东北大学材料成型力学
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dN n
2
kDdD
1 tan
同理
dNx n
dx D d cos 2
dx D D d sin n dx d tan cos 2 2
Nx
2
0
n
D tan ddx nD tan dx n DdD 2 2
根据以面投影代替力投影法则，作用在微分球面上法向 压力在水平方向上的投影为
r rb
f f zb k , zb s
3f
常 摩 擦 系 数 区 常 摩 擦 应 力 区
摩 擦 应 力 递 减 区
zn
s
2 s (rb r ) 3f 3h
3.2.3 平均单位压力计算公式
P z 2 rdr
d 2 0
P
4
1 d2
0
d 2
z
2 rdr
p f d 3 h 3d 9 h
2f ( Rr ) f d 2 h p s e 2rdr R s 1 R 3 h
0
n
s
p
1
2 s 3d 2 p s ( R r ) 2rdr R s 1 R 9 h 3h
P
p
s
s
4
2 ( Db d2)
3.4 拉拔
概念及应力、应变特点
3区
f
n
2区 1区
P
x
r
s1
空拉
s0
r
棒材
3.4.1 棒、线材拉拔力计算公式 （1） 塑性区
f n
Db
Da d x x n
dD 2
ds
D dx d 2 cos
面元ds摩擦力
面元ds摩擦力在轴线上分力 单元体摩擦力在轴线上分力
dT e
dx D d cos 2
dT x e
dx D D d cos e dx d cos 2 2
2
Tx kdx
0
D d kDdx 2
dD dx 2 tan
Tx
当d/h≤2， f 为任何值，接触表面只有摩擦应力递减区
f ≥0.58
两区共存,常摩擦系数区消失
4） 摩擦应力递减区接触表面压应力分布曲线方程
zh
5) 混合分布的单位压力分布方程
zn
f k
f f z
zh s e
zn
2f ( R r ) h
rb
R
2 s s (R r) 3h
3
0.35 0.40 0.45 0.50 0.58
24.42
8.78
4.48
2.66
1.67
1.09
0.71
0.46
0.28
0.14
0.00
（1） （2） （3） （4）
f < 0.58，d/h >2[η(f )+1]
三区共存
f < 0.58, 2[η(f)+1]≥d/h≥2 两区共存，常摩擦应力区消失
x y 0
d x d y 0
轴对称变形
z r
3
2
3
2
zr
s
2
0, k
f
r z s
r z 0
(2)力平衡微分方程的简化
平面变形
d r d z 0
y
f
3
x yx 0 x y
s
(1
P p
2l 1 cot ) ln l a Da 3
s
4
s
2 Db
棒材多孔及型材挤压
3 p a l .l (1 cot ) ln l s a s 2f 3
P
p
s
s
4
2 Db
管材挤压
p
s
(1
1 Dd 2la cot ) ln l Da d 3 D
h
yx x o
l/2
x
假设
正应力在y轴方向上均匀分布 剪应力在y轴方向上呈线性分布
x d x x dx
yx y
2 f h
d x 2 f 0 dx h
从变形体上截取分离体
d x h 2 f dx 0
z
f
同理，圆柱体镦粗时r 方向力平衡
微分方程简化为
P p F p
4 d P s (1 )d 2 2 Dd
d2
作用在穿孔针侧表面的摩擦力
T
f
d h
s
2
d 2
P P 'T
P
2
d 2 (2
d ) s Dd
P dH
K 2
3.3.6 反向挤压力公式 棒材单孔挤压
p
p 2 P s Db s 4
3.3.4 管材挤压力公式 （1）用固定穿孔针挤压管材 lb
xc
Db
f f
f f
Da
D
xc
p
s
1 Dd ln l 1 cot 3
2l a lb 4 Da d 3 Db d
在C 区与B 区的分界面上
zb
由于h d ,
1 ( D 2 d 2 ) s ( D d ) h 4 2
