大一高数基础练习题

《高等数学》（理工类）

1.设()y f x =的定义域为(0,1]，()1ln x x ϕ=-，则复合函数[()]y f x ϕ=的定义域为________；0ln 1,[1,)x x e ≤<∈

2.已知0x +→时，arctan3x 与

cos ax

x

是等价无穷小，则a =______；0arctan 33

lim

1,3x x a ax a

→===；

3．函数6cos 2sin π+=x x y ，则=y d ________；21

(2cos 2sin 2)x x dx x

-；

4．函数x

xe

y -=的拐点为____________；(2)0,2x

y e x x -''=-==，2(2,2)e -

5．设函数⎪⎩

⎪⎨⎧

≥

+<=2,2,sin )(ππx x a x x x f ，当a =____时，)(x f 在2

π

=x 处连续；12π-；

6. 设()y y x =是由方程20y

e xy +-=所确定的隐函数，则y '=__；y

y

e x

-+ 7．函数x

x e

x f --=

111)(的跳跃间断点是______；(1)0,(1)1,f f -+

==1x =；

8

．定积分

1

1

sin )x dx -⎰

＝________

；22π=⎰

9．已知点空间三个点,)2,1,2(),1,2,2(,)1,1,1(B A M 则∠AMB = _______；3π；

10．已知(2,3,1)(1,2,3)a b ==r r

，则a b ⨯r r ＝_________。(751)-，，

二、计算题（每小题6分，共42 分）

1．求极限220ln(1)1

lim 2sin 2x x arc x →+=。

2．求极限3sin 0

sin lim x

t x e dt

x x →-⎰=3

2sin 03sin lim 61cos x

x xe x →=-

3．设

2

sin ,x y e x =⋅求.dy dx

。2

(2sin cos )x

dy e x x x dx

=+

4

、设ln arctan x y t

⎧⎪=⎨=⎪⎩ 求dy dx 以及22d y dx 。

解 2

1ln(1)2x t =+，22

1

111dy t t dx t t

+==+，22231d y t dx t +=-

5．计算不定积分⎰dx x

x )

ln(ln 。

解 ln(ln )ln x d x ⎰1

ln ln(ln )x x dx x

=-⎰ln (ln(ln )1)x x C =-+

6、计算不定积分213cos dx x +⎰22sec 3sec 1x dx x =+

⎰2

1

3tan 4

d x x =+

C + 7．计算定积分

dx x x 22

)4(1--⎰

12

1

(1)(4)(1)(4)x x dx x x dx =-----⎰⎰

1

2

2

2

1

(54)(54)x x dx x x dx =-+--+⎰⎰

32

2

1

1554()43232

x x =-+--

-3=

三、证明题（每小题8分，共16 分） 1、设

)(x f 在区间[0,3]上连续，在区间(0,3)内可导，且(0)(1)(2)3f f f ++=，

(3)1f =，试证必存在(0,3)ξ∈使()0f ξ'=。

证明 因为()f x 在]3,0[上连续，所以)(x f 在]2,0[上连续，且在]2,0[上有最大值M 和最小值m 。于是 ,)0(M f m ≤≤,)1(M f m ≤≤,)2(M f m ≤≤

所以 ,3

)

2()1()0(M f f f m ≤++≤

由介值定理知至少存在]2,0[∈c ，使1)(=c f 。

因为1)3()(==f c f ，且)(x f 在]3,[c 上连续，在)3,(c 内可导，由罗尔定理存在

(,3)(0,3)c ξ∈⊂，使 ()0f ξ'= 。

2、证明不等式：当0x >

时，1ln(x x +> 。

证明

()1ln(f x x x =++-

，()ln(0,0f x x x '=+>>，

()(0)0f x f >=，则当0x >

时，1ln(x x +>

四、应用题（第1小题10分，第2小题12分）

1．要建造一个体积为350m V =的圆柱形封闭．．的容器，问怎样选择它的底半径和高，使所用的材料最省？

解 设圆柱体的半径为r ，高2

50h r

π=

，表面积为S ,2

1002S r r π=+，

2100

40S r r

π'=-

=，r =h =

2．求曲线a xy =)0(>a ，直线a x =，a x 2=及x 轴所围成的图形绕y 轴旋转一周所

得到的旋转体体积。 解 2222a y a

V a dx a ππ==⎰

《高等数学》（理工）

一、 选择题（每空 3 分，共 15 分）

1、下列变量在给定的变化过程中为无穷小量的是（ ）；D ；

A 、21()x x --→+∞；

B 、

sin (0)x

x x

→ C 2

)x →∞； D 、2

(0)1x x x →+。 2、设函数22

()1

2ax x f x x ⎧≥=⎨<⎩在2x =处连续,则a =（ ）；A ；

A 、

41； B 、0； C 、2

1

； D 、1、 3、设()f x 在[,]a b 上可导，且()0.f x '>若0

()()x

x f t dt Φ=⎰，则下列说法正确的是（ ）；

C ；

A 、()x Φ在[,]a b 上单调减少；

B 、()x Φ在[,]a b 上单调增加；

C 、()x Φ在[,]a b 上为凹函数；

D 、()x Φ在[,]a b 上为凸函数。