含参变量反常积分

c
c
在[a, b]上一致收敛.
例２ 证明含参量反常积分
cos xy 0 1 x2 dx
在 (, ) 上一致收敛.
证 因为，有
|
cos 1
xy x2
|
1
1 x2
y
并且反常积分
1 0 1 x2 dx
收敛
所以
cos xy 0 1 x2 dx 在 (, ) 上一致收敛.
一、一致收敛性及其判别法
设函数 f ( x, y)定义在无界区域
R { ( x, y) | a x b, c y }
上，若对于每一个固定的 x [a, b], 反常积分

c f ( x, y)dy
(1)
都收敛,则它是 x 的函数,记这个函数为I( x), 有

I( x) c f ( x, y)dy, x [a, b]
狄利克雷判别法 设
⑴ 存在 M > 0, 对一切 N > c , 及一切 x ∈[ a, b ]
都有
N
| c f ( x, y)dy | M
⑵ 对每一个固定的 x ∈[ a, b ]，函数 g ( x, y ) 关于 y
单调递减且当 y 时，对参量 x , g ( x, y ) 一致
sin xy
sinu
A
dy
du
y
Ax u
其中 A > 0.
由于 sinu du 收敛，故
0 u
0, M c，使得当 A M时，就有|
sinu du |
A u
取 N M ， 则当 A N 时 ， A M，

对一切 x [， )，有 Ax A M，
则⑴式为定义在[a, b]上的含参量 x 的无穷限
反常积分，或简称含参量反常积分

设反常积分 I( x) f ( x, y)dy 在 [ a, b ] 收敛 c
即对于每一个 x [a, b], 反常积分

I( x) c f ( x, y)dy
都收敛，由反常积分收敛的定义，即
0, N( , x) c, 使得 M N ,
从而
|
sin xy dy ||
sinu du |
A
y
Ax u
所以 sin xy dy 在[， ） 一致收敛.
0
y
定理19.8
设含参量反常积分

f ( x, y)dy
c
在[a, b]一致收敛
对任一趋于 的递增数列{ An } (其中A1 c)， 函数项级数
地收敛于 0 ，则

f (x, y)g(x, y)dy
c
在 [ a, b ] 上一致收敛.
阿贝尔判别法 设
⑴ f ( x, y)dy 在 [ a, b ] 上一致收敛. c
⑵ 对每一个固定的 x ∈[ a, b ]，函数 g ( x, y ) 为 y 的单调函数，且存在 M > 0, 使得
| g( x, y) | M, x [a,b],y c

则 f (x, y)g(x, y)dy c
在 [ a, b ] 上一致收敛.
例 3 证明含参量反常积分 e xy sin xdx
0
x
在 [0, d ] 上一致收敛.
证
因为，反常积分
sin x dx
收敛，

n1
An1 An
f (x,
y)dy


un ( x)
n1
在[a, b]上一致收敛.
魏尔斯特拉斯 M 判别法
设有函数 g( y), 使得
f (x, y) g( y), x [a,b], y [c,).
若
g( y)dy 收敛, 则

f ( x, y)dy
M
| c f ( x, y)dy I( x) |
其中 N 与 x 有关.如果存在一个与 x [a, b]
无关的 N ( ) 使得该不等式成立，就称
反常积分在区间 [ a, b ]上一致收敛
定义1. 若 0, N c, 使得当 M N 时，
对一切 x [a, b]，都有
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也可表示为

| M f ( x, y)dy |
定理19.7(一致收敛的柯西准则） 设含量反常
积分 f ( x, y)dy 在 [a, b] 一致收敛 c 0, M c，使得当 A1, A2 M时，对一切 x [a, b]，都有
| A2 f ( x, y)dy | A1
M
| c f ( x, y)dy I( x) |
则称含参量反常积分

f ( x, y)dy
c
在[a, b]一致收敛于I( x),
或含参量积分在[a, b]一致收敛.
由于

I( x) c f ( x, y)dy
所以上述定义中的不等式
M
| c f ( x, y)dy I( x) |
0
x
在[ 0, d ] 上一致收敛
二、含参量反常积分的性质
定理 19.9（连续性） 设 f ( x, y) 在
[a, b][c, ) 连续，若

I( x) c f ( x, y)dy
在[a, b]上一致收敛，则 I( x)在[a, b]上连续。

证: 因为 I( x) f ( x, y)dy
0x
从而对于参量 y 它在 [ 0, d ] 上一致收敛，
函数 g( x, y) e xy 对每个 x ∈[ 0, d ]，关于变量 y
单调减少，且在[ 0, d ] 上一致有界：
| g( x, y) || e xy | 1, 0 y d , x 0
故由阿贝尔判别法，知 e xy sin xdx
在[a, b]上
c
一致收敛， 由定理19.8，对任一递增且趋于
的数列 { An } ( A1 c), 函数项级数

例1. 证明含参量反常积分
sin xy dy
0y
在[， ）上一致收敛（其中 0), 但在
（0， ）内不一致收敛。
分析 要证： 0, N 0, 使得当 A N 时， 对一切 x [ ,)，都有
| sin xy dy |
A
y
证: 令 u = x y , 得