二次函数-概念引入-(课堂PPT)
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二次函数的应用课件ppt课件ppt课件ppt
要点一
导数在二次函数中的应用
利用导数研究二次函数的单调性、极值和拐点，解决实际 问题。
要点二
定积分在二次函数中的应用
利用定积分计算二次函数的面积，解决与面积相关的实际 问题。
THANKS
感谢观看
详细描述
二次函数是数学中一类重要的函数，其形式由参数$a$、$b$ 和$c$决定。当$a > 0$时，函数图像开口向上；当$a < 0$ 时，函数图像开口向下。
二次函数的图像
总结词
二次函数的图像是一个抛物线， 其形状由参数$a$、$b$和$c$决 定。
详细描述
二次函数的图像是一个抛物线， 其顶点的位置由参数$b$和$c$决 定，而开口的大小和方向则由参 数$a$决定。
在生产和生活中，经常需要解决诸如利润最大化、成本最小化等最优化问题。利 用二次函数开口方向和顶点坐标的性质，可以快速找到最优解，为决策提供依据 。
利用二次函数解决周期性问题
总结词
利用二次函数的对称性和周期性，解 决具有周期性规律的问题。
详细描述
在物理学、工程学和生物学等领域， 许多现象具有周期性规律。通过将实 际问题转化为二次函数模型，可以更 好地理解和预测这些周期性现象。
利用二次函数解决面积问题
总结词
利用二次函数与坐标轴的交点，解决 与面积相关的实际问题。
详细描述
在几何学和实际生活中，经常需要计 算图形的面积。通过将问题转化为求 二次函数与坐标轴围成的面积，可以 简化计算过程，提高解决问题的效率 。
04
如何提高二次函数的应用能力
掌握基本概念和性质
理解二次函数的一般 形式： $y=ax^2+bx+c$， 其中$a neq 0$。
导数在二次函数中的应用
利用导数研究二次函数的单调性、极值和拐点，解决实际 问题。
要点二
定积分在二次函数中的应用
利用定积分计算二次函数的面积，解决与面积相关的实际 问题。
THANKS
感谢观看
详细描述
二次函数是数学中一类重要的函数，其形式由参数$a$、$b$ 和$c$决定。当$a > 0$时，函数图像开口向上；当$a < 0$ 时，函数图像开口向下。
二次函数的图像
总结词
二次函数的图像是一个抛物线， 其形状由参数$a$、$b$和$c$决 定。
详细描述
二次函数的图像是一个抛物线， 其顶点的位置由参数$b$和$c$决 定，而开口的大小和方向则由参 数$a$决定。
在生产和生活中，经常需要解决诸如利润最大化、成本最小化等最优化问题。利 用二次函数开口方向和顶点坐标的性质，可以快速找到最优解，为决策提供依据 。
利用二次函数解决周期性问题
总结词
利用二次函数的对称性和周期性，解 决具有周期性规律的问题。
详细描述
在物理学、工程学和生物学等领域， 许多现象具有周期性规律。通过将实 际问题转化为二次函数模型，可以更 好地理解和预测这些周期性现象。
利用二次函数解决面积问题
总结词
利用二次函数与坐标轴的交点，解决 与面积相关的实际问题。
详细描述
在几何学和实际生活中，经常需要计 算图形的面积。通过将问题转化为求 二次函数与坐标轴围成的面积，可以 简化计算过程，提高解决问题的效率 。
04
如何提高二次函数的应用能力
掌握基本概念和性质
理解二次函数的一般 形式： $y=ax^2+bx+c$， 其中$a neq 0$。
《二次函数》PPT优秀课件
。
• 3.观察上述函数函数关系有哪些共同之处？ 。
归纳总结
• 一般地，形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数且a≠0)的函数，叫 做二次函数。其中x是自变量，a叫做二次项系数，b叫做一次项 系数，c叫做常数项．
• 注意：判断二次函数注意自变量最高次数为2，且二次项系数不为0
03 例题练习
例题
练习
• 1.某厂今年一月份新产品的研发资金为a元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率
都是x，则该厂今年三月份新产品的研发资金y(元)关于x的函数关系式为y＝
．
• 2．多边形的对角线条数d与边数n之间的关系式为
为
；当d＝35时，多边形的边数n＝
．
，自变量n的取值范围是 且
练习
3.已知两个变量x，y之间的关系为y＝(m－2)xm2－2＋x－1，若x，y之间是二次函数关系， 求m的值．
4．如图，有一个长为24米的篱笆，一面利用墙(墙的最大长度a为10米)围成的中间隔有一道 篱笆的长方形花圃．设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米． (1)求S与x的函数关系式； (2)如果要围成面积为45平方米的花圃，AB的长为多少米？
04 作业布置
作业布置
1．下列函数是二次函数的是( )
A．y＝2x＋1
二次函数
01
教学目标
目录
02 03
知识点框架
例题练习
04
