上海市奉贤区曙光中学2021届高三上学期期中数学试题
上海2020-2021学年奉贤中学高三上学期期中仿真密卷(数学学科)测试卷
第1页，共3页上海2020-2021学年奉贤中学高三上学期期中仿真密卷数学学科（满分150分，考试时间100分钟）一.填空题（本大题共有12题，满分54分，1-6题每题4分，7-12题每题5分）1. 函数()f x =的定义域为 . 2. 函数()2sin 24f x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的最小正周期是_______.3. 不等式37922x -≤的解集是 ______________. 4. 方程()()22log 972log 31x x +=++的解为_____________.5. 若集合131|,11,|2,01A y y x x B y y x x ⎧⎫⎧⎫==-≤≤==-<≤⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，则A B ⋂= _______ .6. 若数列{}n a 中，11a =，()121n n a a n N *+=+∈，则11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的各项和为 ；7. 已知函数()2,0=1,0x x f x x ⎧≥⎨<⎩，若()()212f a f a ->，则实数a 的取值范围是 .8. 函数()()221sin 1x xf x x ++=+的最大值和最小值分别为M,m ，则M m +=__________．9. 定义在R 上的偶函数()y f x =，当0x ≥时，()()2lg 33f x x x =-+，则()f x 在R 上的零点个数为________. 10. 若集合12A A 、满足12=A A A ⋃，则称()12A A ，为集合A 的一种分拆，并规定：当且仅当12=A A 时，()12A A ，与()21A A ，为集合A 的同一种分拆，则集合{}123=,,A a a a 的不同分拆种数是________.11. 设各项均不为零的数列{}n c 中，所有满足10i i c c +•<的正整数i 的个数称为这个数列{}n c 的变号数.已知数列{}n a 的前n 项和244n S n n =-+，41n nb a =-()n N *∈，则数列{}n b 的变号数为 .12. 函数()y f x =是最小正周期为4的偶函数，且在[]2,0x ∈-时，()21f x x =+，若存在12,,,n x x x ⋅⋅⋅满足120n x x x ≤<<⋅⋅⋅<，且()()()()()()122312016n n f x f x f x f x f x f x --+-+⋅⋅⋅+-=，则n n x +最小值为___________.二、选择题（本大题共4题，满分20分，每题5分，每题有且只有一个正确选项） 13.a ，条件乙：sincos22a θθ+=，则（ ）A. 甲是乙的充分必要条件B. 甲是乙的必要条件C. 甲是乙的充分条件D. 甲不是乙的必要条件，也不是充分条件 14. 已知函数()cos sin 2f x x x =下列结论中错误的是（ ）A. ()y f x =的图像关于(),0π中心对称B. ()y f x =的图像关于2x π=对称C. ()y f x =D. ()y f x =既是周期函数，又是奇函数 15. 解不等式11022xx ⎛⎫-+> ⎪⎝⎭时，可构造函数()12xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由()f x 在x R ∈是减函数及()()1f x f >，可得1x <，用类似的方法可求得不等式263arcsin arcsin 0x x x x +++>的解集为（ ）A. (]0,1B. ()1,1-C. (]1,1-D. ()1,0-16. 对于定义在R 上的函数()f x , 若存在正常数,a b , 使得()()f x a f x b +≤+对一切x R ∈均成立, 则称第2页，共3页()f x 是“控制增长函数”。
上海市五校2024-2025学年高三上学期期中联考数学试题(含答案)
五校联考高三期中数学试卷（奉贤中学/复兴高中/金山中学/行知中学/松江二中）2024.11一.填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）1.已知集合，，则______2.已知向量，，则在方向上的数量投影为______3.曲线在点处的切线方程为______4.某老年健康活动中心随机抽取了6位老年人的收缩压数据，分别为120，96，153，146，112，136，则这组数据的40%分位数为______5.二项式的展开式中，常数项为______6.关于x的方程的解集为______7.已知，，，则的最小值为______8.《九章算术》卷五《商功》中有“贾令刍童，上广一尺，袤二尺，下广三尺，袤四尺，高一尺”，意思是：“假设一个刍童，上底面宽1尺，长2尺；下底面宽3尺，长4尺，高1尺.”（注：刍童为上下底面是相互平行的不相似长方形，两底面的中心连线与底面垂直的几何体），则《商功》中提及的这个刍童的外接球表面积为______平方尺9.意大利著名画家、自然科学家、工程师达芬奇在绘制作品《抱银貂的女人》时，曾仔细思索女人脖子上黑色项链的形状，这就是著名的悬链线形状问题.后续的数学家对这一问题不断研究，得到了一类与三角函数性质相似的函数：双曲函数.其中双曲正弦函数为，并且双曲正弦函数为奇函数，若将双曲正弦函数的图象向右平移个单位，再向上平移2个单位，得到函数的图象，并且数列满足条件，则数列的前2024项和______10.已知椭圆，点和分别是椭圆的左、右焦点，点P 是椭圆上一点，则内切圆{}2650A x x x =-+<{}0,1,2B =A B = ()1,2a =-()3,2b = b a e xy =()0,163x ⎛- ⎝100910152024x x x +++-=0x >0y >4x y xy +=x y +e e sh 2x xx --=12()y f x ={}n a 2025n n a f ⎛⎫=⎪⎝⎭{}n a 2024S =22:143x y Γ+=1F 2F 12PF F △半径的最大值为______11.在中，a 、b 、c 分别是A 、B 、C 的对边，若，则______12.若关于x 的方程在上有两个不等的实根，则实数a 的取值范围是______二.选择题（本大题共4题，满分20分）13.设，则是的（ ）条件A.充分非必要B.必要非充分C.充分必要D.既不充分也不必要14.在中，，M 为中点，，则（ ）A. B. C.9D.1615.已知定义在R 上的函数，其导数为，记，且，，则下列说法中正确的个数为（ ）①；②的图象关于对称；③；④.A.1个B.2个C.3个D.4个16.已知正项数列满足，下列说法正确的是（ ）A.当时，数列单调递减B.当时，数列单调递增C.当时，存在正整数，当时，D.当时，存在正整数，当时，三.解答题（本大题共有5题，满分76分）17.某市数学竞赛初赛结束后，为了解竞赛成绩情况，从所有学生中随机抽取100名学生，得到他们的成绩，将数据分成五组：，，，，，并绘制成如图所示的频率分布直方图：ABC △2222024a b c +=()2tan tan tan tan tan A BC A B =+()2e ln 20x x a x x a -⋅-+-=(]0,1z ∈C 1z z+∈R 1z =ABC △10BC =BC 4AM =AB AC ⋅=9-16-()y f x =()f x '()()g x f x '=()()4f x f x x --=()()20g x g x +-=()01g =()f x y x =()0,2()()20f x f x +-=()21n k g k n n ==-∑{}n a 1112ln n n n a a a ++=-101a <<{}n a 11a >{}n a 101a <<0n 0n n ≥012n n a <11a >0n 0n n ≥02n n a <[)50,60[)60,70[)70,80[)80,90[]90,100（1）若只有前35%的学生能进决赛，则入围分数应设为多少分？（2）采用分层随机抽样的方法从成绩为的学生中抽取容量为6的样本，再从该样本中随机抽取2名学生进行问卷调查，设X 为其中达到90分及以上的学生的人数，求X 的概率分布及数学期望.18.已知函数是定义在上的奇函数，并且当时，.（1）求函数的表达式；（2）求关于x 的不等式的解集.19.如图，在三棱锥中，平面平面，，，E ，F 分别是，的中点，记平面与平面的交线为直线l .（1）求证：直线平面；（2）若直线l 上存在一点Q （与B 都在的同侧），且直线与直线所成的角为，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.20.已知点G 是圆T :上一动点（T 为圆心），点H 的坐标为，线段的垂直平分线交线段于点R ，动点R 的轨迹为曲线C .（1）求曲线C 的方程；（2）M ，N 是曲线C 上的两个动点，O 是坐标原点，直线、的斜率分别为和，且，则的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由；（3）设P 为曲线C 上任意一点，延长至Q ，使，点Q 的轨迹为曲线E ，过点P 的直线l 交曲线E 于A 、B 两点，求面积的最大值.21.已知函数的表达式为.（1）当时，求的单调增区间；（2）若当时，恒成立，求a 的取值范围；[]80,100()y f x =()1,1-0x >()cossin 223x x f x π⎛⎫=⋅+- ⎪⎝⎭22x()y f x =()()21log 102f x f x f ⎛⎫++-< ⎪⎝⎭P ABC -AC BC ⊥PAC ⊥ABC 2PA PC AC ===4BC =PC PB AEF ABC EF ⊥PAC AC PQ EF 4πPBQAEF ()22116x y ++=()1,0GH TG OM ON 1k 2k 1234k k =-MON △OP 3OQ OP =AQB △()y f x =()()()2ln f x x ax x a =-∈R 1a =()y f x =1x >()1f x >（3）证明：.5740472ln1012233420232024+++>⨯⨯⨯参考答案一.填空题1.3. 4.120 5. 6. 7.9 8. 9.404811.2023 12.二.选择题13.B 14.A 15.B 16.D三.解答题17.解：（1）成绩在区间的比例为：；成绩在区间的比例为：，因此65%分位数位于区间；因此入围分数为：，因此入围分数应设为75分；（2）在这六个人中，有两人的分数在90分及以上，因此，1，2，，则X 的概率分布为：；所以X 的数学期望为.18.解：（1）当时，时，；当时，，；因此；（2）当时，，因此有在上严格增；{}21y x =+18-{}041π311,e 3e ⎛⎤⎥⎝⎦[]80,100()0.0100.005100.150.35+⨯=<[]70,1000.150.04100.550.35+⨯=>[)70,800.40.27010750.4-+⨯=0X =()2426205C P X C ===()1124268115C C P X C ⋅===()22261215C P X C ===01228151515⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭[]8121215153E X =⨯+⨯=01x <<()1sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭0x =()0f x =10x -<<0x ->()()1sin 23f x f x x π⎛⎫-=-=+ ⎪⎝⎭()1sin 01230,01sin 1023x x f x x x x ππ⎧⎛⎫-+<<⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪==⎨⎪⎛⎫⎪+--<< ⎪⎪⎝⎭⎩()0,1x ∈13336x ππππ-<-<-<()y f x =()0,1而当时，因此有在上严格增；原不等式可化为：；而是定义在上的严格增函数，所以；因此不等式的解集为.19.解：（1）证明：，平面平面，平面平面平面；又E 、F 分别为、的中点，；平面；（2），以C 为坐标原点，所在直线为x 轴，所在直线为y 轴，过C 垂直于平面的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，而，不在平面上，平面，平面，，设Q 点坐标为，，，即，则Q 点坐标为；设平面的法向量，即，即，取，可得；设平面法向量为，则，取，可得；与平面20.解：（1），则，0x =1sin 023x π⎛⎫-+=> ⎪⎝⎭()y f x =()1,1-()21log 12f x f x ⎛⎫+<-⎪⎝⎭()y f x =()1,1-221log 1111121log 12x x x x ⎧⎪-<+<⎪⎪-<-<⎨⎪⎪+<-⎪⎩11,42⎛⎫⎪⎝⎭BC AC ⊥ PAC ⊥ABC PAC ABC AC =BC ∴⊥PAC PB PC //BC EF ∴EF ∴⊥PAC BC AC ⊥ ∴CA CB ABC ()2,0,0A ()0,4,0B (P 12E ⎛⎝1,2F ⎛ ⎝//EF BC BC AEF EF ⊂AEF //BC ∴AEF //l BC ∴()()2,,00y y ≥(1,PQ y = ()0,2,0EF = cos ,PQ EF ∴==2y =()2,2,0PBQ ()000,,n x y z =00n PQ n BQ ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩0000020220x y x y ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩01x =(n = AEF ()111,,m x y z = 0m AE m EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 11x =(m = cos ,m ∴ PBQ AEF RH RG =42RT RH RT RG GT TH +=+==>=则曲线C 是以和为焦点，4为长轴的椭圆；设椭圆方程为，则，，，曲线；（2）设，，则，即；为定值；（3）设点，则点，代入椭圆方程得到曲线；当直线l 的斜率不存在时：设，代入E 中有，则当直线l 斜率存在时：设，，，代入E 的方程：，则，；；而l与椭圆C 有公共点，代入得：，由有，记，则综上，面积的最大值为21.解：（1）时，，则令，则，则在上严格减，上严格增，则，即在上严格增，因此函数的增区间为；()1,0-()1,022221x y a b +=2a =1c =2223b a c =-=22:143x y C +=()2cos M ϕϕ()2cos N θθ1234k k ==-()cos 0θϕ-=()12cos 2cos sin 2MON S ϕθθϕθϕ∴=-=-=△(),Q x y ,33x y P ⎛⎫⎪⎝⎭22:13627x y E +=[]():2,2l x n n =∈-223274y n =-2AQB AOB S S ==≤△△:l y kx m =+()11,A x y ()22,B x y ()22243841080k x mkx m +++-=122843kmx x k -+=+2122410843m x x k -=+122AQB AOB S S m x x ==-==△△()2224384120k x kmx m +++-=0∆≥2243k m +≥2243m t k =+AQB S =≤△AQB △1a =()()22ln 2ln f x x x x x x x =-=-()()2ln 1f x x x '=--()ln 1g x x x =--()11g x x'=-()g x ()0,1()1,+∞()()10g x g ≥=()f x ()0,+∞()y f x =()0,+∞（2），记，则，若，则，即时，在上严格增，，满足要求；若，则，时，则在上严格减，故当时，，不满足要求；若，则，在上严格减，则，不满足要求；综上，a 的取值范围是.（3）由（2）可知时，则，取，则，即；，即.()()()221ln 2ln 1f x ax x ax x '=-+=--()ln 1h x ax x =--()1h x a x'=-1a ≥11a≤1x >()0h x >()f x ∴()1,+∞()() 11f x f a >=>()0,1a ∈11a >11,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0h x <()f x 11,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭11,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()()11f x f a <=<(],0a ∈-∞()0h x <()f x ()1,+∞()()11f x f a <=<[)1,+∞1a =()22ln 1f x x x x =->()12ln 1x x x x <->21n x n +=+()()221232ln11212n n n n n n n n n ++++<-=+++++()()2322ln 121n n n n n ++>+++20222022112323420242ln 2ln 2ln 2012(1)(2)1232023n n n n n n n ==++⎛⎫∴>=⨯⨯⨯= ⎪+++⎝⎭∑∑ 5740472ln1012233420232024+++>⨯⨯⨯。
2021-2022年高三(上)期中数学试卷含解析
2021-2022年高三（上）期中数学试卷含解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．（5分）已知i是虚数单位，复数Z=，则等于1﹣i ．考点：复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．专题：计算题．分析：利用两个复数代数形式的除法，求出复数z，再根据共轭复数的定义求出它的共轭复数．解答：解：复数Z==1+i，则复数z的共轭复数等于=1﹣i，故答案为：1﹣i．点评：本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．2．（5分）“ac=b2”是“a、b、c成等比数列”的必要非充分条件．（填“充分不必要，必要不充分，充要，既不充分也不必要”之一）考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：计算题．分析：由a、b、c成等比数列，根据等比数列的性质可得b2=ac；对于充分性，可以举一个反例，满足b2=ac，但a、b、c不成等比数列，从而得到正确的选项．解答：解：若a、b、c成等比数列，根据等比数列的性质可得：b2=ac；若b=0，a=2，c=0，满足b2=ac，但a、b、c显然不成等比数列，则“b2=ac”是“a、b、c成等比数列”的必要非充分条件故答案为：必要非充分；点评：本题主要考查等比数列的等比中项的性质和充要条件的判断．在应用a，b，c成等比数列时，一定要考虑a，b，c都等于0的特殊情况，这是解题的关键所在．3．（5分）已知2x1+1，2x2+1，2x3+1，…，2x n+1的方差是3，则x1，x2，x3，…，x n的标准差为．考点：极差、方差与标准差．专题：计算题．分析：已知2x1+1，2x2+1，2x3+1，…，2x n+1的方差是3，根据方差的计算公式即可求得数据x1，x2，x3，…，x n的方差，从而得出标准差．解答：解：设x1，x2，x3，…，x n的方差为s2，则2x1+1，2x2+1，2x3+1，…，2x n+1的方差为4s2=3，则标准差s=．故答案为：．点评：本题主要考查了方差的计算公式，是需要熟记的内容．4．（5分）（xx•长宁区二模）从集合A={﹣1，1，2}中随机选取一个数记为k，从集合B={﹣2，1，2}中随机选取一个数记为b，则直线y=kx+b不经过第三象限的概率为．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：计算题；概率与统计．分析：本题是一个古典概型，试验发生包含的事件（k，b）的取值所有可能的结果可以列举出，满足条件的事件直线不经过第三象限，符合条件的（k，b）有2种结果，根据古典概型概率公式得到结果．解答：解：由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件k∈A={﹣1，1，2}，b∈B={﹣2，1，2}，得到（k，b）的取值所有可能的结果有：（﹣1，﹣2）；（﹣1，1）；（﹣1，2）；（1，﹣2）；（1，1）；（1，2）；（2，﹣2）；（2，1）；（2，2）共9种结果．而当时，直线不经过第三象限，符合条件的（k，b）有2种结果，∴直线不过第四象限的概率P=，故答案为．点评：古典概型和几何概型是我们学习的两大概型，古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，而不能列举的就是几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积、体积的比值得到，属于基础题．5．（5分）如图程序运行结果是13．考点：伪代码．专题：阅读型．分析：根据i的初始值为4，循环条件是i＜6，可知循环次数，于是可以逐步按规律计算出a的值．解答：解：由题设循环体要执行二次，第一次循环结束后a=a+b=3，b=a+b=5，第二次循环结束后a=a+b=8，b=a+b=13，故答案为：13点评：本题考查循环结构，解决此题关键是理解其中的算法结构与循环体执行的次数，然后依次计算得出结果，属于基础题．6．（5分）已知等差数列{a n}的公差不为零且a3，a5，a8依次成等比数列，则=2．考点：等比数列的性质；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和．专题：计算题．分析：由等差数列的三项a3，a5，a8依次成等比数列，利用等比数列的性质列出关系式，再利用等差数列的性质化简，根据d不为0，得到a1=2d，然后将所求的式子分子利用等差数列的前n项和公式化简，分母利用等差数列的通项公式化简，将a1=2d代入，整理约分后即可求出值．