zb
d 2 s Dd
rb
2d s (1 ) Dd
ra s (1
2d ) Dd
p za
za
d 2 s (1 ) Dd
s
S
4 D
2
b
d
2
3.3.5
穿孔力公式
r
穿孔力
r
z
r z
p
A
B
r
h T d T C
P
P P 'T
z
z
za ra s
h
在A 区与B 区的分界面上
p
A
B C
T T d P
ra rb
rb zb s
行程
挤压杆 垫 片
行程
模 子 制 品 垫 片 坯 料 挤压筒 模 子 制 （ 品 定 径 区 ）
坯 料
挤 压 筒
（
定 径 区 ） 未变 形区
变形区
未变 形区
变形区
死 区
(a) 正向挤压
( b ) 反向挤压
3.3.2 棒材单孔挤压时的挤压力公式 （1）定径区 平衡时
rn f
f 0.5 s
Px ( x d x )
4
( D dD ) 2 x
4
D2
4
D( Dd x 2 x dD )
根据静力平衡
4 D( Dd
Px N x Tx 0
1 2 dD ) DdD kDdD 0 x x n 2 2 tan
d r 2 f 0 dr h
h
zr r o
R
r
(3)
接触表面摩擦规律的简化
f f z
f f y
f mk
m 称为摩擦因子，取值0-1
（4） 变形区几何形状的简化
（5）其他假设 3.2 圆柱体镦粗
3.2.1 接触表面压应力分布曲线方程
z
z
f
（1） 常摩擦系数区接触表面压应力分布曲线方程
f f z
{
d r 2 f z 0 dr h
a h
d r d z 0
zr r o
R
r
d z 2 f z 0 dr h
在边界点，r=R时，σr=0,
z Ce
2f r h
rz=0 ; 由剪应力互等， zr=0，则边界处
zra
za ra
zr
rz 0 ; 由剪应力互
0
则边界处满足塑性条件
h
zr r o
R
r
za ra
2
3
2
zra
s
2
za s
z s
2 s (R r) 3h
(3)
接触表面分区情况
由
r rb
zb
f zb k
f f z
已知条件确定C
D Da
x xa 2 s
la Da
la 1 C 2 s 2 s (1 cot ) ln Da Da 3 la 1 D x 2 s (1 2 s cot ) ln Da Da 3 la 1 xb s (1 cot ) ln l 2 s Da 3
2 Db d 2 l 2 Da d 2
1 D D b D a 2
(2) 随动穿孔针挤压管材
p 1 Dd 2l a 4 lb Db ln l 1 cot 2 2 s D d D d 3 D 3 a b
P
p
s
2l a 4 lb cot ) ln l Da 3 3 Db
P
p
s
s
4
2 Db
xc
未变 形区
f f
lb
（
xb
Db Da lb lb 2 tan
2 D0 l b l 0 2 Db
未变形区长度
镦粗后的坯料长度
例题3.2
单孔挤压T1紫铜棒，挤压筒直径为ф185㎜，坯料 尺寸为ф180×545㎜，制品尺寸为ф60㎜，挤压 温度Т=860℃，挤压速度为=28㎜ /s，la=5mm, 求 挤压力。
s 412MPa
P p F 412
4
185 2 11070 kN
3.3.3 多孔、型材挤压
p (1
3
a
s
l l cot ) ln l 2 f 3
s
s
a
4 lb 3 Db
l a 1.13 f
经验系数
l
f
s
制品周边长度总和 制品断面积总和
多媒体课件
材料成形力学
主 讲
王平
材料与冶金学院
东北大学
第三章
工程法的概念
3.1 工程法简化条件
工 程 法
y
0
y
y
0, k
f
（1） 屈服准则的简化 假设工具与坯料的接触表面为主平面， 或者为最大剪应力平面
x
平面变形
x
y 4 2 xy K 2
2
x y 2k
1 2 dD Dd 2 dD 2kdD 0 x x n tan
近Biblioteka Baidu塑性条件
Dd
n x s
2 2 dD cotdD 0 x s 3 s
d
