圆与圆的位置关系的判断方法(终审稿)
圆与圆的位置关系ppt
相离
没有公共点)
相切
有1个公共点)
相交
有2个公共点)
外离
圆
与
内含 特殊情况 圆 的
外切
五 种
位ห้องสมุดไป่ตู้
内切
置
关
相交
系
同心圆
两圆位置关系的性质与判定:
位置关系
d 和R、 r关系 交点
两圆外离 两圆外切 两圆相交 两圆内切
两圆内含
性质
d >R+ r 0 d =R+ r 1
R− r <d <R+ r 2
判定
d = R− r 1
2、 ⊙O1和⊙O2的半径分别为3厘米和4厘米设
（1 O1O2=8厘米； （2） O1O2=7厘米；
（3） O1O2=5厘米； （4） O1O2=1厘米；
（5） O1O2=0.5厘米； （6） O1和O2重合
⊙O1和⊙O2的位置关系怎样
（1外离 （3）相交 （5）内含
（2）外切 （4）内切 （6）同心圆
解：（1设⊙O与⊙P外切于点A 则 PA=OP－OA 所以PA=3 cm，
（2）设⊙O与⊙P内切于点B， 则 PB=PO+OB 所以PB=13 cm.
B
O
P A
应用
例2 已知两圆半径分别为3和4圆心的坐 标分别是（0，3和（4，0），试判断这两圆 的位置关系.
yY
3
5
0
4
xx
1、举出一些能表示两个圆不同位置关系的实例
3.定圆⊙O半径为3cm动圆⊙P半径为
1cm. 外 内切
当两圆 时,OP为 cm点P可以在什么样 的线上运动？
当两圆相切时Ｏ Ｐ为多少
圆与圆的位置关系 课件
梳理 (1)用几何法判断圆与圆的位置关系 已知两圆 C1：(x－x1)2＋(y－y1)2＝r21，
C2：(x－x2)2＋(y－y2)2＝r22， 则圆心距d＝|C1C2|＝ x1－x22＋y1－y22 .
两圆C1，C2有以下位置关系：
位置关系 外离
内含
相交
内切
圆心距 与半径 的关系
d＞r1＋r2
(2)相交； 解 当1＜d＜5，即1＜2a2＋6a＋5＜25时，两圆相交， 此时－5＜a＜－2或－1＜a＜2.
(3)外离. 解 当d＞5，即2a2＋6a＋5＞25时，两圆外离， 此时a＞2或a＜－5.
反思与感悟 (1)利用两圆的位置关系求参数的取值范围有以下几个步骤 ①将圆的方程化成标准形式，写出圆心和半径. ②计算两圆圆心的距离d. ③通过d，r1＋r2，|r1－r2|的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围， 必要时可借助于图形，数形结合. (2)应用几何法判断两圆的位置关系或求参数的范围是非常简单清晰的， 要理清圆心距与两圆半径的关系.
类型三 圆系方程及应用 例4 求圆心在直线x－y－4＝0上，且过两圆x2＋y2－4x－6＝0和x2＋y2 －4y－6＝0的交点的圆的方程.
反思与感悟 当经过两圆的交点时，圆的方程可设为(x2＋y2＋D1x＋E1y ＋F1)＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0，然后用待定系数法求出λ即可.
d＜|r1－r2|
|r1－r2|＜d＜ d＝|r1－r2| r1＋r2
外切 d＝r1＋r2
图示
(2)用代数法判断圆与圆的位置关系 已知两圆：C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，
C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0， 将方程联立xx22＋ ＋yy22＋ ＋DD12xx＋ ＋EE12yy＋ ＋FF12＝ ＝00， ，
圆与圆的位置关系ppt课件
C1
r1 C2
r2
内含
C1 rC12r2
内切
r C2
r1 C1
新知讲解
注意： 1.当两个圆是等圆时，它们之间的位置关系只有外离、外切和相交三种情 况(重合时两个圆被看成一个圆). 2.如果两个圆不是同心圆，那么经过两个圆的圆心的直线，叫作两个圆的 连心线.两个圆心之间的线段长叫作圆心距. 思考：两个圆的圆心距d、两个圆的半径r1，r2的大小关系与两个圆的位置 关系有何对应关系？
（2）将圆 <m>C1</m>和圆 <m>C2</m>的方程相减，得 <m>4x + 3y − 23 = 0</m>， 所以两圆的公共弦所在直线的方程为 <4m>x + 3y − 23 = 0</m>， 圆心 <m>C2 5,6 </m>到直线 <m>4x + 3y − 23 = 0</m>的距离为 <m>20+1168+−923 = 3</m>， 故公共弦长为 <m>2 16 − 9 = 2 7</m>.
r1 r2 2 1,r1 r2 2 1.
r1 r2 <d <r1 r2.
∴圆C1与圆C2相交.
思考:还有其他方法判断吗？
新知讲解
例1:画图并判断圆C1：x2 +y2 +2x=0 和圆C2：x2 +y2–2y =1的位置关系.
解法二:联立方程组
x2 y2 2x 0
x2
y2
2
y
1
① ②
2
2 1
如何判定圆与圆的位置关系
如何判定圆与圆的位置关系襄阳市第47中学 孙光柱圆与圆的位置关系是圆一章中的重点知识，分析近几年来各地的中考试题可以看出，考察圆与圆的位置关系的题目是最常见的，而以圆与圆的位置关系为框架的综合题也屡见不鲜，因此掌握圆与圆的位置关系也是学好圆一章的关键。
那么圆与圆的位置关系如何进行判定呢？一方面，可以根据两圆公共点的个数来判定。
当两个圆没有公共点时，如果每个圆上的点都在另一个圆的外部时，这两个圆外离，如果一个圆上的点都在另一个圆的内部时，这两个圆内含；当两个圆有唯一公共点时，如果除了这个公共点以外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时，这两个圆外切；如果除了这个公共点以外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，这两个圆内切；当两个圆有两个公共点时，这两个圆相交。
另一方面，可以根据两圆圆心距与半径的数量关系来判定。
设两圆的半径分别为R 和r ，圆心距为d ，则：d >R+r ⇒两圆外离；d =R+r ⇒两圆外切；R-r <d <R+r ⇒两圆相交（R ≥r ）；d =R-r ⇒两圆内切（R >r ）；d <R-r ⇒两圆内含（R >r ）。
对于两圆的位置关系的判定，考察的类型较多，笔者根据多年的教学经验，现总结如下，仅供读者参考。
Ⅰ 根据两圆公共点的个数来判定两圆的位置关系。
例1 （2002年上海市）如果两个半径不等的圆有公共点，那么这两个圆的公切线可能有（ ）条。
A 1 B 2 C 3 D 4分析：两圆有公共点时，两圆的位置关系是内切、相交或外切，因此，公切线的条数可能是1条、2条或3条，故选ABC 。
Ⅱ 根据圆心距与半径的数量关系直接判定两圆的位置关系。
例2 已知⊙O 1和⊙O 2的半径分别为3㎝和4㎝，圆心距O 1O 2=6㎝，那么⊙O 1和⊙O 2的位置关系是（ ） A 外离 B 相交 C 外切 D 内切分析： ∵4-3<O 1O 2=6<4+3 ∴两圆相交 故选BⅢ 结合一元二次方程来判定两圆的位置关系。
圆和圆的位置关系(2019年10月整理)
我们观察一下,两个圆的位置关系和这两个圆的半径有没有关系呢? 如果有关系,那会有什么关系呢?
