2006年考研数学三真题及答案

2006年考研数学三真题

一、填空题（1~6小题，每小题4分，共24分。） (1) lim n→∞(

n+1n

)

(−1)n

= 。

【答案】1。 【解析】 【方法一】记x n =

(n+1n )(−1)n , 因为lim k→∞

x 2k =lim

k→∞2k+1

2k

=1, 且

lim k→∞

x 2k+1=lim k→∞(

2k+22k+1

)

−1=1, 故lim n→∞

x n =1。 【方法二】lim n→∞(n+1

n

)(−1)

n =lim n→∞

e

(−1)n ln

n+1n

, 而

lim n→∞

ln

n+1n

=lim n→∞

ln (1+1

n

)=0(无穷小量)，(−1)n 为有界变量，

则原式=e 0=1。

综上所述，本题正确答案是1。

【考点】高等数学—函数、极限、连续—极限的四则运算 (2) 设函数f(x)在x =2的某领域内可导，且f ′(x )=e f (x ),f (2)=1, 则f ′′(2)= 。 【答案】2e 3。

【解析】本题主要考查复合函数求导。

由f ′(x )=e f (x )知

f ′′(x )=e f (x )f ′(x )=e f (x )∙e f (x )=e 2f (x )

f ′′′(x )=e 2f (x )∙2f ′(x )=2e 3f (x )

f ′′′(2)=2e 3f (2)=2e 3。

综上所述，本题正确答案是2e 3。

【考点】高等数学—一元函数微分学—复合函数的导数

(3)设函数f(u)可微，且f′(0)=1

2

, 则z=f(4x2−y2)在点(1,2)处的全微分dz|(1,2)= 。

【答案】4dx−2dy。

【解析】因为ðz

ðx

|(1,2)=f′(4x2−y2)∙8x|(1,2)=4,

ðz

ðy

|(1,2)=f′(4x2−y2)∙(−2y)|(1,2)=−2,

所以dz|(1,2)=ðz

ðx |(1,2)dx+ðz

ðy

|(1,2)dy=4dx−2dy。

综上所述，本题正确答案是4dx−2dy。

【考点】高等数学—多元函数微积分学—偏导数、全微分

(4)设矩阵A=[21

−12

]，E为二阶单位矩阵，矩阵B满足BA=B+2E，则|B|=___________。

【答案】2。

【解析】

BA=B+2E⇒B(A−E)=2E⇒|B(A−E)|

=|2E|⇒|B||A−E|=22=4

因为|A−E|=|11

−11

|=2，所以|B|=2。

综上所述，本题正确答案是2。

【考点】线性代数—行列式—行列式的概念和基本性质

线性代数—矩阵—矩阵的线性运算

(5)设随机变量X与Y相互独立，且均服从区间[0,3]上的均匀分布，则

P{max{X,Y}≤1}=___________。

【答案】1

9

。

【解析】本题考查均匀分布，两个随机变量的独立性和他们的简

单函数的分布。

事件{max {X,Y }≤1}={X ≤1,Y ≤1}={X ≤1}∩{Y ≤1}, 又根据X,Y 相互独立，均服从均匀分布，可以直接写出

P {X ≤1}=13∙13=1

9

。

综上所述，本题正确答案是1

9。

【考点】概率论—多维随机变量的分布—二维随机变量的分布 (6) 设总体X 的概率密度为f (x )=1

2e −|x |(−∞

X n 为总体X 的随机简单样本，其样本方差为S 2, 则ES 2=_______。 【答案】2。

【解析】ES 2=D (X )=E (X 2)−[E (X )]2=E (X 2)

=∫x 2f (x )dx =2∫x 21

2

e −|x |

dx +∞

−∞

+∞

−∞=2。 综上所述，本题正确答案是2。

【考点】概率论—随机变量的数字特征—随机变量的数学期望(均值)、方差、标准差及其性质

二、选择题（7~14小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。）

(1) 设函数y =f(x)具有二阶导数，且f ′(x )>0,f ′′(x )>0，∆x 为自变量x 在点x 0处的增量，∆y 与dy 分别为f(x)在点x 0处对应的增量与微分，若∆x >0，则

(A)0

【解析】

【方法一】由函数y=f(x)单调上升且凹，根据∆y和dy的几何意义，得如下所示的图

由图可得0

【方法二】

由凹曲线的性质，得f(x0+∆x)>f(x0)+f′(x0)∆x,∆x≠0，于是f(x0+∆x)−f(x0)>f′(x0)∆x>0,∆x>0，即0

综上所述，本题正确答案是A。

【考点】高等数学—一元函数微分学—导数和微分的概念，导数的几何意义和物理意义

(8)设函数f(x)在x=0处连续，且lim

ℎ→0f(ℎ2)

ℎ2

=1, 则

(A)f(0)=0且f−′(0)存在(B)f(0)=1且f−′(0)存在(C)f(0)=0且f+′(0)存在(D)f(0)=1且f+′(0)存在【答案】C。

【解析】由lim

ℎ→0f(ℎ2)

ℎ2

=1, 且lim

ℎ→0

ℎ2=0, 则lim

ℎ→0

f(ℎ2)=0, 由于f(x)

在x=0处连续，且lim

ℎ→0

f(ℎ2)=f(0)=0, 从而