作业布置
01
教学目标
掌握二次函数的定义并能根据实际问题列出二次函数解析式
02 知识点框架
二、新课讲授
• 1.设一个正方形的边长为x，则该正方形的面积y=
。
• 2.用一根长为40的铁丝围成一个半径为的扇形，求扇形的面积与它的半径之
二次函数说课ppt课件
总结词：基础工具
详细描述：在数学问题中，二次函数常常作为解决其他复杂问题的基础工具。例如，在解代数方程时，可以通过配方将方程 转化为二次函数的形式，从而方便求解。
科学问题中的二次函数
总结词：常见模型
详细描述：在科学问题中，二次函数常常被用作描述事物变 化规律的模型。例如，在物理学中，自由落体运动的速度可 以用二次函数来描述；在生态学中，种群数量的变化可以用 二次函数来模拟。
06 课堂练习与答疑
练习题
基础练习
综合题
针对二次函数的基本概念和性质，设 计一些简单的填空、选择和计算题， 帮助学生巩固基础。
设计一些涉及多个知识点的二次函数 综合题，引导学生综合运用所学知识 ，提高解题能力。
应用题
设计一些与实际生活相关的二次函数 问题，如最优化问题、运动轨迹问题 等，培养学生运用知识解决实际问题 的能力。
二次函数说课ppt课 件
目录
• 引言 • 二次函数的基本概念 • 二次函数的解析式 • 二次函数的图像变换 • 二次函数的应用 • 课堂练习与答疑
01
引言
主题介绍
主题名称：二次函数 主题内容：二次函数的概念、性质、图像、应用等
教学目标
01
知识目标
掌握二次函数的基本概念、性质和图像特征
02
能力目标
交点式
总结词
交点式是二次函数的一种特殊形式，适用于已知函数与x轴交 点的情况下求解函数表达式。
详细描述
交点式为y=a(x-x1)(x-x2)，其中(x1,0)和(x2,0)为函数与x轴 的交点坐标。通过代入交点坐标，可以求解出函数的表达式 。
04 二次函数的图像变换
平移变换
总结词
平移变换是指二次函数的图像在平面 坐标系中沿x轴或y轴方向进行移动。
详细描述：在数学问题中，二次函数常常作为解决其他复杂问题的基础工具。例如，在解代数方程时，可以通过配方将方程 转化为二次函数的形式，从而方便求解。
科学问题中的二次函数
总结词：常见模型
详细描述：在科学问题中，二次函数常常被用作描述事物变 化规律的模型。例如，在物理学中，自由落体运动的速度可 以用二次函数来描述；在生态学中，种群数量的变化可以用 二次函数来模拟。
06 课堂练习与答疑
练习题
基础练习
综合题
针对二次函数的基本概念和性质，设 计一些简单的填空、选择和计算题， 帮助学生巩固基础。
设计一些涉及多个知识点的二次函数 综合题，引导学生综合运用所学知识 ，提高解题能力。
应用题
设计一些与实际生活相关的二次函数 问题，如最优化问题、运动轨迹问题 等，培养学生运用知识解决实际问题 的能力。
二次函数说课ppt课 件
目录
• 引言 • 二次函数的基本概念 • 二次函数的解析式 • 二次函数的图像变换 • 二次函数的应用 • 课堂练习与答疑
01
引言
主题介绍
主题名称：二次函数 主题内容：二次函数的概念、性质、图像、应用等
教学目标
01
知识目标
掌握二次函数的基本概念、性质和图像特征
02
能力目标
交点式
总结词
交点式是二次函数的一种特殊形式，适用于已知函数与x轴交 点的情况下求解函数表达式。
详细描述
交点式为y=a(x-x1)(x-x2)，其中(x1,0)和(x2,0)为函数与x轴 的交点坐标。通过代入交点坐标，可以求解出函数的表达式 。
04 二次函数的图像变换
平移变换
总结词
平移变换是指二次函数的图像在平面 坐标系中沿x轴或y轴方向进行移动。
二次函数的课件ppt课件ppt课件
二次函数的极坐标表示
二次函数$y = ax^{2} + bx + c$在极 坐标系下的表示为$r = a\cos^{2}\theta + b\cos\theta + c$。
05
二次函数的应用实例
生活中的二次函数应用
打篮球的抛物线
篮球运动员投篮时，篮球的运动 轨迹可以近似为二次函数。通过 调整投篮角度和力度，可以最大
数是偶函数。
03
二次函数的公式与运算
二次函数的公式
标准的二次函数公式
y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为系数，且a≠0。
顶点式
y = a(x-h)^2 + k，其中(h,k)为顶点坐标。
交点式
y = a(x-x1)(x-x2)，其中x1、x2为与x轴的交点坐标。
二次函数的运算规则
解
根据顶点式，可知顶点坐标为(1.5, -0.75)；根据交点式，可知 与x轴的交点坐标为(2.5, 0)和(2.5, 0)；与y轴的交点坐标为(0, 5)。
例题2
已知二次函数y = -3x^2 + 6x + 9，求函数的对称轴和最小值。
04
二次函数的图像变换
平移变换
水平平移
二次函数$y = ax^{2} + bx + c$ 向右平移$m$个单位，得到新的 二次函数$y = a(x - m)^{2} + b(x - m) + c$。
