高二数学排列及排列数
排列数 课件 -2022-2023学年高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第三册
m
符号 An 中的A是英文
arrangement(排列)
的第一个字母
排列数：
我们把从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，
m
叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 An 表示.
m
n
A
取出元素数
元素总数
排列的第一个字母
m，n所满足的条件是：
(1) m∈N*，n∈N* ；
全排列数：
1. 全排列：从n个不同素中取出n个元素的一个排列称为n个不同 元素的
一个全排列 .
全排列数为: Ann n( n 1)( n 2) 2 1 n！
2.阶乘：正整数1到n的连乘积 1×2×···×n称为n的阶乘，用 n！表示, 即
Ann n !
规定：0 ! 1.
小结：
1. 排列数公式：A n( n 1)( n 2) ( n m 1). ( m , n N 且m n)
m
n
*
2. 全排列数: Ann n( n 1)( n 2) 2 1
3.阶乘：正整数1到n的连乘积 1×2×···×n称为n的阶乘，用 n！表示, 即
∴不同的排法共有 A44 A31 A31 A33 78 种.
解2：甲站排头有 A44 种排法，乙站排尾有 A44 种排法.
3
但两种情况都包含了 “甲站排头, 且乙站排尾” 的情况，有A3 种排法.
5
4
3
∴ 不同的排法有 A5 2 A4 A3 78 种排法．
例题 证明：Anm mAnm 1 Anm1 .
解1：分两步完成：(特殊位置法)
高中数学排列组合
1、排列定义
一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n） 个元素按照一定顺序排成一列，叫做从n个不同 元素中取出m个元素的一个排列.
排列的定义中包含两个基本内容： 一是“取出元素”；二是“按照一定顺序排列”．“一定 顺序”就是与位置有关，这也是判断一个问题是不是排列问 题的重要标志．
根据排列的定义，两个排列相同，当且仅当这两个排 列的元素完全相同，而且元素的排列顺序也完全相同．
思考 上述问题1,2 的共同特点是什么?你能将它 们推广到一般情形吗?
一般地,从n个不同的元素中取出m(m n)个元素, 按 照 一 定 顺 序 排 成 一 列,叫 做 从n个 不 同 元 素 中 取
出m个元素的一个排列 (arrangement).
思考 你能归纳一下排列的特征吗?
根据排列的定义,两个排列相同,当且仅当两个排 列的元素完全相同,且元素的排列顺序也相同.例 如在问题2中,123与134的元素不完全相同,它们 是 不 同 的 排 列;123与132虽 然 元 素 完 全 相 同, 但 元 素的排列顺序不同,它们也是不同的排列.
（5）20位同学互通一次电话 （6）20位同学互通一封信
（7）以圆上的10个点为端点作弦 （8）以圆上的10个点中的某一点为起点，作 过另一个点的射线
（9）有10个车站，共需要多少种车票？ （10）有10个车站，共需要多少种不同的票价？
例2.某年全国足球甲级 A组 联赛有14
个队参加, 每队要与其余各队在主、客场 分别比赛一次, 共进行多少场比赛?
nn
1n
2 n n m
m 1n
2 1
m
2
1
n! nm!
A
n n
A nm nm
.
高二数学排列和组合知识点
高二数学排列和组合知识点排列与组合是高中数学中的重要内容，它们在解决实际问题时具有广泛的应用。
本文将详细介绍排列和组合的基本概念、公式以及解题方法，帮助学生掌握这一知识点。
基本概念排列和组合都是从一组元素中选择一定数量的元素进行分析的数学方法。
排列强调元素的顺序，而组合则不考虑元素的顺序。
排列1. 排列数公式：从n个不同元素中取出m个元素的所有排列的个数，记作A_{n}^{m}，计算公式为：\[ A_{n}^{m} = \frac{n!}{(n-m)!} \]其中n!表示n的阶乘，即从1乘到n。
2. 举例说明：假设有5本不同的书，我们要选出2本来阅读。
如果考虑阅读的顺序，那么第一天读哪本书，第二天读哪本书是有区别的。
这里就有A_{5}^{2}种不同的排列方式。
组合1. 组合数公式：从n个不同元素中取出m个元素的所有组合的个数，记作C_{n}^{m}，计算公式为：\[ C_{n}^{m} = \frac{n!}{m!(n-m)!} \]同样，这里的n!表示n的阶乘。
2. 举例说明：继续上述的例子，如果我们只关心选出哪2本书来阅读，而不关心阅读的顺序，那么这就是一个组合问题。
计算方法为C_{5}^{2}。
解题方法1. 区分排列与组合：首先要明确问题是要求排列还是组合。
如果问题中涉及到元素的顺序，那么就是排列问题；如果不涉及顺序，则是组合问题。
2. 公式运用：根据问题的具体要求，选择合适的排列或组合公式进行计算。
3. 实际应用：排列和组合的知识可以应用于许多实际问题，如概率计算、统计分析等。
在解题时，要结合实际情况，灵活运用所学知识。
练习题1. 有7个人排队，其中甲必须排在乙的前面，问有多少种排队的排列方式？2. 一个班级有10个男生和5个女生，从中选出3个代表，其中至少有1个女生的组合有多少种？通过以上介绍和练习题，相信学生可以更好地理解和掌握排列与组合的概念、公式及解题方法。
在实际解题过程中，要注意区分排列和组合的不同，并正确运用公式，这样才能有效地解决问题。
高二重要数学公式归纳总结
高二重要数学公式归纳总结数学是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科,从某种角度看属于形式科学的一种。