设⊙O1的半径为R，⊙O2半径为 r, 两圆心O1O2的距离为d，则：
两圆外离
d ＞ R＋r
两圆外切
d ＝ R＋r
两圆相交
R－r ＜ d ＜ R＋r （R ≥ r）
两圆内切 两圆内含
d ＝ R－r （R ＞r） d ＜ R－r （R＞r）
例 1:
如图，⊙O的半径为5cm，点P是⊙O外的一点，OP=8cm。
求：（1）以P为圆心作⊙P与⊙O外切，小圆⊙P的半径是多少？ （2）以P为圆心作⊙P与⊙O内切，大圆⊙P的半径是多少？
分析： ⑴ ⊙O和⊙P相外切，此时OP=OA+AP，可推出AP=OP-OA ； ⑵ ⊙O与⊙P相内切，则有OP=BP-OB，可推出BP=OP+OB 。
根据以上条件，分别判断⊙O1和⊙O2有何位置关系?
相 两圆相交：两个圆有两个公共点时，叫做这两圆相交。
切 两圆内切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点 外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两
个圆内切。 这个唯一的公共点叫做切点。
两圆内含：两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一
个圆的内部时，叫做这两个圆内含。
; 沧元图 沧元图小说
动画
两个圆的位置关系 :
外离
外切
相交
内切
内含
同心圆
(内含的特殊形式)
两个圆的五种位置关系:
两圆外离：两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆
的外部时，叫做这两个圆外离 。
两圆外切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，每
个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外切。
圆与圆的位置关系的判断方法
圆与圆的位置关系的判断方法:
（1 ）禾|」用圆心距和两圆半径比较大小（几何法）已知两圆
諾与的圆心距为
d 7
•、” b ■'，则位置位曹关系关系式图示
外离 d > 巧+ r,
1 2
（2）利用两圆的交点进行判断（代数法）设由两圆的方程组成的方程组为
『玄‘ + y1 + Z）| + y + t
1+ + + Ei j + 几=0・
由此方程组得：有两组不同的实数解则两圆相交; 解则两圆相离.
两圆公切线条数的确定：
两圆的公切线的条数是由两圆的位置关系确定的，
r. ,r?,
则当」*'时，两圆外离，此时有四条公切线；
有两组相同的实数解则两圆相切；无实数
设两圆的圆心距为d,两圆的半径分别为
当'时，两圆外切，连心线过切点，此时有三条公切线，有外公切线两条，内公
切线一条；
当'尺*吒口十「时，两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线；当d =丨八 ' 时，两圆内切，连心线过切点，此时只有一条公切线;
当时，两圆内含，此时没有公切线。
圆与圆的位置关系的课件
相交 O1O2=7cm O1O2=5cm
O外1O2=切0.5cm O1O2=0cm 内含 同心圆
三、定圆⊙ O半径为4cm， 动圆⊙ P半径为1cm
（1）当两圆外切时OP为 运动？即P点的轨迹是
cm？点P在什么样的圆上 。
（2）当两圆内切时OP为 上运动？即P点的轨迹是
cm？点P在什么样的圆 。
个圆上的点都在另一个圆的内部时,叫两圆内切.
特例
内含:两圆无公共点,并且一个圆上的点都在
另一个圆的内部时,叫两圆内含.
连心线：过两圆心的直线 圆心距：两圆心之间的距离
外离
外切
相交
内切 内含(同心圆)
圆 与 圆 的
相离 相切
外离
内含 外切
位
内切
置 相交
关
系
请同学们找一找生活中 圆与圆位置关系的例子
两圆相切的性质:相切两圆的连心线 经过切点.
两圆位置关系的性质与判定:
演示
0
两圆外离
两圆外切
两圆相交
同 心圆两两圆圆内 内内含切 含
位置关系 d 和R、 r关系 交 位
性R―质r
d R+r
点置
d >R+ r 0
关
d =R+ r 1
系
判定 内
R− r <d <R+ r 2
外
数
切
R− r =d切 相 交R− r >d
2 新 北 京0 新0 8 奥 运
认真观察 观察结果
外离:两圆无公共点,并且每个圆上的点都在另一个
圆的外部时,叫两圆外离.
切点
外切:两圆有一个公共点,并且除了公共点外,每个
圆与圆的位置关系
B
O
P A
解: (1)设⊙O与⊙P外切于点A， 则 ∴ PA=OP-OA。 PA=3cm (2)设⊙O与⊙P内切于点B， 则 ∴ PB=OP+OB PB=13cm
答 案
O1 O2
O
d r
R
o1
R
r
d
o2
外 离外 切相 交Fra bibliotek内 切
内 含
d1 > R+r > d2
>
R-r > d3 >=0
两圆的位置关系
相离 外离 内含
相交
相切
相交 外切 内切
d>R+r d<R-r
R-r <d<R+r
d=R+r d=R-r
例 如图，⊙O的半径为5cm，点P是⊙O外 一点， OP=8cm。求 1)以P为圆心作⊙P与⊙O外切，小圆⊙P的半径是多少？ 2)以P为圆心作⊙P与⊙O内切，大圆⊙P的半径是多少？
两个圆有唯一的公共点，并且 除了这个公共点以外，一个圆上的 点都在另一个圆的内部时，叫做这 两个圆 内切
内切和外切统称为相切
两个圆有两个公共点时，叫 做这两个圆 相交
二、根据圆心距和两圆半径的大小关系
o1 R
r o2
d(圆心距）
d>R+r
o1
T
R d r
o2
d=R+r
o2 o1
T
r
R
d
d=R-r (R>r)
圆和圆的位置关系
一、根据两圆公共点的个数
两个圆没有公共点，并且每个圆上的点 都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外离
两个圆没有公共点，并且一个圆上 的点都在另一个圆的内部时，叫做这 内含 两个圆 两圆同心是两圆内含的一种特例
2.5.2圆与圆的位置关系(解析版)
2.5.2圆与圆的位置关系一、圆和圆的位置关系1．圆与圆的五种位置关系的定义 两圆外离：两个圆没有公共点，且每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外离. 两圆外切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外切.这个唯一的公共点叫做切点. 两圆相交：两个圆有两个公共点时，叫做这两圆相交. 两圆内切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内切.这个唯一的公共点叫做切点. 两圆内含：两个圆没有公共点，且一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内含.2．两圆的位置与两圆的半径、圆心距间的数量关系： 设⊙O1的半径为r1，⊙O2半径为r2，两圆心O1O2的距离为d，则： 两圆外离d＞r1+r2 两圆外切d=r1+r2 两圆相交r1-r2＜d＜r1+r2(r1≥r2) 两圆内切d=r1-r2(r1＞r2) 两圆内含d＜r1-r2(r1＞r2)要点： (1) 圆与圆的位置关系，既考虑它们公共点的个数，又注意到位置的不同，若以两圆的公共点个数分类，又可以分为：相离(含外离、内含)、相切(含内切、外切)、相交； (2) 内切、外切统称为相切，唯一的公共点叫作切点； (3) 具有内切或内含关系的两个圆的半径不可能相等，否则两圆重合.A ．