垂直平移
二次函数$y = ax^{2} + bx + c$ 向上平移$n$个单位，得到新的 二次函数$y = ax^{2} + bx + c + n$。
二次函数$y = ax^{2} + bx + c$在极 坐标系下的表示为$r = a\cos^{2}\theta + b\cos\theta + c$。
05
二次函数的应用实例
生活中的二次函数应用
打篮球的抛物线
篮球运动员投篮时，篮球的运动 轨迹可以近似为二次函数。通过 调整投篮角度和力度，可以最大
数是偶函数。
03
二次函数的公式与运算
二次函数的公式
标准的二次函数公式
y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为系数，且a≠0。
顶点式
y = a(x-h)^2 + k，其中(h,k)为顶点坐标。
交点式
y = a(x-x1)(x-x2)，其中x1、x2为与x轴的交点坐标。
二次函数的运算规则
解
根据顶点式，可知顶点坐标为(1.5, -0.75)；根据交点式，可知 与x轴的交点坐标为(2.5, 0)和(2.5, 0)；与y轴的交点坐标为(0, 5)。
例题2
已知二次函数y = -3x^2 + 6x + 9，求函数的对称轴和最小值。
04
二次函数的图像变换
平移变换
水平平移
二次函数$y = ax^{2} + bx + c$ 向右平移$m$个单位，得到新的 二次函数$y = a(x - m)^{2} + b(x - m) + c$。
垂直平移
二次函数$y = ax^{2} + bx + c$ 向上平移$n$个单位，得到新的 二次函数$y = ax^{2} + bx + c + n$。
二次函数ppt课件
22.1.1 二次函数
年 级：九年级 学 科：数学（人教版）
1.函数的定义：
3.一元二次方程的一般形式是什么？
2．一次函数的定义是什么？
知识回顾
观察图片，这些曲线能否用函数关系式来表示？它们的形状是怎样画出来的？
实际问题
归纳、抽象
数学模型
（1） 写出 <m></m> 与 <m></m> 的函数关系式；
（2） 当 <m></m> 时，求 <m></m> 的值.
解：（1）其中一直角边长为 <m></m> ，则另一直角边长为 <m></m> ，依题意得 <m>
（2）当 <m></m> 时， <m></m> .
引入新课
观察这三个函数关系式有什么共同特点？
1.都有两个变量2.整式3.自变量最高次数是2次
讲授新课
二次函数的概念
二次
一元二次方程？
一次？
总结
二次函数的概念
陋室铭
例1:判断下列函数中，哪些是二次函数？若是二次函数，请指出二次项系数、一次项系数、常数项。
×
×
×
×
√
×
√
√
例题讲解
函数
二次项系数
布置作业
3、如图，在 <m></m> 中， <m></m> ， <m></m> , <m></m> .动点 <m></m> 从点 <m></m> 开始沿边 <m></m> 向点 <m></m> 以 <m></m> 的速度移动;动点 <m></m> 从点 <m></m> 开始沿边 <m></m> 向点 <m></m> 以 <m></m> 的速度移动.如果 <m></m> , <m></m> 两点同时出发，那么 <m></m> 的面积 <m></m> 随出发时间 <m></m> 如何变化?写出函数关系式.
年 级：九年级 学 科：数学（人教版）
1.函数的定义：
3.一元二次方程的一般形式是什么？
2．一次函数的定义是什么？
知识回顾
观察图片，这些曲线能否用函数关系式来表示？它们的形状是怎样画出来的？
实际问题
归纳、抽象
数学模型
（1） 写出 <m></m> 与 <m></m> 的函数关系式；
（2） 当 <m></m> 时，求 <m></m> 的值.
解：（1）其中一直角边长为 <m></m> ，则另一直角边长为 <m></m> ，依题意得 <m>
（2）当 <m></m> 时， <m></m> .
引入新课
观察这三个函数关系式有什么共同特点？
1.都有两个变量2.整式3.自变量最高次数是2次
讲授新课
二次函数的概念
二次
一元二次方程？
一次？
总结
二次函数的概念
陋室铭
例1:判断下列函数中，哪些是二次函数？若是二次函数，请指出二次项系数、一次项系数、常数项。
×
×
×
×
√
×
√
√
例题讲解
函数
二次项系数
布置作业
3、如图，在 <m></m> 中， <m></m> ， <m></m> , <m></m> .动点 <m></m> 从点 <m></m> 开始沿边 <m></m> 向点 <m></m> 以 <m></m> 的速度移动;动点 <m></m> 从点 <m></m> 开始沿边 <m></m> 向点 <m></m> 以 <m></m> 的速度移动.如果 <m></m> , <m></m> 两点同时出发，那么 <m></m> 的面积 <m></m> 随出发时间 <m></m> 如何变化?写出函数关系式.