下面是小编为大家整理的关于高二重要数学公式总结，希望对您有所帮助!高二数学排列公式1.排列及计算公式从n个不同元素中，任取m(mn)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列;从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号p(n，m)表示.p(n，m)=n(n-1)(n-2)(n-m+1)=n!/(n-m)!(规定0!=1).2.组合及计算公式从n个不同元素中，任取m(mn)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合;从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有组合的'个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号c(n，m)表示.c(n，m)=p(n，m)/m!=n!/((n-m)!_m!);c(n，m)=c(n，n-m);3.其他排列与组合公式从n个元素中取出r个元素的循环排列数=p(n，r)/r=n!/r(n-r)!.n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1，n2，...nk这n个元素的全排列数为n!/(n1!_n2!_..._nk!).k类元素，每类的个数无限，从中取出m个元素的组合数为c(m+k-1，m).排列(Pnm(n为下标，m为上标))Pnm=n(n-1)....(n-m+1);Pnm=n!/(n-m)!(注：!是阶乘符号);Pnn(两个n分别为上标和下标)=n!;0!=1;Pn1(n为下标1为上标)=n 组合(Cnm(n为下标，m为上标))Cnm=Pnm/Pmm;Cnm=n!/m!(n-m)!;Cnn(两个n分别为上标和下标)=1;Cn1(n为下标1为上标)=n;Cnm=Cnn-m高二数学向量公式1.单位向量：单位向量a0=向量a/|向量a|2.P(x,y) 那么向量OP=x向量i+y向量j|向量OP|=根号(x平方+y 平方)3.P1(x1,y1) P2(x2,y2)那么向量P1P2={x2-x1,y2-y1｝|向量P1P2|=根号[(x2-x1)平方+(y2-y1)平方]4.向量a={x1,x2｝向量b={x2,y2｝向量a_向量b=|向量a|_|向量b|_Cos=x1x2+y1y2Cos=向量a_向量b/|向量a|_|向量b|(x1x2+y1y2)=根号(x1平方+y1平方)_根号(x2平方+y2平方)5.空间向量：同上推论(提示：向量a={x,y,z｝)6.充要条件：如果向量a向量b那么向量a_向量b=0如果向量a//向量b那么向量a_向量b=|向量a|_|向量b|或者x1/x2=y1/y27.|向量a向量b|平方=|向量a|平方+|向量b|平方2向量a_向量b=(向量a向量b)平方高中数学三角函数公式锐角三角函数公式sin α=∠α的对边 / 斜边cos α=∠α的邻边 / 斜边tan α=∠α的对边/ ∠α的.邻边cot α=∠α的邻边/ ∠α的对边倍角公式Sin2A=2SinA?CosACos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1tan2A=(2tanA)/(1-tanA^2)(注：SinA^2 是sinA的平方 sin2(A) )三倍角公式sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α)cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α)tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a)三倍角公式推导sin3a=sin(2a+a)=sin2acosa+cos2asina辅助角公式Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中sint=B/(A^2+B^2)^(1/2)cost=A/(A^2+B^2)^(1/2)tant=B/AAsinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B 降幂公式sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))。
5.2排列与排列数排列数公式课件-高二上学期数学北师大版选择性
(2) 元素的有序性
判断关键是看选出的元素有没有顺序要求.
2、排列数及公式
排列数公式：从n个不同元素中取出m (m≤n,且m,n∈N+)个元素的排 列共有n(n-1)(n-2)·…·[n-(m-1)］种，所以
分析:每组任意2支队之间进行的1场比赛， 可以看作是从该组6支 队中选2支，按“主队、客队”的顺序排成一个排列.
解 可以先从6支队选1支队为主队，然后从剩下的5支队中选1支队 为客队，按分步乘法计数原理，每组进行的比赛场数为:6×5=30.
§2 排列 第1课时 排列与排列数、排列数公式
➢1.通过实例，理解排列的概念，能利用计数原理推导排 列数公式，达到数学运算和数学抽象核心素养水平一的层 次； ➢利用排列数公式解决一些简单的实际问题，达到逻辑推 理和数学建模核心素养水平一的层次。
环节一
排列的概念
1、排列的概念
思考1：3名同学排成一行照相，共有多少种排法？
环节二
排列数及公式
2、排列数及公式
2、排列数及公式
第1步:第一个位置可以从n个不同元素中任选1个，有n种方法 ； 第2步:第二个位置可以从除了确定排在第一个位置的那个元素 之外的(n-1)个中任选1个，有(n-1)种方法，即第一个位置的 每一种方法都对应(n-1)种方法
2、排列数及公式
提示：从n个不同元素中取出m (m≤n,且m,n∈N+)个元素的排列，看成 从n个不同的球中取出m个球,放入排好的m个盒子中,每个盒子里放一个 球，我们根据分步乘法计数原理排列这些球： 第1步,从全体n个球中任选一个放入第1个盒子，有n种方法； 第2步，从剩下的(n-1)个球中任选一个放入第2个盒子，有(n-1)种方法 ；
（2）甲、乙两人不相邻的排法有多少种？
高二数学排列、排列数公式人教版知识精讲
高二数学排列、排列数公式人教版【同步教育信息】一. 本周教学内容：排列、排列数公式二. 重点、难点：重点：1. 排列的概念、排列数公式2. 排列的应用难点：有附加条件的排列数的计算，排列应用问题等是这部分内容的难点。
【典型例题】例1. 一排有8个座位3个人去坐，若每个人左右均有空位，有多少种坐法？分析：转化为3个人插5个空的模型：每个人都拿着一把椅子，先排其余的5个椅子（一种排法），它们之间产生4个空档，再把手拿椅子的3个人排到这4个空档中，共有A 43＝24种。
例2. 把1、2、3、4、5这五个数字组成无重复数字的五位数，并把它们按从小到大的顺序排列，构成一个数列。
（1）43251是这个数列的第几项？（2）这个数列的第96项是多少？（3）求这个数列的各项和。
解：（1）本题实际上是求不大于43251的五位数有多少个的问题，逆向考虑，将大于它的数分成如下三种情况。
答：43251是此数列的第88项。
（2）用排除法逆向分析，此数列共有120项，第96项以后还有120－96＝24项，即比第96项所表示的五位数大的五位数有24个，而以5打头的五位数恰好有A 44＝24（个），所以小于以5打头的五位数中最大的一个就是该数列的第96项，即为45321.答：这个数列的第96项是45321.（2）实际上是求所组成的五位数的和，因为1、2、3、4、5各在万位上时都有44P 个五位数，所以在万位上的和为10000)54321(44⋅++++P 。