2种B ．3种C ．4种D ．5种【答案】A 【解析】由图形可以看出，有两种位置关系，相交和内切．故选A.题型2：根据圆与圆的位置关系求半径4．已知1O e 与2O e 相切，若1O e 的半径为3cm ，127cm O O =，，则2O e 的半径为（ ）A ．4cm 或12cmB ．10cm 或6cmC ．4cm 或10cmD ．6cm 或12cm【答案】C【分析】根据圆与圆的位置关系，内切时()2121d r r r r =->，外切时12d r r =+，计算即可．【解析】解：两圆内切时，2O e 的半径7310=+=(cm)，外切时，2O e 的半径734=-=(cm)，∴2O e 的半径为4cm 或10cm ．故选：C ．【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系，熟练掌握知识点是解题的关键．5．如果两圆有两个交点，且圆心距为13，那么此两圆的半径可能为（ ）A ．1、10B ．5、8C ．25、40D ．20、30【答案】D【分析】先由两圆有两个交点得到两圆相交，然后根据半径与圆心距之间的关系求解即可．【解析】∵两圆有两个交点，∴两圆相交，∵圆心距为13∴两圆的半径之差小于13，半径之和大于13．A ．1101113+=<，故不符合题意；B ．5813+=，故不符合题意；【点睛】此题重点考查圆与圆的位置关系、线段的垂直平分线的性质、勾股定理以及数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．9．已知两圆的半径分别为2和5，如果这两圆内含，那么圆心距A．0＜d＜3B．0＜d＜7C．3＜d＜7A．45°B．30°【答案】B【分析】连接O1O2，AO2，O1B，可得【解析】解：连接O1O2，AO2，O∵O 1B = O 1A∴112112O AB O BA AO O Ð=Ð=Ð ∵⊙O 1和⊙O 2是等圆，∴AO 1=O 1O 2=AO 2，∴△AO O 是等边三角形，【点睛】本题考查了相交两圆的性质以及等边三角形的判定与性质，得出21AO O D 是等边三角形是解题的关键．题型5：分类讨论13．已知圆1O 、圆2O 的半径不相等，圆1O 的半径长为5，若圆2O 上的点A 满足15AO =，则圆1O 与圆2O 的位置关系是（ ）A ．相交或相切B ．相切或相离C ．相交或内含D ．相切或内含【答案】A【分析】根据圆与圆的位置关系，分类讨论．【解析】解：如图所示：当两圆外切时，切点A 能满足15AO =，当两圆相交时，交点A 能满足15AO =，当两圆内切时，切点A 能满足15AO =，当两圆相离时，圆2O 上的点A 不能满足15AO =，所以，两圆相交或相切，故选：A ．【点睛】本题考查了由数量关系来判断两圆位置关系的方法．14．如图，长方形ABCD 中，4AB =，2AD =，圆B 半径为1，圆A 与圆B 外切，则点C 、D 与圆A 的位置关系是（ ）A ．点C 在圆A 外，点D 在圆C ．点C 在圆A 上，点D 在圆【答案】A 【分析】先根据两圆外切求出圆A 的半径，连接【解析】解：∵4AB =，圆B 半径为【点睛】本题考查了点与圆的位置关系、圆与圆的位置关系、勾股定理，熟练掌握点与圆的位置关系是关键，还利用了数形结合的思想，通过图形确定圆的位置．15．如图，1O e ，2O e 的圆心 1O ，128cm O O =．1O e 以 1cm /s 的速度沿直线A ．外切B ．相交C ．内切D ．内含【答案】D 【分析】先求出7s 后，两圆的圆心距为1cm ，结合两圆的半径差即可得到答案．【解析】解：∵1O e 的半径为 2cm ，2O e 的半径为 3cm ，128cm O O =．1O e 以 1cm /s 的速度沿直线 l 向右运动，7s 后停止运动．∴7s 后，两圆的圆心距为1cm ，此时两圆的半径差为321cm -=，∴此时两圆内切，∴在此过程中，1O e 与 2O e 没有出现的位置关系是：内含，故选D ．【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系，掌握d R r =+，则两圆外切，d R r =-，则两圆外切，是关键．题型6：圆的位置关系综合16．如图，∠MON =30°，p 是∠MON 的角平分线，PQ 平行ON 交OM 于点Q ，以P 为圆心半径为4的圆ON 相切，如果以Q 为圆心半径为r 的圆与P Q 相交，那么r 的取值范围是（ ）A ．4<r <12B ．2<r <12C ．4<r <8D ．r >4【答案】A 【分析】过点Q 作QA ⊥AN 于A ，过点P 作PB ⊥ON 于B ，得到四边形ABPQ 是矩形，QA=PB=4，根据∠MON =30°求出OQ=2QA=8，根据平行线的性质及角平分线的性质得到PQ=8，再分内切与外切两种求出半径r ，即可得到两圆相交时的半径r 的取值范围.【解析】过点Q 作QA ⊥AN 于A ，过点P 作PB ⊥ON 于B ，∵PQ ∥ON ，∴PQ ⊥PB ，∴∠QAB=∠QPB=∠PBA=90°，∴四边形ABPQ 是矩形，∴QA=PB=4，∵∠MON =30°，∴OQ=2QA=8，∵OP 平分∠MON ，PQ ∥ON ，∴∠QOP=∠PON=∠QPO ，∴PQ=OQ=8，当以Q 为圆心半径为r 的圆与P Q 相外切时，r=8-4=4，当以Q 为圆心半径为r 的圆与P Q 相内切时，r=8+4=12，∴以Q 为圆心半径为r 的圆与P Q 相交，4<r<12，故选：A.【点睛】此题考查角平分线的性质，平行线的性质，矩形的判定及性质，两圆相切的性质.17．如图，在Rt ABC V 中，90C Ð=°，4AC =，7BC =，点D 在边BC 上，3CD =，A e 的半径长为3，D e 与A e 相交，且点B 在D e 外，那么D e 的半径长r 可能是（ ）A ．1r =B ．3r =C ．=5r D ．7r =【答案】B 【分析】连接AD 交A e 于E ，根据勾股定理求出AD 的长，从而求出DE DB 、的长，再根据相交两圆的位置关系得出r 的范围即可．【解析】解：连接AD 交A e 于E ，如图1，在Rt ACD V 中，由勾股定理得：则532DE AD AE =-=-=，73BC CD ==Q ，，734BD \=-=，\D e A eA ．142r <<B ．52r <<【答案】C【分析】过点O 作OE AD ^，勾股定理求得11,OE AB OF AD ==，根据题意，画出相应的图形，即可求解．当圆O 与CD 相切时，过点O 作OF CD ^于点F ，如图所示，则162OF AD ==则1325622r =+=∴O e 与直线AD 相交、与直线CD 相离，且D e 与O e 内切时，作AD⊥BC，以A为圆心，以AD为半径画圆一、单选题1．如果两圆的半径长分别为5和3，圆心距为8，那么这两个圆的位置关系是（）A．内切B．外离C．相交D．外切【答案】D【分析】根据两圆半径的和与圆心距，即可确定两圆位置关系．【解析】解：∵两圆的半径长分别为5和3，圆心距为8，538+=，∴两圆外切，故选：D ．【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系，解题的关键是掌握：外离，则d R r >+；外切，则d R r =+；相交，则R r d R r -<<+；内切，则d R r =-；内含，则d R r <-．