初中数学九年级PPT课件二次函数可编辑全文
2
解：根据题意，得
k
1 2
0
①
2k 2 k 1 2
②
由①，得 k 1
2
由②，得
k1
1 2
,
k
2
1
∴
k 1
二.抛物线y=ax2+bx+c的特征与a、 b、c的符号：
(1)a决定开口方向:aa
0, 0,
开口向上, 开口向下;
((32))a与c决b定决抛定物对线称轴与位y轴置交:点aa,,位bb异 同置号 号， ，在 在yy轴 轴右 左侧 侧； ，
4a+2b+c=0
c=3
36a-6b+c=0
解得：
a=Leabharlann 1 4b= -1c=3
所以二次函数的解析式为： y 1 x2 x 3 4
顶点式：
解：因为二次函数的对称轴为x=-2,所以可设函 数的解析式为：y=a(x+2)2+k，把点（2，0） （0，3）代入可得：
16a+k=0
4a+k=3
解得
a=
例2、函数
y 1 x2 x 2
2
3
的开口方向
向上
，
顶点坐标是 ( 1 , 1 ) 6
，对称轴方程是 x 1.
解：a 1 ,b 1, c 2
2
3
a 0,
开口向上
又 b 2a
1 2
1
1
2
4ac b2
4 1 2 12 23
1
4a
4 1
6
2
∴ 顶点坐标为: (1, 1 ) 6
对称轴方程是： x 1
1 4
k=4 所以二次函数的解析式为：y 1 x2 x 3
解：根据题意，得
k
1 2
0
①
2k 2 k 1 2
②
由①，得 k 1
2
由②，得
k1
1 2
,
k
2
1
∴
k 1
二.抛物线y=ax2+bx+c的特征与a、 b、c的符号：
(1)a决定开口方向:aa
0, 0,
开口向上, 开口向下;
((32))a与c决b定决抛定物对线称轴与位y轴置交:点aa,,位bb异 同置号 号， ，在 在yy轴 轴右 左侧 侧； ，
4a+2b+c=0
c=3
36a-6b+c=0
解得：
a=Leabharlann 1 4b= -1c=3
所以二次函数的解析式为： y 1 x2 x 3 4
顶点式：
解：因为二次函数的对称轴为x=-2,所以可设函 数的解析式为：y=a(x+2)2+k，把点（2，0） （0，3）代入可得：
16a+k=0
4a+k=3
解得
a=
例2、函数
y 1 x2 x 2
2
3
的开口方向
向上
，
顶点坐标是 ( 1 , 1 ) 6
，对称轴方程是 x 1.
解：a 1 ,b 1, c 2
2
3
a 0,
开口向上
又 b 2a
1 2
1
1
2
4ac b2
4 1 2 12 23
1
4a
4 1
6
2
∴ 顶点坐标为: (1, 1 ) 6
对称轴方程是： x 1
1 4
k=4 所以二次函数的解析式为：y 1 x2 x 3
二次函数初三ppt课件ppt课件ppt课件
二次函数初三ppt课件ppt 课件ppt课件
contents
目录
• 二次函数的基本概念 • 二次函数的性质 • 二次函数的应用 • 二次函数的解析式 • 二次函数与一元一次方程的关系 • 综合练习与提高
01 二次函数的基本 概念
二次函数的定义
总结词
二次函数是形如$y=ax^2+bx+c$的 函数，其中$a$、$b$、$c$为常数 ，且$a neq 0$。
详细描述
二次函数的一般形式是 $y=ax^2+bx+c$，其中$a$、$b$、 $c$是常数，且$a neq 0$。这个定义 表明二次函数具有一个自变量$x$，一 个因变量$y$，并且$x$的最高次数为 2。
二次函数的表达式
总结词
二次函数的表达式可以因形式多样而变化，但一般包括三个部分：常数项、一 次项和二次项。
02 二次函数的性质
二次函数的开口方向
总结词
二次函数的开口方向取决于二次 项系数a的正负。
详细描述
如果二次项系数a大于0，则抛物 线开口向上；如果二次项系数a小 于0，则抛物线开口向下。
二次函数的顶点
总结词
二次函数的顶点坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)。
详细描述
二次函数的顶点是抛物线的最低点或最高点，其坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)，其中 a、b、c分别为二次项、一次项和常数项的系数。
解一元二次方程的方法包括公式法和 因式分解法等。
利用二次函数解决一元一次方程问题
当一元一次方程有重根时，可以通过构建二次函数来求解。
构建二次函数的方法是将一元一次方程转化为二次函数的形 式，然后利用二次函数的性质找到根。
06 综合练习与提高
contents
目录
• 二次函数的基本概念 • 二次函数的性质 • 二次函数的应用 • 二次函数的解析式 • 二次函数与一元一次方程的关系 • 综合练习与提高
01 二次函数的基本 概念
二次函数的定义
总结词
二次函数是形如$y=ax^2+bx+c$的 函数，其中$a$、$b$、$c$为常数 ，且$a neq 0$。
详细描述
二次函数的一般形式是 $y=ax^2+bx+c$，其中$a$、$b$、 $c$是常数，且$a neq 0$。这个定义 表明二次函数具有一个自变量$x$，一 个因变量$y$，并且$x$的最高次数为 2。
二次函数的表达式
总结词
二次函数的表达式可以因形式多样而变化，但一般包括三个部分：常数项、一 次项和二次项。
