第五章 留数定理习题及其解答

第五章 留数定理习题及其解答

设有

++++++++=+-1212221111)(n n

n n z z z z z z f ,能否说0=z 为)(z f 本

性奇点为什么

答：这个级数由两部分组成：即∑∑∞

=∞

=+-+1

012n n n n n

z z

。第一个级数当1

1

1>z 时收敛,第二个级数当1

2

即

2

函数2

11

111

2()11232112z f z z z z z z z -=+=+=---+--。显然0z =是()f z 的解析点。可见

此级数并非在0z =的去心领域内成立。故不能由其含无限多个负幂项断定0z =的性质。

注： 此例说明，判断孤立奇点0z 类型虽可从()f z 的Laurent 展开式含有负幂项的情

况入手，但切不可忘掉必须是在去心领域内的Laurent 展式，否则与0z 是什么性质的点没有

关系。

设()f z 在全平面解析，证明：若∞为()f z 的可去奇点，则必有0()f z a ≡（常数）；若∞为()f z 的m 级极点，则()f z 必为m 次多项式：01(),0k k k f z a a z a z a =+++≠；

除此之外，()f z 在00z =处的Taylor 展式必有无限多项系数0≠。

证： 因为()f z 在全平面解析，所以()f z 在00z =邻域内Taylor 展式为01()k k f z a a z a z =++++且z <+∞。注意到这Taylor 级数也是()f z 在∞去心邻域

内的Taylor 级数。

所以，当∞在()f z 的可去奇点<═>()f z 在∞去心邻域内Laurent 展示无z 的正幂项,即

120a a ==

=。

故0()f z a ≡(常数)；

当∞为()f z 的m 级极点⇔()f z 在∞去心邻域内Laurent 展示中只含有限个z 的正幂项,且最高正幂为m 次（0m a ≠）。

1011() (0),0,()m m m m m n f z a a z a z a z a a n m --=++++≠=>

。

即()f z 为m 次多项式；

除去上述两种情况, ∞为()f z 的本性奇点⇔()f z 在∞去心邻域内Laurent 展开式中含有无限多个正幂项,

因此在

() z n n n f z a z ∞

==<+∞

∑中，有无限多个项的系数不为0。

注 (1). 对本题的结论,一定要注意成立的条件为()f z 在全面解析，否则结论不成

立。例：

1()f z z =

在0z <<+∞内解析(与全平面解析仅差一个点!)，且以∞为可去奇点，

但();f z ≠常数又1()z

f z z e =+在0z <<+∞

内解析,且以z =∞为一级极点，但它并不是一次多项式，也不可能与任何一次多项式等价(它以z =0为本性奇点)。同样地，

1

()sin f z z z =

+在0z <<+∞内解析，以∞为本性奇点，但它不是超越整函数，(它不是

整函数)；

(2). 本题证明完全依赖于无穷远点性态的分类定义，同时注意，全平面解析的函数在

00z =邻域内Taylor 展示的收敛半径R= +∞，从而此Taylor 展示成立的区域

z <+∞恰是∞的去心领域，即同一展示对∞而言即是其去心领域内的Laurent 展式。

证明：如果0z 为解析函数()f z 的m 阶零点，则0z 必为()f z '的1m -阶零点。(m >1)

证 因为()f z 在0z 点解析，且0z 为其m 阶零点。故()f z 在0z 的邻域内Taylor 展

式为

11010()()() m m m m f z C z z C z z -++=-+-+

其中00. .m C z z R ≠-<

由Taylor 级数在收敛圆内可逐项微分性质有

'1010()()(1)() m m m m f z C m z z C m z z -+=-++-+

0 .z z R -<

：

0 0 m m C C m ≠∴≠

右端即为'()f z 在0z z R -<内的Taylor 展开式，由解析函数零点定义知，'

()f z 以

0z 为1m -阶零点。

注 本证明仅用到解析函数零点定义及幂级数在收敛圆内可逐项求导的性质.

判断下列函数在无穷远点的性态

1)

1z z +

2）2

1sin z z + 3）1

z z e - 4）1sin cos z z + 解 1) 因为

1

()f z z z =+

在0z <<+∞内解析，且所给形式即为它在该环域内的Laurent 展式，所以∞为()f z 的一级极点(0z =为一级极点). 2) 因为

21

sin z z +

在0z <<+∞内解析，且在此环域内有

21111(1)3521

sin 23!5!(21)!n n z z z z Z n z z -++=+-+++

+

即在∞的去心邻域里的Laurent 展式中含有无限多个z 的正幂项，故∞为

21

sin z z +

的本性

奇点（0为二级极点）。

3) 因为11()z z z

z

e f z e

e -

==

,

z

e 在0z =处解析，1z

e 以0z =为本性奇点。

在()f z 中令

1z ξ=

，得1()()f ϕξξ=。0ξ=为1()()f ϕξξ=的本性奇点，即z =∞为()f z 的本性奇点。