同理，它们在千位、百位、十位、个位上也都有44P 个五位数，所以其和为)1000100101()54321(44+++⋅++++P 。
∴综上可知，这个数列的和为：答：这个数列的各项和为3999960。
说明：本题中的逆向思维的分析方法是解决问题的重要方法，当从正面解决问题比较困难时，可以考虑从它的反面入手，问题往往就可以迎刃而解。
例3. 一场晚会有5个唱歌和3个舞蹈共8个节目，问按下列要求各可排出多少种不同的节目单？（1）前4个节目中即要有唱歌又要有舞蹈；（4）3个舞蹈节目的先后顺序一定。
高二排列组合基本知识点
高二排列组合基本知识点在高中数学中，排列组合是一个重要的知识点，它是数学中的一种计数方法。
在解决真实生活问题或者数学题目时，我们经常会遇到需要使用排列组合知识点的情况。
下面，我们将详细介绍高二阶段学习的排列组合的基本知识点。
一、排列的基本概念排列是从给定的元素中取出若干个，按一定顺序排列成一列的方式。
在排列过程中，每个元素只能使用一次。
我们用P表示排列的个数，P后面的数字表示从中选取元素的个数。
1. 从n个不同元素中取出m个元素进行排列，形成的排列数用P(n, m)表示。
其中n和m均为非负整数，且m必须小于等于n。
排列数的计算公式为：P(n, m) = n! / (n - m)!2. 当m = n 时，即从n个不同元素中取出所有元素进行排列，此时的排列数用P(n)表示，即全排列。
全排列的计算公式为：P(n) = n!二、组合的基本概念组合是从给定的元素中取出若干个，不考虑顺序地合成一组的方式。
在组合过程中，每个元素只能使用一次。
我们用C表示组合的个数，C后面的数字表示从中选取元素的个数。
1. 从n个不同元素中取出m个元素进行组合，形成的组合数用C(n, m)表示。
组合数的计算公式为：C(n, m) = n! / (m! * (n - m)!)2. 当m = n 时，即从n个不同元素中取出所有元素进行组合，此时的组合数用C(n)表示，即全组合。
全组合的计算公式为：C(n) = C(n, 1) + C(n, 2) + ... + C(n, n-1) + C(n, n)三、排列组合的应用排列组合在实际生活和数学问题中的应用非常广泛。
下面以几个典型的应用例子来说明：1. 生日问题假设有n个人，问至少有两人生日相同的概率是多少？这个问题可以通过排列组合的方式求解。
我们首先求出总的可能性，即将n个人的生日安排在365天中的任意一天，所以总的可能性为365^n。
然后，我们计算没有两人生日相同的情况数。
假设第一个人的生日可以任意选择，那么第二个人的生日不能与第一个人同一天，所以有365-1=364种选择，同理可推第三个人有365-2=363种选择，以此类推，得到没有两人生日相同的情况总数为365*364*363*...*(365-n+1)。
高中数学第一章计数原理1.2排列与组合1.2.1第1课时排列与排列数公式a23a高二23数学
义及表示 叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号Amn 表示
全排列的概念
n个不同元素__全__部__(q_uá_nb_ù_)取_的出一个排列
阶乘的概念
把_n_·(_n_－__1_)_·…__·_2_·_1记作n！，读作：n的阶乘
Anm＝___n_(_n_－__1_)…__(_n_－__m__＋__1_) ____
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第十五页，共三十六页。
[跟踪训练] 1．判断下列问题是否是排列问题 (1)同宿舍4人，每两人互通一封信，问他们一共写了多少封信？ (2)同宿舍4人，每两人通一次电话，问他们一共通了几次电话？
[解] (1)是一个排列问题，相当于从4个人中任取两个人，并且按顺序 排好．有多少个排列就有多少封信，共有A24＝12封信．
题．
()
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第八页，共三十六页。
[解析] (1)× 因为相同的两个排列不仅元素相同，而且元素的排列顺 序也相同．
(2)√ 因为三名学生参赛的科目不同为不同的选法，每种选法与“顺 序”有关，属于排列问题．
(3)× 因为分组之后，各组与顺序无关，故不属于排列问题． (4)√ 因为任取的两个数进行指数运算，底数不同、指数不同结果不 同．结果与顺序有关，故属于排列问题． (5)√ 因为纵、横坐标不同，表示不同的点，故属于排列问题．
第二页，共三十六页。
[自 主 预 习·探 新 知]
1．排列的概念 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照_一__定_(_yī_dì_ng_)_的_顺排序成一列，叫 做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列． 2．相同排列的两个条件 (1)_元__素__(_yu相án s同ù) ． (2)_顺__序__(s_hù相nxù同) ． 思考：如何理解排列的定义？
第二节 排列讲义-2022-2023学年高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第三册
6.2 排列知识清单1．排列一般的，从n 个不同的元素中取出)(n m m ≤个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m 个元素的一个排列．两个排列相同的充要条件：两个排列的元素完全相同，并且元素的排列顺序也相同．2．排列数我们把从n 个不同元素中取出)(n m m ≤个元素的所有不同排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号m n A 表示．3．排列数公式（1）)1()2)(1(+-⋅⋅⋅--=m n n n n A m n，这里，*∈N n m ，，并且n m ≤，这个公式叫做排列数公式．（2）特别地，我们把n 个不同的元素全部取出的一个排列，叫做n 个元素的一个全排列．即123)2()1(⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯-⨯-⨯=n n n A n n ．（3）正整数1到n 的连乘积，叫做n 的阶乘，用!n 表示．于是，n 个元素的全排列公式可以写成!n A n n =．