两个重要极限PPT课件
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第六节两个重要极限 PPT资料共30页
称数列 y n 为单调增加数列； 若对如何正整数 n ， 恒有
单单 调调 减增 少加 数数 列列
y n f ( n ) y n 1 f ( n 1 )
称数列 y n 为单调减少数列。
数单 列调
11/26/2019
第二章 极限与连续
【定义】有界数列
若存在两个常数 m 和 M(mM) ，使对任
x
2
limcosx1, limsinx 1
x 0
x0 x
证毕。
例4 计算 lim ta n x
x0 x
sin x
解
limtanxlimsinx
lim
x 0
x
1
x 0 x x 0xcosx l i m c o s x
x 0
11/26/2019
第二章 极限与连续
例5
计算
sinkx lim
a0,
求
lim
n
xn
解 利用极限存在的准则
xn1
1 2(xn
a )
xn
xn
a xn
a
x n1 xn
1 (1 2
a
x
2 n
)
1 (1 2
a) a
1
所以数列单调递减有下界，故极限存在。
11/26/2019
第二章 极限与连续
设 lni mxn A,
A 1( A a ) 2A
备用题
第二章 极限与连续
1.填空题
1) limsinx__0___; 2) limxsin1__1__;
x x
x
xห้องสมุดไป่ตู้
3) limxsin1__0__; 4) lim(11)n_e__1_;
单单 调调 减增 少加 数数 列列
y n f ( n ) y n 1 f ( n 1 )
称数列 y n 为单调减少数列。
数单 列调
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第二章 极限与连续
【定义】有界数列
若存在两个常数 m 和 M(mM) ，使对任
x
2
limcosx1, limsinx 1
x 0
x0 x
证毕。
例4 计算 lim ta n x
x0 x
sin x
解
limtanxlimsinx
lim
x 0
x
1
x 0 x x 0xcosx l i m c o s x
x 0
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第二章 极限与连续
例5
计算
sinkx lim
a0,
求
lim
n
xn
解 利用极限存在的准则
xn1
1 2(xn
a )
xn
xn
a xn
a
x n1 xn
1 (1 2
a
x
2 n
)
1 (1 2
a) a
1
所以数列单调递减有下界，故极限存在。
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第二章 极限与连续
设 lni mxn A,
A 1( A a ) 2A
备用题
第二章 极限与连续
1.填空题
1) limsinx__0___; 2) limxsin1__1__;
x x
x
xห้องสมุดไป่ตู้
3) limxsin1__0__; 4) lim(11)n_e__1_;
1-5极限存在准则两个重要极限 33页PPT
n
证明 记 ma a ,b } xE { ,则 EnEnn a n b n n E n E n n 2 E 而lim n2EE 由夹逼定理得
n
lim nanbnEma,bx } {
n
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2.单调有界准则
如果数 xn满 列足条件 x 1 x 2 x n x n 1 , 单调增加
y
sin x B
1
tan x
x
O
D Ax
则 AO x BBDsix n
B
B B 2 A B 2 x ,B B 2 B D 2 sx in
lx i0m sx ix nlx i0m 2s2xix nlxim 0B BB B 1
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f ( x)存在。
(3) x
若 f ( x)在(,a)内单调有界，则 lim f ( x)存在。 x
(4) x
若 f ( x)在(a,)内单调有界，则 lim f ( x)存在。 x
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(5) x x0
y
f ( x)在( x0 , x0 )内单调有界，
1 1
)x
1.