解答：解：∵等差数列{a n}的a3，a5，a8依次成等比数列，∴a52=a3a8，即（a1+4d）2=（a1+2d）（a1+7d），整理得：a1d=2d2，∵d≠0，∴a1=2d，则===2．故答案为：2点评：此题考查了等比数列的性质，等差数列的通项公式，以及等差数列的前n项和公式，熟练掌握公式及性质是解本题的关键．7．（5分）（xx•上海）已知l1：2x+my+1=0与l2：y=3x﹣1，若两直线平行，则m的值为．考点：两条直线平行的判定．专题：计算题．分析：两直线平行，则方程中一次项系数之比相等，但不等于常数项之比，接解出m的值．解答：解：∵两直线平行，∴，故答案为﹣．点评：两直线平行时，直线方程中，一次项的系数对应成比例，但此比例不等于对应的常数项之比．8．（5分）在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若c=4，b=7，BC边上的中线AD的长为，则a=9．考点：解三角形．专题：解三角形．分析：根据余弦定理分在两个三角形△ABD、△ABC中表示出角B的余弦值，将AB=4，AC=7，AD=，代入即可得到答案．解答：解：由题意知，BD=BC，再由余弦定理可得cosB==，将AB=4，AC=7，AD=，BD=BC，一并代入上式，即可求得BC=9，故答案为9．点评：本题主要考查余弦定理的应用，余弦定理在解三角形中应用非常广泛，要熟练掌握，属于中档题．9．（5分）已知数列{a n}是等差数列，O为坐标原点，平面内三点A、B、C共线，且=a1006+a1007，则数列{a n}的前xx项的和S xx=1006．考点：等差数列的前n项和．专题：计算题．分析：由已知得a1006+a1007=1，而S xx=1006（a1+a xx）=1006（a1006+a1007），代值即可．解答：解：∵平面内三点A、B、C共线，且=a1006+a1007，∴a1006+a1007=1故S xx==1006（a1+a xx）=1006（a1006+a1007）=1006故答案为：1006点本题为等差数列的性质和向量知识的结合，得出a1006+a1007=1是解决问题的关键，评：属基础题．10．（5分）（xx•南京二模）一块边长为10cm的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形作侧面，以它们的公共顶点p为顶点，加工成一个如图所示的正四棱锥形容器．当x=6cm时，该容器的容积为48cm3．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据图形，在等腰△PAB中算出高PE=5，再由勾股定理得出四棱锥的高PO=4，最后根据锥体体积公式，算出四棱锥P﹣ABCD的体积，即为该容器的容积．解答：解：等腰△PAB中，AB=x=6，高PE=5∴四棱锥的高PO===4由此可得，四棱锥P﹣ABCD的体积为V=×S正方形ABCD×PO=×62×4=48 即得该容器的容积为48cm3故答案为：48点评：本题给出平面图形，求翻折成的正四棱锥的体积，着重考查了正四棱锥的性质和锥体体积公式等知识，属于基础题．11．（5分）（xx•洛阳模拟）△ABC外接圆的半径为1，圆心为O，且，，则=3．考点：平面向量数量积的运算；向量的模．专题：计算题．分析：利用向量的运算法则将已知等式化简得到，得到BC为直径，故△ABC为直角三角形，求出三边长可得∠ACB 的值，利用两个向量的数量积的定义求出的值．解答：解：∵，∴，∴．∴O，B，C共线，BC为圆的直径，∴AB⊥AC．∵，∴=1，|BC|=2，|AC|=，故∠ACB=．则=×2cos=3，故答案为：3．点本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量垂直的充要条件、圆的直径对的圆评：周角为直角，求出△ABC为直角三角形及三边长，是解题的关键．12．（5分）（xx•江苏二模）设点F1，F2分别为椭圆的左，右两焦点，直线l为右准线．若在椭圆上存在点M，使MF1，MF2，点M到直线l的距离d成等比数列，则此椭圆离心率e的取值范围是．考点：椭圆的简单性质；等比数列的性质．专题：计算题．分析：欲求椭圆离心率e的取值范围，关键是建立a，c之间的不等关系，设M（x，y）利用MF₁，MF₂，d成等比数列，得出=，由于M在椭圆上，故﹣a≤x≤a，即有﹣1≤x/a≤1，从而得到不等关系﹣1≤≤1；解之即可得到e的取值范围．解答：解：设M（x，y）；l为右准线；故MF₂=r₂=a﹣ex；MF₁=r₁=2a﹣r₂=2a﹣（a﹣ex）=a+ex；MF₁，MF₂，d成等比数列，故有：r2₂=dr₁，即有（a﹣ex）2=（a+ex）（a﹣ex）/e，化简得e（a﹣ex）=a+ex，故=，由于M在椭圆上，故﹣a≤x≤a，即有﹣1≤x/a≤1，∴﹣1≤≤1；由于e﹣1＜0，故只需考虑不等式的左边，即考虑﹣1≤，﹣e（e+1）≤e﹣1，∴e2+2e﹣1≧0，故得e≥，即e的取值范围为．故答案为：．点评：本小题主要考查椭圆的简单性质、等比数列的性质、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于中档题．13．（5分）（xx•徐州模拟）设曲线y=（ax﹣1）e x在点A（x0，y1）处的切线为l1，曲线y=（1﹣x）e﹣x在点B（x0，y2）处的切线为l2．若存在，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围为．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的值域；两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系．专题：计算题．分析：根据曲线方程分别求出导函数，把A和B的横坐标x0分别代入到相应的导函数中求出切线l1和切线为l2的斜率，然后根据两条切线互相垂直得到斜率乘积为﹣1，列出关于等式由解出，然后根据为减函数求出其值域即可得到a的取值范围．解答：解：函数y=（ax﹣1）e x的导数为y′=（ax+a﹣1）e x，∴l1的斜率为，函数y=（1﹣x）e﹣x的导数为y′=（x﹣2）e﹣x∴l2的斜率为，由题设有k1•k2=﹣1从而有∴a（x02﹣x0﹣2）=x0﹣3∵得到x02﹣x0﹣2≠0，所以，又，另导数大于0得1＜x0＜5，故在（0，1）是减函数，在（1，）上是增函数，x0=0时取得最大值为=；x0=1时取得最小值为1．∴故答案为：点评：此题是一道综合题，考查学生会利用导数求切线的斜率，会求函数的值域，掌握两直线垂直时斜率的关系．14．（5分）若实数a，b，c成等差数列，点P（﹣1，0）在动直线ax+by+c=0上的射影为M，已知点N（3，3），则线段MN长度的最大值是．考点：等差数列的性质；与直线关于点、直线对称的直线方程．专题：等差数列与等比数列．分析：由a，b，c成等差数列，利用等差数列的性质得到2b=a+c，整理后与直线方程ax+by+c=0比较发现，直线ax+by+c=0恒过Q（1，﹣2），再由点P（﹣1，0）在动直线ax+by+c=0上的射影为M，得到PM与QM垂直，利用圆周角定理得到M在以PQ为直径的圆上，由P和Q的坐标，利用中点坐标公式求出圆心A的坐标，利用两点间的距离公式求出此圆的半径r，线段MN长度的最大值即为M与圆心A的距离与半径的和，求出即可．解答：解：∵a，b，c成等差数列，∴2b=a+c，即a﹣2b+c=0，可得方程ax+by+c=0恒过Q（1，﹣2），又点P（﹣1，0）在动直线ax+by+c=0上的射影为M，∴∠PMQ=90°，∴M在以PQ为直径的圆上，∴此圆的圆心A坐标为（，），即A（0，﹣1），半径r=|PQ|==，又N（3，3），∴|AN|==5，则|MN|max=5+．故答案为：5+点评：此题考查了等差数列的性质，恒过定点的直线方程，圆周角定理，线段中点坐标公式，以及两点间的距离公式，利用等差数列的性质得到2b=a+c，即a﹣2b+c=0是解本题的突破点．二.解答题（本大题共6小题，共90分）15．（14分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D、E分别是棱BC、AB的中点，点F在棱CC1上，已知AB=AC，AA1=3，BC=CF=2．（1）求证：C1E∥平面ADF；（2）若点M在棱BB1上，当BM为何值时，平面CAM⊥平面ADF？考点：直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：（1）连接CE交AD于O，连接OF．因为CE，AD为△ABC中线，所以O为△ABC 的重心，．由此能够证明C1E∥平面ADF．（2）当BM=1时，平面CAM⊥平面ADF．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，先证出AD⊥平面B1BCC1．再证明当BM=1时，平面CAM⊥平面ADF．解答：解：（1）连接CE交AD于O，连接OF．因为CE，AD为△ABC中线，所以O为△ABC的重心，．从而OF∥C1E．…（3分）OF⊂面ADF，C1E⊄平面ADF，所以C1E∥平面ADF．…（6分）（2）当BM=1时，平面CAM⊥平面ADF．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，由于B1B⊥平面ABC，BB1⊂平面B1BCC1，所以平面B1BCC1⊥平面ABC．由于AB=AC，D是BC中点，所以AD⊥BC．又平面B1BCC1∩平面ABC=BC，所以AD⊥平面B1BCC1．而CM⊂平面B1BCC1，于是AD⊥CM．…（9分）因为BM=CD=1，BC=CF=2，所以Rt△CBM≌Rt△FCD，所以CM⊥DF．…（11分）DF与AD相交，所以CM⊥平面ADF．CM⊂平面CAM，所以平面CAM⊥平面ADF．…（13分）当BM=1时，平面CAM⊥平面ADF．…（14分）点评：本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．16．（14分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．（1）求sinA的值；（2）设，求△ABC的面积．考解三角形；三角函数的恒等变换及化简求值．点：专题：综合题．分析：（1）利用三角形的内角和，及二倍角的余弦公式，可求sinA的值；（2）求a，sinC的值，再利用三角形的面积公式，可求△ABC的面积．解答：解：（1）∵C﹣A=，C=π﹣B﹣A ∴2A=﹣B∴cos2A=cos（﹣B）=sinB=∴1﹣2sin2A=∵C﹣A=，∴sinA=（2）∵b=，sinB=，sinA=∴a=3∵sinC=sin（A+）=cosA=∴S△ABC=absinc==．点评：本题考查二倍角公式，考查三角形面积的计算，考查正弦定理的运用，属于中档题．17．（14分）（xx•天津）已知{a n}是等差数列，其前n项和为S n，{b n}是等比数列，且a1=b1=2，a4+b4=27，s4﹣b4=10．（1）求数列{a n}与{b n}的通项公式；（2）记T n=a n b1+a n﹣1b2+…+a1b n，n∈N*，证明：T n+12=﹣2a n+10b n（n∈N*）．考点：等差数列与等比数列的综合；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式．专题：计算题；证明题．分析：（1）直接设出首项和公差，根据条件求出首项和公差，即可求出通项．（2）先写出T n的表达式；方法一：借助于错位相减求和；方法二：用数学归纳法证明其成立．解答：解：（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，由a1=b1=2，得a4=2+3d，b4=2q3，s4=8+6d，由条件a4+b4=27，s4﹣b4=10，得方程组，解得，故a n=3n﹣1，b n=2n，n∈N*．（2）证明：方法一，由（1）得，T n=2a n+22a n﹣1+23a n﹣2+…+2n a1；①；2T n=22a n+23a n﹣1+…+2n a2+2n+1a1；②；由②﹣①得，T n=﹣2（3n﹣1）+3×22+3×23+…+3×2n+2n+2=+2n+2﹣6n+2=10×2n﹣6n﹣10；而﹣2a n+10b n﹣12=﹣2（3n﹣1）+10×2n﹣12=10×2n﹣6n﹣10；故T n+12=﹣2a n+10b n（n∈N*）．方法二：数学归纳法，③当n=1时，T1+12=a1b1+12=16，﹣2a1+10b1=16，故等式成立，④假设当n=k时等式成立，即T k+12=﹣2a k+10b k，则当n=k+1时有，T k+1=a k+1b1+a k b2+a k﹣1b3+…+a1b k+1=a k+1b1+q（a k b1+a k﹣1b2+…+a1b k）=a k+1b1+qT k=a k+1b1+q（﹣2a k+10b k﹣12）=2a k+1﹣4（a k+1﹣3）+10b k+1﹣24=﹣2a k+1+10b k+1﹣12．即T k+1+12=﹣2a k+1+10b k+1，因此n=k+1时等式成立．③④对任意的n∈N*，T n+12=﹣2a n+10b n成立．点评：本题主要考察等差数列和等比数列的综合问题．解决这类问题的关键在于熟练掌握基础知识，基本方法．并考察计算能力．18．（16分）已知三条直线l1：2x﹣y+a=0（a＞0），l2：﹣4x+2y+1=0和l3：x+y﹣1=0，且l1与l2的距离是；（1）求a的值；（2）能否找到一点P同时满足下列三个条件：①P是第一象限的点；②点P到l1的距离是点P到l2的距离的；③点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是：？若能，求点P的坐标；若不能，请说明理由．考点：两条平行直线间的距离；点到直线的距离公式．专题：直线与圆．分析：（1）把两直线的方程的一次项系数化为相同的，再利用条件以及两平行线间的距离公式求得a的值．（2）设点P的坐标为（m，n），m＞0，n＞0，由点到直线距离公式，依据条件②③建立方程组求得m和n的值，即可得到满足条件的点的坐标．从而得出结论．解答：解：（1）∵直线l1：﹣4x+2y﹣2a=0（a＞0），l2：﹣4x+2y+1=0，且l1与l2的距离是，∴=，解得a=3．（2）设点P的坐标为（m，n），m＞0，n＞0，若P点满足条件②，则点P在与l1、l2平行的直线l′：2x﹣y+C=0上，∴，解得C=，或C=，故有2m﹣n+=0，或2m﹣n+=0．若P点满足条件③，由题意及点到直线的距离公式可得，=，化简可得|2m﹣n+3|=|m+n﹣1|，故有2m﹣n+3=m+n﹣1 或2m﹣n+3=﹣（m+n﹣1）．即m﹣2n+4=0，或3m+2=0（舍去）．联立2m﹣n+=0 和m﹣2n+4=0解得，应舍去．联立2m﹣n+=0和m﹣2n+4=0解得，故点P的坐标为（，），故能找到一点P同时满足这三个条件．点评：本题主要考查两平行线间的距离公式、点到直线的距离公式的应用，属于中档题．19．（16分）已知函数f（x）=lnx﹣ax（a∈R）．（1）当a=2时，求函数f（x）的单调区间；（2）当a＞0时，求函数f（x）在[1，2]上最小值．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．专题：综合题．分析：（1）先确定函数f（x）的定义域，然后对函数f（x）求导，根据导函数大于0时原函数单调递增，导函数小于0时原函数单调递减求出单调区间；（2）分类讨论，确定函数的单调性，从而可确定函数的最值．解答：解：（1）当a=2时，f（x）=lnx﹣ax，函数f（x）的定义域为（0，+∞），求导函数可得f'（x）=﹣2①由f'（x）＞0，x＞0，得0＜x＜②由f'（x）＜0，x＞0，得x＞故函数f（x）的单调递增区间为（0，），单调减区间是（，+∞）．…（8分）（2）①当≤1，即a≥1时，函数f（x）在区间[1，2]上是减函数，∴f（x）的最小值是f（2）=ln2﹣2a．…（10分）②当2，即a≤时，函数f（x）在区间[1，2]上是增函数，∴f（x）的最小值是f（1）=﹣a．…（12分）③当1＜2，即时，函数f（x）在[1，]上是增函数，在[，2]上是减函数．又f（2）﹣f（1）=ln2﹣a，∴当时，最小值是f（1）=﹣a；当ln2≤a＜1时，最小值为f（2）=ln2﹣2a．…（15分）综上可知，当0＜a＜ln2时，函数f（x）的最小值是﹣a；当a≥ln2时，函数f（x）的最小值是ln2﹣2a．…（16分）点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查分类讨论的数学思想，考查函数的最值，正确求导，确定分类标准是关键．20．（16分）（xx•闸北区一模）已知数列{a n}和{b n}满足：a1=λ，a n+1=﹣3n+21），其中λ为实数，n为正整数．S n为数列{b n}的前n项和．（1）对任意实数λ，证明：数列{a n}不是等比数列；（2）对于给定的实数λ，试求数列{b n}的通项公式，并求S n．（3）设0＜a＜b（a，b为给定的实常数），是否存在实数λ，使得对任意正整数n，都有a ＜S n＜b？若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由．考点：数列与不等式的综合；数列递推式．专题：计算题；压轴题．分析：（1）假设存在一个实数，使{a n}是等比数列，由题意知（）2=2，矛盾．所以{a n}不是等比数列．（2）研究数列相邻两项，看相邻项的关系，以确定数列b n的性质，然后求出其通项公式；最后根据等比数列的求和公式并求S n（3）求出数列的前n项和，然后根据形式结合指数函数的性质求出其最值，则参数的范围易知．解答：证明：（1）假设存在一个实数，使{a n}是等比数列，则有a22=a1a3，即（）2=2，矛盾．所以{a n}不是等比数列．（2）因为b n+1=（﹣1）n+1[a n+1﹣3（n+1）+21]=（﹣1）n+1（a n﹣2n+14）=﹣（﹣1）n•（a n﹣3n+21）=﹣b n当λ≠﹣18时，b1=﹣（λ+18）≠0，由上可知b n≠0，∴（n∈N+）．故当λ≠﹣18时，数列{b n}是以﹣（λ+18）为首项，﹣为公比的等比数列．，当λ=﹣18时，b n=0，S n=0（3）由（2）知，当λ=﹣18，b n=0，S n=0，不满足题目要求．∴λ≠﹣18，要使a＜S n＜b对任意正整数n成立，即a＜﹣（λ+18）•[1﹣（﹣）n]＜b（n∈N+）…①当n为正奇数时，1＜f（n），∴f（n）的最大值为f（1）=，f（n）的最小值为f（2）=，于是，由①式得a＜﹣（λ+18）＜．当a＜b≤3a时，由﹣b﹣18≥=﹣3a﹣18，不存在实数满足题目要求；当b＞3a存在实数λ，使得对任意正整数n，都有a＜S n＜b，且λ的取值范围是（﹣b﹣18，﹣3a﹣18）．点本题属于数列综合运用题，考查了由所给的递推关系证明数列的性质，对所给的递推评：关系进行研究求数列的递推公式以及利用数列的求和公式求其和，再由和的存在范围确定使得不等式成立的参数的取值范围，难度较大，综合性很强，对答题者探究的意识与探究规律的能力要求较高，是一道能力型题．w22317 572D 圭37945 9439 鐹u36521 8EA9 躩34819 8803 蠃27313 6AB1 檱26420 6734 朴34373 8645 虅&32949 80B5 肵38922 980A 頊'。
2020-2021上海奉贤区实验中学高三数学上期中模拟试卷含答案
1) 4n
2 3
，
4
∴ k 2 ．故 k 的取值范围是[ 2 , ) ．选 D．
3
3
2．B
解析：B
【解析】
【分析】
先由 ABC 的三个内角 A, B, C 成等差数列，得出 B , A C 2 ,又因为 sin A 、
3
3
sin B 、 sin C 成等比数列，所以 sin2 B sin Asin C 3 ，整理计算即可得出答案. 4
1．D
解析：D 【解析】
设等比数列an的公比为 q ，则 q3
a4 a1
1 8 ，解得 q
1 2
，
∴ an
1 2n1
，
∴ anan1
1 2n1
1 2n
1 22n1
，
∴数列{anan1} 是首项为
1 2
，公比为
1 4
的等比数列，
∴ a1a2
a2a3
anan1
1 2
(1
1 4n
1 1
)
2 (1 3
三、解答题
21．在 ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,已知 sinB sinC msinAmR ,且
a2 4bc 0 ． (1)当 a 2, m 5 时,求 b, c 的值;
4 (2)若角 为锐角,求 m 的取值范围． 22．设 ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c ，已知 a cos B (2c b)cos A． （Ⅰ）求角 A 的大小； （Ⅱ）若 a 4 ， BC 边上的中线 AM 2 2 ，求 ABC 的面积．
选项 A 错误， x 可能为负数，没有最小值；
选项 B 错误，化简可得 y 2
2021届上海奉贤区奉贤中学高三上学期开学考试数学试题Word版含解析