另外，我们规定1!0=．（4）!)(!)1()2)(1(m n n m n n n n A m n -=+-⋅⋅⋅--=，*∈N n m ，，且n m ≤． 4．排列问题的常见模型（1）特殊元素（位置）——————优先法；（2）相邻问题——————————捆绑法；（3）不相邻问题—————————插空法；（4）定序问题——————————倍缩法（除法）；（5）相同元素排列问题——————倍缩法（除法）；（6）圆形排列——————————倍缩法（除法）．题型训练题型一 特殊元素（位置）问题对于特殊元素（位置）的排列问题，一般先考虑特殊，再考虑其他，也可以选择间接法．1．用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（）A．24B．48C．60D．722．6位选手依次演讲，其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲，则不同的演讲次序有（）A．240种B．360种C．480种D．720种3．有6人站成前后两排，每排3人，甲在前排，乙不在后排的边上，则不同的排法种数为（）A．96 种B．192 种C．216 种D．288 种4．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲,则不同的排法共有（）A．192种B．216种C．240种D．288 种5．用0，1，2，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为（）A．243B．252C．261D．2796．某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位、节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有（）A．36种B．42种C．48种D．54种7．用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有（）A．144个B．120个C．96个D．72个8．生产过程有4道工序，每道工序需要安排一人照看，现从甲乙丙等6名工人中安排4人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲乙两工人中安排1人，第四道工序只能从甲、丙两工人中安排1人，则不同的安排方案有（）A．24种B．36种C．48种D．72种9．已知有5名同学站成一排．（1）甲不站排头，则不同的排法种数为（2）甲不站排头，且乙不站排尾，则不同的排法种数为（3）甲不站排头，乙不站排尾，且丙站中间，则不同的排法种数为10．用0，1，2，3，4 这五个数字．（1）组成无重复数字的四位数的个数为（2）组成无重复数字的四位偶数的个数为（3）组成组成无重复数字且大于2000的四位偶数的个数为题型二相邻问题（捆绑法）当有元素要求相邻时，先整体考虑，将相邻的元素“捆绑”起来，看作一个大元素与其余元素排列，然后再考虑大元素内部各元素间顺序．11．有6名同学排成一排照相，要求甲、乙、丙三人站一起，则不同的排法种数为（）A．24种B．72种C．144种D．288种12．某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目相邻的排法种数为（）A．36种B．48种C．54种D．72种13．某班有6位学生与班主任老师合影，班主任站在正中间且甲乙相邻，则排法的种数为（）A．144种B．192种C．216种D．240种14．一排9个座位坐了3个三口之家．若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为（）A．3×3!B．3×（3!）3C．（3!）4D．9!15．六个停车位置，有3辆汽车要求停放，若要使3辆汽车相邻停放，则停放的方法种数为（）A．24种B．36种C．48种D．72种16．甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有（）A．12种B．24种C．36种D．48种17．有5名男生与5名女生排成一排，男生甲与男生乙之间有且只有2名女生，且女生不排在两端，则这样的排列种数为（）A．57600种B．5760种C．28800种D．2880种18．某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天安排1人，每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有（）A．504种B．960种C．1008种D．1108种19．有6名同学站成一排．（1）甲、乙相邻，则不同的排法种数为（2）甲、乙均与丙相邻，则不同的排法种数为（3）甲、乙相邻，且丙、丁相邻，则不同的排法种数为（4）甲、乙相邻，且丙不站首位，则不同的排法种数为（5）甲、乙相邻，且丙不站首位，丁不站末位，则不同的排法种数为20．有3名男生与3名女生站成一排，若女生相邻且男生甲不站两端，则不同的排法种数为题型三不相邻问题(插空法)当某些元素要求不能相邻时，可以先将其它元素排好，再将指定的不相邻的元素插入到它们的间隙及两端位置.21．某小区的6个停车位连成一排，现有3辆车随机停放在车位上，则任何两辆车都不相邻的停放方式有（ ）种．A ．24B ．72C ．120D ．14422．用数字1，2，3，4，5，6组成的没有重复数字的6位数中，数字1、2相邻且3、4不相邻的6位数共有（ ）A ．72个B ．144个C ．216个D ．288个23．有6把椅子摆成一排，3人随机就座,任何两人不相邻的坐法种数为（ ）A ．144B ．120C ．72D ．2424．由1、2、3、4、5组成没有重复数字且1、2都不与5相邻的五位数的个数是（ ）A ．36B ．32C ．28D ．2425．五声音阶是中国古乐的基本音阶，故有成语“五音不全”．中国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、角、徵、羽，如果用上这五个音阶，排成一．五音阶音序，且宫、羽不相邻，且位于角音阶的同侧，可排成的不同音序有（ ）A ．20种B ．24种C ．32种D ．48种26．有3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（ ）A ．360种B ．288种C ．216种D ．96种27．某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是（ ）A ．72B ．120C ．144D ．16828．