x
e
(2) limtanx limsinx 1 1 x0 x x0 x coxs
1
(3) li(m 1tax)n co xtlim (1tanx)tanx e
x 0
x0
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两个重要极限
1. lim six n1 x 0 x
1six n1x1taxn , 2 22
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证明 记 ma a ,b } xE { ,则 EnEnn a n b n n E n E n n 2 E 而lim n2EE 由夹逼定理得
n
lim nanbnEma,bx } {
n
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2.单调有界准则
如果数 xn满 列足条件 x 1 x 2 x n x n 1 , 单调增加
y
sin x B
1
tan x
x
O
D Ax
则 AO x BBDsix n
B
B B 2 A B 2 x ,B B 2 B D 2 sx in
lx i0m sx ix nlx i0m 2s2xix nlxim 0B BB B 1
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f ( x)存在。
(3) x
若 f ( x)在(,a)内单调有界，则 lim f ( x)存在。 x
(4) x
若 f ( x)在(a,)内单调有界，则 lim f ( x)存在。 x
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(5) x x0
y
f ( x)在( x0 , x0 )内单调有界，
1 1
)x
1.
x
e
(2) limtanx limsinx 1 1 x0 x x0 x coxs
1
(3) li(m 1tax)n co xtlim (1tanx)tanx e
x 0
x0
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两个重要极限
1. lim six n1 x 0 x
1six n1x1taxn , 2 22
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第五部分两个重要极限教学课件
三．初等函数的连续性
定理： 若函数 f ( x), g( x)在点 x0处连续,
则 f ( x) g( x),
f ( x) g( x),
f (x) g( x)
(g( x0 ) 0)
在点 x0处也连续.
即由连续函数经过四则运算所得到的函数仍然是连续 的（分母为零的点除外）。
例如, x2 , e x ,sin x,cos x在(, )内连续,
22
(5) lim
x2
5x
6
lim
(x
2)( x
3)
lim
( x 2)
( x 3)
x2 sin( x 2) x2 sin( x 2) x2 sin( x 2)
1(1) 1
(6)lim x sin x
2 x
sin 2 lim x x 1
sin 2 lim x
x 2
2
2
x
x
二．第二个重要极限 lim(1 1 )x e " 1 "
f
x
f
x0 ，则称f ( x)在点x0处左连续
如果 lim x x0
f
x
f
x0 ，则称f ( x)在点x0处右连续
1
x
1
例如：函数 y 1 x2 在点x 1右连续，在点 x 1 左连续．
例4: 当a取何值时,
函数
f (x)
cos x, a x,
x 0, 在 x 0处连续. x 0,
4
2x
x 2
这里u x 4 ,v x 2x lim u x v x lim 4 2x 8
x2
x
x x 2
lim
x
BBD16两个重要极限65845-PPT精品文档17页
e4
12
例7. 求 解: 原式 =
e2
13
内容小结
1、 数列极限存在的夹逼准则 函数极限存在的夹逼准则
2、 两个重要极限
或 注: 代表相同的表达式
14
思考与练习
填空题 ( 1～4 )
1. limsinx_0__;__
x x
3. lim xsin1_0__; _
x0 x
2. lim xsin1_1__; _
limf(x)A
xx0 (x)
特别对于数列 xn yn zn 从某一项开始，
恒有 ynxnzn
且 limyn limzn A
n
n
nl im xn A
3
二、 两个重要极限
BD
1
x
oC
A
证: 当 x(0,2)时，
△AOB 的面积＜圆扇形AOB的面积＜△AOD的面积
即 亦即
12sinx 12tanx
sx i x n ta x( n 0 x 2 )
故有
显然有
cosxsinx1 x
(0x2)
4
例1 求下列函数的极限 1
k1ຫໍສະໝຸດ 4.limtanx x0 x
xl im 0sixnxc1oxs
limsin x0 x
故 xl im (11x)x e
1
说明:
此极限也可写为
lim(1z)z e
z0
9
2. 说明: 此极限也可写为
1
lim(1z)z e
z0
注意：
10
例5. 求下列极限
解: 令 tx,则
tl im (11t)t
lim
t
24两个重要极限精品PPT课件
lim
(x) 0 (x)
1
(0) 0
(2)
lim ( 1 1 ) ( x) e
( x)
(x)
(1 )
1
或 lim (1 ( x))( x) e ( x)0
lim ( 1 1 ) (x) e1
( x)
(x)
提问与解答环节
Questions And Answers
谢谢聆听
·学习就是为了达到一定目的而努力去干, 是为一个目标去 战胜各种困难的过程,这个过程会充满压力、痛苦和挫折
u
1 (x)
k
1
例7：求lim(1 3 )x
x
x
1
e . 解:原式
lim(1 Hale Waihona Puke 3)x 3
3
[lim(1
3
)
x 3
]3
3
x
x
x
x
1
例8 : 求 lim 1 2x x x0
解:
原式 lim
1 (2x)
(
1 2x
)(
2
)
x0
e . [lim
1 2x
] (
1 2x
)
-2
2
x0
例9：求 lim(1 1 )x2
0
解:
原式
lim sin 5x x0 5x
5 2
5 sin 5x lim
2 x0 5x
5 2
例2.