02 二次函数的性质
二次函数的开口方向
总结词
二次函数的开口方向取决于二次 项系数a的正负。
详细描述
如果二次项系数a大于0，则抛物 线开口向上；如果二次项系数a小 于0，则抛物线开口向下。
二次函数的顶点
总结词
二次函数的顶点坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)。
详细描述
二次函数的顶点是抛物线的最低点或最高点，其坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)，其中 a、b、c分别为二次项、一次项和常数项的系数。
解一元二次方程的方法包括公式法和 因式分解法等。
利用二次函数解决一元一次方程问题
当一元一次方程有重根时，可以通过构建二次函数来求解。
构建二次函数的方法是将一元一次方程转化为二次函数的形 式，然后利用二次函数的性质找到根。
06 综合练习与提高
二次函数(共26张PPT)
零点
零点
零点是函数与x轴的交点，对应于抛物线与x轴的交 点。
美丽的桥梁
这张照片是一张桥梁夕阳美景的照片，代表着美丽 与自然的结合。
判别式
二次函数的判别式Δ=b²-4ac表示抛物线与x轴的交点个数。如果Δ>0，则有两个 交点；如果Δ=0，则有一个交点；如果Δ<0，则没有交点。
基本形式
1 标准式
f(x)=ax²
二次函数
二次函数在数学中是一个重要的概念，涉及到图像、最值、应用等方面。本 次26张PPT涵盖了二次函数的各个方面，希望能帮助大家更好地理解这个概念。
定义
二次函数是形如f(x)=ax²+bx+c的函数，其中a、b、c为常数，且a≠0。二次函数的图像是一个开口朝上或朝下的 抛物线。
图像
二次函数图像
2 顶点式
f(x)=a(x-h)²+k
3 一般式
f(x)=ax²+bx+c
标准形式
定义
标准式是二次函数的一种形式， 其中二次项系数a=1，常数项 c=0。
公式
f(x)=x²
图像
开口朝上或下，左右对称
图像美学
蔚蓝海岸线和彩色天空构成完美背景，并营造出温 馨优美的氛围。
对称轴
二次函数的对称轴是过抛物线顶点的一条直线。对称轴可以是水平或垂直线。
顶点
顶点坐标
顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))
寻找顶点
找到对称轴，然后代入函数公式求得顶点坐标
ห้องสมุดไป่ตู้
美丽的山景
这幅精美的照片展现了一个山丘和群山的自然美景，使我们感叹自然之美。
二次函数说课ppt课件ppt课件ppt课件
详细描述
二次函数在日常生活中有着广泛的应用，如最优化问题、经济模型、物理学中的抛物线 运动等。通过这些实际应用场景，学生可以更好地理解二次函数的实际意义和重要性。
物理中的二次函数
总结词
运动轨迹、能量变化
VS
详细描述
在物理学中，二次函数经常用于描述物体 的运动轨迹，如抛物线运动。此外，在能 量守恒问题中，二次函数也经常出现，用 于描述能量随时间的变化关系。通过与物 理学的结合，学生可以更深入地理解二次 函数的物理意义。
因式分解法
要点一
总结词
通过因式分解将二次函数转化为两个一次函数的乘积，便 于分析函数的零点、单调性和值域。
要点二
详细描述
因式分解法是将二次函数 $f(x) = ax^2 + bx + c$ 转化为 两个一次函数的乘积，如 $f(x) = (ax + b)(cx + d)$。通 过因式分解，可以方便地找到函数的零点（即 $f(x) = 0$ 的解），分析函数的单调性（根据导数符号判断）和值域 （根据函数图像和定义域判断）。
数学竞赛中的二次函数
总结词
难度高、技巧性强
详细描述
在数学竞赛中，二次函数经常作为压轴题目 出现，难度较高，技巧性强。通过解决这类 问题，学生可以提高自己的数学思维能力和 解决问题的能力，为未来的学习和竞赛打下 坚实的基础。
CHAPTER 04
二次函数的解题策略
配方法
总结词
通过配方将二次函数转化为顶点式，便于分 析函数的开口方向、对称轴和顶点坐标。
二次函数的图像
总结词
二次函数的图像是一个抛物线，其形状由系数$a$决定。
详细描述
二次函数的图像是一个抛物线。当$a > 0$时，抛物线开口向上；当$a < 0$时 ，抛物线开口向下。系数$b$和$c$决定了抛物线的位置和顶点。通过研究二次 函数的图像，我们可以更好地理解其性质和特点。
二次函数 ppt课件
面积是 S ( 单位：m2 )． BC 是(45 - 3x)cm
0＜45 - 3x≤20
(1) 求 S 与 x 的函数关系式及x的取值范围；
-45＜- 3x ≤ -25
S =AB ·BC
解：(1) S = x(45 - 3x) = -3x2 + 45x
(
≤ x < 15 ).
≤ x ＜ 15
(2) 当AB的长为5m时，围成的面积是多少？
⑦ y=(x+3)²-x²
⑤ y
x2
2x
二次项系数：-1
一次项系数：-2
常数项：0
不是，x的最
高次数是3.
不是、化简以
后是一次函数
1
④ y 2
x
不是，等式右
边是分式.
二次函数关系式 二次项系数 一次项系数 常数项
b=0时，二次函数
为y=ax²+c (a≠ 0 )
y=3-2x²
-2
0
3
y=x2
1
0
0
∴ m = 3.