有6名同学站成一排．（1）甲、乙不相邻，则不同的排法种数为（2）甲、乙不相邻，且甲、乙均不站两端，则不同的排法种数为（3）甲、乙相邻，且丙、丁不相邻，则不同的排法种数为（4）甲、乙相邻，且甲、乙均不与丙相邻，则不同的排法种数为（5）甲、乙均不与丙相邻，则不同的排法种数为（6）甲、乙不相邻，且丙、丁不相邻，则不同的排法种数为题型四 定序问题（倍缩法）在n 个不同元素的排列中，当有m 个元素要求按一定的顺序排列时，排法种数为m mn n A A ． 29．有6人赛跑，其中甲比乙先到终点，乙比丙先到终点的不同比赛结果的种数为（ ）A ．72B ．120C ．144D ．16830．我们把每个数字比它左边的数字大的正整数称为“渐升数”（如1237），则用1-9九个数字组成的不同四位渐升数的个数为31．元宵节灯展后，如图悬挂有6盏不同的花灯需要取下，每次取1盏，共有 种不同取法．32．有6名同学站成一排，（1）甲站在乙的左边（可以不相邻），则不同的排法种数为（2）甲、乙、丙按照由左至右的顺序排列（可以不相邻），则不同的排法种数为（3）甲站在乙的左边（可以不相邻），丙站在丁的右边（可以不相邻），则不同的排法种数为（4）甲、乙均站在丙的同侧，则不同的排法种数为题型五 相同元素排列问题（倍缩法）在n 个元素的排列中，当有m 个元素相同（其他元素不同）时，排法种数为m mn n A A ． 33．4个数字1和4个数字2可以组成不同的8位数共有（ ）A ．16个B ．70个C ．140个D ．256个34．有2个相同的红球，2个相同的白球，2个相同的黑球排成一列，则不同的排法种数为35．用一个0，一个1，一个2，三个3，可组成不同六位数的个数为36．用数字1，2，3组成五位数，且数字1，2，3至少都出现一次，这样的五位数共有 个题型六 圆形排列对n 个不同元素进行圆形全排列，总共的排法总数为nA n n ． 37．五颗不同的珠子串成一串手链，则组成不同手链的种数为38．有7个人手拉手站成一个圆，且甲乙相邻，则不同的站法种数为综合训练1．甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面．不同的安排方法共有（ ）A ．20种B ．30种C ．40种D ．60种2．如图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，现在用四种颜色给这四个直角三角形区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则有多少种不同的涂色方法（ C ）A．24种B．72种C．84种D．120种3．有3个男生与4个女生站成一排，要求相邻两人性别不同且男生甲与女生乙相邻，则这样的站法种数有（）A．56种B．72种C．84种D．120种4．在某活动中，从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（）A．36种B．12种C．18种D．48种5．由数字1，2，3，…9组成的三位数中，各位数字按严格递增（如“156”）或严格递减（如“421”）顺序排列的数的个数是（）A．120B．168C．204D．2166．如图，用四种不同颜色给图中的A，B，C，D，E，F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有（）A．288种B．264种C．240种D．168种7．将数字“124470”重新排列后得到不同的偶数个数为（）A．180B．192C．204D．2648．如图，用四种不同颜色给图中的ABCDEF六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同的颜色，而且四种不同颜色要全部用完，则不同的涂色方法共有（）种．A．144B．216C．264D．3609．由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是（）A．72B．96C．108D．14410．现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加．甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜四项工作，则不同安排方案的种数是（）A．152种B．126种C．90种D．54种11．用数字1、2、3、4组成没有重复数字的四位数，则这些四位数中比2134大的数字个数为12．首届中国国际进口博览会在上海举行，某高校拟派4人参加连续5天的志愿者活动，其中甲连续参加2天，其他人各参加1天，则不同的安排方法有种13．将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是．14．把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有种．15．将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，且A，B均在C的同侧，则不同的排法共有种．16．江湖传说，蜀中唐门配制的天下第一奇毒“含笑半步癫”是由3种藏红花，2种南海蛇毒和1种西域毒草顺次添加炼制而成，其中藏红花的添加顺序不能相邻，同时南海蛇毒的添加顺序也不能相邻，现要研究所有不同添加顺序对药效的影响，则总共要进行次试验．第二节排列参考答案题型一特殊元素（位置）问题1-5 D，C，C，B，B 6-8 B，B，B9．（1）96 （2）78 （3）1410．（1）96 （2）60 （3）42题型二相邻问题（捆绑法）11-15 CDBCA 16-18 BAC19．（1）240 （2）48 （3）96 （4）192 （5）156 20．72题型三不相邻问题(插空法)21-25 ABDAC 26-27 BB28．（1）480 （2）144 （3）144 （4）144 （5）288 （6）336题型四定序问题（倍缩法）29-31 B，126 ，9032．（1）360 （2）120 （3）180 （4）480题型五相同元素排列问题（倍缩法）33-36 B，90，100，150题型六圆形排列37-38 24，120综合训练1-5 A，C，B，A，B 6-10 B，C，B，C，B11-16 17，24，96，36，480，120。
高二数学排列3(中学课件201909)
例4 某4名学生和2位老师站成一排照 相，若2位老师不相邻，求共有多少种不
同的站法？ A44 ?A52 480
例5 从某6名学生中选取4人分别担任
四种不同职务的班干部，由于某种原因，
甲、乙两人不同时入选，求共有多少种
不同的分工方案.