2021届上海奉贤区奉贤中学高三上学期开学考试数学试题一、单选题1．空间两条直线a 、b 与直线l 都成异面直线，则a 、b 的位置关系是（ ）．A.平行或相交B.异面或平行C.异面或相交D.平行或异面或相交【答案】D【解析】直线a 、b 与直线l 都成异面直线，a 与b 之间并没有任何限制， 所以a 与b 直线的位置关系所有情况都可能．故选D ．2．奇函数()f x 在区间[]1,4上为减函数，且又最小值2，则它在区间[]4,1--上（ ）A.是减函数，有最大值-2B.是增函数，有最大值-2C.是减函数，有最小值-2D.是增函数，有最小值-2【答案】A【解析】根据奇函数在对称区间上的单调性相同，同时对称区间上的最大值和最小值对应相反，由此判断函数()f x 的单调性和最小值.【详解】因为区间[]1,4与区间[]4,1--关于原点对称且()f x 是奇函数，所以()f x 在[]4,1--上递减， 又因为()f x 在区间[]1,4上的最小值为2，所以()f x 在区间[]4,1--上的最大值为2-， 综上可知：()f x 在区间[]4,1--上是减函数，有最大值2-.故选：A.【点睛】奇函数在对称区间上的单调性相同，奇函数在对称区间上的最值互为相反数；偶函数在对称区间上的单调性相反，偶函数在对称区间上的最值相同.3．函数y m x =与y = ）A.mB.m >C.1m ≥D.>1m【答案】D 【解析】“函数y=m|x|与y=等价于“方程有实数解”，由此能求出它的充要条件．解答：解：∵方程∴m ≥0，m 2x 2=x 2+1，即（m 2-1）x 2-1=0，当m=1时，方程为-1=0无意义当m ≠1时，有△=4（m 2-1）≥0，∴m ≥1或m ≤-1（舍）．综上知m ＞1故选D ．4．数列{}n a 满足11a =，且对于任意的*n N ∈，都有11n n a a a n +=++，则122018111a a a ++⋅⋅⋅+等于（ ） A.20172019B.40362019C.40342019D.20182019【答案】B 【解析】根据等式：11n n a a a n +=++，采用累加法计算出{}n a 的通项公式，再采用裂项相消法对122018111a a a ++⋅⋅⋅+进行求和. 【详解】因为11n n a a a n +=++，所以11n n a a n +-=+，所以()12n n a a n n --=≥，所以121n n a a n ---=-，......，则有：()()()()()11221......12......2n n n n a a a a a a n n n ----+-++-=+-+-++，所以()()()12122n n n a a n +--=≥，所以()()122n n n a n +=≥， 又因为1n =时，11a =符合2n ≥的情况，所以()12n n n a +=，11121n a n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，所以12201811111111403621 (223)201820192019a a a ⎛⎫++⋅⋅⋅+=-+-++-= ⎪⎝⎭. 故选：B.【点睛】采用累加法求解数列的通项公式时，涉及到1n a -时注意标注2n ≥，最后求解出n a 的通项公式后注意验证1n =是否满足条件，如果满足只需要写出整体的通项公式，如果不满足则需要将通项公式写成分段的形式.二、填空题5．设集合{}{}25,log (3),,A a B a b =+=，若{2}A B =，则A B = __________．【答案】{ 1，2，5}【解析】试题分析：解：∵A ∩B={2}，∴log 2（a+3）=2．∴a=1．∴b=2．∴A={5，2}，B={1，2}．∴A ∪B={1，2，5}，故答案为{1，2，5}．【考点】并集点评:本题考查了并集的运算，对数的运算性质，属于容易题．6．74lim 35n n n →∞+=-______. 【答案】73 【解析】对7435n n +-采用分离常数的方式进行适当变形，使其可以直接计算出极限值. 【详解】 因为()()7473574747733lim lim lim 353533353n n n n n n n n →∞→∞→∞-+⎡⎤+==+=⎢⎥---⎣⎦，所以747lim 353n n n →∞+=-. 故答案为：73. 【点睛】 本题考查极限的简单计算，难度较易.形如lim n an b cn d →∞++形式的极限式可采用“分离常数”的方法去计算极限.7．抛物线的焦点为椭圆22154x y +=的右焦点，顶点在椭圆的中心，则抛物线方程为________【答案】24y x =【解析】由椭圆方程可求得右焦点坐标，从而得到12p =，求得p 后即可得到抛物线方程. 【详解】由椭圆方程知，椭圆右焦点为()1,0设抛物线方程为：22y px =，则12p = 2p ∴= ∴抛物线方程为：24y x = 故答案为：24y x =【点睛】本题考查抛物线方程的求解，关键是能够根据椭圆标准方程求得焦点坐标，属于基础题. 8．二项式的展开式中的常数项为 ．【答案】112 【解析】试题分析：由二项式通项可得，（r=0,1,…,8）,显然当时，，故二项式展开式中的常数项为112. 【考点】二项式通项。
上海市奉贤区曙光中学2021届高三第一学期期中考试数学试卷Word版
曙光中学2020学年第一学期高三 期中考试试卷数学试题本卷满分150分，用时120分钟一.填空题（本大题共12题 ，1~6题每题4分，7~12题每题5分，满分54分） 1.已知集合{}{}|212,1,0A x x =-<≤--，B= ，则A B =__________。
2.函数y ＝x 23的单调递减区间是_________。
3.若3＋2i 是实系数一元二次方程3x 2＋bx ＋c ＝0的一个根，则b ＋c ＝__________。
4.函数f (x )＝x －1的反函数是___________。
5.已知sin α＋cos α＝717，α∈（0，π），则tan α＝________。
6.已知定义在R 上的函数f (x )，满足f (1)＝15，且对任意的x 都有f (x ＋3)＝－1f (x )。
7.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足213n n S a =-，则lim n n S →∞=_________。
8.若函数4y ax a =+存在零点，则实数a 的取值范围是_______。
9.已知z C ∈，函数()()()13log 312x z f x x x R =++∈为偶函数，则212z z --＝________。
10.已知a ，b ，c ＞0，直线()lg 1y x ac =+与直线()lg 1y x bc =-互相垂直，则ab 的取值范围是__________。
11.已知函数()f x 定义在R 上的偶函数，在[)0,+∞是增函数，且()()22241f x ax b f x x ++≤++恒成立，则不等式2sin 222xx xa b π--≥的解集为___________.12.矩形ABCD 最后，AB ＝2，BC ＝1，直线l 交线段AB 于点E ，交线段CD 于点F ，若线段AB 上存在一点P ，P 关于直线l 的对称点Q 旗号在线段DF 上，设∠FEB ＝θ，则tan θ的取值范围是___________.二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.若a ，b ，c ∈R ，a ＞b ，则下列不等式成立的是（ ） A ．11a b< B ．22a b >C ．2211a bc c >++ D ．a c b c >14.设数列{}n a ，下列判断一定正确的是（ ）A ．若对任意正整数n ，都有24n na =成立，则{}n a 为等比数列B ．若对任意正整数n ，都有12n n n a a a ++=⋅成立，则{}n a 为等比数列C ．若对任意正整数m ，n ，都有2m nm n a a +⋅= 成立，则{}n a 为等比数列D ．若对任意正整数n ，都有31211n n n n a a a a +++=⋅⋅成立，则{}n a 为等比数列15.已知数列{}n a 满足1*a N ∈，1,2+3,nn n nn a a a a a +⎧⎪=⎨⎪⎩为偶数为奇数，若{}n a 为周期函数，则1a 的可能取到的数值有（ ） A ．4个B ．5个C ．6个D ．无数个16.已知()()20x f x xλλ-=>，若对于任意()2,4t ∈，总存在正数m ，使得()()0f t m f t m -++=成立，则实数λ的取值范围是（ ）A ．(]0,4B ．()0,4C ．()0,16D ．(]0,16三、解答题（本大题工5题，满分75分）17.（本题第1小题 6分，第2小题8分，满分14分）已知()1104ln 1 4x f x a x x x ⎧-<≤⎪=⎨⎪->⎩（1） 若函数()f x 在21,2e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最大值为2，求a 的值；（2） 若25a =，求不等式()1f x <的解集。
2021年高三数学上学期期中试题(含解析)沪教版
2021年高三数学上学期期中试题（含解析）沪教版一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，每题4分，请在相应的空格内填上正确的答案， 每个空格填对得5分，否则一律得0分. 1. 已知集合，，则 . 解析：，.2. 函数的最小正周期为 .解析：()2sin cos sin 2cos2442f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以最小正周期.3. 已知的展开式中，的系数为，那么实数 .解析：，令.4. 已知集合，，若，则实数的所有可能取值组成的集合为 . 解析：分类讨论，不要忘了空集的情况：.5. 在中，角所对的边长分别为.若，则最大角为 .解析：由正弦定理可得，有余弦定理即可得最大角的余弦值，即.6. 已知口袋里装有同样大小、同样质量的16个小球，其中8个白球、8个黑球. 现从口袋中任意摸出8个球恰好是4白4黑的概率为 .（结果精确到0.001） 解析：7. 在平面直角坐标系中，将点绕原点逆时针旋转到点，若直线的倾斜角为，则的值为 .解析：很明显，所以，即.8. 若函数在上单调递增，则的取值范围是 .解析：在上单调递增，内函数在上递增且函数值大于0，所以.9. 若一个圆锥的轴截面是边长为的等边三角形，则这个圆锥的侧面积为 . 解析：轴截面是边长为，则底面半径，母线，所以侧面积为.10. 已知定义在上的函数与的图像相交与点，过点作轴于，直线与的图像交于点，则线段的长度为 . 解析：,.11. 已知函数满足，若是的反函数，则关于的不等式的解集是 . 解析：，所以， 即.12. 设为非零实数，偶函数在区间上存在唯一的零点，则实数的取值范围是 . 解析：为偶函数，，结合图形可知. 13. 设函数的定义域为，其中. 若函数在区间上的最大值为6，最小值为3，则在区间上的最大值与最小值之和为 .解析：令，定义域为，则有在区间上的最大值为5，最小值为2，当为偶函数时，在区间上的最大值为5，最小值为2，此时在区间上的最大值与最小值之和为9；当为偶奇函数时，在区间上的最大值为-2，最小值为-5，此时在区间上的最大值与最小值之和为-5；综上，应填或14.已知命题“，，则集合”是假命题，则实数的取值范围是 .解析：原命题为假命题，即在上有解.显然.当时，结合函数图像可得，无解；当时，结合函数图像可得，所以，.二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且仅有一个正确答案，请在括号内填上正确的选项，选对得5分，否则一律得0分.15. 下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（）A. B.C. D.解析：有各函数的基本性质即可知符合题意，选择.16.在钝角中，“”是“”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.非充分非必要条件解析：能得到，反之不一定成立，还可以为.17. 已知函数，其中，，则下列判断正确的是（）A.当时，的最小值为B.当时，的最小值为C.当时，的最小值为D.当时，的最小值为解析：，令，结合函数图像，可得到当时，取到最小值，所以选择C.18. 给定方程：，下列命题中：①该方程没有小于0的实数解；②该方程有无数个实数解；③该方程在内有且仅有一个实数解；④若是该方程的实数解，则.其中正确的命题个数是（）A.1个B.2个C. 3个D.4个解析：，的解就等价于函数与的交点个数，作出图像即可判断只有①不对；所以选择C.三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19. （本题满分12分，第1小题6分，第2小题6分） 如图，直三棱锥中，，.⑴求直三棱锥的体积；⑵若是的中点，求异面直线与所成的角. 解析：∵ 且，∴ . ⑴； ⑵如图，取中点，连接、，又是的中点， 所以，所以即为异面直线与所成的角.计算可得，， 在中，由余弦定理可得，即异面直线与所成的角为. 20. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知函数()sin 2sin 22,33f x x x x m x R ππ⎛⎫⎛⎫=++-+-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且的最大值为1.⑴求的值，并求的单调递增区间；⑵在中，角的对边为，若，且.试判断的形状.解析：⑴∵ ()sin 2sin 22sin 22332sin 23f x x x x m x x mx mπππ⎛⎫⎛⎫=++-+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫=+- ⎪⎝⎭∴即；令，得的单调递增区间为； ⑵，∴ ，又，∴21222a cb a bc c c ⇒-=⇒=， 即，故，所以为钝角三角形.21. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分.为保护环境，某单位采用新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最多不超过300吨，月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系式可近似的表示为：，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为300元．⑴该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？ ⑵要保证该单位每月不亏损，则每月处理量应控制在什么范围？C1B A 1CC1B 1C解析：⑴每吨的平均处理成本为22004000040000200400200200y x x x x x x-+==+-≥-= 当且仅当即每月处理量为吨时每吨的平均处理成本最低，最低为200元； ⑵设该单位每月获利为（元），则单位每月获利为处理二氧化碳得到可利用的化工产品价值减去月处理成本．()2230030020040000500400000S x y x x x x x =-=--+=-+-≥解之得：由题意可知，所以当时，该单位每月不亏损.小题满分6分.已知函数，其中常数. ⑴时，求的最小值. ⑵讨论函数的奇偶性.⑶若恒成立，求实数的取值范围. 解析： ⑴时，，当且仅当即时取最小值2. ⑵，，所以当时为偶函数，因为此时有恒成立； 当时为奇函数，因为此时有恒成立. 当时为非奇非偶函数. ⑶由得；()()1122122222x x x x f x f x a a +---+<⇒+⋅<+⋅，令，有，即， 所以.小题满分8分.设函数为定义在上的奇函数，. 当时，. ⑴当时，求的解析式；⑵记，为，求及其反函数的解析式；⑶定义其中，探究方程在区间上的解的个数.解析： ⑴当时，，，即；当时，，有. ⑵()()()()()242f x f x f x f x f x +=-⇒+=-+=，则的周期为； 当时，， ∴ ，， 即.⑶由可得的对称轴为，所以的图像如下：接下来求解在上的解析式：①当为偶数时，为其周期，.所以； ②当为奇数时，为其周期，.所以()()()()()()3322222f x f x k x k f x k x k =-=--=--=--综上，，，所以将向右移动个单位，再向上移动个单位即可得到的图像： 显然，是连续的递增函数，∴ 当时，方程在区间上有一解， 当时，方程在区间上无解.% 28337 6EB1 溱36290 8DC2 跂34057 8509 蔉34865 8831 蠱25489 6391 掑a38884 97E4 韤h,32718 7FCE 翎22810 591A 多F。
上海市2024-2025学年高三上学期期中考试数学试卷(无答案)
上海市2024-2025学年高三上学期数学期中考试试卷1.已知集合，，则__________.2.不等式的解集为__________.3.若“”是“”的充分条件，则实数的取值范围为__________.4.2024年世界杯亚洲区预选赛，中国与日本、澳大利亚、巴林、印尼和沙特分在同一小组，任意两个国家需要在各自主场进行一场比赛，则该小组共有__________场比赛.5.若角的终边过点，则__________.6.（为正整数）的二项展开式中，若第三项与第五项的系数相等，则展开式中的常数项为__________.7.已知，则__________.8.已知，则的最小值为__________.9.过点与圆相交的所有直线中，被圆截得的弦最长时的直线方程是__________.10.已知无穷等差数列的各项均为正整数，且，则的最小值是__________.11.在空间直角坐标系中，已知三个单位向量、、满足，，则的取值范围是__________.12.已知，其中是一个正整数，若对任意实数，函数均满足，则的最小值为_________________.二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）13.已知、、三个社区的居民人数分别为、、，现从中分层抽样抽取一个容量为的样本，若从社区抽取了15人，则（ ）A.33B.27C.21D.1814.已知空间三条直线、、.若与异面，且与异面，则（ ）A.与异面B.与相交C.与平行D.与异面、相交、平行均有可能15.已知内接于单位圆，则长为、、的三条线段（ ）A.能构成一个三角形，其面积大于面积的{}1,0,1,2M =-()1,1N =-M N = 11x -≤1x =x a >a α()4,3P -3sin 2πα⎛⎫+=⎪⎝⎭1n x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭n 3sin 125πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭cos 26πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭log 1a b =-4a b +()0,1P 22230x y x +--={}n a 92024a =1a a b c 12a b ⋅= a c ⋅= b c ⋅ ()66sin cos 44kx kx f x =+k a ()y f x =()()(){,1}{}y y f x x a a y y f x x =∈+==∈R ∣，∣，k A B C 60012001500n C n =l m n l m l n m n m n m n m n ABC △sin A sin B sin C ABC △12B.能构成一个三角形，其面积等于面积的C.能构成一个三角形，其面积小于面积的D.不一定能构成三角形16.已知函数的导数存在，的图象如图所示，设是由的图象与直线、及轴所围成的平面图形的面积，则在区间上（ ）A.的最大值是，最小值是B.的最大值是，最小值是C.的最大值是，最小值是D.的最大值是，最小值是三、解答题（本大题共有5题，满分78分）17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知.（1）求函数的导数；（2）求函数的单调区间和极值.18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，在正三棱柱中，，异面直线与所成的角的大小为.ABC △12ABC △12()y f x =()y f x =()()S t a t b ≤≤()y f x =x a =x t =x [],a b ()f x '()f a '()f c '()f x '()f c '()f b '()S t '()S a '()S c '()S t '()S c '()S b '()3287f x x x x =+-+()y f x =()y f x =111ABC A B C -14AA =1BC 1AA 3π（1）求正三棱柱的体积；（2）求直线与平面所成的角的大小.19.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8）如图所示，近日我渔船编队在岛周围海域作业.在的南偏西方向有一个海面观测站，某时刻观测站发现有不明船只向我渔船编队靠近，现测到与相距31海里的处有一艘海警船巡航，为保护我渔船编队，上级指示海警船沿北偏西方向，以40海里/小时的速度向直线航行，30分钟后到达处，此时观测站测到、间的距离为21海里.（1）求的值：（2）试问海警船再向前航行多少分钟方可到达岛处？20.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）已知椭圆，过的右焦点、斜率为的直线交于、两点.（1）求椭圆的两个焦点和短轴的两个端点构成的四边形的面积：（2）当直线的斜率为1时，求的面积；（3）在线段上是否存在点，使得以、为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）111ABC A B C -1BC 11AAC C A A 20B BC 40 AD B D sin BDC ∠A 22:12x C y +=C F k l C P Q C l POQ △OF (),0M m MP MQ m已知数列，若为等比数列，则称具有性质.（1）若数列具有性质，且，，求的值；（2）若，判断并证明数列是否具有性质；（3）设，数列具有性质，其中，，，试求数列的通项公式.{}n a {}1n n a a ++{}n a P {}n a P 121a a ==33a =5a ()21nn n b =+-{}n b P 212n c c c n n +++=+ {}n d P 11d =321d d c -=232d d c +={}n d。
上海市奉贤区2020-2021学年高三上学期期中(14校联考)数学试题