∴当 m = 3 时，该函数是二次函数，
解析式为：y = (32+3)x3
5)x+32，
2-2×3-1
+(3-
即y = 12x2-2x+9.
例3 如图，用长为 45 m 的篱笆，一面利用墙 ( 墙的最大可用长度是 20 m )，
围成中间有一道篱笆的矩形花圃，设花圃的一边长 AB 是 x ( 单位：m )，
比较
关系式
y=6x2
1
2
1
2
m＝ n2－ n
y＝20x2＋40x＋20
相同点
是
都是函数
二次函数PPT课件
典题精讲
3.某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中 发现：这种商品的销售量m（件）与每件商品的销 售价x（元）满足一次函数关系m=162-3x，试写出 商场销售这种商品的日销售利润y（元）与每件商 品的销售价x（元）之间的函数关系式，y是x的二 次函数吗？
解：由题意分析可知，该商品每件的利润为（x-30）元。 则依题意可得： y=（162-3x ）（x-30），即y=-3x²+252x-4860 由此可知y是x的二次函数
典题精讲
4.如图，用同样规格的正方形白色瓷砖铺设矩形地面， 请视察下列图形并解答有关问题：
n=1
n=2
n=3
（1）在第n个图形中，每一横行共有（n+3）块瓷砖，每一竖
列共有（n+2）块瓷砖（均用含n的代数式表示）；
（2）设铺设地面所用瓷砖的总块数为y，请写出y与（1）中 的n的函数关系式 y=（n+3）（n+2），即y=n²+5n+6 .
y是x的函数吗？
举例讲授
问题2
n个球队参加比赛，每两对之间进行一场比赛。
比赛的场次数m与球队n有什么关系？这就是说，每个
队要与其他 n个-1球队各比赛一场，整个比赛场次
为
，这里m是n的函数吗？
举例讲授
问题3 某种产品现在的年产量为20t，计划今后两年
增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍，那 么两年后这种产品的年产量y将随计划所定的x值而 确定，y与x之间的关系应怎样表示？
22.1.1 二次函数
学习目标
1.结合具体情境体会二次函数的意义，理 解二次函数的有关概念.
2.能够表示简单变量之间的二次函数关系.
复习导入
《二次函数》ppt课件
判别式意义
当 $Delta > 0$ 时，方程有两个不相等 的实根，抛物线与 $x$ 轴有两个交点。
02
二次函数与一元二次方程 关系
一元二次方程求解方法
01
02
03
公式法
对于一般形式的一元二次 方程，可以使用求根公式 进行求解。
配方法
通过配方将一元二次方程 转化为完全平方形式，从 而求解。
因式分解法
首先，通过配方将二次函数转 化为顶点式f(x) = a(x - h)^2 + k，其中(h, k)为顶点坐标。然后， 根据二次函数的性质，对称轴 为x = h，顶点坐标为(h, k)。最 后，代入具体的a、b、c值求解。
已知二次函数f(x) = x^2 - 2x， 求在区间[-1, 3]上的最值。
首先，将二次函数配方为f(x) = (x - 1)^2 - 1，确定对称轴为x = 1。然后，根据二次函数的单 调性，在区间[-1, 1]上单调递减， 在[1, 3]上单调递增。因此，在x = 1处取得最小值f(1) = -1，在 x = 3处取得最大值f(3) = 3。
04
根的判别式Δ=b²-4ac可 以用于判断二次函数与x 轴交点的个数。
当Δ>0时，二次函数与x 轴有两个不同的交点。
当Δ=0时，二次函数与x 轴有一个重根，即一个 交点。
当Δ<0时，二次函数与x 轴无交点。
03
二次函数图像变换与性质 分析
平移变换对图像影响
平移方向
二次函数图像在平面直角坐标系中可 沿x轴或y轴方向进行平移。
04
二次函数在实际问题中应 用举例
利润最大化问题建模与求解
1 2 3
问题描述
某公司生产一种产品，其成本和销售价格与产量 之间存在一定的关系。公司希望通过调整产量来 实现利润最大化。
《二次函数》PPT课件
一次函数 y＝kx＋b(k≠0)
正比例函数
y＝kx (k≠0)
一条直线
反比例函数 y k (k 0).
双曲线
x
课时导入
导入新知 正方体的六个面是全等的正方形(如图)，设正 方体的棱长为x，表面积为y. 显然，对于x的 每一个值，y都有一个对应值，即y是x的函数， 它们的具体关系可以表示为 y＝6x2.
课堂小结
二次函数
(2)确定二次函数的各项系数及常数项时，要把函 数关系式化为一般形式．
(3)二次项系数不为0.
感悟新知
知2－练
方法点拨：在实际问题中建立二次函数模型时，关键 要找出两个变量之间的数量关系，用类似建立一元二 次方程模型的方法，借助方程思想求出二次函数的关 系式.
解：(1) y=300+30 ( 60-x ) =-30x+2 100 ( 40 ≤ x ≤ 60 ). ( 2 ) W= ( x-40 ) ( -30x+2 100 ) =-30x2+3 300x-84 000.