求
tan x lim .
x0 x
(0) 0
解: 原式 lim sin x 1 x0 x cos x
lim sin x lim 1 x0 x x0 cos x
1
(x) 0 (x)
1
(0) 0
(2)
lim ( 1 1 ) ( x) e
( x)
(x)
(1 )
1
或 lim (1 ( x))( x) e ( x)0
lim ( 1 1 ) (x) e1
( x)
(x)
提问与解答环节
Questions And Answers
谢谢聆听
·学习就是为了达到一定目的而努力去干, 是为一个目标去 战胜各种困难的过程,这个过程会充满压力、痛苦和挫折
u
1 (x)
k
1
例7：求lim(1 3 )x
x
x
1
e . 解:原式
lim(1 Hale Waihona Puke 3)x 3
3
[lim(1
3
)
x 3
]3
3
x
x
x
x
1
例8 : 求 lim 1 2x x x0
解:
原式 lim
1 (2x)
(
1 2x
)(
2
)
x0
e . [lim
1 2x
] (
1 2x
)
-2
2
x0
例9：求 lim(1 1 )x2
0
解:
原式
lim sin 5x x0 5x
5 2
5 sin 5x lim
2 x0 5x
5 2
例2.
求
tan x lim .
x0 x
(0) 0
解: 原式 lim sin x 1 x0 x cos x
lim sin x lim 1 x0 x x0 cos x
1
高数第-章极限存在准则两个重要极限PPT课件
2023
高数第-章极限存在准 则两个重要极限ppt 课件
https://
REPORTING
2023
目录
• 极限存在准则概述 • 第一个重要极限：夹逼准则 • 第二个重要极限：单调有界准则 • 极限存在准则的深入探讨 • 两个重要极限的拓展与应用 • 课程总结与回顾
2023
学习方法与技巧分享
深入理解概念
通过反复阅读教材和参考书籍，加深对极限存 在准则和两个重要极限的理解。
多做练习题
通过大量的练习题，熟练掌握求解函数极限的 方法和技巧。
归纳总结
及时归纳总结学习过程中的重点和难点，形成自己的知识体系。
下一步学习计划与建议
深入学习后续章节
在掌握本章知识点的基础上，继续深入学习后续章节，如导数、 微分等。
两个重要极限的引入
第一个重要极限
lim(sinx/x) = 1 (x->0)。
第二个重要极限
lim[(1 + 1/x)^x] = e (x->∞)。
引入原因
这两个极限在微积分学中具有重要地位，是求解许多复杂极限问题的基础。
应用举例
利用这两个重要极限可以求解诸如三角函数、指数函数、对数函数等的极限问题。
工程学
在工程学中，两个重要极限被用于分析和设计各 种工程结构，如桥梁、建筑、机械等，以确保其 稳定性和安全性。
经济学
在经济学中，两个重要极限被用于研究和分析市 场供需关系、价格变动等经济现象，为经济政策 制定提供理论支持。
两个重要极限的拓展形式
多元函数极限
将两个重要极限的概念拓展到多元函数，研 究多元函数在某一点或某一区域内的极限行 为。
2023
PART 03
高数第-章极限存在准 则两个重要极限ppt 课件
https://
REPORTING
2023
目录