2．两圆的半径分别为2和3，圆心距为7，则这两个圆的位置关系为（ ）A ．外离B ．外切C ．相交D ．内切【答案】A【分析】本题直接告诉了两圆的半径及圆心距，根据它们数量关系与两圆位置关系的对应情况便可直接得出答案．【解析】解：∵两圆的半径分别为2和3，圆心距为7，又∵7＞3+2，∴两圆的位置关系是：外离．故选A ．【点睛】本题主要考查了圆与圆的位置关系，解题的关键在于能够准确掌握相关知识进行求解.3．已知直径分别为6和10的两圆没有公共点，那么这两个圆的圆心距的取值范围是（ ）A ．d ＞2B ．d ＞8C ．d ＞8或0≤d ＜2D ．2≤d ＜8【答案】C【分析】分两种情况讨论：当两圆外离时，两圆没有公共点时，当两圆内含时，两圆没有公共点时，从而可得答案.【解析】解：Q 直径分别为6和10的两圆没有公共点，\ 两圆的半径分别为3和5，当两圆外离时，两圆没有公共点时，8,d >当两圆内含时，两圆没有公共点时，02,d £<综上：所以两圆没有公共点时，8d >或0 2.d £<故选C【点睛】本题考查的是两圆的位置关系，熟练的运用两圆外离与内含的定义解题是解本题的关键.4．已知点()4,0A ，()0,3B ，如果⊙A 的半径为2，⊙B 的半径为7，那么⊙A 与⊙B 的位置关系（ ）【点睛】本题考查了两圆外切的条件，两圆相交的条件，等腰直角三角形的性质和对称性，熟练掌握两圆D ．当⊙1O 与⊙2O 没有公共点时，1202O O <≤．【答案】D【分析】根据圆与圆位置关系的性质，对各个选项逐个分析，即可得到答案．【解析】当1224O O <<时，⊙1O 与⊙2O 相交，有两个公共点，故选项A 描述正确；当⊙1O 与⊙2O 有两个公共点时，1224O O <<，故选项B 描述正确；当1202O O <≤时，⊙1O 与⊙2O 没有公共点，故选项C 描述正确；当⊙1O 与⊙2O 没有公共点时，1202O O <≤或124O O >，故选项D 描述错误；故选：D ．【点睛】本题考查了圆与圆位置关系的知识；解题的关键是熟练掌握圆与圆位置关系的性质，从而完成求解．9．如图，矩形ABCD 中，AB=4，BC=6，以A 、D 为圆心，半径分别为2和1画圆，E 、F 分别是⊙A 、⊙D 上的一动点，P 是BC 上的一动点，则PE+PF 的最小值是( )A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】C 【分析】以BC 为轴作矩形ABCD 的对称图形A′BCD′以及对称圆D′，连接AD′交BC 于P ，交⊙A 、⊙D′于E 、F′，连接PD ，交⊙D 于F ，EF′就是PE+PF 最小值；根据勾股定理求得AD′的长，即可求得PE+PF 最小值．【解析】解：如图，以BC 为轴作矩形ABCD 的对称图形A′BCD′以及对称圆D′，连接AD’交BC 于P ，则EF′就是PE+PF最小值；∵矩形ABCD中，AB=4，BC=6，圆A的半径为2，圆D的半径为1，∴A′D′=BC=6，AA′=2AB=8，AE=2,D′F′=DF=1，∴AD′=10，EF′=10-2-1=7∴PE+PF=PF′+PE=EF′=7，故选C．【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，勾股定理的应用等，作出对称图形是解答本题的关键．10．如图，在⊙O中，弦AD等于半径，B为优弧AD上的一动点，等腰△ABC的底边BC所在直线经过点D．若⊙O的半径等于1，则OC的长不可能为（）A．2﹣B．﹣1C．2D．+1【答案】A【解析】试题分析：利用圆周角定理确定点C的运动轨迹，进而利用点与圆的位置关系求得OC长度的取值范围．解：如图，连接OA、OD，则△OAD为等边三角形，边长为半径1．作点O关于AD的对称点O′，连接O′A、O′D，则△O′AD也是等边三角形，边长为半径1，∴OO′=×2=．由题意可知，∠ACB=∠ABC=∠AOD=30°，∴∠ACB=∠AO′D，∴点C在半径为1的⊙O′上运动．由图可知，OC长度的取值范围是：﹣1≤OC≤+1．故选A．考点：相交两圆的性质；轴对称的性质．二、填空题当1O e 位于2O e 外部，且P ，1O ，2O 位于同一条直线上时，如图所示，min 121523r O O PO =-=-=．故答案为：37r ££．【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系，能采用数形结合的方法和分类讨论的思想分析问题是解题的关键．16．在矩形ABCD 中，5AB =，8AD =，点E 在边AD 上，3AE =图)，点F 在边BC 上，以点F 为圆心、CF 为半径作F e ．如果F e【答案】4116【分析】连接EF ，作FH 股定理得到()(235r r +=-【解析】解：连接EF ，作BQe过点A，且7AB=，由函数图象可知，当即不等式①的解集为同理可得：不等式②【点睛】此题主要考查了相交两圆的性质以及勾股定理，熟练利用正三角形以及正方形的性质是解题关键．20．已知A e ，B e ，C e 【答案】A e 的半径为2厘米，(1)设AP ＝x ，求两个圆的面积之和S ；(2)当AP 分别为13a 和12a 时，比较S 【答案】(1)22111422a ax x p p p -+11求：(1)弦AC的长度；(2)四边形ACO1O2的面积．【答案】(1)8(2)21（2）解：在2Rt AO E △中，由勾股定理得：∴1212426O O O E O E =+=+=∴1111831222O AC S AC O D ==´´=g △，S ∴四边形ACO 1O 2的面积为：S S +(1)如图1所示，已知，点()02A ，，点()32B ，．①在点()()()123011141P P P -，，，，，中，是线段AB 的“对称平衡点”的是___________②线段AB 上是否存在线段AB 的“对称平衡点”？若存在，请求出符合要求的 “对称平衡点若不存在，请说明理由；(2)如图2，以点()02A ，为圆心，1为半径作A e ．坐标系内的点C 满足2AC =，再以点作C e ，若C e 上存在A e 的“对称平衡点”，直接写出C 点纵坐标C y 的取值范围．【答案】(1)①1P ，3P ；②不存在，理由见解析(2)02c y ££∴线段AB的“对称平衡点”的是1P，故答案为：1P，3P；②不存在设P为线段AB上任意一点，则它与线段££，PA PB33点P关于x轴的对称点为P¢，它到线段，是线段AB上的任意两点，即若M N∵()()0,2,0,0A O ∴02c y ££【点睛】本题考查了对称平衡点．两圆的位置关系，点与圆的位置关系等知识，解题的关键是理解题意，学会取特殊点特殊位置解决问题．。
圆与圆的位置关系的判断方法
