考点05+函数的基本性质-高考全攻略之备战2019年高考数学(理)考点一遍过

考点05 函数的基本性质

（1）理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义. （2）会运用函数图象理解和研究函数的性质.

一、函数的单调性 1．函数单调性的定义

设12,[,]x x a b ∈，12x x ≠.若有()()1212()0[]x x f x f x ->-或

1212

()()

0f x f x x x ->-，则()f x 在闭区间

[],a b 上是增函数；若有()()1212()0[]x x f x f x --<或

1212

()()

0f x f x x x -<-，则()f x 在闭区间[],a b 上是

减函数.此为函数单调性定义的等价形式. 2．单调区间的定义

若函数()y f x =在区间D 上是增函数或减函数，则称函数()y f x =在这一区间上具有（严格的）单调性，区间D 叫做函数()f x 的单调区间．

注意：（1）单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在不同的区间上，可以有不同的单调性，同一种单调区间用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．

（2）函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论，所以求函数的单调区间，必须先求函数的定义域． （3）“函数的单调区间是A ”与“函数在区间B 上单调”是两个不同的概念，注意区分，显然B A ⊆. （4）函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制．例如函数1

y x

=

分别在(－∞，0)，(0，＋∞)内都是单调递减的，但不能说它在整个定义域，即(－∞，0)∪(0，＋∞)内单调递减，只能分开写，即函数的单调减区间为(－∞，0)和(0，＋∞)． 3．函数单调性的常用结论

（1）若()(),f x g x 均为区间A 上的增(减)函数，则()()f x g x +也是区间A 上的增(减)函数； （2）若0k >，则()kf x 与()f x 的单调性相同；若0k <，则()kf x 与()f x 的单调性相反； （3）函数()()()

0y f x f x =>在公共定义域内与()y f x =-，1

()

y f x =的单调性相反；

（4）函数()()(

)

0y f x f x =≥在公共定义域内与y =

（5）奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反； （6）一些重要函数的单调性： ①1

y x x

=+

的单调性：在(],1-∞-和[)1,+∞上单调递增，在()1,0-和()0,1上单调递减；

②b y ax x =+（0a >，0b >）的单调性：在,⎛-∞ ⎝和⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增，在⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭和

⎛ ⎝

上单调递减．

4．函数的最值

注意：

（1）函数的值域一定存在，而函数的最值不一定存在；

（2）若函数的最值存在，则一定是值域中的元素；若函数的值域是开区间，则函数无最值，若函数的值域是闭区间，则闭区间的端点值就是函数的最值. 二、函数的奇偶性

1．函数奇偶性的定义及图象特点

判断()f x -与()f x 的关系时，也可以使用如下结论：如果()0()f x f x --=或

()

1(()0)()

f x f x f x -=≠，则函数()f x 为偶函数；如果()0()f x f x -+=或

()

1(()0)()

f x f x f x -=-≠，则函数()f x 为奇函数． 注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个x ，x -也在定义域内（即定义域关于原点对称）．

2．函数奇偶性的几个重要结论

（1）奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反． （2）()f x ，()g x 在它们的公共定义域上有下面的结论：

（3）若奇函数的定义域包括0，则()00f =． （4）若函数()f x 是偶函数，则()()()f x f x f

x -==．

（5）定义在(),-∞+∞上的任意函数()f x 都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和．

（6）若函数()y f x =的定义域关于原点对称，则()()f x f x +-为偶函数，()()f x f x --为奇函数，

()()f x f x ⋅-为偶函数．

（7）掌握一些重要类型的奇偶函数：

①函数()x

x

f x a a -=+为偶函数，函数()x

x

f x a a -=-为奇函数．

②函数()221

1

x x x x x x a a a f x a a a ----==++（0a >且1a ≠）为奇函数．

③函数()1log 1a

x

f x x

-=+（0a >且1a ≠）为奇函数．

④函数()(log a f x x =（0a >且1a ≠）为奇函数．

三、函数的周期性 1．周期函数

对于函数()y f x =，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有

()()f x T f x +=，那么就称函数()y f x =为周期函数，称T 为这个函数的周期．

2．最小正周期

如果在周期函数()f x 的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做()f x 的最小正周期（若不特别说明，T 一般都是指最小正周期）. 注意：并不是所有周期函数都有最小正周期. 3．函数周期性的常用结论 设函数()y f x =，0x a ∈>R ，.

①若()()f x a f x a =+-，则函数的周期为2a ； ②若()()f x a f x +=-，则函数的周期为2a ； ③若1

()()

a x f x f =

+，则函数的周期为2a ； ④若1

()()

f a x x f =-

+，则函数的周期为2a ； ⑤函数()f x 关于直线x a =与x b =对称，那么函数()f x 的周期为2||b a - ；

⑥若函数()f x 关于点(),0a 对称，又关于点(),0b 对称，则函数()f x 的周期是2||b a -； ⑦若函数()f x 关于直线x a =对称，又关于点(),0b 对称，则函数()f x 的周期是4||b a -； ⑧若函数()f x 是偶函数，其图象关于直线x a =对称，则其周期为2a ； ⑨若函数()f x 是奇函数，其图象关于直线x a =对称，则其周期为4a .

考向一 判断函数的单调性

1．判断函数单调性的方法：

（1）定义法，步骤为：取值，作差，变形，定号，判断．利用此方法证明抽象函数的单调性时，应根据所给抽象关系式的特点，对1x 或2x 进行适当变形，进而比较出()1f x 与()2f x 的大小．

（2）利用复合函数关系，若两个简单函数的单调性相同，则这两个函数的复合函数为增函数；若两个简单函数的单调性相反，则这两个函数的复合函数为减函数，简称“同增异减”．

（3）图象法：从左往右看，图象逐渐上升，则单调递增；图象逐渐下降，则单调递减．