上海市奉贤区2020-2021学年高三上学期期中（14校联考）数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设x ，R y ∈，则222x y +≤是x y +≤ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．2021年11月5日至10日，首届中国国际进口博览会将在国家会展中心(上海)举办，很多外国车企都积极参与会展.下列进口车的车标经过旋转后可以看成函数图象的是（ ） A ．B ．C ．D ．3．已知S n 是等差数列{}()*N n a n ∈的前n 项和，且675SS S >>，有下列四个命题，假命题的是（ ） A ．公差0d <B ．在所有S 0n <中，13S 最大C ．满足S 0n >的n 的个数有11个D ．67a a >4．已知ABC()θ0,π∈使得：2222cos ,a b c bc θ=+-则ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．以上都不对二、填空题5．若复数()()2563z m m m i =-++-是纯虚数，其中i 是虚数单位，则实数m =______．6．若0a >，则224a log a log⋅=______.(写出最简结果)7．设1a ，2a ，3a ，4a 成等比数列，其公比为2，123422a a a a ++的值为______．8．函数11y x =-，1x >的反函数是______． 9．已知函数()()233f x ax b x =+-+，()22a x a -≤≤为偶函数，则a b +=______．10．在幂函数y x α=的图象上任取两个不同的点()11,x y ，()22,x y ，若2121y y x x --是定值，则α=______． 11．已知114sin cos 3αα+=，则sin 2α= . 12．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足：14a =，1132n n S S +=+，则数列{}n a 的各项和为______．13．已知钝角α的终边经过点()23,23P sin cos --，则角α的弧度数为______． 14．若任意[],2018x t ∈时，关于x 的不等式4332x x x -≤-恒成立，则实数t 的取值范围是______．15．已知关于x 的方程23sin x m π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，x ⎡∈⎣有两个不相等的实数解，则实数m 的取值构成的集合是______． 16．若函数()()()2221222220f x a x a ax a a =+--+≠，()()()2222224430f x b x b b x b b =-+-+-≠，记函数()()12y f x f x =-的最小值为(),(g a b 注：(),g a b 表示含有字母a ，b 的代数式)，则(),g a b 的最大值为______．三、解答题17．已知函数()()22f x cosx asinx cosx cos x π⎛⎫=-+-⎪⎝⎭，且()03f f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭． ()1求函数()y f x =的最小正周期；()2求()f x 在52,243ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．18．已知函数()22f x m x n =-．()1若非空集合(){|0}A x f x ==为有限集，求实数m 、n 满足的条件； ()2若221m n =+，(){|0}B x f x =<，1{|1}2C x x =-≤，B C B ⋂=，求实数n 的取值范围．19．大数据时代对于现代人的数据分析能力要求越来越高，数据拟合是一种把现有数据通过数学方法来代入某条数式的表示方式，比如(),i i i A a b ，i 1=，2，⋯，n 是平面直角坐标系上的一系列点，用函数()y f x =来拟合该组数据，尽可能使得函数图象与点列(),i i i A a b 比较接近．其中一种描述接近程度的指标是函数的拟合误差，拟合误差越小越好，定义函数()y f x =的拟合误差为：()()()()()2221122()()()n n f x f a b f a b f a b =-+-+⋯+-．已知平面直角坐标系上5个点的坐标数据如表：()1若用一次函数()150f x x m =-+来拟合上述表格中的数据，求该函数的拟合误差()()f x 的最小值，并求出此时的函数解析式()1y f x =；()2①若用二次函数()221(5)42f x x =-+来拟合题干表格中的数据，求()()2f x ；②请比较第()1问中的()1f x 和第()2问中的()2f x ，用哪一个函数拟合题目中给出的数据更好？(请至少写出三条理由)20．将数列{}n a 的前n 项分成两部分，且两部分的项数分别是(),i j i j ≥，若两部分和相等，则称数列{}n a 的前n 项的和能够进行i j -等和分割. （1）若222,53370n n a n N n n *-=∈-+，试写出数列{}n a 的前4项和所有等和分割； （2）求证：等差数列{}n a 的前()4k k N*∈项的和能够进行22k k -等和分割；（3）若数列{}n a 的通项公式为：n a n =，且数列{}n a 的前n 项的和能够进行等和分割，求所有满足条件的n .21．若存在实数(0,1)λ∈使得(1),x a b λλ=+-则称x 是区间(,)()a b a b <的λ一内点． （1）求证：(,)x a b ∈的充要条件是存在(0,1),λ∈使得x 是区间(,)a b 的λ一内点； （2）若实数a b 、满足：0,a b <<求证：存在(0,1)λ∈，使得2a b+是区间2(ab a b +的λ一内点； （3）给定实数(0,1)ω∈，若对于任意区间(,)()a b a b <，1x 是区间的1λ一内点，2x 是区间的2λ一内点，且不等式2221(1)x a b ωω≤+-和不等式2222(1)x a b ωω≤-+对于任意a b R ∈、都恒成立，求证：121λλ+=参考答案1．B 【解析】 【分析】分别作出222x y +≤与x y +≤.【详解】分别作出222x y +=与2x y +=的图象如图，222x y +≤表示圆及内部，x y +≤222x y +≤⇒x y +≤，222x y x y +≤⇒+≤，则222x y +≤是x y +≤分条件. 故选：B ． 【点睛】本题主要考查充要条件的判断，利用“小范围⇒大范围，大范围⇒小范围”，考查逻辑推理与数形结合思想，属于基础题. 2．D 【分析】根据函数的定义即可判断. 【详解】对于A ，B ，C 车标，当旋转90后，一个x 的值有多个y 值与之对应,A ∴，B ，C 车标不可以看成函数图象. 故选：D ． 【点睛】本题考查了函数定义和图象关系，是基础题3．C 【分析】根据题设条件可判断数列是递减数列，这样可判断A 是否正确；根据6S 最大，可判断数列从第七项开始变为负的，可判断D 的正确性：利用等差数列的前n 项和公式与等差数列的性质，可判断12S 、13S 的符号，这样就可判断B 、C 是否正确． 【详解】等差数列{}n a 中，6S 最大，且6751S S S 0a >>∴>，0d <，∴A 正确；675S S S >>，60a ∴>，70a <，∴D 正确；1137713S 1313022a a a a ++=⨯=⨯<, 7567S S 0a a -=+>，67a a >-，67112121212022a a a aS ++=⨯=⨯>；S n ∴的值当6n ≤递增，当7n ≥递减，前12项和为正，当13n =时为负．故B 正确；满足0n S >的n 的个数有12个，故C 错误. 故选C ． 【点睛】本题考查等差数列的前n 项和的最值.在等差数列中,S n 存在最大值的条件是：10a >，0d <;S n 存在最小值的条件是：10a <，0d >．4．A 【分析】由三角函数的有界性得：2()b c +>2222cos a b c bc θ=+->2()b c -,由三角形的性质可得a b c +><<cosC =>0,即可得解.【详解】解：因为存在角()θ0,π∈使得：2222cos ,a b c bc θ=+-则2()b c +>2222cos a b c bc θ=+->2()b c -, 即三边长,,a b c 也可构成一个三角形，<<由两边之和大于第三边可得：a b c +>，即222+>， 在ABC 中，C 最大， 由余弦定理cosC =>0,即C 为锐角，即ABC 为锐角三角形， 故选A. 【点睛】本题考查了三角函数的有界性及余弦定理，重点考查了三角形的性质，属中档题. 5．2 【分析】根据纯虚数的概念即可求解． 【详解】复数()()2563z m m m i =-++-是纯虚数，256030m m m -+=⎧∴-≠⎨⎩，2m ∴=.故答案为2． 【点睛】本题考查纯虚数的概念，注意虚部不为0这一条件，属于基础题． 6．1 【分析】先利用换底公式将底数变为一样，再利用对数的运算性质即可求解． 【详解】0a >，22242241222alga lg lga lg log a loglg lga lg lga∴⋅=⨯=⨯=． 故答案为1． 【点睛】本题考查对数值的求法，考查对数性质、运算法则、换底公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 7．14【分析】由1a ，2a ，3a ，4a 成等比数列，且公比为2，把2a ，3a ，4a 都用1a 表示，即可求解． 【详解】1a ，2a ，3a ，4a 成等比数列，且公比为2，212a a ∴=，314a a =，418a a =， 1211341122212884a a a a a a a a ++∴==++．故答案为14． 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式，是基础的计算题． 8．11(0)y x x=+> 【分析】先求出原函数的值域即为反函数的定义域，将原函数的x 用y 表示出来，再互换x ，y ，即可求解． 【详解】 当1x >时，11y x =-的取值范围是()0,∞+， 11x y -=， 11x y∴=+， 互换x ，y ，得函数11y x =-，1x >的反函数是11(0)y x x=+>． 故答案为11(0)y x x=+>． 【点睛】本题考查反函数的求法，考查反函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．9．4 【分析】利用二次函数为偶函数的性质得一次项系数为0，定义域关于原点对称，即可求得,a b 的值. 【详解】由题意得：230,20,0,b a a a -=⎧⎪-+=⎨⎪>⎩解得：1, 4.3,a a b b =⎧⇒+=⎨=⎩ 故答案为：4. 【点睛】本题考查二次函数的性质，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意隐含条件的挖掘. 10．1或0 【解析】 【分析】根据2121y y x x --的几何意义，转化为函数图象上任意两点的斜率为定值，即可求解．【详解】2121y y x x --表示两点()11,x y ，()22,x y 之间的斜率是定值，故幂函数y x α=的图象是直线， 故1α=或0， 故答案为1或0． 【点睛】本题考查了幂函数的定义，考查2121y y x x --表示两点之间的斜率，是一道基础题．11．34-【分析】把已知条件通分后，两边平方并利用同角三角函数间的基本关系得到关于sinαcosα的一元二次方程，即可求出sinαcosα的值，再利用二倍角的正弦函数公式化简，代入求出值即可．【详解】 由11sin cos αα+＝sin cos sin cos αααα+＝43，两边平方得212sin cos (sin cos )αααα+＝169， 化简得16（sinαcosα）2﹣18si nαcosα﹣9＝0 即（2sinαcosα﹣3）（8sinαcosα+3）＝0， 解得sinαcosα＝32，sinαcosα＝﹣38，当sinαcosα＝32时，sin2α＝2sinαcosα＝3（舍去）； 当sinαcosα＝﹣38时，sin2α＝2sinαcosα＝﹣34．故答案为﹣34【点睛】本题主要考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系，及二倍角的正弦函数公式化简求值，做题时注意正弦函数的值域范围，属于基础题． 12．2162n n S -=-【分析】直接利用构造等比数列法求数列{}n S 的通项公式，即可求出结果． 【详解】 令()112n n S S λλ++=+，整理得：11122n n S S λ+=-， 所以132λ-=，解得：6λ=-． 所以数列{}6n S -是以16462S -=-=-为首项，12为公比的等比数列． 故()11622n n S --=-⋅，即2162nn S -=-. 故答案为：2162n n S -=-．【点睛】本题考查利用构造等比数列法求数列的通项公式，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．13．332π- 【解析】 【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义表示tan α，结合诱导公式，求得角α的弧度数． 【详解】由钝角α的终边经过点()23,23P sin cos --，则2333332322cos tan cot tan tan sin ππα-⎛⎫⎛⎫===-=- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，又332π-为钝角，∴角α的弧度数为332π-， 故答案为332π-． 【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式，属于基础题． 14．[)4,2018 【分析】 设()4f x x x =-，()332g x x =-，通过讨论x 的范围，根据函数的单调性判断即可． 【详解】 设()4f x x x =-，()332g x x =-，则对任意的[],2018x t ∈时，()()f x g x ≤恒成立， 当0x <时，由()4(2)(2)x x f x x x x-+=-=知， 当2x -≤时，()44f x x x x x=-=-，显然单调递减，故()(2)0f x f ≥-= ； 当2x >-时，()44f x x x x x=-=-单调递增，故()(2)0f x f >-=， 所以当0x <时，()f x 的值域是[)0,+∞，()g x 的值域是(),3∞--，不可能成立； 当0x >时，由()4(2)(2)x x f x x x x-+=-=知，当2x ≥时，()44f x x x x x=-=-，显然单调递增； 当02x <<时，()44f x x x x x=-=-单调递减， ()g x 递增， 当()()f x g x =时，432,32x x x x ≥-=-令，解得：2x =或4x =， 由函数的单调性得：[)4,2018t ∈时，4332x x x -≤-恒成立， 故答案为[)4,2018． 【点睛】本题考查了函数的单调性问题，考查分类讨论思想以及转化思想，是一道中档题． 15．{}1,1- 【解析】 【分析】由函数23y sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭为定义域内的偶函数，结合已知可得在(x ∈上，方程23sin x m π⎛⎫+= ⎪⎝⎭只有一个实数解，再由正弦型函数的值域可得m 值．【详解】 函数23y sin x π⎛⎫=+⎪⎝⎭为定义域内的偶函数，则要使方程23sin x m π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，x ⎡∈⎣有两个不相等的实数解，则在(x ∈上，方程23sin x m π⎛⎫+= ⎪⎝⎭只有一个实数解． 又22,333x ππππ<+≤+所以由三角函数的图象与性质得1m =±．∴实数m 的取值构成的集合是{}1,1-．故答案为{}1,1-． 【点睛】本题考查函数的零点与方程的根的关系，考查三角函数的最值，考查函数奇偶性性质的运用，是中档题． 16．5 【分析】表示出()()12y f x f x =-的解析式，由解析式可知()()12f x f x -为二次函数且开口向上，当0≥时，可分析出(),0g a b =，当0<，(),g a b 在对称轴处取值，化简变形(),g a b 结合二次函数的性质，求出函数的最大值即可． 【详解】()()()()()222221222422524y f x f x a b x a b a b x a b =-=+++--+--，若()()()22222242285240a b a ba b a b =+-----+≥，则(),0g a b =，故只需讨论0<的情况，即当2222242244a b a b x a b+--=-+时，y 取得最小值， 此时()()()222224(2),5248mina b a b y g a b a b a b +--==---+，设22m a b =+，2n a b =+，则()222(),5252522222m n m n m n g a b n n n n m m m ⎛⎫⎛⎫-=--=-+-+=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 又2225125(1)522m n n m n m m m⎛⎫-+⋅+=-+≤ ⎪⎝⎭，当且仅当m n =-时“=”成立，验证：若(),m n 存在，则原点到直线20a b n +-=的距离≤25n m ≤⇒≤，而25n m ≤与0m n +=有交点， 故0m n +=有解，“=”可取， 故答案为：5．【点睛】本题考查了二次函数的性质，考查求函数最值问题，考查转化思想，是一道中档题． 17．（1）最小正周期T π=（2）()1min f x =-，()2max f x = 【解析】 【分析】()1利用倍角公式降幂，再由辅助角公式化积，可得函数的周期； ()2由x 的范围，得到相位的范围，进一步求得()f x 在52,243ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值． 【详解】解：()()()212f x cosx asinx cosx cos x π⎛⎫=-+-⎪⎝⎭221222asinxcosx cos x sin x asin x cos x =-+=-．()03f f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，1221sin()cos()1,23342a a ππ---=-+=- a ∴=则()22226f x x cos x sin x π⎛⎫=-=-⎪⎝⎭． 所以函数()y f x =的最小正周期T π=；()522,243x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，72,646x πππ⎡⎤∴-∈⎢⎥⎣⎦， 则12,162sin x π⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，()[]1,2f x ∈-． 则当23x π=时，()1min f x =-，当3x π=时，()2max f x =．【点睛】本题考查三角函数的恒等变换应用，考查()y Asin x ωϕ=+型函数的图象和性质，是中档题．18．（1）0m ≠；0n ≥（2）[(),22∞∞-⋃++ 【分析】()1问题可转化为()220f x m x n =-=有解，讨论实数m 、n 与0的大小即可求解． ()2首先化简集合C ，由 B C B ⋂=，可知B C ⊆，根据题意可转化为不等式()()2210f x n x n =+-<求解，对n 分情况讨论，求不等式解集即可求解实数n 的取值范围． 【详解】解：()1非空集合(){|0}A x f x ==为有限集，即()220f x m x n =-=有解，当0,n 0m =≠时，无解，当0,n 0m ==时，无数解，0m ∴≠；22m x n =有解，0n ∴≥；实数m 、n 满足的条件是：0m ≠，0n ≥； （2）113{|1}{|}222C x x x x =-≤=-≤≤， B C B =，可知B C ⊆，又(){|0}B x f x =<，221m n =+，()()2210f x n x n ∴=+-<.当0n ≤时，显然()2210n x n +-<无解，集合B 为空集，满足题意； 当0n >时，集合B φ≠，()2210n x n +-<有解．可得：x << B C ⊆，1232⎧-≤⎪⎪∴⎨⎪≤⎪⎩解得：2n ≤2n ≤；故得实数n的取值范围是[(),22-∞⋃+∞． 【点睛】本题考查集合间的基本关系及运算，方程解的情况判断，本题转化成对应的含参方程组、不等式的求解情况是关键． 19．（1）函数()()f x 的拟合误差取最小值为56.064，此时()18.150f x x =-+（2）()()20.08f x =①，()2y f x =②更好，详见解析【分析】(1)把图表中的数据代入拟合误差()()()()()2221122()()()n n f x f a b f a b f a b =-+-+⋯+-，得到关于m 的二次函数，利用二次函数求最值，进一步得到函数解析式()1y f x =；()2①在拟合误差中以()2f x 替换()f x ，求得()()2f x ；②通过数据分析可知，()2y f x =更好，由表中数据结合()2y f x =图象写出理由．【详解】解：()1根据题意得：()()2222213579(12)( 6.2)(4)( 5.8)(12)5050505050f x m m m m m =--+--+--+--+--2581384.114m m =-+，则当8.1m =时，()()f x 取最小值为56.064，此时()18.150f x x =-+； ()2①若用二次函数()221(5)42f x x =-+来拟合题干表格中的数据， 则()()22200.200.200.08f x =++++=；()2y f x =②更好．理由如下：()()()()211)f x f x <；()22)y f x =图象上有更多的点与原点列重合(三个)； ()23)y f x =的图象更能反映原来点列的对称性．【点睛】本题考查函数解析式的求解及常用方法，正确理解题意是关键，是中档题．20．（1）2314a a a a +=+或1234a a a a ++=； （2）见解析； （3）4n k =或41n k =-. 【分析】（1）直接利用数列的通项公式分别计算出前四项的大小，再进行等和分割，即可求解； （2）根据等差数列的性质可以得到14241221k k k k a a a a a a -++=+=+，进而可以得出前2k项与后2k 项的和相等；（3）根据数列的通项公式求出前n 项和，分别讨论4n k =或41n k =-时满足等和分割条件的结果. 【详解】（1）由题意，数列222,53370n n a n N n n *-=∈-+， 可得12341110,,,1243a a a a ====， 则2314a a a a +=+或1234a a a a ++=.