圆与圆的位置关系的判断方法李吉文一、圆与圆的位置关系的判断方法有两种，一种是~d r 法，另一种是判别式法D .以下详解这两种方法. 1、~d r 法根据两圆心距与两圆径的大小关系来判断： ①外离Ûd R r >+； ②外切Ûd R r =+；③相交ÛR r d R r -<<+； ④内切Ûd R r =-； ⑤内含Ûd R r <-.其中，R 是大圆的半径，r 是小圆的半径，如果是等圆，那么两圆就没有内含这种位置关系了.2、判别式法D已知22111:0C x y D x E y F ++++=1⊙，半径为r 和222222:0C x y D x E y F ++++=⊙，半径为R ，且R r >判断两圆的位置关系：两圆的方程相减，得 121212()()()0D D x E E y F F -+-+-=简记为 0A x B yC ++= 其中220A B +? （1） 将（1）式代入其中一个圆的方程中，消去x 或y ，可得一个关于y 或x 一元二次方程，记为20ay by c ++=或20ax bx c ++=，其中0a >①0D >?两圆有两个公共点（相交）；②0D =?两圆有一个公共点（内切或外切）； ③0D <?两圆无公共点（内含或外离）；以上②③中，如何区分内切和外切，内含和外离呢？请看以下数学思想方法： 将问题转化为小圆的圆心与大圆的位置关系（亦即点圆位置关系）来判断！如果圆心1C 在圆2C 的外面，即d R >，那么两圆外切或外离；如果圆心1C 在圆2C 的内部，即d R <，那么两圆内切或内含.二、两圆方程作差的意义两圆作差后得到的方程：121212()()()0D D x E E y F F -+-+-=简记为 0A x B yC ++= 其中220A B +? （1） 其意义为①当两圆相交时，方程（1）是相交弦所在的直线方程； ②当两圆相切时，方程（1）是过切点的公切线的方程； ③当两圆没有公共点时，方程（1）没有特别的含义.三、应用举例例题1 已知22:2440C x y x y ++--=1⊙和222:1090C x y x +-+=⊙，判断两圆的位置关系，若两圆相交，则求出相交弦所在直线的方程.【解析】方法一：~d r 法圆心1(1,2)C -，半径3r =，圆心2(5,0)C ，半径4R =，则1,7R r R r -=+= 两圆圆心距为(1,7)d =所以，两圆相交，将两圆的方程相减可得 124130x y --= 即为相交弦的方程. 方法二：判别式法D将两圆的方程相减，得 124130x y --= 即 1334y x =-（2） 将（2）式代入222:1090C x y x +-+=⊙得 21604723130x x -+=24724160313224640D =-创=>所以，两圆相交，相交弦所在直线的方程是124130x y --=.【变式训练】 已知22:650C x y y +-+=1⊙和222:870C x y x +-+=⊙，判断两圆的位置关系，若两圆相交，则求出相交弦所在直线的方程；若两圆相切，则求出过切点的公切线的方程.例题2 已知22:4210C x y x y +--+=1⊙和222:142410C x y x y +--+=⊙，判断两圆的位置关系，若两圆相交，则求出相交弦所在直线的方程；若两圆相切，则求出过切点的公切线的方程. 【解析】方法一：~d r 法圆心1(2,1)C ，半径2r =，圆心2(7,1)C ，半径3R =，则1,5R r R r -=+= 两圆圆心距为5d R r ===+所以，两圆外切，将两圆的方程相减可得 4x = 即为所求公切线的方程. 方法二：判别式法D将两圆的方程相减，得 4x = （3） 将（3）式代入222:142410C x y x y +--+=⊙得2210y y -+= 2(2)4110D =--创=所以，两圆相切.小圆圆心1(2,1)C ，坐标代入222:142410C x y x y +--+=⊙中，有222214241211422141170x y x y +--+=+-??=>所以，两圆是外切关系，所求公切线的方程4x =.【变式训练】1.已知22:1C x y +=1⊙和222:6890C x y x y +--+=⊙，判断两圆的位置关系，若两圆相交，则求出相交弦所在直线的方程；若两圆相切，则求出过切点的公切线的方程. 2.已知22:46120C x y x y +--+=1⊙和222:680C x y x y +--=⊙，判断两圆的位置关系.。
圆与圆位置关系
圆与圆位置关系一．知识梳理：1、圆与圆的位置关系及判定(1)几何法：若两圆的半径分别为1r 、2r ，两圆的圆心距为d ，则两圆的位置关系的判定方法如下： 位置关系外离 外切相交内切 内含 图示d 与1r 、2r 的关系 12d r r >+ 12d r r =+1212r r d r r -<<+12d r r =- 12d r r <-(2)代数法：设两圆的方程分别为：221111:0C x y D x E y F ++++=22111(40)D E F +->，222222:0C x y D x E y F ++++=22222(40)D E F +->．联立方程得22111222220x y D x E y F x y D x E y F ++++=++++=⎧⎨⎩． 方程组解的个数 2组 1组 0组 两圆的公共点个数 2个 1个 0个 两圆的位置关系相交外切或内切外离或内含2、两圆的公共弦(1)设圆C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0，圆C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0，则两圆相交公共弦所在直线方程为：(D 1－D 2)x ＋(E 1－E 2)y ＋(F 1－F 2)＝0． 求两圆相交公弦的长：设圆C 1的圆心C 1到公弦AB 所在直线的距离为d ，圆C 1的半径为r 1，则2212r A d B =-． 3、圆系问题(1)过两圆交点的圆系方程：若两圆为C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0，C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0．则过这两圆的交点的圆的方程可表示为C 3：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＋λ(x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2)＝0(λ∈R ，不含圆C 2)． (2)过直线与圆交点的圆系方程：若直线L ：Ax ＋By ＋C ＝0与圆C ：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0相交，则经过它们交点的圆系方程可表示为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＋λ(Ax ＋By ＋C )＝0(λ∈R )． 4、设而不求法设直线l ：Ax +By +C ＝0(A 2+B 2≠0)，圆：(x －a )2+(y －b )2＝r 2(r >0)，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程：01121=++c x b x a .11211121,a c x x a b x x =-=+ O 1O 2r 2r 1O 1O 2r 2r 1 O 1O 2r 2r 1O 1 O 2r 2 r 1 O 1 O 2二、典例剖析【上期知识运用】1、过圆（x﹣1）2+y2＝5上一点P（2，2）的切线与直线ax﹣y+1＝0垂直，则a＝（）A．2B．C．﹣D．﹣2【解答】解：圆（x﹣1）2+y2＝5的圆心为A（1，0），依题意知直线AP与直线ax﹣y+1＝0平行，所以a＝k AP＝＝2．故选：A．已知圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0的圆心在直线l：x+ay﹣1=0（a∈R）上，过点A（﹣4，a）作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|=（）A．