第二章第3讲 卷积

[ f () * f ()]d f (t) * f ()d f (t) * f ()d
1 2 1 2 2 1
t
t
t
证明：

[ f ( ) * f
1 t 1
t
2
( )]d [ f1 ( ) f 2 ( )d ]d
[ f1 (t )u(t t1 )] [ f 2 (t )u(t t2 )]
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g (t ) f1 ( )u( t1 ) f 2 (t )u(t t2 )d


结合律应用于系统分析,相当于串联系统的冲激响 应,等于串联的各子系统冲激响应的卷积
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卷积的微分与积分
df2 (t ) df1 (t ) d [ f1 (t ) * f 2 (t )] f1 (t ) * f 2 (t ) * dt dt dt

t t2
t1
f1 ( ) f 2 (t )d
t1 t t2
t
积分限是： 例：
f1(t ) 2e u(t )
g (t )

f 2 (t ) u(t ) u(t 2)
求
f1 ( ) f 2 (t )d
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f1( ) 1 f2(1-) 2
f1( ) 1 f2(2-) 2
f1( )
f2(3-)
2
c
c
c
c
-1
0

f1() f2(-)
0
1

0
1

0 f1() f2(3-)
3
f1() f2(1-)
f1() f2(2-)
0

c
0 1
g(t)

0
2
0

2 信号与系统 同济大学汽车学院 魏学哲 1 weixzh@
0

2
0
0
信号与系统 同济大学汽车学院 魏学哲 t weixzh@
当t<0时，f1()f2(t-)=0，所以g1(t)=0 当0t2时，f1()与f2(t-) 有部分重迭，积分限 0t，g2(t)为：
g2 (t ) f1 ( ) f 2 (t )d
证明：

d d [ f1 (t ) * f 2 (t )] [ f1 ( ) f 2 (t )d ] dt dt df2 (t ) df2 (t ) [ f1 ( ) d ] f1 (t ) * dt dt
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f1( ) 2 0 2 1 0
f2( )
2
f2(-) 1
首先将f2()反褶 再将f2(-)沿轴平移t
0 1 t-2 t 0
2 f2(t-)


用图解法进行分段积分，求出g(t)
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f1( ) 2 0 1 2 2 0

t
t
2
t 2
对以上结果用一个函数表达：
g(t ) 2(1 e )[u(t ) u(t 2)]
2e (e 1)u(t 2)
2
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t
t
2.7卷积的性质 一: 卷积代数: 1.交换律:
f2(t-) c -1
c
0

f 2 (( t )) f 2 (t )
f2(t-) c
-1
0 t-1 t

t-1
t
-1
0
随t取值不同，f2(t-)出现在不同位置
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4、相乘：将f1()和 f2(t-)相乘
t
2e 1 d
0
0 t
2(1 e )
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t
当2t<时，f2(t-) 完全落在f1()上，积分限 t-2t， g3(t)为：
g3 (t ) 2e 1 d 2e (e 1)
f1( ) 2 2 f2(1-) 0
f1( ) 2 2 0
f1 ( )
f2(-) 1 2
f1() f2(-)
f2(2-) 1
2 f2(3-)

1 2 0 3
f1() f2(3-) 1 3
0

0
2 0
1

0
2 0
f1() f2(1-) 1 g(t)
f1() f2(2-)
f1 ( ) f 2 (t )d
0

积分下限为0
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B、t<0时，f2(t)=0， f1(t)不受此限 即，当>t时， f2(t-)=0，
g (t )
积分上限为 t
t

f1 ( ) f 2 (t )d
t
（二）、卷积的解析计算
f1 (t ) f 2 (t )
1、积分限的确定：


f1 ( ) f 2 (t )d
A、设f1(t)是有始函数， f2(t)不受此限
f1 ( ) f1 ( )u( )
g (t )


f1 ( )u( ) f 2 (t )d
f (t ) * (t ) f (t )
' '
与单位阶跃的卷积:
f (t ) * u(t )

f ( )d
t
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卷积积分的工程近似计算： 卷积积分的工程近似计算是把信号按需要进行抽样 离散化形成序列，积分运算用求和来取代，把问题 化为问题的卷积和，得出结果再进行内插，求出最 终结果。
C、将A、B两个条件合并： t<0时，f1(t)=0， f2(t)=0
g (t )


f1 ( )u( ) f 2 (t )u(t )d
积分上限为 t，下限为0
f1 ( ) f 2 (t )d
0
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f (t ) * (t t 0 )


f ( ) (t t
0
)d f (t t 0 )
与 (t t0 ) 的卷积,相当于把函数延迟 t 0
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与冲激偶的卷积:
f1( ) 1 2 c f2(t-) f1()f2(t-)
c
t-1 0 t
t-1 0 t

c
f1()f2(t-)
5、积分
阴影的面积，即g(t)的值，是 一个t的函数
t-1 0
t

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t
卷积的被积函数是有始函数，卷积也是有始函数
0 f1 ( ) f 2 (t )d t 0 g (t ) t0 0
t
f1 ( ) f 2 (t )d u(t )
0
t
2、起始时刻的确定： 若f1(t)从t1时刻起始，f2(t) 从t2时刻起始，即：
2.6
一、定义：
卷 积
设函数f1(t) 与函数f2(t)具有相同的自变量t，将f1(t)与 f2(t)经如下的积分，可得到第三个相同自变量的函数 g(t)，即
f(t )
此积分称为卷积 积分，记为：



f1( ) f2(t ) d
f(t ) f1(t ) f2(t )
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f 2 ( ) * f 1 (t ) d f 2 (t ) * f 1 (t )
2.分配律:
f1(t) *[ f2 (t) f3 (t)] f1(t) * f2 (t) f1(t) * f3 (t)
e(t)
h1(t)
e(t)*[h1(t)+h2(t)]
h2(t)
分配律应用于系统分析,相当于并联系统的冲激响应, 等于并联的各子系统冲激响应之和
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作业：p83-p86
2-6
2-9
2-11
2-12
2-21
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f(t ) f1(t ) f2(t )
解：1、变量置换：
f1( ) 1 2



f1( ) f2(t ) d
f2( ) c

f2(-)
c
1

2、反褶：
-1
0

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f2(-)
3、平移：将f(-)沿时间轴 平移t，t为参变量 t>0时向右平移，t<0 时向左平移
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3.结合律:
[ f1 (t ) * f 2 (t )]* f 3 (t ) f1 (t ) *[ f 2 (t ) * f 3 (t )]
两次卷积运算是二重积分,改变积分次序即可证明 此定律.
e(t) h1(t) h2(t) r(t)=e(t)*[h1(t)*h2(t)]
（一）、卷积的图解计算 两个矩形波f1(t)与 f2(t) 如图所示
f1(t)
1
f2(t)
c
2
t
1
t
1 0 t 2 f1 (t ) 0 其它
求解 f1(t) f2(t)
c 0 t 1 f 2 (t ) 0 其它
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f1 (t ) * f 2 (t ) f 2 (t ) * f1 (t )
证明:将积分变量替换,

t
f 1 (t ) * f 2 (t )



f 1 ( ) * f 2 (t )


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2
t


f ( )[ f

( )d ]d f1 (t ) * f 2 ( )d

t
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与冲激或阶跃函数的卷积
f (t ) * (t )


f ( ) (t )d f ( ) ( t )d f (t )