cos30º=－
2
3
；
（2）
sin
4
5π
=sin(
4
π
π+)=－
sin
4
π
=－
2
2
例2．求下列各式的值：（1）
sin(－
3
4π
)；(2)cos(－60º)
－sin(－210º)
解：（1）sin(－
3
4π
)
=－sin(
3
π
π+)=sin
3
π
=
2
3
；
（2）原式=cos60º+sin(180º
+30º)
=cos60º－sin30º=
2
1
－
2
1
=0
例3．化简
)
180
sin(
)
180
cos(
)
1080
cos(
)
1440
sin(
︒
-
-
⋅
-
︒
-
︒
-
⋅
+
︒
α
α
α
α
解：原式
=
分析：本题是诱导公
式三的巩固性练习题．求
解时，只须设法将所给角
分解成180º+α或（π
+α），α为锐角即可．
分析：本题是诱导公
式二、三的巩固性练习
题．求解时一般先用诱导
公式二把负角的正弦、余
弦化为正角的正弦、余弦，
然后再用诱导公式三把它
们化为锐角的正弦、余弦
来求．
)]180sin([)180cos(cos sin ααα
α+︒-⋅+︒⋅ =α
αααsin )cos (cos sin ⋅-⋅=－1
例4．已知cos(π+α)=－
2
1，23π
<α<2π，则sin(2π－α)的值是（ ）． （A ）
2
3
(B)
2
1
(C)－23
(D)±
2
3 选A
分析：这是诱导公式一、二、三的综合应用．适
当地改变角的结构，使之符合诱导公式中角的形式，是解决问题的关键．
分析：通过本题的求解，可进一步熟练诱导公式一、二、三的运用．求解时先用诱导公式三把已知条件式化简，然后利用诱导公式一和二把sin(2π－α)化成－sin α,再用同角三角函数的平方关系即可．
课堂练
1．求下式的值：2sin(－1110º) －sin960º
+)210cos()225cos(2︒-+︒- 选题目的：通过本题练习，使学生熟练诱导公式
一、二、三的运用．
加强格式的规范化，减少计算错误。
习答案：－2
提示：原式=2sin(－30º)+sin60º－
︒
-
︒30
cos
45
cos
2=－2
2．化简sin(－2)+cos(－2－π)²tan(2－4π)所得的
结果是（）
（A）2sin2 (B)0
(C)－2sin2 (D) －1
答案：C
使用方法：供课堂练习用．
评估：求解本题时，在灵活地进行角的配凑，使之符合诱导公式中角的结构特点方面有着较高的要求．若只计算一次便获得准确结果，表明在利用诱导公式一、二、三求解三角函数式的值方面已达到了较熟练的程度．
课堂小结
通过本节课的教学，我们获
得了诱导公式．值得注意的是
公式右端符号的确定．在运用
诱导公式进行三角函数的求
值或化简中，我们又一次使用
了转化的数学思想．通过进行
角的适当配凑，使之符合诱导
公式中角的结构特征，培养了
我们思维的灵活性．
本节课我们学习了哪些诱
导公式？它们角的终边具
有什么几何特征？如何记
住公式？
师生共同回顾
本节课所学习
的诱导公式，加
强记忆，熟能生
巧。
布
置作业练习A、练习B
通过完成作业巩固诱
导公式的（一）、（二）、
（三），达到熟练运用。
记准公式，计算
准确。