2B．C．6D．【解答】解：∵圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0的圆心C（2，1）在直线l：x+ay﹣1=0（a∈R）上，∴2+a﹣1=0，解得a=﹣1，∴A（﹣4，﹣1），∵过点A（﹣4，﹣1）作圆C的一条切线，切点为B，∴|AC|==，r==2，∴|AB|==6．故选：C．2、在平面直角坐标系xOy中，以点（1，0）为圆心且与直线mx﹣y﹣3m﹣2=0（m∈R）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为（x﹣1）2+y2=8．【解答】解：根据题意，设要求圆的半径为r，其圆心C的坐标为（1，0），对于直线mx﹣y﹣3m﹣2=0，变形可得y+2=m（x﹣3），过定点P（3，﹣2），分析可得：以C为圆心且与直线mx﹣y﹣3m﹣2=0（m∈R）相切的所有圆中，半径最大的圆的半径为CP，此时r=CP==2，则此时圆的标准方程为：（x﹣1）2+y2=8，故答案为：（x﹣1）2+y2=8．3、已知P（x，y）是直线kx﹣y+4=0（k＞0）上一动点，PA，PB是圆C：x2+y2+2y=0的两条切线，A，B为切点．C为圆心．若四边形PACB面积的最小值是4，则k的值是（）A．B．2C．D．【解答】解：如图所示，圆的方程为：x2+（y+1）2=1，∴圆心C（0，﹣1），半径r=1；根据题意，若四边形面积最小，当圆心C与点P的距离最小时，即距离为圆心C到直线l的距离最小时，切线长PA，PB最小；此时切线长为4，∴PA=PB=4，∴圆心C到直线l的距离为d=；又直线方程为kx﹣y+4=0，∴d==，解得k=±，又k＞0，∴所求直线l的斜率为：k=．故选：D．4、已知圆C：x2+y2﹣4x﹣2y﹣44=0，点P的坐标为（t，4），其中t＞2，若过点P有且只有一条直线l被圆C截得的弦长为，则直线l的一般式方程是4x+3y﹣36=0．【解答】解：圆C：x2+y2﹣4x﹣2y﹣44=0，转换为标准式为：（x﹣2）2+（y﹣1）2=49，当点P为弦的中点时，过点P有且只有一条直线l被圆C截得的弦长为，则：圆心到直线的距离d=，则设直线的方程为y﹣4=k（x﹣t），利用，利用中点坐标公式和点到直线的距离公式，解得：t=6，k=4，所以直线的方程为：4x+3y﹣36=0．故答案为：4x+3y﹣36=01、过圆x2+y2=16内一点P（﹣2，3）作两条相互垂直的弦AB和CD，且AB=CD，则四边形ACBD的面积为19．【解答】解：根据题意画出相应的图形，连接OP，OA，过O作OE⊥AB，OF⊥CD，∴E为AB的中点，F为CD的中点，又AB⊥CD，AB=CD，∴四边形EPOF为正方形，由圆的方程得到圆心O（0，0），半径r=4，又P（﹣2，3），∴|OP|=，∴OE==，又OA=r=4，∴根据勾股定理得：AE==，∴AB=CD=2AE=，则S四边形ACBD=AB•CD=19．故答案为：19．题型一 圆与圆的位置关系 例11、已知两圆x 2＋y 2－2x －6y －1＝0和x 2＋y 2－10x －12y ＋m ＝0. (1)m 取何值时两圆内切？(2)求m ＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．解 两圆的标准方程为：(x －1)2＋(y －3)2＝11，(x －5)2＋(y －6)2＝61－m ， 圆心分别为M (1,3)，N (5,6)，半径分别为11和61－m .(1)当两圆外切时，(5－1)2＋(6－3)2＝11＋61－m ，解得m ＝25＋1011.(2)当两圆内切时，因定圆的半径11小于两圆圆心间距离5，故只有61－m －11＝5，解得m ＝25－1011. (3)两圆的公共弦所在直线方程为(x 2＋y 2－2x －6y －1)－(x 2＋y 2－10x －12y ＋45)＝0，即4x ＋3y －23＝0，∴公共弦长为2 (11)2－⎣⎢⎡⎦⎥⎤|4×1＋3×3－23|42＋322＝27.课堂小结： (1)判断两圆的位置关系常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差之间的关系，一般不采用代数法．(2)当两圆相交时求其公共弦所在的直线方程或是公共弦长，只要把两圆方程相减消掉二次项所得方程就是公共弦所在的直线方程，再根据其中一个圆和这条直线就可以求出公共弦长． 2、（选讲提升）【2015安徽宿州高二期中，改编】过圆C 1：x 2＋y 2－12x －2y －13＝0和圆C 2：x 2＋y 2＋12x ＋16y －25＝0的交点的圆中，面积最小的圆的方程为_____________________________． 过两交点圆中，以公共弦为直径时，圆面积最小.【解析】法一：将两圆方程相减得公共弦所在直线方程为4x ＋3y －2＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y －2＝0，x 2＋y 2－12x －2y －13＝0.解得两交点坐标A (－1,2)，B (5，－6)．∵所求圆以AB 为直径，∴所求圆的圆心是AB 的中点M (2，－2)，圆的半径为r ＝12|AB |＝5，∴圆的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝25. 法二：易求得公共弦所在直线方程为4x ＋3y －2＝0.设所求圆x 2＋y 2－12x －2y －13＋λ(4x ＋3y －2)＝0，则圆心为(6－2λ,1－32λ).∵圆心在公共弦所在直线上，∴4×(6－2λ)＋3(1－32λ)－2＝0，解得λ＝2.故所求圆的方程为x 2＋y 2－4x ＋4y －17＝0.3、已知圆C 1：x 2+y 2=4和圆C 2：（x ﹣2）2+（y ﹣2）2=4，若点P （a ，b ）（a ＞0，b ＞0）在两圆的公共弦上，则的最小值为 8 ．【解答】解：由题意，两圆的方程相减，可得x +y=2，∵点P （a ，b ）（a ＞0，b ＞0）在两圆的公共弦上， ∴a +b=2，∴=（）（a +b ）=（10++）=8，当且仅当=，即b=3a 时，取等号，的最小值为8，故答案为8．4、已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A (－m,0)，B (m,0)(m >0)．若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的最大值为( )A ．7B ．6C ．5D ．4题型二 直线与圆综合【例2】►已知圆x 2＋y 2＋x －6y ＋m ＝0和直线x ＋2y －3＝0交于P ，Q 两点，且OP ⊥OQ (O 为坐标原点)，求该圆的圆心坐标及半径．[审题视点] (1)利用垂直列出坐标之间关系，再化为m 的方程求解；(2)OP ⊥OQ 得到O 点在以PQ 为直径的圆上，再利用勾股定理求解．解 法一 将x ＝3－2y ，代入方程x 2＋y 2＋x －6y ＋m ＝0，得5y 2－20y ＋12＋m ＝0. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则y 1、y 2满足条件：y 1＋y 2＝4，y 1y 2＝12＋m 5.∵OP ⊥OQ ，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0.