• 极限存在准则概述 • 第一个重要极限：夹逼准则 • 第二个重要极限：单调有界准则 • 极限存在准则的深入探讨 • 两个重要极限的拓展与应用 • 课程总结与回顾
2023
学习方法与技巧分享
深入理解概念
通过反复阅读教材和参考书籍，加深对极限存 在准则和两个重要极限的理解。
多做练习题
通过大量的练习题，熟练掌握求解函数极限的 方法和技巧。
归纳总结
及时归纳总结学习过程中的重点和难点，形成自己的知识体系。
下一步学习计划与建议
深入学习后续章节
在掌握本章知识点的基础上，继续深入学习后续章节，如导数、 微分等。
两个重要极限的引入
第一个重要极限
lim(sinx/x) = 1 (x->0)。
第二个重要极限
lim[(1 + 1/x)^x] = e (x->∞)。
引入原因
这两个极限在微积分学中具有重要地位，是求解许多复杂极限问题的基础。
应用举例
利用这两个重要极限可以求解诸如三角函数、指数函数、对数函数等的极限问题。
工程学
在工程学中，两个重要极限被用于分析和设计各 种工程结构，如桥梁、建筑、机械等，以确保其 稳定性和安全性。
经济学
在经济学中，两个重要极限被用于研究和分析市 场供需关系、价格变动等经济现象，为经济政策 制定提供理论支持。
两个重要极限的拓展形式
多元函数极限
将两个重要极限的概念拓展到多元函数，研 究多元函数在某一点或某一区域内的极限行 为。
2023
PART 03
高教社2024高等数学第五版教学课件-1.3 两个重要极限
则若有函数()在0 的某邻域内恒有
() ≤ () ≤ ()，
那么当 → 0 时，有 ≤ () ≤ ()，
即
故
≤ () ≤ ，
() = .
→0
= 1.
(−)
证：因为
−
−
−
=
=
，
所以我们只需讨论 → 0+ 的情形，
→∞
→∞ 2 + 1
1+
= 1 +
→∞
方法二
2 + 3
→∞ 2 + 1
=
2
2+1
2
2+1
3
1+
2
=
1
→∞
1+
2
+1
→∞
→∞
1+
1+
3
2
1
2
2 3
3 ×2
1
2×2
2+1
2
2+1
2
⋅ 1+
2
2+1
∙ 1 +
→∞
1
2
2
2+1
1
2
= ⋅ 1 = .
+1
∙ 1+
∙ 1+
3
2
1
2
=
3
2
×1
1
2
×1
=
→0
例3 计算
解
≠ 0， ≠ 0）
→0
=
() ≤ () ≤ ()，
那么当 → 0 时，有 ≤ () ≤ ()，
即
故
≤ () ≤ ，
() = .
→0
= 1.
(−)
证：因为
−
−
−
=
=
，
所以我们只需讨论 → 0+ 的情形，
→∞
→∞ 2 + 1
1+
= 1 +
→∞
方法二
2 + 3
→∞ 2 + 1
=
2
2+1
2
2+1
3
1+
2
=
1
→∞
1+
2
+1
→∞
→∞
1+
1+
3
2
1
2
2 3
3 ×2
1
2×2
2+1
2
2+1
2
⋅ 1+
2
2+1
∙ 1 +
→∞
1
2
2
2+1
1
2
= ⋅ 1 = .
+1
∙ 1+
∙ 1+
3
2
1
2
=
3
2
×1
1
2
×1
=
→0
例3 计算
解
≠ 0， ≠ 0）
→0
=
极限运算法则两个重要极限 PPT
那么 lim f ( x)存在, 且等于A. x x0 ( x)
准则 Ⅰ与准则 Ⅰ'称为夹逼准则、
注意: 利用夹逼准则求极限关 键是构造出 yn与 zn , 并且 yn与 zn的极限是容易求的 .