A64 - A22 ?A42 336
例6 从5名学生中选出4人，分别参加
数学、物理、化学、生物四个学科竞赛，
每个学科各一人，其中甲不参加物理和
化学两个竞赛，求共有多少种不同的参
赛方案.
A44 + A21 ?A43 72
例7 将大小不同的5个红球和2个白球 摆成一排，要求两端都是红球，其最小 的红球与最小的白球必须相邻，求共有 多少种不同的摆放方法.
3.排列数公式:
Anm = n(n - 1)(n - 2)L (n - m + 1)
= n ! ( m，n∈N*，m≤n) (n - m ) !
； 扬州拓展培训 扬州拓展培训
；
敢同匹夫 今有高车 出为东平原太守 累迁平东将军 君吴国败丧不久 百官在位 夺其管籥 仕刘义隆 州有兵粮和籴 蠲其租赋 释氏之学 诏曰 居当五裂；字景世 酸枣令郑伯孙 必使室有久储 臣闻有国有家者 谬预议筵 戎车不息 行岐州事 有当世器干 菽麦禾黍 "若因此进淹 随楷之州 以申国 命 以宗文教 与行台樊子鹄讨之 魏将作大匠浑之八世孙也 同元禧之逆 广开学校 但废学历年 综部将成景俊 民物涂炭 房宇既修 贵宾弟次珍 有情之辈 乃复画道斌形于孔子像之西而拜谒焉 且遣左右为元略使 江阳王继为司徒 伯夏弟谨 咸称善计 "高祖曰 景俊便记 "淹既蒙进 隶淮南王世遵 与著作郎韩兴宗参定朝仪 "诏从之
6.2.2 排列数(课件)高二数学(新教材人教A版选择性必修第三册)
十位数字和百位数字的排法种数有
A
2 4
种
，
故
奇
数
有
A
1 3
×A
2 4
＝
3×4×3＝36(个)．
3．用 1,2,3,4,5,6,7 这 7 个数字排列组成一个七位数，要求在其偶数 位上必须是偶数，奇数位上必须是奇数，则这样的七位数有________ 个． 144 解析：先排奇数位有 A44种，再排偶数位有 A33种，故共有 A44A33 ＝144(个)．
() A．720
B．360
C．240
D．120
C 解析：因甲、乙两人要排在一起，故将甲、乙两人捆在一起视作 一人，与其余四人全排列共有 A55种排法，但甲、乙两人之间有 A22种 排法． 由分步乘法计数原理知，共有 A55A22＝240(种)不同的排法．
2．6 把椅子摆成一排，3 人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数
1．在实际排列问题中，有些元素必须相邻．在解决此类问题时，一 般用“捆绑法”，先把相邻的若干个元素“捆绑”为一个“大元 素”与其他元素一起排列，再对这些元素进行全排列． 2．排列问题中，解决“不相邻”问题的有效方法是“插空法”，也 就是先将其余元素排好，再将要求不相邻的元素插入空中进行排列．
1．6 名同学排成一排，其中甲、乙两人必须在一起的不同排法共有
解：(1)方法一(位置分析法)：因为两端不排女生，只能从 5 个男生中 选 2 人排列，有 A25种排法，剩余的位置没有特殊要求，有 A66种排法， 因此共有 A25A66＝14 400(种)不同排法． 方法二(元素分析法)：从中间 6 个位置选 3 个安排女生，有 A36种排 法，其余位置无限制，有 A55种排法，因此共有 A36A55＝14 400(种)不 同排法．
排列与排列数课件-2024-2025学年高二上学期数学北师大版(2019)选择性必修第一册
1.在本例中,若在条件中增加一条“A不坐排头”,则结论如何?
解:画出树形图,如答图5-2-3.
答图5-2-3
由树形图可知,所有坐法为BACD,BADC,BCAD,BCDA,BDAC,BDCA,
CABD,CADB,CBAD,CBDA,CDAB,CDBA,DACB,DABC,DBAC,DBCA,
DCAB,DCBA,共有18种.
8×7×6×5×4=6 720种不同的选法.
答案:6 720
3.(1)有7本不同的书,从中选3本送给3名同学,每人各1本,共有多少种不同
的送法?
(2)有7种不同的书,要买3本送给3名同学,每人各1本,共有多少种不同的送
法?
解:(1)从7本不同的书中选3本送给3名同学,相当于从7个不同元素中任取3
个元素的一个排列,所以共有7×6×5=210种不同的送法.
解:画出树形图,如答图5-2-5.
答图5-2-5
由树形图可知,所有坐法为ACBD,ACDB,ADBC,ADCB,BCAD,BCDA,
BDAC,BDCA,CADB,CBDA,DACB,DBCA,共有12种.
利用“树形图”解决简单排列问题的适用范围及策略
(1)适用范围:树形图在解决排列元素个数不多的问题时,是一种比较有效
【问题思考】
1.高二(1)班为了安排正、副班长,先由学生推荐选举出五名候选人,分别记
为A,B,C,D,E,再由班主任选出两名担任正、副班长.请思考问题:
(1)若班主任选A,B担任正、副班长,有几种安排方法?