（2）由数列{}n a 为等差数列，所以14241221k k k k a a a a a a -++=+=+，将上述2k 个两式子分成两部分，可得其和是相等的， 所以等差数列{}n a 的前4k 项的和能够进行22k k -等和分割.（3）数列{}n a 的通项公式为：n a n =，且数列{}n a 的前n 项的和能够进行等和分割， 可得(1)2n n +为偶数，所以4n k =或41n k =-， 当4n k =时，由（2）可知，数列可以进行等和分割； 当41n k =-时，可首先考虑31236S =++=， 则可分割成两部分{}{}1,2,3，所以1k =， 即3n =时，前3项能进行等和分割， 当2k ≥时，前41k -项为45444342411,2,3,,,,,,,k k k k a a a a a a ----，由（2）可得4544434241,,,,,,k k k k a a a a a a ----能分成等和的两部分，分别把两部分{}{}1,2,3进行加入，可得两部分和相等， 即4n k =或41n k =-.【点睛】本题主要考查了数列的通项公式的求法及应用，以及等差数列的性质和数列的求和问题的应用综合应用，试题综合性强，难度较大，属于中档试题，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与计算能力.21．（1）证明过程见解析 （2）证明过程见解析 (3)证明过程见解析 【分析】（1）先理解定义，再由已知证明(,)x a b ∈的充要条件是存在(0,1),λ∈使得x 是区间(,)a b 的λ一内点；（2）用作差法判断2,2a b ab a b ++2(2a b ab a b +∈+，结合（1）即可得证；（3）由已知可得2222211111()2()(2)0a ab b ωλλλλλω---+-+-≥恒成立，由二次不等式恒成立问题可得210ωλ->，且2222111114()4()(2)0λλωλλλω∆=----+-≤，解得1λω=，同理21λω=-，即可得解.【详解】解：（1）①若x 是区间(,)()a b a b <的λ一内点，则存在实数(0,1)λ∈使得(1),x a b λλ=+-，则(1)()(,)x a b a b b a b λλλ=+-=-+∈， ②若(,)x a b ∈，取b x b a λ-=-，则(1)x a b λλ=+-，且01b x b ab a b a--<<=--， 则x 是区间(,)()a b a b <的λ一内点，故(,)x a b ∈的充要条件是存在(0,1),λ∈使得x 是区间(,)a b 的λ一内点；（2）由22()022()a b ab a b a b a b +--=>++，222()()024a b a b +--=>，则2(2a b ab a b +∈+，由（1）知，存在(0,1)λ∈，使得2a b +是区间2(ab a b +的λ一内点；（3）因为1x 是区间的1λ一内点，则111(1),x a b λλ=+-则22211[(1)](1)a b a b λλωω+-≤+-恒成立，则2222211111()2()(2)0a ab b ωλλλλλω---+-+-≥恒成立， 当210ωλ-≤时，上式不可能恒成立， 因此210ωλ->，所以2222111114()4()(2)0λλωλλλω∆=----+-≤，即21()0λω-≤，即 1λω=，同理21λω=-， 故121λλ+=. 【点睛】本题考查了充分必要条件、2,2a b ab a b ++问题，重点考查了不等式的应用，属难度较大的题型.。
2021-2022年高三上学期期中 数学文试题
2021年高三上学期期中数学文试题本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，时间120分钟.一、选择题：(本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知为非零实数，且，则下列命题成立的是（）A． B． C．D．2．已知集合，，则（）A． B． C．D．3．设, 那么“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件4．在平面直角坐标系中，不等式组401x yx yx+≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩表示的平面区域面积是（）．A．B．C．D．5．下列命题中正确的是（）A.的最小值是2B.的最小值是2C.的最大值是D.的最小值是6.函数的最小值是（）A. 1 B. C.2 D.07.已知10.20.7321.5, 1.3,()3a b c-===,则的大小为( )A. B. C. D.8.函数的图象大致是（）9.已知函数是定义在实数集R 上得不恒为零的偶函数，且对任意实数都有，则=（ ） A ．0 B. C.1 D.10.设底面为正三角形的直棱柱体积为V,那么表面积最小时,底面边长为 ( ) Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ. 2第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分.) 11． 满足条件的所有集合B 的个数是______。
12．已知定义在R 上的奇函数满足＝(x ≥0)，若，则实数的取值范围是________． 13．若关于的方程只有一个实根，则实数 14．给出一列三个命题：①函数为奇函数的充要条件是； ②若函数的值域是R ，则；③若函数是偶函数，则函数的图象关于直线对称． 其中正确的命题序号是 ． 三、解答题：（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15．（本小题满分12分）已知集合，. （Ⅰ）若，求集合、集合（Ⅱ）若，求的取值范围。
2021届上海市奉贤区曙光中学2018级高三上学期期中考试数学试卷无答案
2021届上海市奉贤区曙光中学2018级高三上学期期中考试数学试卷★祝考试顺利★（含答案）本卷满分150分,用时120分钟一.填空题（本大题共12题 ,1~6题每题4分,7~12题每题5分,满分54分）1.已知集合{}{}|212,1,0A x x =-<≤--，B= ,则A B =__________。
2.函数y ＝x 23的单调递减区间是_________。
3.若3＋2i 是实系数一元二次方程3x 2＋bx ＋c ＝0的一个根,则b ＋c ＝__________。
4.函数f (x )＝x －1的反函数是___________。
5.已知sin α＋cos α＝717,α∈（0,π）,则tan α＝________。
6.已知定义在R 上的函数f (x ),满足f (1)＝15,且对任意的x 都有f (x ＋3)＝－1f (x )。
7.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,满足213n n S a =-,则lim n n S →∞=_________。
8.若函数4y ax a =+存在零点,则实数a 的取值范围是_______。
9.已知z C ∈,函数()()()13log 312x z f x x x R =++∈为偶函数,则212z z --＝________。
10.已知a ,b ,c ＞0,直线()lg 1y x ac =+与直线()lg 1y x bc =-互相垂直,则a b 的取值范围是__________。
11.已知函数()f x 定义在R 上的偶函数,在[)0,+∞是增函数,且()()22241f x ax b f x x ++≤++恒成立,则不等式2sin 222x x x a b π--≥的解集为___________.。
2014-2021学年上海中学高三(上)期中数学试卷(文科) Word版含解析
2022-2021学年上海中学高三（上）期中数学试卷一、填空题（每小题4分，总分56分）1．（2022秋•徐汇区校级期中）已知集合A={x|1≤x≤4}，B=Z为整数集，则A∩B={1，2，3，4}．．考点：交集及其运算．专题：集合．分析：直接由交集的运算得答案．解答：解：∵集合A={x|1≤x ≤4}，B=Z为整数集，∴A∩B={x|1≤x≤4}∩Z={1，2，3，4}．故答案为：{1，2，3，4}．点评：本题考查了交集及其运算，是基础题．2．函数y=cos2x﹣sin2x的最小正周期为π．考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像与性质．分析：利用倍角公式和两角和的余弦公式化y===，其中θ=arctan2．再利用周期性公式即可得出．解答：解：y===，其中θ=arctan2．∴最小正周期为．故答案为π．点评：娴熟把握倍角公式和两角和的余弦公式及周期公式即可得出．3．（2022秋•徐汇区校级期中）函数y=x2﹣1（x＜﹣1）的反函数是y=﹣（x＞0）．考点：反函数．专题：函数的性质及应用．分析：由y=x2﹣1（x＜﹣1），解得，把x与y互换即可得出．解答：解：由y=x2﹣1（x＜﹣1），解得，把x与y互换可得y=﹣（x＞0）．∴函数y=x2﹣1（x＜﹣1）的反函数是y=﹣（x＞0）．故答案为：y=﹣（x＞0）．点评：本题考查了反函数的求法，属于基础题．4．（2022秋•徐汇区校级期中）若函数f（x）=x2+|x+2a﹣1|+a的图象关于y轴对称，则实数a．考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：依据函数f（x）=x2+|x+2a﹣1|+a的图象关于y轴对称，得出x2+|x+2a﹣1|+a=x2+|﹣x+2a﹣1|+a，化简得出2a﹣1=0即看求解．解答：解：∵函数f（x）=x2+|x+2a﹣1|+a的图象关于y轴对称，∴f（x）=f（﹣x），即x2+|x+2a﹣1|+a=x2+|﹣x+2a﹣1|+a，|x+2a﹣1|=|x﹣2a+1|，2a﹣1=0a=，故答案为：点评：本题考查了函数的奇偶性的定义，属于简洁题，难度不大．5．（2022秋•徐汇区校级期中）已知log a b=﹣1，则a+2b的最小值是2．考点：基本不等式在最值问题中的应用．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：由于log a b=﹣1，则b=，即有ab=1（a＞0，且a≠1），则a+2b=a+，运用基本不等式，即可得到最小值．解答：解：由于log a b=﹣1，则b=，即有ab=1（a＞0，且a≠1），则a+2b=a+≥2=2，当且仅当a=时，取得最小值2．故答案为：2．点评：本题考查基本不等式的运用：求最值，留意一正二定三等，同时考查对数的定义，属于基础题．6．（2022秋•徐汇区校级期中）幂函数f（x）=（m2﹣m+1）x m的图象与y轴没有交点，则m=0．考点：幂函数的概念、解析式、定义域、值域．专题：函数的性质及应用．分析：依据幂函数的定义，求出m的值，再验证m是否满足题意即可．解答：解：依据幂函数的定义，得；m2﹣m+1=1，解得m=0或m=1；当m=0时，f（x）=x0，图象与y轴没有交点，满足题意；当m=1时，f（x）=x，图象与y轴有交点，不满足题意；综上，m=0．故答案为：0．点评：本题考查了幂函数的定义及其应用的问题，解题时应依据幂函数的定义，结合函数的图象与性质进行解答，是基础题．7．（2022秋•徐汇区校级期中）偶函数f（x）在[0，+∞）上单调递增，且f（3）=0，若f（2x﹣1）＜0，则实数x 的取值范围是（﹣1，2）．考点：函数奇偶性的性质．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由偶函数f（x）在[0，+∞）上单调递增，且f（3）=0，化f（2x﹣1）＜0为﹣3＜2x﹣1＜3，从而求解．解答：解：∵偶函数f（x）在[0，+∞）上单调递增，且f（3）=0，∴f（2x﹣1）＜0可化为﹣3＜2x﹣1＜3，解得﹣1＜x＜2，故答案为：（﹣1，2）．点评：本题考查了函数的性质应用，属于基础题．8．（2022秋•徐汇区校级期中）不等式恒成立，则a的取值范围是（﹣2，2）．考点：指数函数单调性的应用．专题：综合题；转化思想；演绎法．分析：本题从形式上看是一个指数复合不等式，外层是指数型的函数，此类不等式的求解一般借助指数的单调性将其转化为其它不等式，再进行探究，本题可借助y=这个函数的单调性转化．转化后不等式变成了一个二次不等式，再由二次函数的性质对其进行转化求解即可．解答：解：由题意，考察y=，是一个减函数∵恒成立∴x2+ax＞2x+a﹣2恒成立∴x2+（a﹣2）x﹣a+2＞0恒成立∴△=（a﹣2）2﹣4（﹣a+2）＜0即（a﹣2）（a﹣2+4）＜0即（a﹣2）（a+2）＜0故有﹣2＜a＜2，即a的取值范围是（﹣2，2）故答案为（﹣2，2）点评：本题考点是指数函数单调性的应用，考查利用单调性解不等式，本题是一个恒成立的问题，此类问题求解的方法就是通过相关的学问进行等价、机敏地转化，变成关于参数的不等式求参数的范围，这是此类题求解的固定规律，题后应好好总结本题的解题思路及其中蕴含的学问规律与技巧规律．9．（2022•广西）若函数f（x）=cos2x+asinx在区间（，）是减函数，则a的取值范围是（﹣∞，2]．考点：复合三角函数的单调性．专题：函数的性质及应用；三角函数的图像与性质．分析：利用二倍角的余弦公式化为正弦，然后令t=sinx换元，依据给出的x的范围求出t的范围，结合二次函数的图象的开口方向及对称轴的位置列式求解a的范围．解答：解：由f（x）=cos2x+asinx=﹣2sin2x+asinx+1，令t=sinx，则原函数化为y=﹣2t2+at+1．∵x∈（，）时f（x）为减函数，则y=﹣2t2+at+1在t∈（，1）上为减函数，∵y=﹣2t2+at+1的图象开口向下，且对称轴方程为t=．∴，解得：a≤2．∴a的取值范围是（﹣∞，2]．故答案为：（﹣∞，2]．点评：本题考查复合函数的单调性，考查了换元法，关键是由换元后函数为减函数求得二次函数的对称轴的位置，是中档题．10．（2022秋•徐汇区校级期中）已知f（x）是定义在[﹣2，2]上的函数，对于任意实数x1，x2∈[﹣2，2]，且x1≠x2时，恒有，＞0，则f（x）的最大值为1，则满足方程f（log2x）=1的解为4．考点：函数的最值及其几何意义．专题：函数的性质及应用．分析：依据题意得出f（x）在[﹣2，2]上是单调递增数，f（2）=1，即可得出log2x=2，求解就简洁多了．解答：解：∵f（x）是定义在[﹣2，2]上的函数，对于任意实数x1，x2∈[﹣2，2]，且x1≠x2时，恒有，＞0，∴f（x）在[﹣2，2]上是单调递增数，∵f（x）的最大值为1，∴f（2）=1∵f（log2x）=1，∴log2x=2，x=4。
上海市奉贤中学2021届高三上学期期中考试仿真密卷数学试题(一)参考答案
第1页，共3页上海2020-2021学年奉贤中学高三上学期期中仿真密卷数学学科参考答案一.填空题(本大题共有12题,满分54分,1-6题每题4分,7-12题每题5分)1. [)(]2,11,-⋃+∞2. π3. []1,2-4. 0x =和1x =5. []1,1-6. 112n-7. ()1- 8. 2 9. 4 10. 27 11. 3 12. 1513二、选择题(本大题共4题,满分20分,每题5分,每题有且只有一个正确选项) 13. D 14. C 15. A 16. C 三、解答题：(本大题共5题,满分76分)17、(本题满分14分,第1小题满分7分,第2小题满分7分)(1)由已知2B A C =+,三角形的内角和定理180A B C ++=,解得60B =,所以1cos 2B =. (2)由已知2b ac =,据正弦定理,得2sin sin sin B A C =,即223sin sin sin 1cos 4A CB B ==-=. 18、(本题满分14分,第1小题满分7分,第2小题满分7分) (1)当2a =时,()()2,7,4,5A B ==∴ ()4,5A B =(2)∵ ()22,1B a a =+当13a <时,()31,2A a =+要使B A ⊆,必须223112a a a ≥+⎧⎨+≤⎩,此时1a =-；当13a =时,A =∅,使B A ⊆的a 不存在； 当13a >时,()2,31A a =+要使B A ⊆,必须222131a a a ≥⎧⎨+≤+⎩,此时13a ≤≤。
综上可知,使B A ⊆的实数a 的取值范围为[]{}1,31-。
19、(本题满分14分,第1小题满分7分,第2小题满分7分) (1)由是R 上的奇函数,知 此时故对于任意的即是R 上的奇函数；因此实数的值为3. …… 4分令则解得即函数的值域为… 6分 (2)解法1：由(1)知于是不等式 可化为…… 8分令则不等式在上恒成立.设 则在上恒成立, …… 10分等价于即因此,实数的取值范围为 …… 14分 (2)解法2：由(1)知当时,于是不等式(0)0,f =610, 3.a a a-==+解得31(),31x x f x -=+3131,()()0,3131x x x x x R f x f x ----∈+-=+=++有()f x a 31(),31x x f x y -==+130,1x y y+=>-11,y -<<()f x ()1,1.-31(),31x x f x -=+()33x t f x ⋅≥-2(3)(2)3(3)0.x xt t -+⋅+-≤[][]33,9(1,2)x u x =∈∈因，2(2)(3)0u t u t -+⋅+-≤[]3,9u ∈2()(2)(3),g u u t u t =-+⋅+-()0g u ≤[]3,9u ∈(3)0.(9)0g g ≤⎧⎨≤⎩0(3)93(2)(3)015.15(9)819(2)(3)022t g t t t g t t t ≥⎧=-++-≤⎧⎪⇔⇔≥⎨⎨=-++-≤≥⎩⎪⎩t 15,.2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭31(),31x x f x -=+[]1,2x ∈()0.f x >第2页，共3页可化为 …… 10分令则由函数上递增知, 故由恒成立知,实数的取值范围为 …… 14分20、(本题满分16分,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分)(1)x =1时,12172y y+>⎧⎨+>⎩,所以y =2或3；x =2时,14272y y +>⎧⎨+>⎩,所以y =4；3x ≥时,1272y xx y+>⎧⎨+>⎩无整数解；所以所有可能的x ,y 为12x y =⎧⎨=⎩,13x y =⎧⎨=⎩或24x y =⎧⎨=⎩(2)n 的最大值为65,理由如下：一方面,注意到：11112k k k k k k k a a a a a a a +-+-+>⇔->- 对任意的11i n ≤≤-,令1i i i b a a +=-,则i b ∈Z 且1k k b b ->(21k n ≤≤-),故11k k b b -≥+对任意的21k n ≤≤-恒成立．(★)当11a =,2017n a =时,注意到121110b a a =-≥-=,得1122111()()()11101i i i i i i b b b b b b b b i ----=-+-+⋅⋅⋅+-+≥++++=-个(21i n ≤≤-)即1i b i ≥-,此时111221121()()()1012(2)(1)(2)2n n n n n n a a a a a a a a b b b n n n -----=-++++-=++⋅⋅⋅+≥+++⋅⋅⋅+-=-- (★★)即1(1)(2)201712n n --≤-,解得：6265n -≤≤,故65n ≤ 另一方面,为使(**)取到等号,所以取1i b i =-(164i ≤≤),则对任意的264k ≤≤,1k k b b ->,故数列{}n a 为“U -数列”,此时由(★★)式得65163640126320162a a ⨯-=+++⋅⋅⋅+==, 所以652017a =,即65n =符合题意． 综上,n 的最大值为65．(3)M 的最小值为200288n n -+,证明如下：当02n m =(2m ≥,*m ∈N )时, 一方面：由(★)式,11k k b b +-≥,1121()()()m k k m k m k m k m k k k b b b b b b b b m +++-+-+-+-=-+-+⋅⋅⋅+-≥．此时有：12121112211211122211()()()()()()()()()(1)m m m m m m m m m m m m m m a a a a a a a a b b b b b b b b b b b b m m m m m ++++--++--+-+=---=++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-≥++⋅⋅⋅+=-即121()()(1)m m m a a a a m m ++≥++-故121(1)11(1)222m m m a a a a m m m m M ++++-++-≥≥≥ 因为02n m =,所以0020011(1)282228n n n n M ++--+≥= 另一方面,当11b m =-,22b m =-,…,11m b -=-,0m b =,11m b +=,()33xt f x ⋅≥-()233(33)(31)(31)44(31).313131x x x x x x xx t f x --+--≥===-----[][]312,8(1,2)x v x -=∈∈因，[]4()2,8v v vϕ=-在max15()(8).2v ϕϕ==max ()t v ϕ≥t 15,.2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭第3页，共3页211m b m -=-时,111112()()10k k k k k k k k k a a a a a a a b b +-+--+-=---=-=>取1m a =,则11m a +=,123m a a a a >>>⋅⋅⋅>,122m m m a a a ++<⋅⋅⋅<<,且11211()(1)12m m a a b b b m m -=-++⋅⋅⋅+=-+2112211()(1)12m m m m m a a b b b m m +++-=+++⋅⋅⋅+=-+此时20012128(1)128mn n M a a m m -+===-+=． 综上,M 的最小值为200288n n -+．21、(本题满分18分,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分) (1)由题意知(2)()1f x f x =+恒成立,令2(*)N k x k =∈,可得1(2)(2)1k k f f +=+,∴{(2)}k f 是公差为1的等差数列,故0(2)(2)n f f n =+,又0(2)3f =,故(2)3n f n =+． ………………………………3分 (2)当[1,2)x ∈时,()|23|f x k x =--,令1x =,可得(1)13f k =-=,解得4k =,即[1,2)x ∈时,()4|23|f x x =--, ………………………4分故()f x 在[1,2)上的取值范围是[3,4]． 又(2,0)-是()f x 的一个“P 数对”,故(2)2()f x f x =-恒成立, 当1[2,2)k k x -∈(*)N k ∈时,1[1,2)2k x -∈,()2()4()24x x f x f f =-==…11(2)()2k k xf --=-, …………………6分故k 为奇数时,()f x 在1[2,2)k k -上的取值范围是11[32,2]k k -+⨯；当k 为偶数时,()f x 在1[2,2)k k -上的取值范围是11[2,32]k k +---⨯． …………………8分所以当1n =时,()f x 在[1,2)n 上的最大值为4,最小值为3；当n 为不小于3的奇数时,()f x 在[1,2)n 上的最大值为12n +,最小值为2n -；当n 为不小于2的偶数时,()f x 在[1,2)n 上的最大值为2n ,最小值为12n +-．………10分 (3)由(2,2)-是()f x 的一个“类P 数对”,可知(2)2()2f x f x ≥-恒成立, 即1()(2)12f x f x ≤+恒成立,令12k x =(*)N k ∈,可得1111()()1222k k f f -≤+, 即1111()2[()2]222k k f f --≤-对一切*N k ∈恒成立, 所以1211111()2[()2][()2]22242n n n f f f ---≤-≤-≤…≤11[(1)2]22n nf -=, 故(2)22n n f --≤+(*)N n ∈． …………………………………14分若(0,1]x ∈,则必存在*N n ∈,使得111(,]22n n x -∈, 由()f x 是增函数,故1111()()222n n f x f --≤≤+, 又1112222222n n x -+>⨯+=+,故有()22f x x <+．…………………………………18分。