而x 1＝3－2y 1，x 2＝3－2y 2.∵x 1x 2＝9－6(y 1＋y 2)＋4y 1y 2＝－27＋4m5.故－27＋4m 5＋12＋m5＝0，解得m ＝3， 此时Δ＞0，圆心坐标为⎝⎛⎭⎫－12，3，半径r ＝52.法二 如图所示，设弦PQ 中点为M ，设M (x 0，y 0)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 由法一知，y 1＋y 2＝4，x 1＋x 2＝－2，∴x 0＝x 1＋x 22＝－1，y 0＝y 1＋y 22＝2.解得M 的坐标为(－1,2)．则以PQ 为直径的圆可设为(x ＋1)2＋(y －2)2＝r 2. ∵OP ⊥OQ ，∴点O 在以PQ 为直径的圆上．∴(0＋1)2＋(0－2)2＝r 2， 即r 2＝5，|MQ |2＝r 2.在Rt △O 1MQ 中，|O 1Q |2＝|O 1M |2＋|MQ |2. ∴1＋(－6)2－4m 4＝⎝⎛⎭⎫－12＋12＋(3－2)2＋5.变式训练：已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0.直线AB 斜率为-1与圆C 交于A 、B ，且以AB 为直径的圆经过原点？若存在，写出直线AB 的方程；若不存在，说明理由．【规范解答】 圆C 的方程可化为(x －1)2＋(y ＋2)2＝9，圆心为C (1，－2)．假设在圆C 上存在两点A 、B 满足条件，则圆心C (1，－2)在直线y ＝kx －1上，即k ＝－1. 3分于是可知，k AB ＝1.设l AB ∶y ＝x ＋b ，代入圆C 的方程，整理得2x 2＋2(b ＋1)x ＋b 2＋4b －4＝0， 则Δ＝4(b ＋1)2－8(b 2＋4b －4)＞0，即b 2＋6b －9＜0. 解得－3－32＜b ＜－3＋3 2.7分设点A 、B 的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－b －1，x 1x 2＝12b 2＋2b －2.由题意知OA ⊥OB ，则有x 1x 2＋y 1y 2＝0， 也就是x 1x 2＋(x 1＋b )(x 2＋b )＝0.∴2x1x2＋b(x1＋x2)＋b2＝0. 10分∴b2＋4b－4－b2－b＋b2＝0，化简得b2＋3b－4＝0.解得b＝－4或b＝1，均满足Δ＞0，即直线AB的方程为x－y－4＝0，或x－y＋1＝0. 12分家庭作业：1.两个圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝25，C2：(x－4)2＋(y－7)2＝9，这两个圆的公切线有( )A、1条B、4条C、3条D、2条2.若M、N为圆C：（x﹣2）2+（y﹣2）2＝1上任意两点，P为x轴上一个动点，则∠MPN的最大值是（）A．45°B．60°C．90°D．120°【解答】解：连接CM，CN，要使∠MPN最大，则只需要∠CPN最大，即当PN是圆的切线时，∠CPN取得最大值，圆的半径CN＝1，则sin∠CPN＝＝，要使sin∠CPN取得最大值，则CP取得最小值，即CP⊥x轴时，CP最小，此时最小值CP＝2，则sin∠CPN＝＝，即∠CPN＝30°，当M也是切点时，∠MPN＝2∠CPN＝2×30°＝60°，故选：B．3.设m，n为正实数，若直线（m+1）x+（n+1）y﹣2＝0与圆（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1相切，则mn的最小值为（）A．3﹣2B．2+3C．+1D．﹣1【解答】解：由直线与圆相切可知|m+n|＝，整理得（m﹣1）（n﹣1）＝2，∴m+n＝mn﹣1≥2，∴≥+1，∴mn≥3+2当且仅当m＝n时等号成立，∴mn的最小值是3+2．故选：B．4.直线分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆上，则△ABP面积的取值范围是（）A．[2，2]B．[2，4]C．[1，2]D．[1，3]【解答】解：由直线x+y+＝0可得A（﹣，0），B（﹣，0），∴|AB|＝2，又圆心（，0）到直线的距离d＝＝2，∴点P到直线x+y+＝0的距离得最小值为2﹣1＝1，最大值为2+1＝3，则△ABP的面积的最小值为×2×1＝1，最大值为×2×3＝3，故选：D．5.已知直线l1：3x+y﹣6＝0与圆心为M（0，1），半径为的圆相交于A，B两点，另一直线l2：2kx+2y﹣3k﹣3＝0与圆M交于C，D两点，则四边形ACBD面积的最大值为（）A．B．C．D．【解答】解：以M（0，1）为圆心，半径为的圆的方程为x2+（y﹣1）2＝5，联立，解得A（2，0），B（1，3），∴AB中点为（，）．而直线l2：2kx+2y﹣3k﹣3＝0恒过定点（，），∴|AB|＝．∴四边形ACBD的面积最大值为：．故选：A．6.平面直角坐标系内，过点的直线l与曲线相交于A、B两点，当△AOB的面积最大时，直线l的斜率为（）A．B．C．D．【解答】解：曲线表示以O圆心半径为1的上半圆，则△AOB的面积S＝|OA||OB|sin∠AOB＝sin∠AOB，要使三角形的面积最大，此时sin∠AOB＝1，即∠AOB＝90°，则|AB|＝取AB的中点C，则|OC|＝AB|＝，∵|OD |＝，∴sin ∠ODC ＝＝，则∠ODC ＝30°，∠xDA ＝150°，即直线的倾斜角为150°，则直线的斜率k ＝tan150°＝，故选：A ．7. 已知圆C ：x 2+y 2+2x ﹣3=0． （1）求圆的圆心C 的坐标和半径长；（2）直线l 经过坐标原点且不与y 轴重合，l 与圆C 相交于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，求证：+为定值．【解答】（1）解：圆C ：x 2+y 2+2x ﹣3=0，配方得（x +1）2+y 2=4，则圆心C 的坐标为（﹣1，0），圆的半径长为2； （2）证明：设直线l 的方程为y=kx ，联立方程组，消去y 得（1+k 2）x 2+2x ﹣3=0，则有：，，所以为定值．8、（提高）在直角坐标系xOy 中，以O 为圆心的圆与直线x －3y －4＝0相切．(1)求圆的方程；(2)圆O 与x 轴相交于A ，B 两点，圆内的动点P 使|PA |、|PO |、|PB |成等比数列，求PA →·PB →的取值范围． 【解】 (1)设圆的方程为x 2＋y 2＝r 2，则r ＝|－4|12＋－32＝2.∴圆的方程为x 2＋y 2＝4.(2)由(1)知A (－2,0)，B (2,0)，设P (x 0，y 0)， 则|PA |＝x 0＋22＋y 20，|PO |＝x 20＋y 20，|PB |＝x 0－22＋y 20.又|PA |，|PO |，|PB |成等比数列，∴|PO |2＝|PA |·|PB |， 即x 20＋y 20＝[x 0＋22＋y 20][x 0－22＋y 20]，整理得y 20＝x 20－2.∴PA →·PB →＝(－2－x 0，－y 0)·(2－x 0，－y 0)＝(x 20－4)＋y 20＝2x 20－6. 又点P 在圆内，∴x 20＋y 20＜4.∴2≤x 20＜3，∴－2≤PA →·PB →＜0.。
1圆和圆的位置关系
圆 和 内含 圆 的 外切 位 置 内切 关 系 相交
没
有相
公 共
离
点
一
个
公相
共 点
切பைடு நூலகம்
两
个
公
相
共 点
交
观 怎样从两圆的圆心距与两圆半径的数量关
察 系来判断两圆的位置关系?