提示:两种,即A为正班长、B为副班长,A为副班长、B为正班长.
(2)请你用分步乘法计数原理计算一下班主任共有多少种安排方法.
答图5-2-7
由树形图知,符合条件的三位数有8个:201,210,230,231,301,302,310,312.
高二数学排列与排列数公式1省公开课获奖课件市赛课比赛一等奖课件
123 12
124
132
1
13 134
142 14
143
213 21
214
231
2
23 234
241 24
243
312 31
314
321
3
32
324
4
34
341
Байду номын сангаас
342
412 41
413
421 42
423
431 43
432
一般地说，从 n 个不同元素 中，任取 m (m≤n) 个元素（本章 只研究被取出旳元素各不相同旳 情况），按照一定旳顺序排成一 列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素旳一种排列。
Pm n
n
(n
1)
(n
2)(n
m
1)
Pn n
n (n 1)
(n 2)
•
···•3
•2
•1
Pnn n ！
例1 计算：
(1)
P3 16
;
(2)
P8 12
;
P7 12
(3) P66 .
161514 3360
121110 98 7 6 5 5 121110 98 7 6
6！=6×5×4×3×2×1=720
排列与组合
排列与排列数公式 （一）
9.2 排列
例1 北京、上海、广州 三个民航站之间旳直达航 线，需要准备多少种不同 旳飞机票？
起点站 终点站
北京
上海 广州
上海
北京 广州
广州
北京 上海
飞机票 北京 上海
北京 上海
广州 北京
上海 广州
高二数学选修2-3排列知识点
高二数学选修2-3排列知识点排列是数学中的一个重要概念，在高二数学选修2-3中，我们将深入学习排列的相关概念和应用。
本文将从基本概念、排列的计算方法和排列的应用几个方面进行探讨。
一、基本概念1. 排列的定义：排列是从给定的元素中选取一部分按照一定的顺序排列的方式。
2. 全排列：全排列指的是从给定的元素中选取所有元素按照不同的顺序进行排列的方式。
3. 循环排列：循环排列是一种特殊的排列方式，即在排列的过程中，首尾相连形成一个环。
二、排列的计算方法1. 排列的计算公式：在计算排列的数量时，我们可以使用排列的计算公式，即n个不同元素的全排列数量为n!。
2. 有重复元素的排列：当排列中存在重复的元素时，计算排列的数量需要考虑重复元素的情况，我们可以使用排列计算公式的变形公式，即在n个元素中，有n1个元素相同，n2个元素相同，...，nk个元素相同，则排列的数量为n!/(n1! * n2! * ... * nk!)。
三、排列的应用1. 字母组合：排列的概念在字母组合的问题中经常被应用。
例如，计算一个字母串中可能的组合数量、字母的全排列数量等。
2. 座位安排：排列的概念也被广泛应用于座位安排的问题中。
例如，如何安排n个人坐在一排座位上的不同方式数量。
3. 时间安排：排列还可以应用于时间安排问题。
例如，在参加一场比赛的选手中，如何安排他们的比赛顺序，使得每个选手都能与其他选手进行比赛。
4. 数字密码：排列的概念在密码学中也扮演着重要的角色。
例如，当设置数字密码时，我们可以使用排列的方式来确定密码的顺序与组合。
综上所述，排列作为高二数学选修2-3中的重要知识点，具有一定的理论基础和应用价值。
通过深入学习和实践，我们可以更好地掌握排列的计算方法和应用技巧，进一步提升我们的数学能力和问题解决能力。
2024-2025学年高二数学选择性必修第一册(配湘教版)课件4.2第1课时排列的定义及排列数
(2)涉及与排列数有关的证明问题,用排列数公式的阶乘形式较为方便,一
般写出它们的式子后,再提取公因式,然后计算,这样往往会减少运算量.
变式训练2
A 59 +A 49
(1)计算:A 6 -A 5 ;
10 10
-
(2)求证:A = A
·A- (m,n∈N+,m≤n).
(1)解 (方法
(1)解 由题可得n(n-1)=7(n-4)(n-5),整理得3n2-31n+70=0.解得n=7或
n=
10
3
.∵n∈N+,∴n=7.
(2)证明∵A
+1
− A
=
(+1)!
!
− (- )!
(+1-)!
!
-1
=m·
=mA ,∴A
+1
+1-
(+1-)!
=
!
+1
!
售票员分配到 4 辆汽车上,有A44 种安排方法.根据分步乘法计数原理,共有
A44 A44 =576 种不同的安排方法.
(2)用1,2,3,4,5,6,7这7个数字组成无重复数字的四位数,共有
A47 =7×6×5×4=840个无重复数字的四位数.
本节要点归纳
1.知识清单:
(1)排列的概念;
(2)排列数与排列数公式.
元素,再按此元素分类,依次进行,直到完成一个排列,这样能不重不漏,然后
按树状图写出排列.
变式训练1
计算北京、广州、南京、天津4个城市相互通航的飞机机票的所有种数,
并列举出来.
解 4个城市相互通航的飞机机票的所有种数为 A24 =4×3=12.