上海市2021届高三数学上学期期中试题(含解析)
上海市2021届高三数学上学期期中试题（含解析）一. 填空题1.设集合2{|20}A x x x a =-+=，若3A ∈，则集合A 可用列举法表示为________ 【答案】{3,1}- 【解析】 【分析】将3代入220x x a -+=求出参数a ，再解出二次方程的根，用列举法表示即可 【详解】3A ∈，将3代入220x x a -+=可得：960a -+=，3a =-，原方程为：2230x x --=，解得123,1x x ==-，故集合{1,3}A =- 故答案为：{3,1}-【点睛】本题考查元素与集合的关系，列举法表示集合，属于基础题 2.关于x 的不等式2420x x -++>的解集为________ 【答案】(6,7)- 【解析】 【分析】先将不等式转化为二次项系数大于零的不等式，再采用十字相乘法进行求解即可【详解】()()()224204207606,7x x x x x x x -++>⇔--<⇔-+<⇒∈-故答案为：(6,7)-【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，在二次项系数大于0的前提下遵循“大于取两边，小于取中间”原则，属于基础题 3.若21()(1)m f x m x +=-是幂函数，则(2)f -=________【答案】-32 【解析】 【分析】根据幂函数的基本形式进行求解即可【详解】21()(1)mf x m x +=-是幂函数，∴11m -=，52,()m f x x ==，则()5(2)232f -=-=-故答案为：-32【点睛】本题考查幂函数的基本形式，具体函数值的求法，幂函数基本形式为：()af x x =，x前面的系数必须为1，属于基础题4.已知(,)2παπ∈，1sin 3α=，则tan2α=________【答案】7- 【解析】 【分析】根据同角三角函数先求出tan α，再用正切的二倍角公式求解即可【详解】(,)2παπ∈，∴由1sin tan 3αα=⇒=，22tan tan 21tan ααα==-故答案为： 【点睛】本题考查同角三角函数基本求法，正切角的二倍角公式，属于基础题5.函数sin (3sin 4cos )1y x x x =++（x ∈R ）的最大值为M ，最小正周期为T ，则有序数对(,)M T 为_____ 【答案】(5,)π 【解析】 【分析】结合二倍角公式和辅助角公式化简，进一步求值即可 【详解】()21cos255sin (3sin 4cos )1=3sin 4sin cos 132sin 2+1=sin 2222x y x x x x x x x x ϕ-=++++=⋅+-+当()sin 2=1x ϕ-时，max 5y M ==，22T ππ==，故有序数对为(5,)π 故答案为：(5,)π【点睛】本题考查三角函数的化简，辅助角公式的使用，形如：221cos21+cos2sin ,cos 22αααα-==应强化记忆，属于基础题 6.在等差数列{}n a 中，若519a =，935a =，则10a =________ 【答案】39 【解析】 【分析】先由95a a -求得公差，再求10a 即可 【详解】数列是等差数列，∴9535194a a d -=-=，4d =，10935439a a d =+=+=故答案为：39【点睛】本题考查等差数列基本量的求解，属于基础题7.若函数231()21x x f x x m x ⎧≤=⎨-+>⎩的值域为(,3]-∞，则实数m 的取值范围是________ 【答案】(2,5] 【解析】 【分析】分类讨论，先由1x ≤求出3x 的取值范围，再结合1x >时二次函数的单调性求解值域即可 【详解】当1x ≤时，1333x ≤=，()(]0,3f x ∈；当1x >时，()22x mf x -=+减函数，()(),2f x m ∈-∞-，要满足()(,3]f x ∞∈-，此时应满足(]20,3m -∈ ，即(2,5]m ∈ 故答案为：(2,5]【点睛】本题考查根据分段函数值域求解参数问题，解题关键在于确定在临界点处的取值范围，属于中档题8.定义在R 上的奇函数()y f x =，当0x >时，2()lg(33)f x x x =-+，则()f x 在R 上的零点个数为________个. 【答案】5 【解析】【分析】先求出0x >时2()lg(33)0f x x x =-+=的解，再根据奇函数的性质求出零点个数即可 【详解】当0x >时，令2()lg(33)0f x x x =-+=，即2lg(33)lg1x x -+=，解得121,2x x == 根据奇函数的对称性可得()()()()11220f f f f =--==--=，故341,2x x =-=-也是函数的零点，又()y f x =定义域为R ，所以()00f =，故50x =也是函数的零点，合计5个零点 故答案为：5【点睛】本题考查奇函数的对称性，函数零点个数的求法，属于基础题9.当集合2{|(8)(1)0,}A x mx m x x Z =--->∈中的元素个数最少时，实数m 的取值范围是_____【答案】[4,2]-- 【解析】 【分析】对m 进行分类讨论，在考虑集合中元素个数最少的条件下，进一步确定参数m 所满足的条件即可【详解】①当0m =时，集合{}1A x Z x =∈<当0m ≠时，令2880mx m x m m--=⇒=+，101x x -=⇒= ②当0m >时，8m m +≥，故集合81A x Z x x m m ⎧⎫=∈<>+⎨⎬⎩⎭或③当0m <时，8m m +≤-81A x Z m x m ⎧⎫=∈+<<⎨⎬⎩⎭，此时集合A 的元素个数为有限个，而①②两种情况都有无限个元素，故此种条件下符合，[)6,5---，根据对勾函数性质，当且仅当()80,m m m m=<=-取到最大值，要满足集合A 元素个数最少，需满足865m m -≤+<-，化简得22680580m m m m ⎧++≤⎨++>⎩，即[]4,2m ∈--故答案为：[4,2]--【点睛】本题考查集合的运算，一元二次不等式含参解法，对勾函数性质，属于中档题10.已知周期为2的偶函数()f x 的定义域为R ，且当[0,1]x ∈时，3()log (32)f x x =-，则当[2019,2020]x ∈时，()f x 的解析式为________【答案】3()log (24037)f x x =- 【解析】 【分析】根据2T =，需将[2019,2020]x ∈进行区间转化，2020[1,0]x -∈-，结合偶函数，求出()f x 在[]1,0x ∈-的表达式，即可求解【详解】由题可知2T =，当[2019,2020]x ∈，()()2020f x f x =-，令2020[1,0]t x =-∈-； 当[]1,0t ∈-时，[]0,1t -∈，则3()log (32)f t t -=+，又函数为偶函数， 故()3()log (32)f t f t t -==+，将2020t x =-代入可得()()()()33log 322020log 24037f t x x =+-=-，即()()3log 24037f x x =-故答案为：()()3log 24037f x x =-【点睛】本题考查周期函数解析式的求法，偶函数的性质，解题关键在于将不在符合条件的定义域通过周期代换和奇偶性转化为给定区间或对称区间，再进一步求解 11.已知数列{}n a 的通项公式和为(73)2n n n S +=，*n N ∈，现从前m 项：12,,,m a a a ⋅⋅⋅中抽出一项（不是1a 也不是m a ），余下各项的算术平均数为40，则抽出的是第________项 【答案】6 【解析】 【分析】 由(73)2n n n S +=可先算出n a ，先令40n a =，算出n ，再结合等差数列的性质进一步判断 【详解】由(73)2n n n S +=得()()()-1-17-132n n n S +=，172(2),n n nS S a n n --==-≥（验证当1n =时也符合）故72n a n =-，令72=40n a n =-，得6n =，即640a =，根据等差数列的性质，6111210572a a a a a a a =+=+==+，由题可知，余下各项的算术平均数是40，说明余下每两项的算数平均数只要满足前式性质即可，根据11611S a =得算数平均数为640a =，则11m =，抽出的是数列的第6项 故答案为：6【点睛】本题考查等差数列的性质，可简记为：对于等差数列，(),,,m n p q m n p q a a a a m n p q N ++=+⇒+=+∈，属于基础题12.已知函数()f x 满足22(1)(1)()()4f x f x f x f x +-++-=，则(1)(2020)f f +的最大值是______ 【答案】4 【解析】 【分析】可将x 换为1x +，得出22(2)(2)()()f x f x f x f x +-+=-，令()2()()g x f x f x =-，可得()g x 周期为2，()()(1)(2020)10g g g g +=+ ，再结合基本不等式求解即可【详解】由题意22(1)(1)()()4f x f x f x f x +-++-=，①将x 换为1x +，得出22(2)(2)(1)(1)4f x f x f x f x +-+++-+=，② 由②-①得：22(2)(2)()()f x f x f x f x +-+=-，令()2()()g x f x f x =-，则()g x 周期为2，所以()(2020)0g g =令0x =，得22(1)(1)+(0)(0)=4f f f f -- 即()()()()222210=(1)(2020)=(1)(1)+(2020)(2020)=(2020)+(1)(2020)1=4g g g g f f f f f f f f ++---+，()22(2020)+(1)4(2020)1f f f f =++令()()2020,1a f b f ==，则224a b a b +=++，由()()()()22222222a b a b a b a b ++≥+⇒+≥即()242a b a b +++≥，化简得()()420a b a b +-++≤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，[]2,4a b +∈-故()()20201a b f f +=+的最大值为4，故答案为：4【点睛】本题考查复合函数周期性的推导，基本不等式求最值，推理运算能力，属于中档题 二. 选择题13.“x 是1和4的等比中项”是“2x =”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 即非充分也非毕必要条件【答案】B 【解析】 【分析】将条件“x 是1和4的等比中项”化简，得2x =±，结合充分必要条件判断即可【详解】由“x 是1和4的等比中项”可得242x x =⇒=±，显然在命题“若x 是1和4的等比中项，则2x =”中，结论可以推出条件，条件推不出结论，故为必要非充分条件 故选：B【点睛】本题考查等比中性性质，必要不充分条件，属于基础题14.若△ABC 的三个内角满足sin :sin :sin 6:7:10A B C =，则△ABC （ ） A. 一定是钝角三角形 B. 一定是锐角三角形C. 一定是直角三角形D. 可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 【答案】A 【解析】 【分析】结合三角形大边对大角原则和正弦定理，余弦定理判断最大角的余弦值即可 【详解】由sin :sin :sin 6:7:10::6:7:10A B C a b c =⇒=，可令6,7,10a b c ===由大边对大角原则确定C 最大，由余弦定理2225cos 0228a b c C ab +-==-< 可判断C 为钝角 故选：A【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理解三角形的应用，三角形形状的判断，属于基础题 15.已知函数()f x 为R 上的单调函数，1()f x -是它的反函数，点(2,3)A -和点(2,1)B 均在函数()f x 的图像上，则不等式1|(3)|2x f -<的解集为（ ） A. (0,1) B. (1,3) C. (1,1)- D. (0,3)【答案】A 【解析】 【分析】由()f x 给出的已知两点确定单调性，再由()f x 与1()f x -的对应关系进一步求解即可 【详解】由311222AB k -==---和()f x 为R 上的单调函数，可得()f x 为R 上的单调递减函数， 则1()f x -在定义域内也单调递减函数；原函数过点(2,3)A -和点(2,1)B ，则1()f x -过()()1,2,3,2- 则11|(3)|22(3)2133x x x f f --<⇔-<<⇔<<，解得(0,1)x ∈ 故选：A【点睛】本题考查原函数与反函数的性质，原函数若单调，则原函数与反函数单调性相同，原函数定义域（值域）与反函数值域（定义域）相同，属于中档题16.如图，已知△ABC 的周长为k ，在AB 、AC 上分别取点M 、N ，使MN ∥BC ，且与△ABC 的内切圆相切，则MN 的最大值为（ ）A.6kB.8k C.9k D.12k 【答案】B 【解析】 【分析】可设BC x =，MN y =，由AMNABC ∆∆和切线长定理可代换出x 与y 的关系，最终将y代换成关于x 的二次函数，再求最值即可【详解】设BC x =，MN y =，,,D E F 分别为三个边的切点，则,,,BE BD CF CD ME MG NF NG ====则AMN ∆周长为2AE AF k x +=-2==AMN MN k x y ABC BC k x ∆-=∆周长周长，则()22248x k x k ky x k k -⎛⎫==--+ ⎪⎝⎭当4k x =时，y 有最大值8k故选：B【点睛】本题考查三角形中线段最值的求解，相似三角形，二次函数求最值，解题关键是代换出线段与周长关系，属于中档题 三. 解答题 17.已知函数sin ()2xf x =，将函数()y f x =的图像上每个点的纵坐标扩大到原来的2倍，再将图像上每个点的横坐标缩短到原来的12，然后向左平移6π3得到()y g x =的图像.（1）当[0,]2x π∈时，求()g x 的值域；（2）已知锐角△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若3()4f A =，4a =，5b c +=，求△ABC 的面积.【答案】（1）3[0,1]+；（233【解析】 分析】（1）现根据平移法则求得()g x ，再求()g x 值域即可；（2）由()f A =求得A ，再结合正弦的面积公式，余弦定理联立求解，即可求得面积. 【详解】（1）sin ()2xf x =，将函数()y f x =的图像上每个点的纵坐标扩大到原来的2倍，得()sin f x x =；再将图像上每个点的横坐标缩短到原来的12，得到()sin 2f x x =；然后向左平移6π个单位，得到()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；再向上平移2个单位，得到()sin 232g x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，当[0,]2x π∈，42,333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， sin 232x π⎡⎤⎛⎫+∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，()sin 20,13g x x π⎡⎛⎫=++⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦（2）sin ()243A f A A π==⇒=或23π（由题意三角形为锐角三角形，故舍去23π）， 1sin 2ABC S bc A ∆=，①()222222cos 22b c bc ab c a A bc bc+--+-==，②又4a =，5b c +=，代入①②得bc =3,则ABC S ∆=【点睛】本题考查三角函数的化简、值域求解，三角函数图像平移法则，正弦定理余弦定理结合求面积，属于基础题18.已知函数()2x f x k =+（k 为常数），(,2)A k -是函数1()y f x -=图像上的点.（1）求实数k 的值及函数1()y f x -=的解析式；（2）将1()y fx -=按向量(2,0)a =平移，得到函数()y g x =的图像，若不等式1()f x g m --≤有解，试求实数m 的取值范围.【答案】（1）2k =-，12()log (2)f x x -=+；（2）32m ≥. 【解析】 【分析】（1）由原函数与反函数的对应关系知()2,k -过原函数，代入()2x f x k =+即可求得k 值，进一步求得1()y fx -=的解析式（2）先根据向量平移法则求得()g x ，原式1()f x g m --≤有解可转化为22log (2)log x m +-≤有解，再由基本不等式求解即可【详解】（1）由题知，反函数过(,2)A k -，则原函数过()2,k -，2(2)22f k k k =+=-⇒=-，则()22xf x =-，由()22222log 2x x y y x y =-⇒=+⇒=+，即12()log (2)f x x -=+（2）12()log (2)f x x -=+按向量(2,0)a =平移得2()log g x x =，则1()f x g m --≤有解⇔22log (2)log x m +-≤()0x >有解，即2222log (2)log log log x +-==≥1x =时等号取到），223log log 2≥=，要使1()f x g m --≤有解，则32m ≥【点睛】本题主要考查原函数与反函数的性质，反函数的求法，含参不等式有解的求法，基本不等式求最值，属于中档题19.大店创业专卖某种文具，他将这种文具以每件2元的价格售出，开始第一个月就达到1万件，此后每个月都比前一个月多售出1.5万件，持续至第10个月，在第11个月出现下降，第11个月出售了13万件，第12个月出售了9万件，第13个月出售了7万件，另据观察，第18个月销量仍比上个月低，而他前十个月每月投入的成本与月份的平方成正比，第4个月成本为8000元，但第11个月起每月成本固定为3万元，现打算用函数2()f x ax bx c =++（0a ≠）或()x f x km n =+（0k ≠，0m >，1m ≠）来模拟销量下降期间的月销量. （1）请判断销量下降期间采用哪个函数模型来模拟销量函数更合理，并写出前20个月销量与月份x 之间的函数关系式；（2）前20个月内，该网店取得的月利润的最高纪录是多少，出现在哪个月？