例1 求 lim( 1 1 1 ).
n n2 1 n2 2
n2 n
解
n n2 n
1 n2 1
2 x2
1 lim
sin 2
x 2
2 x0 ( x)2
2
x
1
sin lim(
2
)
2
2 x0 x
1 12 2
1. 2
2
(2) lim(1 1 )x e
x
x
定义 lim(1 1)n e
准则Ⅱ 单调有界数列必有极限. 几何解释:
x1 x2 x3xn xn1 A M
x
例2 证明数列 xn 3 3 3 (n重根 式)的极限存在.
证 显然 xn1 xn , xn是单调递增的 ;
又 x1 3 3, 假定 xk 3, xk1 3 xk 3 3 3,
xn是有界的 ;
取 min1 , 2, 则当 0 x x0 时
0 (x) a u a
故 f [ (x)] A f (u) A , 因此①式成立、
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定理7、 lim (x) a , 且 x 满足 0 x x0 1 时,
设
x x0
(x) a , 又 lim f (u) A, 则有
个、
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定理 4 、 若lim f (x) A, lim g(x) B , 则有
lim[ f (x)g(x)] lim f (x) lim g(x) AB
D五两个重要极限PPT课件
2、 两个重要极限
证: 当
x
(
0
,
2
)
时，
△AOB 的面积＜
圆扇形AOB的面积
BD
1
x
oC
A
＜△AOD的面积
1 2
sin
x
1Байду номын сангаас2
tan
x
故有
sin x x tan x
(0
x
2
)
显然有
cos x sin x 1 x
(0
x
2
)
第1页/共13页
例 1 计算 lim sin5x . x0 3 x
3
3x
第2页/共13页
练习： 计算 lim sin3x sin x .
x0
x
解
sin 3x sin x sin 3x sin x
lim
lim lim
x0
x
x0 x
x0 x
第3页/共13页
例3. 求
解:
lim
x0
tan x
x
lim x0
sin x
x
1 cos
x
lim
x0
sin x
x
lim
2.
lim (1
x
1 x
)
x
e
证: 当 x 0 时, 设 n x n 1, 则
(1
n11)n
(1
1x ) x
(1
1 n
)n1
lim (1
n
n11)n
lim
n
(1 n11)n1 e
1
1 n1
lim (1
n
1n ) n 1
证: 当
x
(
0
,
2
)
时，
△AOB 的面积＜
圆扇形AOB的面积
BD
1
x
oC
A
＜△AOD的面积
1 2
sin
x
1Байду номын сангаас2
tan
x
故有
sin x x tan x
(0
x
2
)
显然有
cos x sin x 1 x
(0
x
2
)
第1页/共13页
例 1 计算 lim sin5x . x0 3 x
3
3x
第2页/共13页
练习： 计算 lim sin3x sin x .
x0
x
解
sin 3x sin x sin 3x sin x
lim
lim lim
x0
x
x0 x
x0 x
第3页/共13页
例3. 求
解:
lim
x0
tan x
x
lim x0
sin x
x
1 cos
x
lim
x0
sin x
x
lim
2.
lim (1
x
1 x
)
x
e
证: 当 x 0 时, 设 n x n 1, 则
(1
n11)n
(1
1x ) x
(1
1 n
)n1
lim (1
n
n11)n
lim
n
(1 n11)n1 e
1
1 n1
lim (1
n
1n ) n 1
相关主题
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结束
11 铃
•第二个重要极限
设
xn
(1
1 n
)n
可以证明数列{xn}是单调有界的, 根据准则II 数列
{xn}必有极限, 这个极限我们用e来表示, 即
lim (1 1)n e n n
我们还可以证明 lim (1 1)x e x x
e是个无理数 它的值是
e=2 718281828459045
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结束
2铃
•第一个重要极限
lim sin x 1 x0 x
简要证明
参看附图
设圆心角AOBx (
0
x
2
)
(
显然 BC AB AD 因此 sin x x tan x
从而
cosx sin x 1 x
(此不等式当 x0 时也成立)
因为 lim cosx 1 x0
x0 x
(x)
例 求lim sin 3x .
