2014届高考数学一轮复习教学案基本不等式(含解析)

第四节

基本不等式

[知识能否忆起]

一、基本不等式ab ≤a ＋b

2

1．基本不等式成立的条件：a >0，b >0.

2．等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 二、几个重要的不等式

a 2＋

b 2≥2ab (a ，b ∈R )；b a ＋a

b ≥2(a ，b 同号)．

ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )；⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2

＋b 2

2(a ，b ∈R )． 三、算术平均数与几何平均数

设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：

两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．

四、利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则：

(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p .(简记：积定和最小)

(2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 2

4

.(简记：和定积最大)

[小题能否全取]

1．(教材习题改编)函数y ＝x ＋1

x (x ＞0)的值域为( )

A ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)

B ．(0，＋∞)

C ．[2，＋∞)

D ．(2，＋∞)

解析：选C ∵x ＞0，∴y ＝x ＋1

x ≥2，当且仅当x ＝1时取等号．

2．已知m >0，n >0，且mn ＝81，则m ＋n 的最小值为( ) A ．18

B ．36

C ．81

D ．243

解析：选A ∵m >0，n >0，∴m ＋n ≥2mn ＝18.当且仅当m ＝n ＝9时，等号成立． 3．(教材习题改编)已知0

D.23

解析：选B 由x (3－3x )＝13×3x (3－3x )≤13×94＝34，当且仅当3x ＝3－3x ，即x ＝1

2时等

号成立．

4．若x >1，则x ＋4

x －1的最小值为________．

解析：x ＋4x －1＝x －1＋4

x －1＋1≥4＋1＝5.

当且仅当x －1＝4

x －1，即x ＝3时等号成立．

答案：5

5．已知x ＞0，y ＞0，lg x ＋lg y ＝1，则z ＝2x ＋5

y 的最小值为________．

解析：由已知条件lg x ＋lg y ＝1，可得xy ＝10. 则2x ＋5y

≥2 10

xy

＝2，故⎝⎛⎭⎫2x ＋5y min ＝2，当且仅当2y ＝5x 时取等号．又xy ＝10，即x ＝2，y ＝5时等号成立．

答案：2

1.在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．

2．对于公式a ＋b ≥2ab ，ab ≤⎝⎛

⎭⎫a ＋b 22

，要弄清它们的作用和使用条件及内在联系，

两个公式也体现了ab 和a ＋b 的转化关系．

3．运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a 2＋b 2≥2ab 逆用就是ab ≤a 2＋b 22；a ＋b 2≥ab (a ，b >0)逆用就是ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22

(a ，b >0)等．还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等．

典题导入

[例1] (1)已知x ＜0，则f (x )＝2＋4

x

＋x 的最大值为________．

(2)(2012·浙江高考)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( ) A.245 B.285 C ．5

D ．6

[自主解答] (1)∵x ＜0，∴－x ＞0， ∴f (x )＝2＋4

x ＋x ＝2－⎣⎡⎦

⎤4－x ＋(－x ).

∵－4x ＋(－x )≥24＝4，当且仅当－x ＝4

－x ，即x ＝－2时等号成立．

∴f (x )＝2－⎣⎡⎦

⎤4

－x ＋(－x )≤2－4＝－2，

∴f (x )的最大值为－2.

(2)∵x ＞0，y ＞0，由x ＋3y ＝5xy 得15⎝⎛⎭

⎫1y ＋3x ＝1. ∴3x ＋4y ＝15·(3x ＋4y )·⎝⎛⎭⎫1y ＋3x ＝15⎝⎛⎭⎫3x y ＋4＋9＋12y x ＝135＋15⎝⎛⎭⎫3x y ＋12y x ≥135＋15×2

3x y ·12y

x

＝5(当且仅当x ＝2y 时取等号)，∴3x ＋4y 的最小值为5. [答案] (1)－2 (2)C

本例(2)条件不变，求xy 的最小值．

解：∵x ＞0，y ＞0，则5xy ＝x ＋3y ≥2x ·3y ， ∴xy ≥12

25，当且仅当x ＝3y 时取等号．

∴xy 的最小值为12

25

.

由题悟法

用基本不等式求函数的最值，关键在于将函数变形为两项和或积的形式，然后用基本不等式求出最值．在求条件最值时，一种方法是消元，转化为函数最值；另一种方法是将要求最值的表达式变形，然后用基本不等式将要求最值的表达式放缩为一个定值，但无论哪种方法在用基本不等式解题时都必须验证等号成立的条件．

以题试法