【答案】（1）()xf x km n =+更合理，141.50.5,110()25,11x x x f x x N x +--≤≤⎧=∈⎨+≥⎩，；（2）24万，第10个月【解析】 【分析】（1）分别采用待定系数法，算出2()f x ax bx c =++和()x f x km n =+表达式，再检验18x =时是否符合题设即可（2）列出利润()w x 关于x 的表达式，根据函数性质分别计算两分段函数的利润最大值，即可求解【详解】（1）假设从第11个月开始，月销量符合2()f x ax bx c =++的变化趋势，则()()()11,13,12,9,13,7均在()f x 上，即1211113114412927169137189a b c a a b c b a b c c ++==⎧⎧⎪⎪++=⇒=-⎨⎨⎪⎪++==⎩⎩，22()1789f x x x =+-，对称轴为272x =，当14x ≥时，不符合题意，故此模型舍去； 假设从第11个月开始，月销量符合()x f x km n =+的变化趋势，则()()()11,13,12,9,13,7均在()f x 上，即1411121321319275k km n km n m km n n ⎧=⎧+=⎪⎪⎪+=⇒=⎨⎨⎪⎪+=⎩=⎪⎩，1425()x f x -=+，当17x =时，14174125)8(17f -+==，141886(181)125f -+==，()()1817f f <， 故()x f x km n =+更合理，此时1425()x f x -=+，11x ≥；由题知前10个月符合一次函数模型，设() 1.5f x x b =+，将()1,1代入，解得0.5b =，则() 1.50.5f x x =+，110x ≤≤，故 141.50.5,110()25,11x x x f x x N x +--≤≤⎧=∈⎨+≥⎩，（2）设前10个月成本（万元）与月份的关系为()2h x nx =，将()4,0.8代入解得120n =，则()220x h x =，前10个月利润可表示为()()()()()22121.50.530442020x w x f x h x x x =-=--=--+，当10x =时取到最大值，()max 24w x =；当11x ≥时，1425()x f x -=+单调递减，第11个月利润有最大值， ()max =132323w x ⨯-=；故月利润最高记录为24万元，出现在第10个月.【点睛】本题考查函数拟合模型的实际应用，分段函数的求法，实际问题中的利润最大值问题，运算能力，属于中档题20.已知{}n a 是公差为d 的等差数列，它的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，4224S S =+，219b =，249T =. （1）求公差d 的值；（2）若对任意的*n N ∈，都有7n S S ≥成立，求1a 的取值范围；（3）若11a =，判别2202012n nS T -=-是否有解，并说明理由. 【答案】（1）1d =；（2）[7,6]--；（3）无解，理由见解析 【解析】 【分析】（1）由4224S S =+化简即可求得；（2）由（1）0d >，7n S S ≥可知，780,0a a ≤≥，再解1a 范围即可；（3）由219b =，249T =可求得11313b q ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，进而求得11=123n n T ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，同时11a =可求得()12n n n S +=，设2()12n n f n S T =--，可证2()12n nf n S T =--单调递增，通过对n 赋值可判断不存在n 值，使2202012n nS T -=-有解【详解】（1）()4211432442242S S a d a d ⨯=+⇔+=++，化简得1d = （2）10d =>，7n S S ≥，780,0a a ∴≤≥，即11160[7,6]70a d a a d +≤⎧⇒∈--⎨+≥⎩ （3）等比数列满足219b =，249T =，即1111949b q b b q ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得11313b q ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，1113311=112313nn n T ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎡⎤⎝⎭⎛⎫⎝⎭∴=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-，11a =，则()()()1111222n n n d n n n n S na n --+=+=+= 2223121112123n nnT ==⋅-⎡⎤⎛⎫-⋅-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，假设2()12n n f n S T =--，即()1()232n n n f n +=⋅- ()()112(1)232n n n f n ++++=⋅-，()()()1121(1)()2323431022n n n n n n n f n f n n ++++⎡⎤+-=⋅--⋅-=⋅-->⎢⎥⎣⎦，n N +∈，则()1()232n n n f n +=⋅-为单调递增函数，()6671(6)23=14372f ⨯+=⨯-， ()7771(7)23=43462f ⨯+=⨯-，即(6)2020(7)f f <<，∴不存在正整数n ，使2202012n nS T -=-有解【点睛】本题考查等差数列、等比数列基本量的求解，前n 项和公式，函数的单调性，逻辑推理能力，属于中档题21.已知012,,,,n a a a a ⋅⋅⋅为正整数且0121n a a a a >>>⋅⋅⋅>>，将等式123011111(1)(1)(1)(1)2(1)n a a a a a -+-+-+⋅⋅⋅+-=-记为()*式. （1）求函数1()1f x x=-，[2,)x ∈+∞的值域； （2）试判断当1n =时（或2时），是否存在0a ，1a （或0a ，1a ，2a ）使()*式成立，若存在，写出对应0a ，1a （或0a ，1a ，2a ），若不存在，说明理由；（3）求所有能使()*式成立的i a （0i n ≤≤）所组成的有序实数对012(,,,,)n a a a a ⋅⋅⋅. 【答案】（1）1[,1)2；（2）不存在，理由见解析；（3）(24,4,3,2)和(60,5,3,2).【解析】 【分析】（1）先判断1()1f x x=-的单调性，再根据定义域进一步求值域；（2）由题干和（1）知，2101a a a <<<时，210111(1)(1)(1)a a a -<-<-，结合()*式判断可确定不存在；（3）可通过试值法，先确定32a =，再通过试值法进一步确定23a =，最终锁定101121+66a a =>， 则136a <<，分别讨论14a =和15a =进一步确定0a 即可 【详解】（1）设122x x ≤<，221()1f x x =-，111()1f x x =-，()()21211212110x x f x f x x x x x --=-=> 故1()1f x x=-在[2,)x ∈+∞上单增，()()min 112122f x f ==-=，当x →+∞时，1()11f x x=-→，则()1[,1)2f x ∈（2）由（1）知，设()11n nf a a =-为单调递增函数，则2101a a a <<<时，210111(1)(1)(1)a a a -<-<-，当1n =时，101111a a -<-，所以()*式不成立； 当2n =时，210111(1)(1)(1)a a a -<-<-，210111(1)(1)2(1)a a a -+-<-，()*式也不成立，故当1n =时（或2时），不存在0a ，1a （或0a ，1a ，2a ）使()*式成立 （3）由()111,12n n f a a ⎡⎫=-∈⎪⎢⎣⎭得，123011111(1)(1)(1)(1)2(1)22n n a a a a a <-+-+-+⋅⋅⋅+-=-<，即4n <，又由（2）可知，1,2n n ==()*式不成立，故要使()*式成立，只能取3n =，当3n =时12301111(1)(1)(1)2(1)a a a a -+-+-=-，即012321111a a a a +=++，由题012,,,,n a a a a ⋅⋅⋅为正整数且0121n a a a a >>>⋅⋅⋅>>，若33a =，否则原式右边至多为1111345++<，()*式不成立则32a =，同理23a =，否则原式右边至多为1111245++<，因此可得012111132a a +=++，化简得101121+66a a =>，所以136a <<，当14a =时0=24a ；当15a =时，0=60a综上所述，012(,,,,)n a a a a ⋅⋅⋅的所有可能解为：()24,4,3,2或()60,5,3,2【点睛】本题考查函数单调性的证明，放缩法的应用，试值法求解具体数值，对于逻辑推理能力有较高要求，属于难题。
上海市奉贤中学2021届高三上学期期中考试仿真密卷数学试题(二)答题卡
上海2020-2021学年奉贤中学高三上学期期中仿真密卷数
学学科
答题
一、填空题(本大题共12题,满分54分,第1
6题每题4分,第7
12题每题5分)
1. 2. 3. 4.
5. 6. 7. 8.
9. 10. 11. 12. 二、选择题： (本大题共4题,满分20分,共4题,每题5分)
13. [A] [B] [C] [D] 14. [A] [B] [C] [D]
15. [A] [B] [C] [D] 16. [A] [B] [C] [D] 三、解答题：解答题(本大题共5题,共14+14+14+16+18=76分)
17．(本题满分14分,6+8)
18. (本题满分14分,7+7)
19．(本题满分14分,7+7)
1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号用碳素笔填写清楚,并认真核准条形码上的准考证号及姓名,在规定的位置贴好条形码。
2.选择题使用2B 铅笔填涂,其他试题用黑色碳素笔书写,字体工整、笔迹清楚,按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
3.保持卡面清洁,不折叠、不要弄破,选择题修改时,用橡皮擦干净；其他试题修改不得使用涂改液和不干胶条。
注意事
贴条形码区
选择题
正确填涂
20．(本题满分16分,4+6+6)
21．(本题满分18分,4+6+8)。
上海市奉贤中学2021届高三上学期期中考试仿真密卷数学试题(二)
第1页，共3页上海2020-2021学年奉贤中学高三上学期期中仿真密卷数学学科(满分150分,考试时间120分钟)一. 填空题(本大题共12题,满分54分,第16题每题4分,第712题每题5分)1.已知集合{}21P x x =≤,{}M a =,若P M P ⋃=，则a 的取值范围是______.2.函数()f x =______.3.设1234a a a a 、、、成等比数列,其公比为2,则123422a a a a ++的值是_______4.方程lg(1)lg(4)1x x +++=的解为x =______5.已知函数()()22+33,2,f x ax b x x a a ⎡⎤=-+∈-⎣⎦是偶函数,则a b +=_______6.无穷等比数列{}n a 的前n 项之和为132nn S a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,则其各项和为______.7.设函数()()y f x x R =∈满足()()()(),4f x f x f x f x -==-,且当[]0,2x ∈时,()cos4xf x π=,则()2020f =______.8.已知函数22,0()=,0x x x f x x x x ⎧+≥⎨-+<⎩,则不等式2()(2)f x f x >的解集是_____9.设函数()sin cos f x kx kx =+,其中k 是一个正整数。
若对任意实数a ,均有{}{}()|1()|f x a x a f x x R <<+=∈,则k 的最小值为_______10.若任意[],2020x t ∈时,关于x 的不等式4332x x x -≤-恒成立,则实数t 的取值范围是_______11.已知非空集合M 满足{}0,1,2,3M ⊆,若存在非负整数(3)k k ≤,使得对任意a M ∈,均有2k a M -∈,则称集合M 具有性质P ,则具有性质P 的集合M 的个数为________12.已知函数2()323x n f x m x nx ⎛⎫=-⋅++ ⎪⎝⎭,记函数()y f x =的零点构成的集合为A ,函数[]()y f f x =的零点构成的集合为B ,若A B =,则m n +的取值范围为二、选择题(本大题共4题,满分20分,共4题,每题5分) 13、设,x y R ∈,则222x y +≤是x y +≤( )A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件14.如图所示为函数()2sin()(0,0)2f x x πωϕωϕ=+>≤≤的部分图像,点A 和点B那么(1)f -为( )A B 1- C 115、已知n S 是等差数列{}()*n a n N ∈的前n 项和,且675SS S >>,有下列四个命题其中假命题的是( )A 公差0d <B 在所有0n S <中, 13S 最大C 满足0n S >的n 的个数有11个D 67a a >第2页，共3页16.定义在R 上的函数()y f x =满足：对于任意实数1212,()x x x x ≠,有121212()()3()f x f x x x x x ->+-成立,函数2()(2)1(12)g x f x x x x =+--+,则以下说法中正确的是( )A 函数()y f x =在[)1,+∞上可能单调递减B 函数()y f x =在(],1-∞-上不可能单调递增C 对于任意[)12,1,x x ∈+∞且12x x ≠,有121212()()3()g x g x x x x x -<-+-成立D 对于任意[)12,1,x x ∈+∞且12x x ≠,有121212()()3()g x g x x x x x ->-+-成立三. 解答题(本大题共5题,共14+14+14+16+18=76分) 17、(本题满分14分,第1小题满分6分,第2小题满分8分)已知函数()()2cos sin cos cos 2f x x a x x x π⎛⎫=-+-⎪⎝⎭,且()03f f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭. (1)求函数()y f x =的最小正周期;(2)求()f x 在52,243ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.18．(本题满分14分,7+7)关于x 的不等式220()x a a R ++-<∈的解集为A(1)求集合A(2)设集合|sin()3)033B x x x ππππ⎧⎫=---=⎨⎬⎩⎭,a 恰好是B 中绝对值最小的元素,求集合A19．(本题满分14分,7+7) 已知：221()f x x t x=++, (1)利用单调性的定义证明：()f x 在区间[)1,+∞上是增函数；第3页，共3页(2)若()y f x =的图像与2()2g x x x=-的图像没有公共点,求实数t 的取值范围。
上海市奉贤区曙光中学2020-2021学年高三上学期期中数学试题
上海市奉贤区曙光中学2020-2021学年高三上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．若复数()()2563z m m m i =-++-是纯虚数，其中i 是虚数单位，则实数m =______．2．若0a >，则224a log a log⋅=______.(写出最简结果)3．设1a ，2a ，3a ，4a 成等比数列，其公比为2，123422a a a a ++的值为______．4．函数11y x =-，1x >的反函数是______． 5．已知2()(3)3f x ax b x =+-+，2[2,]x a a ∈-是偶函数，则a b +=__________．6．在幂函数y x α=的图象上任取两个不同的点()11,x y ，()22,x y ，若2121y y x x --是定值，则α=______． 7．已知114sin cos 3αα+=，则sin 2α= . 8．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足：14a =，1132n n S S +=+，则数列{}n a 的各项和为______．9．已知钝角α的终边经过点()23,23P sin cos --，则角α的弧度数为______． 10．若任意[],2018x t ∈时，关于x 的不等式4332x x x -≤-恒成立，则实数t 的取值范围是______．11．已知关于x 的方程23sin x m π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，x ⎡∈⎣有两个不相等的实数解，则实数m 的取值构成的集合是______． 12．若函数()()()2221222220f x a x a ax a a =+--+≠，()()()2222224430f x b x b b x b b =-+-+-≠，记函数()()12y f x f x =-的最小值为(),(g a b 注：(),g a b 表示含有字母a ，b 的代数式)，则(),g a b 的最大值为______．二、单选题13．设x ，R y ∈，则222x y +≤是x y +≤ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件14．2021年11月5日至10日，首届中国国际进口博览会将在国家会展中心(上海)举办，很多外国车企都积极参与会展.下列进口车的车标经过旋转后可以看成函数图象的是（ ） A ．B ．C ．D ．15．已知S n 是等差数列{}()*N n a n ∈的前n 项和，且675SS S >>，有下列四个命题，假命题的是（ ） A ．公差0d <B ．在所有S 0n <中，13S 最大C ．满足S 0n >的n 的个数有11个D ．67a a >16．已知ABC ()θ0,π∈使得：2222cos ,a b c bc θ=+-则ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．以上都不对三、解答题17．已知函数()()22f x cosx asinx cosx cos x π⎛⎫=-+-⎪⎝⎭，且()03f f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭． ()1求函数()y f x =的最小正周期；()2求()f x 在52,243ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．18．已知函数()22f x m x n =-．()1若非空集合(){|0}A x f x ==为有限集，求实数m 、n 满足的条件； ()2若221m n =+，(){|0}B x f x =<，1{|1}2C x x =-≤，B C B ⋂=，求实数n 的取值范围．19．大数据时代对于现代人的数据分析能力要求越来越高，数据拟合是一种把现有数据通过数学方法来代入某条数式的表示方式，比如(),i i i A a b ，i 1=，2，⋯，n 是平面直角坐标系上的一系列点，用函数()y f x =来拟合该组数据，尽可能使得函数图象与点列(),i i i A a b 比较接近．其中一种描述接近程度的指标是函数的拟合误差，拟合误差越小越好，定义函数()y f x =的拟合误差为：()()()()()2221122()()()n n f x f a b f a b f a b =-+-+⋯+-．已知平面直角坐标系上5个点的坐标数据如表：()1若用一次函数()150f x x m =-+来拟合上述表格中的数据，求该函数的拟合误差()()f x 的最小值，并求出此时的函数解析式()1y f x =；()2①若用二次函数()221(5)42f x x =-+来拟合题干表格中的数据，求()()2f x ；②请比较第()1问中的()1f x 和第()2问中的()2f x ，用哪一个函数拟合题目中给出的数据更好？(请至少写出三条理由)20．将数列{}n a 的前n 项分成两部分，且两部分的项数分别是(),i j i j ≥，若两部分和相等，则称数列{}n a 的前n 项的和能够进行i j -等和分割. （1）若222,53370n n a n N n n *-=∈-+，试写出数列{}n a 的前4项和所有等和分割； （2）求证：等差数列{}n a 的前()4k k N*∈项的和能够进行22k k -等和分割；（3）若数列{}n a 的通项公式为：n a n =，且数列{}n a 的前n 项的和能够进行等和分割，求所有满足条件的n .21．若存在实数(0,1)λ∈使得(1),x a b λλ=+-则称x 是区间(,)()a b a b <的λ一内点． （1）求证：(,)x a b ∈的充要条件是存在(0,1),λ∈使得x 是区间(,)a b 的λ一内点； （2）若实数a b 、满足：0,a b <<求证：存在(0,1)λ∈，使得2a b+是区间2(ab a b +的λ一内点；（3）给定实数(0,1)ω∈，若对于任意区间(,)()a b a b <，1x 是区间的1λ一内点，2x 是区间的2λ一内点，且不等式2221(1)x a b ωω≤+-和不等式2222(1)x a b ωω≤-+对于任意a b R ∈、都恒成立，求证：121λλ+=参考答案1．2 【解析】 【分析】根据纯虚数的概念即可求解． 【详解】复数()()2563z m m m i =-++-是纯虚数，256030m m m -+=⎧∴-≠⎨⎩，2m ∴=.故答案为2． 【点睛】本题考查纯虚数的概念，注意虚部不为0这一条件，属于基础题． 2．1 【分析】先利用换底公式将底数变为一样，再利用对数的运算性质即可求解． 【详解】0a >，22242241222alga lg lga lg log a loglg lga lg lga∴⋅=⨯=⨯=． 故答案为1． 【点睛】本题考查对数值的求法，考查对数性质、运算法则、换底公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 3．14【分析】由1a ，2a ，3a ，4a 成等比数列，且公比为2，把2a ，3a ，4a 都用1a 表示，即可求解． 【详解】1a ，2a ，3a ，4a 成等比数列，且公比为2，212a a ∴=，314a a =，418a a =， 1211341122212884a a a a a a a a ++∴==++．故答案为14． 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式，是基础的计算题． 4．11(0)y x x=+> 【分析】先求出原函数的值域即为反函数的定义域，将原函数的x 用y 表示出来，再互换x ，y ，即可求解． 