常见基本函数

y ex
1 x y( ) a
y ax
(a 1)
(0,1)
（3）.对数函数
y loga x (a 0, a 1) y ln x
y log a x
(1,0)
(a 1)
y log 1 x
a
y
1
2
y sin x

3 2


2
O
1
2

3 2
x, f ( x) 3 x,
0 x 1 1 x 2
y
它的反函数即为它自 己.
0 x
实际求反函数问题可分为二步进行： (1). 确定 f : X Y 的定义域 X
和值域 Y ，考虑 1-1对应条件。固定 y Y ，解方程 f ( x) y 得出
x f
。
1
o
x0
x
o
x0
x
D
D
函数 y f ( x) 的反函数，记为 x f
1
( y)
反函数的定义域和值域恰为原函数的值域 和定义域
f : X Y
f
1
:Y X
显然有 1 f f I:X X
(恒等变换） (恒等变换)
f f I :Y Y 1 1 ( f ) f : X Y
1 [ f ( x)] 2 , f ( x) 1;
求 f [ f ( x)].
f [ f ( x)]
f ( x) 1 0 x 1 f ( x) 1 x 1或x 0
[ f ( x)] 1, f ( x) 1.
2
当0 x 1时，
1 [ 1 x ] , 0 x 1;
证明:

( x) f ( x) ( x)
[ ( x)] f [ ( x)] [ ( x)]
且 f ( x) ( x) f ( x)是单调递增函数
[ ( x)] f [ ( x)] f [ f ( x)] f [ ( x)] [ ( x)]
•有界函数 |cos x|≤1
cos( 2k 1) 1 k 0,1,2,.
1 2 1 4 1 6 ( 1) n 2 n cos x 1 x x x x 2! 4! 6! ( 2n)!
y
y tan x
y tan x的性质：
•周期为的周期函数 •无界函数：
D : ( , )
奇函数, 有界函数,
2.反双曲函数
反双曲正弦 y arsinh x ;
y arsinh x ln( x
D : ( , )
奇函数,
y ar sinh x
x 1).
2
在 (,) 内单调增加 .
双曲函数常用公式
sinh( x y ) sinh x cosh y cosh x sinh y ; cosh( x y ) cosh x cosh y sinh x sinh y ;

2, ( x 2＋ 1) 2 1,
x 0;
x 1.
0 x 1;
x 0;
x,

2,
x 4＋2 x 2 2 ,
x, 2, x,
x 1.
1 x 0; x 0; 0 x 1;

x 4＋2 x 2 2 ,
x 1.
. 例2设 ( x), f ( x), ( x)都是单调递增函数 , 证明 若 ( x) f ( x) ( x)， 则[ ( x)] f [ f ( x)] [ ( x)].
2
x
y sin x的性质：
•周期为2的周期函数
•有界函数 |sin x|≤1
•特殊值： sin 2k 1 2
•Taylor(Maclaurin)公式
sin k 0
k 0,1,2,. 1 3 1 5 1 7 (1) n 2 n 1 sin x x x x x x 3! 5! 7! ( 2n 1)!
余割函数
y csc x
y csc x
(5)反三角函数的图象
幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反 三角函数统称为基本初等函数.
2.初等函数
由常数和基本初等函数经过有限次四则运算 和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子 表示的函数,称为初等函数.
e x , 例3 设 f ( x ) x, 求 f [( x )]. x1 x 2, , ( x ) 2 x1 x 1, x0 , x0
函数的分类:
代 数 函 数
有 理 函 数
有理整函数(多项式函数)
有理分函数(分式函数)
函 数
初 等 函 数
无理函数 超越函数
非初等函数(分段函数,有无穷多项等函数)
小结
(1) 复合函数;
(2) 反函数;
(3) 初等函数.;
(4) 双曲函数与反双曲函数
作业 :
P20: 1, 2, 3(2), 4(2)(3), 5(3).
注意: 1.不是任何两个函数都可以复合成一个复 合函数的;
Z D f ——复合条件
例如 y arcsinu,
u 2 x2; y
arcsin(2 x 2 )
D x | x D u D f 使u ( x ) D
复合条件在实际应用时常取形式
2. 供给函数：商品的供给量Q看作价格p的函数。 记为 Q=g(p) 3. 总收益函数：生产者出售一定数量的产品所得到的全部收入。 R=pQ , 其中 p---产品的价格，Q ---销售量 4. 总成本函数：生产一定数量的产品所消耗的总费用。 C(x)=C0 +C1(x) , 其中 C0 ---固定成本，C1 ---可变成本,x---产量 5. 利润函数：销售产品所获得的全部利润。 L(x) = R(x) - C(x) , 其中 x---产量
即[ ( x)] f [ f ( x)] [ ( x)].
二、反函数
设函数 f : D f ( D) 是单射，则它存在逆映 射
f 1 : f ( D ) D , 称此映射f 1为函数f的 反函数.
y
函数 y f ( x )
y0
y
反函数 x ( y )
y0
W
W
cosh x sinh x 1;
2 2
sinh 2 x 2 sinh x cosh x ;
cosh 2 x cosh 2 x sinh 2 x .
反双曲余弦 y ar cosh x
y arcosh x ln( x x 2 1).
D : [1, )
y ar cosh x
。
1
y
反函数y f 1 ( x )
Q ( b, a )
o
直接函数y f ( x ) P (a , b)
x
从方程角度看，函数和反函数没什么区别，作 为函数，习惯上我们还是把反函数记 1 y f ( x) . 为
这样直接函数与反函数的图形关于直线 y x 对称.
严格单调函数是1-1对应的，所以严格单 调函数有反函数。 但 1-1 对应的函数（有反函 数）不一定是严格单调的，看下面例子
解
10
e ( x ) , ( x ) 1 f [( x )] ( x ), ( x ) 1
当( x ) 1时,
x 1;
或 x 0, ( x ) x 2 1,
2 或 x 0, ( x ) x 1 1,
0 x 2;
( y)
(2). 按习惯，自变量 互换，得
x
.
、因变量 y
y f ( x)
1
三
初等函数
y x (是常数)
y x
(1,1)
１、基本初等函数 （1）.幂函数
y
y x2
1
y
x
o
1 y x
1
x
y x
y
y x1 / 3
y x3
O
x
x （2）.指数函数 y a
(a 0, a 1)
在 [1,) 内单调增加.
反双曲正切
y artanh x
y ar tanh x
y artanh x
1 1 x ln . 2 1 x
D : ( 1,1)
奇函数,
在 (1,1) 内单调增加.
五、经济学中的常用函数
1. 需求函数：商品的需求量Q看作价格p的函数。 记为 Q=f(p)
四、双曲函数与反双曲函数
1.双曲函数
e x ex 双曲正弦 sinh x 2
D : ( , ),
奇函数.
x x
e e 双曲余弦 cosh x 2
D : ( , ),
偶函数.
sinh x e x e x 双曲正切 tanh x x x cosh x e e
1 x 0;
20
当( x ) 1时,
或 x 0, ( x ) x 2 1, 或 x 0, ( x ) x 2 1 1,
综上所述
x 2;
e x2 , x 1 x 2, 1 x 0 f [ ( x )] 2 . x 1 e , 0 x 2 2 x x 2 1,
lim tan x
x 0 2
y tan x

lim
x 0 2

tan x
2
O
2

x