与
思
R
r
考
•
O1
d O• 2
R
r
•
O1
d
O• 2
R
•
O1
d
两圆外离
r
O• 2
R
O•d1 O• 2r
两圆外切
R
O1•d•O2r
O1O2=0
两圆相交 两圆内切
两圆内含
活动2两：圆的位置关系 d与r1和r2的关系 如果外两离个圆的<半＝径>分别d为>rr11和+rr2（r1<r2），
圆d足与这心r1样距和的（r2关两外 相有系圆切 交怎时圆样，心的两的关<<＝圆＝距系一离？>>定）反外为过rd2离d-来=r，r吗1，<1当+？d当r两<2d圆r与1+外r1r和离2 r时2满， 内切 <＝> d=r2-r1
内含 <＝> d<r2-r1
r1 r1
r1
○d2 ○1
○1d○1
○1
圆和圆的五种位置关系
Rr
O1
O2
外离
O1O2>R+r
Rr
O1
O2
外切
O1O2=R+r
Rr O1 O2
相交
圆与圆的位置关系是怎样的？
圆与圆的位置关系是怎样的？圆与圆的位置关系是怎样的，又有几种关系呢？不清楚的考生赶紧看过来，下面由小编为你精心准备了“圆与圆的位置关系是怎样的?”，持续关注本站将可以持续获取更多的考试资讯!圆与圆的位置关系是怎样的?圆与圆的位置关系：外离、相切(内切和外切)、相交、内含。
在一个平面内，一动点以一定点为中心，以一定长度为距离旋转一周所形成的封闭曲线叫做圆。
一、圆与圆的位置关系的判断方法1、设两个圆的半径为R和r，圆心距为d。
则有以下五种关系：1、d>R+r 两圆外离; 两圆的圆心距离之和大于两圆的半径之和。
2、d=R+r 两圆外切; 两圆的圆心距离之和等于两圆的半径之和。
3、d=R-r 两圆内切; 两圆的圆心距离之和等于两圆的半径之差。
4、d<R-R p 两圆内含;两圆的圆心距离之和小于两圆的半径之差。
<>5、d<R+R p 两园相交;两圆的圆心距离之和小于两圆的半径之和。
<>2、圆和圆的位置关系，还可用有无公共点来判断：1、无公共点，一圆在另一圆之外叫外离，在之内叫内含。
2、有唯一公共点的，一圆在另一圆之外叫外切，在之内叫内切。
3、有两个公共点的叫相交。
两圆圆心之间的距离叫做圆心距。
二、扩展资料1、点和圆位置关系①P在圆O外，则 PO>r。
②P在圆O上，则 PO=r。
③P在圆O内，则 PO<R。
< p>反之亦然。
平面内，点P(x0,y0)与圆(x-a)²+(y-b)²=r²的位置关系判断一般方法是：①如果(x0-a)²+(y0-b)²<R²，则P在圆内。
< p>②如果(x0-a)²+(y0-b)²=r²，则P在圆上。
③如果(x0-a)²+(y0-b)²>r²，则P在圆外。
2、直线和圆位置关系①直线和圆无公共点，称相离。
圆与圆的位置关系2008
相交
内切 内含(同心圆)
圆心距：两圆心之间的距离
两圆五种位置关系中两圆半径与圆心距的数量关系
图
形
性
质 外离
及
判 d>R+r
定
公
共 点
没有
个
数
外切 d=R+r
外离
内切 内含
R-r <d<R+r d=R-r d＜R-r
一个
两个
一个
没有
练习:
1, 填表
R
3 4 5 6 4
r
d 两圆位置关系
15
外离
个圆上的点都在另一个圆的内部时,叫两圆内切.
特例
内含:两圆无公共点,并且一个圆上的点都
在另一个圆的内部时,叫两圆内含.
外离
外切
相交
内切 内含(同心圆)
圆 外离 与圆圆和圆 内 含 的的 外 切
位位 置关置关系
内切 相交
系
没
有相
公 共
离
点
一
个
公相
共 点
切
两
个
公
相
共 点
交
外两离圆的圆心距外d与切两圆 半径R﹑﹑r之间数量关系
（6） O1和O2重合。
⊙O1和⊙O2的位置关系怎样？
3、定圆O的半径是4厘米，动圆P的半径是1厘米。 （1）设⊙P和⊙O相外切，那么点P与点O的距离 是多少？点P可以在什么样的线上移动？ （2）设⊙P和⊙O相内切，情况怎样？
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关
d =R+ r 1
系
判定 内
R− r <d <R+ r 2
外
圆与圆的位置关系及判定方法
圆与圆的位置关系及判定方法嘿，朋友们！今天咱来聊聊圆与圆的位置关系，这可有意思啦！你想想啊，这两个圆就像两个小伙伴，它们在那片数学的天地里玩耍呢。
有时候它们离得老远老远，就好像两个闹别扭的小朋友，谁也不理谁，这就是相离的状态呀。
你说它们是不是有点小脾气呀！还有的时候呢，一个圆就像个调皮鬼，会偷偷地碰到另一个圆，就那么一点点边边碰上了，嘿，这就是相切啦！就像你轻轻地碰了一下别人的肩膀，有了那么一丁点儿接触。
再有呢，两个圆就像亲密无间的好朋友，紧紧地挨在一起，你中有我，我中有你，这可就是相交啦！它们凑在一起热热闹闹的，多有意思呀。
那怎么来判定它们到底是哪种位置关系呢？这就像是你要分辨两个小朋友之间的关系亲密程度一样。
咱可以看看它们之间的距离呀！如果远得很，那肯定是相离咯；要是就碰上那么一点儿，那就是相切呗；要是有一部分重叠在一起了，那不用问，相交啦！你说这像不像我们生活中的人际关系呀？有时候和有些人离得远，有时候和有些人有点交集，有时候又和有些人特别亲密。
数学可不只是那些干巴巴的公式和定理，它也和我们的生活息息相关呢！咱再深入想想，这圆与圆的位置关系还能给我们很多启发呢。
就说相离吧，虽然它们现在离得远，可谁知道以后会不会走近呢？就像我们和一些人，也许现在没什么联系，但未来的事谁说得准呀！相切呢，虽然只是那么一瞬间的接触，但有时候就是那一瞬间也能留下深刻的印象呀。
相交就更不用说了，那是实实在在的互动和交流呢。
咱在解决数学问题的时候，不也像是在和这些圆打交道嘛。
要仔细观察它们的位置，认真分析它们之间的关系，才能得出正确的答案。
这多像我们解决生活中的难题呀，要用心去感受，去思考。
总之呢，圆与圆的位置关系可真是充满了奥秘和乐趣。
它们在数学的世界里演绎着各种故事，也给我们带来了无尽的思考和启发。
我们可不能小瞧了这些看似简单的图形呀，它们里面蕴含的道理可多着呢！所以呀，好好去探索吧，你会发现更多的精彩！。
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圆与圆的位置关系的判
断方法
公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08]
圆与圆的位置关系的判断方法：
（1）利用圆心距和两圆半径比较大小（几何法）已知两圆
的圆心距为
d，则位置关系表示如下：
（2）利用两圆的交点进行判断（代数法）
设由两圆的方程组成的方程组为
由此方程组得：有两组不同的实数解则两圆相交；有两组相同的实数解则两圆相切；无实数解则两圆相离．
两圆公切线条数的确定：
两圆的公切线的条数是由两圆的位置关系确定的，设两圆的圆心距为d，两圆的半径分别为
则当时，两圆外离，此时有四条公切线；
当时，两圆外切，连心线过切点，此时有三条公切线，有外公切线两条，内公切线一条；
当时，两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线；
当时，两圆内切，连心线过切点，此时只有一条公切线；当时，两圆内含，此时没有公切线。