【详解】 当1x >时，11y x =-的取值范围是()0,∞+， 11x y -=， 11x y∴=+， 互换x ，y ，得函数11y x =-，1x >的反函数是11(0)y x x=+>． 故答案为11(0)y x x=+>． 【点睛】本题考查反函数的求法，考查反函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 5．4 【解析】 【分析】先由“定义域应关于原点对称”则有a 2﹣2＝﹣a ，求得a ，又f （﹣x ）＝f （x ）恒成立，用待定系数法可求得b ． 【详解】∵定义域应关于原点对称， 故有a 2﹣2＝﹣a ， 得a ＝1或a ＝﹣2． ∵x ∈[a 2﹣2，a ]∴a 2﹣2＜a ， ∴a ＝﹣2应舍去．又∵f （﹣x ）＝f （x ）恒成立，即：ax 2﹣（b ﹣3）x +3＝ax 2+（b ﹣3）x +3， ∴b ＝3．a +b ＝4．故答案为4． 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性定义，首先定义域要关于原点对称，注意f （x ）与f （﹣x ）的关系的应用，属于中档题． 6．1或0 【解析】 【分析】根据2121y y x x --的几何意义，转化为函数图象上任意两点的斜率为定值，即可求解．【详解】2121y y x x --表示两点()11,x y ，()22,x y 之间的斜率是定值，故幂函数y x α=的图象是直线， 故1α=或0， 故答案为1或0． 【点睛】本题考查了幂函数的定义，考查2121y y x x --表示两点之间的斜率，是一道基础题．7．34-【分析】把已知条件通分后，两边平方并利用同角三角函数间的基本关系得到关于sinαcosα的一元二次方程，即可求出sinαcosα的值，再利用二倍角的正弦函数公式化简，代入求出值即可．【详解】 由11sin cos αα+＝sin cos sin cos αααα+＝43，两边平方得212sin cos (sin cos )αααα+＝169， 化简得16（sinαcosα）2﹣18sinαcosα﹣9＝0 即（2sinαcosα﹣3）（8sinαcosα+3）＝0， 解得sinαcosα＝32，sinαcosα＝﹣38，当sinαcosα＝32时，sin2α＝2sinαcosα＝3（舍去）； 当sinαcosα＝﹣38时，sin2α＝2sinαcosα＝﹣34．故答案为﹣34【点睛】本题主要考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系，及二倍角的正弦函数公式化简求值，做题时注意正弦函数的值域范围，属于基础题． 8．2162n n S -=-【分析】直接利用构造等比数列法求数列{}n S 的通项公式，即可求出结果． 【详解】 令()112n n S S λλ++=+，整理得：11122n n S S λ+=-， 所以132λ-=，解得：6λ=-． 所以数列{}6n S -是以16462S -=-=-为首项，12为公比的等比数列． 故()11622n n S --=-⋅，即2162nn S -=-. 故答案为：2162n n S -=-．【点睛】本题考查利用构造等比数列法求数列的通项公式，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．9．332π- 【解析】 【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义表示tan α，结合诱导公式，求得角α的弧度数． 【详解】由钝角α的终边经过点()23,23P sin cos --，则2333332322cos tan cot tan tan sin ππα-⎛⎫⎛⎫===-=- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，又332π-为钝角，∴角α的弧度数为332π-， 故答案为332π-． 【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式，属于基础题． 10．[)4,2018 【分析】 设()4f x x x =-，()332g x x =-，通过讨论x 的范围，根据函数的单调性判断即可． 【详解】 设()4f x x x =-，()332g x x =-，则对任意的[],2018x t ∈时，()()f x g x ≤恒成立， 当0x <时，由()4(2)(2)x x f x x x x-+=-=知， 当2x -≤时，()44f x x x x x=-=-，显然单调递减，故()(2)0f x f ≥-= ； 当2x >-时，()44f x x x x x=-=-单调递增，故()(2)0f x f >-=， 所以当0x <时，()f x 的值域是[)0,+∞，()g x 的值域是(),3∞--，不可能成立； 当0x >时，由()4(2)(2)x x f x x x x-+=-=知，当2x ≥时，()44f x x x x x=-=-，显然单调递增； 当02x <<时，()44f x x x x x=-=-单调递减， ()g x 递增， 当()()f x g x =时，432,32x x x x ≥-=-令，解得：2x =或4x =， 由函数的单调性得：[)4,2018t ∈时，4332x x x -≤-恒成立， 故答案为[)4,2018． 【点睛】本题考查了函数的单调性问题，考查分类讨论思想以及转化思想，是一道中档题． 11．{}1,1- 【解析】 【分析】由函数23y sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭为定义域内的偶函数，结合已知可得在(x ∈上，方程23sin x m π⎛⎫+= ⎪⎝⎭只有一个实数解，再由正弦型函数的值域可得m 值．【详解】 函数23y sin x π⎛⎫=+⎪⎝⎭为定义域内的偶函数，则要使方程23sin x m π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，x ⎡∈⎣有两个不相等的实数解，则在(x ∈上，方程23sin x m π⎛⎫+= ⎪⎝⎭只有一个实数解． 又22,333x ππππ<+≤+所以由三角函数的图象与性质得1m =±．∴实数m 的取值构成的集合是{}1,1-．故答案为{}1,1-． 【点睛】本题考查函数的零点与方程的根的关系，考查三角函数的最值，考查函数奇偶性性质的运用，是中档题． 12．5 【分析】表示出()()12y f x f x =-的解析式，由解析式可知()()12f x f x -为二次函数且开口向上，当0≥时，可分析出(),0g a b =，当0<，(),g a b 在对称轴处取值，化简变形(),g a b 结合二次函数的性质，求出函数的最大值即可． 【详解】()()()()()222221222422524y f x f x a b x a b a b x a b =-=+++--+--，若()()()22222242285240a b a ba b a b =+-----+≥，则(),0g a b =，故只需讨论0<的情况，即当2222242244a b a b x a b+--=-+时，y 取得最小值， 此时()()()222224(2),5248mina b a b y g a b a b a b +--==---+，设22m a b =+，2n a b =+，则()222(),5252522222m n m n m n g a b n n n n m m m ⎛⎫⎛⎫-=--=-+-+=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 又2225125(1)522m n n m n m m m⎛⎫-+⋅+=-+≤ ⎪⎝⎭，当且仅当m n =-时“=”成立，验证：若(),m n 存在，则原点到直线20a b n +-=的距离≤25n m ≤⇒≤，而25n m ≤与0m n +=有交点， 故0m n +=有解，“=”可取， 故答案为：5．【点睛】本题考查了二次函数的性质，考查求函数最值问题，考查转化思想，是一道中档题． 13．B 【解析】 【分析】分别作出222x y +≤与x y +≤.【详解】分别作出222x y +=与2x y +=的图象如图，222x y +≤表示圆及内部，x y +≤222x y +≤⇒x y +≤，222x y x y +≤⇒+≤，则222x y +≤是x y +≤分条件. 故选：B ． 【点睛】本题主要考查充要条件的判断，利用“小范围⇒大范围，大范围⇒小范围”，考查逻辑推理与数形结合思想，属于基础题. 14．D 【分析】根据函数的定义即可判断. 【详解】对于A ，B ，C 车标，当旋转90后，一个x 的值有多个y 值与之对应,A ∴，B ，C 车标不可以看成函数图象. 故选：D ． 【点睛】本题考查了函数定义和图象关系，是基础题 15．C 【分析】根据题设条件可判断数列是递减数列，这样可判断A 是否正确；根据6S 最大，可判断数列从第七项开始变为负的，可判断D 的正确性：利用等差数列的前n 项和公式与等差数列的性质，可判断12S 、13S 的符号，这样就可判断B 、C 是否正确． 【详解】等差数列{}n a 中，6S 最大，且6751S S S 0a >>∴>，0d <，∴A 正确；675S S S >>，60a ∴>，70a <，∴D 正确；1137713S 1313022a a a a ++=⨯=⨯<, 7567S S 0a a -=+>，67a a >-，67112121212022a a a aS ++=⨯=⨯>；S n ∴的值当6n ≤递增，当7n ≥递减，前12项和为正，当13n =时为负．故B 正确；满足0n S >的n 的个数有12个，故C 错误. 故选C ． 【点睛】本题考查等差数列的前n 项和的最值.在等差数列中,S n 存在最大值的条件是：10a >，0d <;S n 存在最小值的条件是：10a <，0d >．16．A 【分析】由三角函数的有界性得：2()b c +>2222cos a b c bc θ=+->2()b c -,由三角形的性质可得a b c +><<cosC =>0,即可得解.【详解】解：因为存在角()θ0,π∈使得：2222cos ,a b c bc θ=+-则2()b c +>2222cos a b c bc θ=+->2()b c -,即三边长,,a b c 也可构成一个三角形，<<由两边之和大于第三边可得：a b c +>，即222+>， 在ABC 中，C 最大， 由余弦定理cosC =>0,即C 为锐角，即ABC 为锐角三角形， 故选A. 【点睛】本题考查了三角函数的有界性及余弦定理，重点考查了三角形的性质，属中档题. 17．（1）最小正周期T π=（2）()1min f x =-，()2max f x = 【解析】 【分析】()1利用倍角公式降幂，再由辅助角公式化积，可得函数的周期； ()2由x 的范围，得到相位的范围，进一步求得()f x 在52,243ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值． 【详解】解：()()()212f x cosx asinx cosx cos x π⎛⎫=-+-⎪⎝⎭221222asinxcosx cos x sin x asin x cos x =-+=-．()03f f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，1221sin()cos()1,23342a a ππ---=-+=- a ∴=则()22226f x x cos x sin x π⎛⎫=-=-⎪⎝⎭． 所以函数()y f x =的最小正周期T π=；()522,243x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，72,646x πππ⎡⎤∴-∈⎢⎥⎣⎦， 则12,162sin x π⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，()[]1,2f x ∈-． 则当23x π=时，()1min f x =-，当3x π=时，()2max f x =．【点睛】本题考查三角函数的恒等变换应用，考查()y Asin x ωϕ=+型函数的图象和性质，是中档题．18．（1）0m ≠；0n ≥（2）[(),22∞∞-⋃++ 【分析】()1问题可转化为()220f x m x n =-=有解，讨论实数m 、n 与0的大小即可求解． ()2首先化简集合C ，由 B C B ⋂=，可知B C ⊆，根据题意可转化为不等式()()2210f x n x n =+-<求解，对n 分情况讨论，求不等式解集即可求解实数n 的取值范围． 【详解】解：()1非空集合(){|0}A x f x ==为有限集，即()220f x m x n =-=有解，当0,n 0m =≠时，无解，当0,n 0m ==时，无数解，0m ∴≠；22m x n =有解，0n ∴≥；实数m 、n 满足的条件是：0m ≠，0n ≥； （2）113{|1}{|}222C x x x x =-≤=-≤≤， B C B =，可知B C ⊆，又(){|0}B x f x =<，221m n =+，()()2210f x n x n ∴=+-<.当0n ≤时，显然()2210n x n +-<无解，集合B 为空集，满足题意； 当0n >时，集合B φ≠，()2210n x n +-<有解．可得：x << B C ⊆，1232⎧-≤⎪⎪∴⎨⎪≤⎪⎩解得：2n ≤2n ≤；故得实数n的取值范围是[(),22-∞⋃+∞． 【点睛】本题考查集合间的基本关系及运算，方程解的情况判断，本题转化成对应的含参方程组、不等式的求解情况是关键． 19．（1）函数()()f x 的拟合误差取最小值为56.064，此时()18.150f x x =-+（2）()()20.08f x =①，()2y f x =②更好，详见解析【分析】(1)把图表中的数据代入拟合误差()()()()()2221122()()()n n f x f a b f a b f a b =-+-+⋯+-，得到关于m 的二次函数，利用二次函数求最值，进一步得到函数解析式()1y f x =；()2①在拟合误差中以()2f x 替换()f x ，求得()()2f x ；②通过数据分析可知，()2y f x =更好，由表中数据结合()2y f x =图象写出理由．【详解】解：()1根据题意得：()()2222213579(12)( 6.2)(4)( 5.8)(12)5050505050f x m m m m m =--+--+--+--+--2581384.114m m =-+，则当8.1m =时，()()f x 取最小值为56.064，此时()18.150f x x =-+； ()2①若用二次函数()221(5)42f x x =-+来拟合题干表格中的数据，则()()22200.200.200.08f x =++++=；()2y f x =②更好．理由如下：()()()()211)f x f x <；()22)y f x =图象上有更多的点与原点列重合(三个)； ()23)y f x =的图象更能反映原来点列的对称性．【点睛】本题考查函数解析式的求解及常用方法，正确理解题意是关键，是中档题．20．（1）2314a a a a +=+或1234a a a a ++=； （2）见解析； （3）4n k =或41n k =-. 【分析】（1）直接利用数列的通项公式分别计算出前四项的大小，再进行等和分割，即可求解； （2）根据等差数列的性质可以得到14241221k k k k a a a a a a -++=+=+，进而可以得出前2k项与后2k 项的和相等；（3）根据数列的通项公式求出前n 项和，分别讨论4n k =或41n k =-时满足等和分割条件的结果. 【详解】（1）由题意，数列222,53370n n a n N n n *-=∈-+， 可得12341110,,,1243a a a a ====， 则2314a a a a +=+或1234a a a a ++=.（2）由数列{}n a 为等差数列，所以14241221k k k k a a a a a a -++=+=+，将上述2k 个两式子分成两部分，可得其和是相等的， 所以等差数列{}n a 的前4k 项的和能够进行22k k -等和分割.（3）数列{}n a 的通项公式为：n a n =，且数列{}n a 的前n 项的和能够进行等和分割，可得(1)2n n +为偶数，所以4n k =或41n k =-， 当4n k =时，由（2）可知，数列可以进行等和分割； 当41n k =-时，可首先考虑31236S =++=， 则可分割成两部分{}{}1,2,3，所以1k =， 即3n =时，前3项能进行等和分割， 当2k ≥时，前41k -项为45444342411,2,3,,,,,,,k k k k a a a a a a ----，由（2）可得4544434241,,,,,,k k k k a a a a a a ----能分成等和的两部分，分别把两部分{}{}1,2,3进行加入，可得两部分和相等， 即4n k =或41n k =-. 【点睛】本题主要考查了数列的通项公式的求法及应用，以及等差数列的性质和数列的求和问题的应用综合应用，试题综合性强，难度较大，属于中档试题，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与计算能力.21．（1）证明过程见解析 （2）证明过程见解析 (3)证明过程见解析 【分析】（1）先理解定义，再由已知证明(,)x a b ∈的充要条件是存在(0,1),λ∈使得x 是区间(,)a b 的λ一内点；（2）用作差法判断2,2a b ab a b ++2(2a b ab a b +∈+，结合（1）即可得证；（3）由已知可得2222211111()2()(2)0a ab b ωλλλλλω---+-+-≥恒成立，由二次不等式恒成立问题可得210ωλ->，且2222111114()4()(2)0λλωλλλω∆=----+-≤，解得1λω=，同理21λω=-，即可得解.【详解】解：（1）①若x 是区间(,)()a b a b <的λ一内点，则存在实数(0,1)λ∈使得(1),x a b λλ=+-，则(1)()(,)x a b a b b a b λλλ=+-=-+∈，②若(,)x a b ∈，取b x b a λ-=-，则(1)x a b λλ=+-，且01b x b ab a b a--<<=--， 则x 是区间(,)()a b a b <的λ一内点，故(,)x a b ∈的充要条件是存在(0,1),λ∈使得x 是区间(,)a b 的λ一内点；（2）由22()022()a b ab a b a b a b +--=>++，222()()024a b a b +--=>，则2(2a b ab a b +∈+，由（1）知，存在(0,1)λ∈，使得2a b +是区间2(ab a b +的λ一内点； （3）因为1x 是区间的1λ一内点，则111(1),x a b λλ=+-则22211[(1)](1)a b a b λλωω+-≤+-恒成立，则2222211111()2()(2)0a ab b ωλλλλλω---+-+-≥恒成立， 当210ωλ-≤时，上式不可能恒成立， 因此210ωλ->，所以2222111114()4()(2)0λλωλλλω∆=----+-≤，即21()0λω-≤，即 1λω=，同理21λω=-， 故121λλ+=. 【点睛】本题考查了充分必要条件、2,2a b ab a b ++问题，重点考查了不等式的应用，属难度较大的题型.。
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上海市奉贤区曙光中学2021届高三上学期期中数学
试题
学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________
一、填空题
1. 已知集合，，则________
2. 函数的单调递减区间为_______
3. 若是实系数一元二次方程的一个根，则
__________.
4. 函数的反函数是______．
5. 已知，，则________.
6. 已知定义在上的函数，满足，且对任意的都有
，则______．
7. 设数列的前项和为，若，则
__________．
8. 若函数存在零点，则实数的取值范围是______．
9. 已知，函数为偶函数，则＝
________.
10. 已知a，b，c＞0，直线与直线互相垂直，则的取值范围是__________.
11. 已知函数定义在上的偶函数，在是增函数，且
恒成立，则不等式的解集为
___________.
12. 矩形ABCD最后，AB＝2，BC＝1，直线l交线段AB于点E，交线段CD于点F，若线段AB上存在一点P，P关于直线l的对称点Q旗号在线段DF上，设
∠FEB＝θ，则的取值范围是___________.
二、单选题
13. 已知且，则下列不等式成立的是（）
A．B．C．
D．
14. 设数列，下列判断一定正确的是（）
A．若对任意正整数n，都有成立，则为等比数列
B．若对任意正整数n，都有成立，则为等比数列C．若对任意正整数m，n，都有成立，则为等比数列
D．若对任意正整数n，都有成立，则为等比数列
15. 已知数列满足，，若为周期数列，则的可能取到的数值有（）
A．个B．个C．个D．无数个
16. 已知，若对于任意，总存在正数，使得
成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．
三、解答题
17. 已知
（1）若函数在的最大值为，求的值；
（2）若，求不等式的解集.
18. 已知虚数满足
（1）求；
（2）若，求的值.
19. 已知．
（1）求的最大值及该函数取得最大值时的值；
（2）在中，分别是角所对的边，，是的面积，，比较与的大小．
20. 定义：对于定义在上的函数和定义在上的函数满足：存在，使得，我们称函数为函数和函数的“均值函数”.
（1）若，函数和函数的均值函数是偶函数，求实数a的值.
（2）若，，且不存在函数和函数的“均值函数”，求实数k的取值范围；
（3）若，是和的“均值函数”，求的值域.
21. 定义：对于有穷数列，将数列中项后边比小的项记作，（若是的最后一项，则），则称数列是数列的统计数列. （1）若数列为8，3，a，2，4，的“统计数列”为4，2，1，0，0.求实数a的取值范围；
（2）若，其中，且不是常值数列，m＞2且，若，求数列的统计数列；
（3）定义在上的函数满足，且对任意的都有
成立，，，设，记作的统计数列，在所有可能的中，求数列的最大值.。