直线方程经典题型总结

直线与直线方程经典题型
题型一：倾斜角与斜率
【例1】下列说法正确的个数是( )
①任何一条直线都有唯一的倾斜角；
②倾斜角为300的直线有且仅有一条；
③若直线的斜率为tan「则倾斜角为二
④如果两直线
平行，则它们的斜率相等'」
A. 0 个
B.1 个
C.2 个
D.3 个h\/ 2
【练习】如果AC <0且BC <0，那么直线Ax+By+C=0不通过( 、；'、、、A.第一象限 B. 第二象限C.第三象限 D.第四象卩―方/\ ；【例2】如图，直线I经过二、三、四象限，I的倾斜角为a,斜率为％,则() A. ksin a >0 B . kcos a >0 C . ksin a< 0 D. kcos a< 0
【练习】图中的直线I1 , I2 , I3的斜率分别为k1, k2, k3，则()
A. k1 v k2 v k3
B. k3 v k1 v k2
C. k3 v k2 v k1
D. k1 v k3 v k2
【例3】经过点P1,2作直线I，若直线I与连接A0,—1 , B4,1的线段总有公共点，求直线I的倾斜角:与斜率k的取值范围。

【练习】已知两点A-3,4 , B 3,2 ,过点P2,-1的直线I与线段AB有公共点，求直线I的斜率k的取值范围。

【例4】若直线I的方程为y二xtan：・2，则( )
A.—定是直线I的倾斜角
B. :- 一定不是直线I的倾斜角
C.n—一定是直线I的倾斜角
D.:不一定是直线I的倾斜角
【练习】设直线ax by c 0的倾斜角为「，且
A.a b=1
B. a —b=1
C. a b=0
D. a —b=0
题型二：斜率的应用
【例5】若点A(2,2 ) B(a,0)C(0,4 )共线则a的值为 ___________________
【练习】若三点A(2,2 ) B(a,0)C(0,b) (ab#0 共线，则丄+丄的值为 a b
【例6】已知实数x、y满足2x + y=8，当2兰x兰3时，求*的最大值为 ______ ，最小
x
值为___________________
【练习】1、若a二哑小二也，•心，则( )
1 2 4
A. a : b c
B. c : b a
C. c : a b
D. b a c
2、求函数y二三二1的值域.
2 +1
题型三：两直线位置关系的判断
已知，两直线l i,l2斜率存在且分别为k i,k2 ,若两直线平行或重合则有k i ___________________________ k2 , 若两直线垂直则有k i ___________________ k2.
【例7】已知直线l i的倾斜角为60，直线12经过点A1，,3，B —2,—2 3，判断直线h与12的位置关系.
【练习】1、已知点P 2,3，Q 4,5 , A —1，a，B 2a,2当a为何值时，直线PQ与直线AB 相互垂直？
2、已知直线g经过点A 3，a，B a —2,3，直线经过点M3, a , N 6,5，若m2，求a的值.
【例8】在平面直角坐标系中，对R，直线1i：x —2ay i=0和12 : 2ax y —^0 （）
A.互相平行
B.互相垂直
C.关于原点对称
D.关于直线y=—x对称
【练习】直线3a 2 x 1 —4ay 8=0与5a —2x a 4 y —7=0垂直，求a的值.
题型四：求直线方程
（一）点斜式
【例9】根据条件写出下列直线的方程：
（1）经过点A（1,2）,斜率为2；
（2）经过点B （—1,4 ），倾斜角为135 ；
（3）经过点C（4,2 ），倾斜角为90 ；
（4）经过点D （—3，—2），且与x轴平行.
已知直线过一点，可设点斜式
【练习】已知ABC中，A1,—4，B 2,6，C —2,0，AD _ BC于D,求AD的直线方程.
（二）斜截式
【例10】根据条件写出下列直线的方程:
（1）斜率为2,在y轴上的截距是5；
（2）倾斜角为150 •，在y轴的截距为一2;
（3）倾斜角为45 ,在y轴上的截距为0.
已知斜率时，可设斜截式：
【练习】求斜率为？，且与坐标轴围成的三角形周长是12的直线I的方程.
4
（三）截距式
【例12】根据条件写出下列直线的方程：
在x轴上的截距为一3,在y轴上的截距为2；
（1）
⑵在x轴上的截距为1，在y轴上的截距为一4；与截距相关的问题，可设截距式
【练习】直线I过点P 4,3，且在x轴、y轴上的截距之比为1:2，求直线I的方程.
（四）两点式
【例11】求经过下列两点的直线方程：
（1）A（2,5）,B（4,3）（2）A（2,5）,B（4,5）（3）A（2,5）,B （2,7）
适时应用“两点确定一条直线”
【练习】过点M 0,1作直线I，使他被两条已知直线l1：x —3y 10和l2：x y ^0所截得的线段AB被点M平分.求直线I的方程.
【例12】1、已知点A（3,3 ）和直线I : y=3x —仝求：
4 2
（1）经过点A且与直线I平行的直线方程；
（2）经过点A且与直线I垂直的直线方程.
2、已知三角形三个顶点的坐标分别为 A （—1,0），B（2,0），C（2,3 ），试求AB
边上的高的直线方程.（思考：如果求AB边上的中线、角平分线呢？）
【例13】已知直线I的斜率为2，且I和两坐标轴围成面积为4的三角形，则直线
l 的方程为 _________________ .
【练习】已知，直线I 经过点（一5,— 4）,且与两坐标轴所围成的三角形面积为 5,则直线I 的方程为 ___________________
【例14】直线I 不经过第三象限，其斜率为k ，在y 轴上的截距为b （骨0），则 k_0且b ：：0 C. k - 0且b 0 D. k • 0且b . 0
y=ax+b 与y=bx+a 在同一直角坐标系中的图象位置可能是
五、直线的交点坐标与距离公式
1、求两条直线的交点（联立方程组）
1 例（
1）若三条直线： 2x+3y+8=0,x-y-1=0 和 x+ky+k+ 2 =0 相交于 点，贝U k=
（2）已知直线I1 : x+y+2=0, I2 : 2x-3y-3=0,求经过的交点且与已知直线
3x+y-仁0平行的直线I 的方程
2、两点间的距离公式丨P1P2| =（区-为亍+⑴-力）2
例（1）已知点A （a,-5 ）与B （0,10 ）间的距离是17,求a 的值。