课时导入
这个函数与我们学过的函数不同，其中自变 量x的最高次数是2.
这类函数具有哪些性质呢？这就是本章要学 习的二次函数．
感悟新知
知识点 1 二次函数的定义
问题1
知1－讲
n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，
比赛的场次数m与球队数n有什么关系？
比赛的场次数
m＝ 1 n(n－1)，
即m＝
1
2 n2－
感悟新知
总结
知2－讲
1. 建立二次函数模型的一般步骤： (1)审清题意：找出问题中的已知量（常量）和
未知量（变量），把问题中的文字或图形语言转化 成数学语言.
二次函数的概念PPT课件
第1课 二次函数的概念
温故知新
一次函数的概念：函数y=_k_x__＋__b_(k、b为常数， k__≠_０___)叫做一次函数。特别的当b__=_０__时，函数 y=_k_x__(k_≠_０__)叫做正比例函数。
★理解一次函数概念应注意下面3点： （1）、解析式两边是整式 （2）、解析式中自变量x的次数是__1_次， （3）、系数K__≠_0__。
2、用20米的篱笆围一个矩形的花圃（如图），设连墙的 一边为x,矩形的面积为y,求： (1)写出y关于x的函数表达式和自变
量的取值范围. (2)当x=3时,矩形的面积为多少?
3.当k=_______时,函数y=(k-1)xk2+1+3x 是二次函数.
4.说出二次函数y=-x2+8x-1的一次 项系数，二次项系数和常数项.
注意:当二次函 数表示 某个实际问题时,还必 须根据题意确定自变 量的取值范围.
例3: 如图，一张正方形纸板的边长为2cm,将它 剪去4个全等的直角三角形 (图中阴影部分 ) ， 设AE=BF=CG=DH=x(cm)，四边形 EFGH的面积为 y(cm2)
(l)求y关于 x的函数表达式和自变量x的取值范围；
｛1 p q 4 4 2 p q 5
解 得 ， p12,q15.
所 求 的 二 次 函 数 是 y x 2 1 2 x 1 5
问题：是否任何情况下二次函数中的自变量 的取值范围都是任意实数呢？
例如：圆的面积 y (cm2 )与圆的半径 x （cm)的函数关系是 y =πx2
其中自变量x能取哪些值呢？ x 0
课堂收获与小结： 1、理解二次函数的概念
2、会确定二次函数的二次项系数、一次项系
数、常数项.
3、会求简单的二次函数表达试 4、会运用简单二次函数表达式解决的简单应用
温故知新
一次函数的概念：函数y=_k_x__＋__b_(k、b为常数， k__≠_０___)叫做一次函数。特别的当b__=_０__时，函数 y=_k_x__(k_≠_０__)叫做正比例函数。
★理解一次函数概念应注意下面3点： （1）、解析式两边是整式 （2）、解析式中自变量x的次数是__1_次， （3）、系数K__≠_0__。
2、用20米的篱笆围一个矩形的花圃（如图），设连墙的 一边为x,矩形的面积为y,求： (1)写出y关于x的函数表达式和自变
量的取值范围. (2)当x=3时,矩形的面积为多少?
3.当k=_______时,函数y=(k-1)xk2+1+3x 是二次函数.
4.说出二次函数y=-x2+8x-1的一次 项系数，二次项系数和常数项.
注意:当二次函 数表示 某个实际问题时,还必 须根据题意确定自变 量的取值范围.
例3: 如图，一张正方形纸板的边长为2cm,将它 剪去4个全等的直角三角形 (图中阴影部分 ) ， 设AE=BF=CG=DH=x(cm)，四边形 EFGH的面积为 y(cm2)
(l)求y关于 x的函数表达式和自变量x的取值范围；
｛1 p q 4 4 2 p q 5
解 得 ， p12,q15.
所 求 的 二 次 函 数 是 y x 2 1 2 x 1 5
问题：是否任何情况下二次函数中的自变量 的取值范围都是任意实数呢？
例如：圆的面积 y (cm2 )与圆的半径 x （cm)的函数关系是 y =πx2
其中自变量x能取哪些值呢？ x 0
课堂收获与小结： 1、理解二次函数的概念
2、会确定二次函数的二次项系数、一次项系
数、常数项.
3、会求简单的二次函数表达试 4、会运用简单二次函数表达式解决的简单应用
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(2)y=ax²+c ------ (a≠0,b=0,c≠0).
(3)y=ax²+bx ---- (a≠0,b≠0,c=0). 16 16
初试牛刀
定义：一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c 是常数,a≠ 0)的函数叫做x的二次函数。
下列函数中，哪些是二次函数？
（1）y=3(x-1)²+1
(3)y=(x+3)²-x² (5) y 1 3x2 ,
设人民币一年定期储蓄的年利率是x,一年到 期后,银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转 存.如果存款是100元,那么请你写出两年后的本 息和y(元)的表达式(不考虑利息税).
y=100(x+1)²=100x²+200x+100.