数学高二排列部分的知识点
数学高二排列部分的知识点排列是组合数学中的一个重要概念，它在高中数学中占据着重要地位。
在高二数学中，排列部分的知识点涉及到排列的定义、性质、计算方法等方面内容。
本文将为你详细介绍高二数学排列部分的核心知识点。
1. 排列的定义排列是指从一组不同的元素中按照一定的顺序选取若干个元素构成一种组合方式。
一般来说，排列的元素中不允许存在重复的情况。
2. 排列的计算公式高二数学中，排列的计算公式主要有两种，分别是排列的定义公式和排列的计数公式。
排列的定义公式为：P(n,r) = n! / (n-r)!其中，P(n,r)表示从n个元素中选取r个元素进行排列的情况数，n!表示n的阶乘。
排列的计数公式为：P(n,n) = n!其中，P(n,n)表示从n个元素中选取n个元素进行排列的情况数，n!表示n的阶乘。
3. 排列的性质排列具有以下几个基本性质：（1）交换律：对于排列P(n,r)，交换其中任意两个元素的位置，得到的仍然是一个排列。
（2）乘法原理：对于两个独立的排列P(n,r)和P(m,s)，将它们按某种顺序排列在一起，得到的结果是一个新的排列P(n+r, r+s)。
（3）循环性质：对于一个排列P(n,r)，将其逆序得到的排列仍然是一个排列。
4. 应用案例排列在实际问题中有着广泛的应用，下面通过一个应用案例来加深理解。
案例：某班有10名学生，要从中选取4名学生参加一次数学竞赛。
问有多少种不同的选取方案？解答：根据排列计算公式，可知P(10, 4) = 10! / (10-4)! = 5040。
即从10名学生中选取4名学生进行排列的方案数为5040。
5. 注意事项在应用排列的过程中，需要注意以下几个问题：（1）是否允许重复：有些问题中，选取的元素允许出现重复，需要根据具体情况进行计算。
（2）约束条件：有些问题中，选取元素的数量、位置等存在一定的约束条件，需要根据具体情况进行计算。
（3）问题转化：有些问题中，可以通过将问题转化成排列问题来进行求解，需要善于运用数学方法。
排列与排列数(课件)-高二数学同步精品课堂(人教A版2019选择性必修第三册)
表示.
三、排列数公式
探究：从n个不同元素中取出m个元素的排列数A
（m≤n）是多少？
可以先从特殊情况开始探究，例如求排列数A2 ，可以这样考虑：
假定有排好顺序的两个空位，如图所示，从n个不同元素中取出2个元素去填
空，一个空位填上一个元素，每一种填法就得到一个排列；反之，任何一种
可得到多少个不同的点的坐标？
(3)从 10 名同学中任抽 2 名同学去学校开座谈会，有多少种不同的抽取方
法？
(4)某商场有四个大门，若从一个大门进去，购买物品后，再从另一个大门
出来，不同的出入方式有多少种？
(5)有红球、黄球、白球各一个，现从这三个小球中任取两个，分别放入甲、
乙两个盒子里，有多少种不同的放法？
排列．而检验它是否有顺序的依据是变换元素的位置，看结果是否发生变化，
有变化就是有顺序，无变化就是无顺序．
[对点练清]
判断下列问题是否为排列问题．
(1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来
回的票价相同)；
(2)选 2 个小组分别去植树和种菜；
(3)选 2 个小组去种菜；
(4)选 10 人组成一个学习小组；
排列总可以由这种填法得到.因此，所有不同填法的种数就是排列数2 .
现在来计算有多少种填法.完成“填空”这件事
可以分为两个步骤完成：
第1步，填第1个位置的元素，可以从这n个不同元素中任选1个，有n种选法；
第2步，填第2个位置的元素，可以从剩下的（n-1）个元素中任选1个，有
（n-1）种选法.
根据分步乘法计数原理，2个空位的填法种数为A2 ＝n（n-1）.
新人教A版高二数学选修2-3第一章计数原理 1.2.1 第一课时 排列与排列数公式
(2)由题意作“树形图”，如下．
故所有的排列为：abc，abd，acb，acd，adb，adc， bac，bad，bca，bcd，bda，bdc，cab，cad，cba，cbd， cda，cdb，dab，dac，dba，dbc，dca，dcb．
利用“树形图”法解决简单排列问题的适用范围及策略
(1)适用范围：“树形图”在解决排列元素个数不多的问题 时，是一种比较有效的表示方式．
判断一个具体问题是否为排列问题的方法
[活学活用] 判断下列问题是否为排列问题． (1)选 10 人组成一个学习小组； (2)从 1,2,3,4,5 中任取两个数相除； (3)10 个车站，站与站间的车票． 解：(1)不存在顺序问题，不是排列问题． (2)两个数相除与这两个数的顺序有关，是排列问题． (3)车票使用时有起点和终点之分，故车票的使用是有顺序 的，是排列问题．
• 创新趋于常态，题型不断出新，体现课本与课标的指导作用，保持一致性 ；
• 真实情境数据验证更加科学和合理； • 淡化压轴思想，努力说明哪一部分都有可能压轴！
•
衷心祝愿各位百尺竿头，更进一步！
努力，祝成绩提高 不经一番彻骨寒，怎得梅花扑鼻香？
25
解得 n＝5 或 n＝23(舍去)． 所以 n＝5．
“多练提能·熟生巧”见“课时跟踪检测(三)” (单击进入电子文档)
复习成功的关键在于
01 抓思维训练 02 勤于方法总结 03 善于提炼观点
具体措施在：
1.狠抓基础，在主干内容上下足功夫，重概念的生成 2.重点突出，在知识交叉点上着重训练，重视试卷分析 3.精准指导，在图形使用上反复强调，重结构式结论
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
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