例（2）已知点 A （-1,2 ）, B （2，石），在x 轴上求一点 P ,使丨PA 丨，并求的丨PA|值。

例.直线 I 的方程为（a - 2）y = （3a - 1）x - 1（a € R ）. 1 3
（1）求证：直线I 必过定点；（答案：（？））
5 5
⑵ 若直线I 在两坐标轴上的截距相等，求 I 的方程；（答案：5x + 5y -4 = 0）
（3）若直线I 不过第二象限，求实数a 的取值范围.（答案：分斜率存在与不存在）
六、点到直线的距离
例1 :求点A （-2,3）到直线I:3x+4y+3=0 的距离d=
例2：已知点（a,2 ）到直线I: x-y+仁0的距离为2,则a= v 0）
PB
(a A . k 乞0且b 0 B. 【练习】两条直
例3:求直线y=2x+3关于直线I: y=x+1 对称的直线方程。

练习：
1. 已知△ ABC 中，A( - 2, 1), B(3 , - 3), C(2, 6)，试判断厶 ABC 的形状
2. 求过点M(-2，1)且与A(-1, 2)，B(3，0)两点距离相等的直线方程.
3. 已知点A(a , 2)(a > 0)到直线I : x -y + 3= 0的距离为1,贝U a 等于( )
A. ；2
B. 2— 2
C. 2-1 D/ 2+ 1
4. 已知点 A(1 , 3) , B(3, 1), C( - 1, 0)，求△ ABC 的面积.
七、两平行直线间的距离
例1:求平行直线l1:2x-7y-8=0 与I2:6x-21y-仁0 的距离
例 2:已知直线 I1 : (t+2 ) x+(1-t)y=1 与 I2 : (t-1 ) x+(2t+3)y+2=0 相互垂直, 求t 的值。

例3:求点A (2,2 )关于直线2x-4y+9=0的对称点坐标。

练习：
1. 两条互相平行的直线分别过点 A(6 , 2)和B( — 3,- 1)，如果两条平行直线间
的距离为d ,
求：(1)d 的变化范围；(2)当d 取最大值时，两条直线的方程.
2. 求与直线I : 5x - 12y + 6= 0平行，且到I 的距离为2的直线的方程.
三、课后练习
< 一 >选择题：
1、若直线I : y=kx-3与直线2x+3y-6=0的交点位于第一象限，则直线
I 的倾斜 角的取值范围(
) 2、 已知直线 I1 : (k-3 ) x+ (5-k ) y+1=0 与 I2 : 2 (k-3 ) x-2y+3=0 垂直,贝U K 的 值是( )
A. 1 或 3 B . 1 或 5 C . 1 或 4 D . 1 或 2
3、 直线y=3x 绕原点逆时针旋转90°,再向右平移1个单位，所得到的直线为
( )
1 1
1 A. y = — x B . y = — x 1 C . y=3x — 3 D . y=3x1 3
3 3 V 二 >填空题:
1、在平面直角坐标系中，如果 x 与y 都是整数，就称点(x , y )为整点，下列 命题中正确的是 ___________________________ (写出所有正确命题的编号).
① 存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点
② 如果k 与b 都是无理数，则直线 y=kx+b 不经过任何整点
③ 直线I 经过无穷多个整点，当且仅当I 经过两个不同的整点
④ 直线y=kx+b 经过无穷多个整点的充分必要条件是： k 与b 都是有理数 A [n , n ) B (n n ) (n , n ) D [n n ]
⑤存在恰经过一个整点的直线.
2、若点P。

, —2在直线I上的射影为Q(—1,1)，则直线I的方程为 __________________ .
3、在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的一条直线与函数f(x)= ?的图象交于P、
x
Q两点，则线段PQ长的最小值是__________________.
＜三＞解答题：
仁设直线I i : y = k)x • 1 , l2: y = k2x —1，其中实数k1,k2满足&・k2• 2 = 0，证明I i与l2相
2、已知直线方程为y二kx b，当X，—3,4时,y —8,131，求此直线的方程
3、当0 ：：：a ：：：2 时，直线l1: ax —2y=2a —4与I2: 2x a2y = 2a2 4 和两坐标轴围成一个四边形，问a取何值时，这个四边形的面积最小？并求出最小面积.。