1 dD 2 (1 cot ) x s D 3
x 2 s (1
1 3
cot ) ln D C
2 Db 1852 l 2 9.5 2 Da 60
2 Db2 Da 1852 602 89.5% 2 2 Db 185
0.5 45%
查Т1紫铜的变形抗力σs=45MPa
P (1 2l 1 4 lb cot ) ln l a Da 3 3 Db
2
3
2
s
2
za s
z s e
2f ( Rr ) h
（2） 常摩擦应力区接触表面压应力分布曲线方程
f k
{
d r 2 ( k ) 0 dr h
d r d z 0
d z 2 k 0 dr h
z
z
f
a
在边界点，r = R 时，σr=0, 等
xa
4
2 Da f Da l a
xa
1区
Da
xa 2 s
la Da
rn
f
la
（2）变形区
dx dD 2 tan
e
1 s k 3
ds
dD 2
dx D d cos 2
e
ds
n
d
D+dD
x d x
x
dx
dx
Px N x Tx 0
0
n
s
1
P PS
例
将D=20㎜，H=4㎜ 的退火紫铜板冷镦粗 至h=1㎜，已知f =0.2，该料冷变形程度 为75%时的σs= 500MPa，求镦粗力.
3.3 挤压 3.3.1
P
填 充
挤压力及其挤压的四个阶段
P
过 渡
稳 定 挤 压
填 充 挤 压 终 了 过 渡 稳 定 挤 压 挤 压 终 了
xc
未变 形区
l
xb
变形区
：挤压系数
xa
（3）未变形区
f
1 3
s k
xc
4
D f Db lb xb
2 b
4
Db2
p xc xb
p (1 1
s
4 lb Db 3
模 子 制 品定 径 区 ） 死 区
f k
rb
则
s
3f
2f ( R rb ) h
zb s e
rb d ( f ) h 2h
常 摩 擦 系 数 区
常 摩 擦 应 力 区
摩 擦 应 力 递 减 区
1 ( f ) ln f 2f
f
( f )
0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30
2
kDdD
1 tan
同理
dNx n
dx D d cos 2
dx D D d sin n dx d tan cos 2 2
Nx
2
0
n
D tan ddx nD tan dx n DdD 2 2
根据以面投影代替力投影法则，作用在微分球面上法向 压力在水平方向上的投影为
r rb
f f zb k , zb s
3f
常 摩 擦 系 数 区 常 摩 擦 应 力 区
摩 擦 应 力 递 减 区
zn
s
2 s (rb r ) 3f 3h
3.2.3 平均单位压力计算公式
P z 2 rdr
d 2 0
P
4
1 d2
0
d 2
z
2 rdr
p f d 3 h 3d 9 h
2f ( Rr ) f d 2 h p s e 2rdr R s 1 R 3 h
0
n
s
p
1
2 s 3d 2 p s ( R r ) 2rdr R s 1 R 9 h 3h
P
p
s
s
4
2 ( Db d2)
3.4 拉拔
概念及应力、应变特点
3区
f
n
2区 1区
P
x
r
s1
空拉
s0
r
棒材
3.4.1 棒、线材拉拔力计算公式 （1） 塑性区
f n
Db
Da d x x n
dD 2
ds
D dx d 2 cos
面元ds摩擦力
面元ds摩擦力在轴线上分力 单元体摩擦力在轴线上分力
dT e
dx D d cos 2
dT x e
dx D D d cos e dx d cos 2 2
2
Tx kdx
0
D d kDdx 2
dD dx 2 tan
Tx
当d/h≤2， f 为任何值，接触表面只有摩擦应力递减区
f ≥0.58
两区共存,常摩擦系数区消失
4） 摩擦应力递减区接触表面压应力分布曲线方程
zh
5) 混合分布的单位压力分布方程
zn
f k
f f z
zh s e
zn
2f ( R r ) h
rb
R
2 s s (R r) 3h
3
0.35 0.40 0.45 0.50 0.58
