中考数学专题题型讲练过关题型10 类比、拓展探究题

类型1图形旋转引起的探究

1.[2018焦作一模]如图(1),在等边三角形ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,AD=AE,连接BE,CD,点M,N,P分别是BE,CD,BC的中点,连接DE,PM,PN,MN.

(1)观察猜想

图(1)中△PMN是(填特殊三角形的名称).

(2)探究证明

如图(2),△ADE绕点A按逆时针方向旋转,则△PMN的形状是否发生改变?并就图(2)说明理由.

(3)拓展延伸

若△ADE绕点A在平面内自由旋转,AD=1,AB=3,请直接写出△PMN的周长的最大值.

图(1)图(2)

2.如图(1),在正方形ABCD和正方形AB'C'D'中,AB=2,AB'=,连接CC'.

(1)问题发现:计算的值;

(2)拓展探究:将正方形AB'C'D'绕点A逆时针旋转,记旋转角为θ,连接BB'.试判断:当

0°≤θ<360°时,的值有无变化?请仅就图(2)中的情形给出你的证明;

(3)问题解决:在旋转过程中,BB'的最大值为多少?请在备用图中画出图形,并给出解题过程.

图(1)图(2)

备用图

3.如图(1),在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,过点A作AE⊥AC,点M为射线AE上任意一点(不与点A重合),连接CM,将线段CM绕点C按顺时针方向旋转90°得到线段CN,直线NB分别交直线CM,射线AE于点F,D.

(1)问题发现:∠NDE=;

(2)拓展探究:如图(2),当∠EAC为钝角时,其他条件不变,∠NDE的大小有无变化?请给出证明.

(3)如图(3),若∠EAC=15°,BD=,直线CM与AB交于点G,其他条件不变,请直接写出AC的长.

图(1)图(2)

图(3)

4.(1)问题背景:

如图(1),△ABD和△FOG均为等腰直角三角形,∠BAD=∠FOG=90°,AB=AD,点O为BD 的中点,OF=OG,点O,A,F三点共线,连接BF,AG,猜想BF和AG的位置关系及数量关系分别是.

(2)类比探索:

如图(2),将等腰直角三角形FOG绕点O逆时针旋转α(0°<α<90°)后,(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请予以证明;否则,请说明理由.

(3)拓展延伸:

在等腰直角三角形FOG绕点O逆时针旋转α(0°<α<360°)的过程中,若BD=OG=2,点P为边FG上的动点,请直接写出线段AP长度的最大值和最小值.

图(1)图(2)

类型2动点引起的探究

5.[2018开封一模]【问题提出】

(1)如图(1),已知△ABC是等腰三角形,点E在线段AB上,点D在直线BC上,且ED=EC,将△BCE绕点C顺时针旋转60°至△ACF,连接EF.求证:AB=BD+AF.

【类比探究】

(2)如图(2),如果点E在线段AB的延长线上,其他条件不变,线段AB,BD,AF之间又有怎样的数量关系?请说明理由.

(3)如果点E在线段BA的延长线上,其他条件不变,请在图(3)的基础上将图形补充完整,并写出AB,BD,AF之间的数量关系,不必说明理由.

图(1)图(2)图(3)

6.[2018江苏连云港中考改编]在数学兴趣小组活动中,小亮进行数学探究活动.△ABC是边长为2的等边三角形,E是直线AC上一点,小亮以BE为边向BE的右侧作等边三角形BEF,连接CF.

(1)如图(1),当点E在线段AC上时,EF,BC相交于点D,小亮发现有两个三角形全等,请你找出来,并证明.

(2)如图(2),当点E在AC的延长线上运动时,CF,BE相交于点D,请你探求△ECD的面积S1与△DBF的面积S2之间的数量关系,并说明理由.

(3)如图(2),当△ECD的面积S1=时,求AE的长.

图(1)图(2)

7.[2018辽宁抚顺]在△ABC中,AB=BC,BD⊥AC于点D,∠FAC=∠ABC,且∠FAC在AC 下方.点P,Q分别是射线BD、射线AF上的动点,且点P不与点B重合,点Q不与点A重合,连接CQ,过点P作PE⊥CQ于点E,连接DE.

(1)若∠ABC=60°,BP=AQ.

①如图(1),当点P在线段BD上运动时,请直接写出线段DE和线段AQ的数量关系和位置关系;

②如图(2),当点P运动到线段BD的延长线上时,试判断①中的结论是否仍然成立,并说明理由.

(2)若∠ABC=2α≠60°,请直接写出当线段BP和线段AQ满足什么数量关系时,能使(1)①中的结论仍然成立(用含α的三角函数表示).

图(1)图(2)

8.[2018四川乐山]已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D,E分别在BC,AC边上,连接BE,AD 交于点P,设AC=kBD,CD=kAE,k为常数.

(1)如图(1),若k=1,则∠APE的度数为;

(2)如图(2),若k=,试问(1)中的结论是否成立?若成立,请说明理由;若不成立,求出∠APE的度数.

(3)如图(3),若k=,且点D,E分别在CB,CA的延长线上,(2)中的结论是否仍然成立,请说明理由.

图(1)图(2)

图(3)

类型3图形形状变化引起的探究

9.[2018山东淄博]

(1)操作发现

如图(1),小明画了一个等腰三角形ABC,其中AB=AC,在△ABC的外侧分别以AB,AC为腰作了两个等腰直角三角形ABD,ACE,分别取BD,CE,BC的中点M,N,G,连接GM,GN.小明发现了:线段MG与NG的数量关系是,位置关系是.

(2)类比思考

如图(2),小明在此基础上进行了深入思考,把等腰三角形ABC换为一般的锐角三角形,其中AB>AC,其他条件不变,小明发现的上述结论还成立吗?请说明理由.

(3)深入研究

如图(3),小明在(2)的基础上,又进一步探究:向△ABC的内侧分别作等腰直角三角形ABD,ACE,其他条件不变,试判断△GMN的形状,并证明.

图(1)图(2)

图(3)

10.[2018南阳一模]【问题情境】