6
x tan 5x
解: 令x t, 当x 时,t 0,
lim sin 3x lim sin(3 3t) x tan 5x t0 tan(5 5t)
lim sin 3t t0 tan 5t
lim sin 3t 5t 3 t0 3t tan 5t 5
§1.6 两个重要极限
一、准则 I 及第一个重要极限 二、准则 II 及第二个重要极限
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1铃
一、准则 I 及第一个重要极限
•准则 I （夹逼定理）
如果数列{xn}、{yn}及{zn}满足下列条件 (1)ynxnzn(n=1 2 3 )
(2)
lim
n
yn
例例22 求 lim 1cosx
解解 :
x0 x2
lim 1cosx x0 x2
1 2
lim x0
sin x
x 2
lim
x0
2
2 sin 2 x2
x 2
1212lximlxi0ms0(isn12i2n)2x22x222x
1 12 1
3 5
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8铃
2019/10/25 首页
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结束
9铃
二、准则 II 及第二个重要极限
•单调数列
如果数列{xn}满足条件 x1x2x3 xnxn+1
就称数列{xn}是单调增加的 如果数列{x n}满足条件 x1x2x3 xnxn+1
x0 x
(x)
例 求lim arcsin x .
5
x0 x
解: 令y arcsinx, 则x siny, 当x 0时, y 0,
lim arcsin x lim y 1
x0 x
y0 sin y
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结束Байду номын сангаас
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lim sin x 1 lim sin(x) 1((x)0)
22
2
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5铃
lim sin x 1 lim sin(x) 1((x)0)
x0 x
(x)
例 求lim sin mx .(m 0, n 0)
3
x0 sin nx
解: lim sin mx lim sin mx mx nx m .
x0 sin nx x0 mx nx sin nx n
指数函数y=ex及对数函数y=ln x 中的底就是常数e
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12 铃
•第二个重要极限
•应注意的问题
lim (1 1)x e x x
1
在极限 lim[1(x)](x) 中 只要(x)是无穷小 就有
1
lim[1(x)](x) e
这是因为
令
u
a
lim
n
zn
a
那么数列 {xn }的极限存在
且
lim
n
xna
•准则 I
如果函数f(x)、g(x)及h(x)满足下列条件
(1) g(x)f(x)h(x)
(2)lim g(x)A lim h(x)A
那么lim f(x)存在 且lim f(x)A
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就称数列{xn}是单调减少的 单调增加和单调减少数列统
称为单调数列
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•准则II 单调有界数列必有极限
•说明 前面曾证明 收敛的数列一定有界 但有界的数列
不一定收敛 现在准则II表明 如果数列不仅有界 并且是 单调的 那么这个数列一定是收敛的
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lim sin(x) lim sin u 1 (x) u0 u
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4铃
lim sin x 1 lim sin(x) 1((x)0)
x0 x
(x)
例例11 求 lim tan x x0 x
解解 : lim tan x lim sin x 1 lim sin x lim 1 1 x0 x x0 x cosx x0 x x0 cosx
D B
根据准则 I lim sin x 1
1
x0 x
x
OCA
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3铃
•第一个重要极限
•应注意的问题
lim sin x 1 x0 x
在极限
lim
sin(x) (x)
中
只要(x)是无穷小
就有
lim
sin(x) (x)
1
这是因为 令u=a(x) 则u 0 于是
7 解:原式
x
lim (1
x
k
)
x k
k
lim [(1
例4求lim x0
tan
x sin x3
x
.
解:
lim
x0
tan
x sin x3
x
lim
x0
tan x
x
1
cos x2
x
lim
x0
tan x
x
lim
x0
1 cosx x2
1 2
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6铃
lim sin x 1 lim sin(x) 1((x)0)
1
(x)
则 u
于是
1
lim[1(x)](x)
lim (1 1)u e u u
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13 铃
lim (1 1)x e x x
1
lim[1(x)](x) e ((x)0)
例 求 lim (1 k )x.(k为自然数，k 0)