24.42
8.78
4.48
2.66
1.67
1.09
0.71
0.46
0.28
0.14
0.00
（1） （2） （3） （4）
f < 0.58，d/h >2[η(f )+1]
三区共存
f < 0.58, 2[η(f)+1]≥d/h≥2 两区共存，常摩擦应力区消失
x y 0
d x d y 0
轴对称变形
z r
3
2
3
2
zr
s
2
0, k
f
r z s
r z 0
(2)力平衡微分方程的简化
平面变形
d r d z 0
y
f
3
x yx 0 x y
s
(1
P p
2l 1 cot ) ln l a Da 3
s
4
s
2 Db
棒材多孔及型材挤压
3 p a l .l (1 cot ) ln l s a s 2f 3
P
p
s
s
4
2 Db
管材挤压
p
s
(1
1 Dd 2la cot ) ln l Da d 3 D
h
yx x o
l/2
x
假设
正应力在y轴方向上均匀分布 剪应力在y轴方向上呈线性分布
x d x x dx
yx y
2 f h
d x 2 f 0 dx h
从变形体上截取分离体
d x h 2 f dx 0
z
f
同理，圆柱体镦粗时r 方向力平衡
微分方程简化为
P p F p
4 d P s (1 )d 2 2 Dd
d2
作用在穿孔针侧表面的摩擦力
T
f
d h
s
2
d 2
P P 'T
P
2
d 2 (2
d ) s Dd
P dH
K 2
3.3.6 反向挤压力公式 棒材单孔挤压
p
p 2 P s Db s 4
3.3.4 管材挤压力公式 （1）用固定穿孔针挤压管材 lb
xc
Db
f f
f f
Da
D
xc
p
s
1 Dd ln l 1 cot 3
2l a lb 4 Da d 3 Db d
在C 区与B 区的分界面上
zb
由于h d ,
1 ( D 2 d 2 ) s ( D d ) h 4 2
zb
d 2 s Dd
rb
2d s (1 ) Dd
ra s (1
2d ) Dd
p za
za
d 2 s (1 ) Dd
s
S
4 D
2
b
d
2
3.3.5
穿孔力公式
r
穿孔力
r
z
r z
p
A
B
r
h T d T C
P
P P 'T
z
z
za ra s
h
在A 区与B 区的分界面上
p
A
B C
T T d P
ra rb
rb zb s
行程
挤压杆 垫 片
行程
模 子 制 品 垫 片 坯 料 挤压筒 模 子 制 （ 品 定 径 区 ）
坯 料
挤 压 筒
（
定 径 区 ） 未变 形区
变形区
未变 形区
变形区
死 区
(a) 正向挤压
( b ) 反向挤压
3.3.2 棒材单孔挤压时的挤压力公式 （1）定径区 平衡时
rn f
f 0.5 s
Px ( x d x )
4
( D dD ) 2 x
4
D2
4
D( Dd x 2 x dD )
根据静力平衡
4 D( Dd
Px N x Tx 0
1 2 dD ) DdD kDdD 0 x x n 2 2 tan
d r 2 f 0 dr h
h
zr r o
R
r
(3)
接触表面摩擦规律的简化
f f z
f f y
f mk
m 称为摩擦因子，取值0-1
（4） 变形区几何形状的简化
（5）其他假设 3.2 圆柱体镦粗
3.2.1 接触表面压应力分布曲线方程
z
z
f
（1） 常摩擦系数区接触表面压应力分布曲线方程
f f z
{
d r 2 f z 0 dr h
a h
d r d z 0
zr r o
R
r
d z 2 f z 0 dr h
在边界点，r=R时，σr=0,
z Ce
2f r h
rz=0 ; 由剪应力互等， zr=0，则边界处
zra
za ra
zr
rz 0 ; 由剪应力互
0
则边界处满足塑性条件
h
zr r o
R
r
za ra
2
3
2
zra
s
2
za s
z s
2 s (R r) 3h
(3)
接触表面分区情况
由
r rb
zb
f zb k
f f z
已知条件确定C
D Da
x xa 2 s
la Da
la 1 C 2 s 2 s (1 cot ) ln Da Da 3 la 1 D x 2 s (1 2 s cot ) ln Da Da 3 la 1 xb s (1 cot ) ln l 2 s Da 3
2 Db d 2 l 2 Da d 2
1 D D b D a 2
(2) 随动穿孔针挤压管材
p 1 Dd 2l a 4 lb Db ln l 1 cot 2 2 s D d D d 3 D 3 a b
P
p
s
2l a 4 lb cot ) ln l Da 3 3 Db
P
p
s
s
4
2 Db
xc
未变 形区
f f
lb
（
xb
Db Da lb lb 2 tan
2 D0 l b l 0 2 Db
未变形区长度
镦粗后的坯料长度
例题3.2
单孔挤压T1紫铜棒，挤压筒直径为ф185㎜，坯料 尺寸为ф180×545㎜，制品尺寸为ф60㎜，挤压 温度Т=860℃，挤压速度为=28㎜ /s，la=5mm, 求 挤压力。
s 412MPa
P p F 412
4
185 2 11070 kN
3.3.3 多孔、型材挤压
p (1
3
a
s
l l cot ) ln l 2 f 3
s
s
a
4 lb 3 Db
l a 1.13 f
经验系数
l
f
s
制品周边长度总和 制品断面积总和
多媒体课件
材料成形力学
主 讲
王平
材料与冶金学院
东北大学
第三章
工程法的概念
3.1 工程法简化条件
工 程 法
y
0
y
y
0, k
f
（1） 屈服准则的简化 假设工具与坯料的接触表面为主平面， 或者为最大剪应力平面
x
平面变形
x
y 4 2 xy K 2
2
x y 2k
1 2 dD Dd 2 dD 2kdD 0 x x n tan
近Biblioteka Baidu塑性条件
Dd
n x s
2 2 dD cotdD 0 x s 3 s
d
1 dD 2 (1 cot ) x s D 3
x 2 s (1
1 3
cot ) ln D C
2 Db 1852 l 2 9.5 2 Da 60
2 Db2 Da 1852 602 89.5% 2 2 Db 185
0.5 45%
查Т1紫铜的变形抗力σs=45MPa
P (1 2l 1 4 lb cot ) ln l a Da 3 3 Db
2
3
2
s
2
za s
z s e
2f ( Rr ) h
（2） 常摩擦应力区接触表面压应力分布曲线方程
f k
{
d r 2 ( k ) 0 dr h
d r d z 0
d z 2 k 0 dr h
z
z
f
a
在边界点，r = R 时，σr=0, 等
xa
4
2 Da f Da l a
xa
1区
Da
xa 2 s
la Da
rn
f
la
（2）变形区
dx dD 2 tan
e
1 s k 3
ds
dD 2
dx D d cos 2
e
ds
n
d
D+dD
x d x
x
dx
dx
Px N x Tx 0
0
n
s
1
P PS
例
将D=20㎜，H=4㎜ 的退火紫铜板冷镦粗 至h=1㎜，已知f =0.2，该料冷变形程度 为75%时的σs= 500MPa，求镦粗力.
3.3 挤压 3.3.1
P
填 充
挤压力及其挤压的四个阶段
P
过 渡
稳 定 挤 压
填 充 挤 压 终 了 过 渡 稳 定 挤 压 挤 压 终 了
xc
未变 形区
l
xb
变形区
：挤压系数
xa
（3）未变形区
f
1 3
s k
xc
4
D f Db lb xb
2 b
4
Db2
p xc xb
p (1 1
s
4 lb Db 3
模 子 制 品定 径 区 ） 死 区
f k
rb
则
s
3f
2f ( R rb ) h
zb s e
rb d ( f ) h 2h
常 摩 擦 系 数 区
常 摩 擦 应 力 区
摩 擦 应 力 递 减 区
1 ( f ) ln f 2f
f
( f )
0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30