13
思索归纳
二次函数
1、 y = ∏ x ² 2、y =- x ²+30 x
（2）若是，请写出y与x之间的函数关系式；
y与x的函数关系式是： y = x( 60 - x)
2
8
即 y =- x ²+30 x
8
问题一
某果园有100棵橙子树，每一 棵树平均结600个橙子。现准备多 种一些橙子树以提高产量，但是 如果多种树，那么树之间的距离 和每一棵树所接受的阳光就会减 少．根据经验估计，每多种一棵 树，平均每棵树就会少结5个橙子。
2
(7)s=1+t+5t²，
(2)s=-2t²
(4)
y
1 x2
x
(6)y=2²+2x,
(8)y1x2x325 2
二次函数y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的几种不同表示形式:
(1)y=ax²(a≠0).
(2)y=ax²+c(a≠0).
(3)y=ax²+bx (a≠0)
（4）y=ax²+bx+c (a≠0)
y与x的函数关系式是： y =лx 2 7 7
勇于探索
学校要建成一个周长为60m的矩形场地，用做生物园。
你能画出设计图吗？此时矩形场地的面积是多少？
5
10
15
25
20
15
（1） 场地面积y(m²)与矩形一边长x(m)之间是函
数关系吗？
是。因为当给定了一个x的值时，相应地就确定了一
个y值，因此y是x的函数。
火眼金睛
若 y(m 2)xm 2m 4 是关于x的二次函数，求m的值。
m2 +m-4=2 解：依题意得
m-2≠0 解得 m=-3 ∴ 当m=-3时，原函数为二次函数。
已知函数 y(k2k)x2k x2k （1）当k ≠0且k ≠1 时，y是x的二次函数？ （2）当k =1 时，y是x的一次函数？
19 19
y= (100+x) (600-5x) =-5x2+100x+60000
11
11
想一想 亲历知识的发生和发展
银行的储蓄利率 是随时间的变化而变 化的,也就是说，利 率是一个变量.在我 国,利率的调整是由 中国人民银行根据国 民经济发展的情况而 决定的.
12 12
问题四
亲历知识的发生和发展
银行的储蓄利率是随时间的变化而变化的,也就 是说，利率是一个变量.在我国,利率的调整是由 中国人民银行根据国民经济发展的情况而决定的.
(100+x)棵 (600-5x)个 10
10
问题三
某果园有100棵橙子树，每一 棵树平均结600个橙子。现准备多 种一些橙子树以提高产量，但是 如果多种树，那么树之间的距离 和每一棵树所接受的阳光就会减 少．根据经验估计，每多种一棵 树，平均每棵树就会少结5个橙子。
(3)如果果园橙子的总产 量为y个，那么请你写出 y与x之间的关系式．
3、y=-5x²+100x+60000,
4、 y=100x²+200x+100.
y是x的函数吗？ x2 y是x的一次函数吗？ y是x的反比例函数吗？
有何特 点?
14 14
思索归纳
定义：一般地,形如y=ax²+bx+c(a,b,c 是常数,a≠ 0)的函数叫做x的二次函数.
提示:
(1)关于x的代数式一定是整式,a,b,c为常数,且 a≠0.
请同学们各写出三个二次函数
17
17
火眼金睛
在二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)中， a、b、c分别叫做二 次项系数、一次项系数、常数项。填表：
y=-2x²+6
6
0
0
1
3
-2
-2
0
6
2
1
-3
1
-2 3
二次函数 yx22x5中，x=-2时，y= -3 ；
当y =2时， x = -1或3 ；
18 18
(2)等式的右边最高次数为2,可以没有一次项 和常数项,但不能没有二次项.
15 15
思索归纳
定义中应该注意的几个问题:
1.定义：一般地,形如y=ax²+bx+c(a, b,c是常数,a≠0)的函数叫做x的二次函数
. y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)
的几种不同表示形式: (1)y=ax² --------- (a≠0,b=0,c=0,).
形如y=kx+b (k、b为常数，k≠0)
形如y=
kk xx
(k为常数，k≠0)
解生活中你见过哪些圆形图案？它们面积的大小与什么 有关？
设圆的半径为x，面积为y 。（1） y是x的函数吗？ 是。因为当给定了一个x的值时，相应地就
确定了一个y值，因此y是x的函数。 （2）若是，请写出y与x之间的函数关系式；
1
在观看篮球比赛时，你是否注意过篮球入篮的路线？
22
图片欣赏
彩虹桥
33
图片欣赏
石拱桥
44
它们会与某种函数有联系吗？
55
温故知新
复习：
1、什么是函数？
在某个变化过程中，有两个变量x 和y ，如果对于x 的 每一个可取的值，都有唯一一个y 值与它对应，那么y 称为x
的函数。
2、什么叫做一次函数？ 3、什么叫做反比例函数？ 4、函数有哪些表示方法？
(1)问题中有哪些变量?
其中哪些是自变量?
哪些是因变量?
9 9
问题二
某果园有100棵橙子树，每一 棵树平均结600个橙子。现准备多 种一些橙子树以提高产量，但是 如果多种树，那么树之间的距离 和每一棵树所接受的阳光就会减 少．根据经验估计，每多种一棵 树，平均每棵树就会少结5个橙子。
(2)假设果园增种x棵橙子 树，那么果园共有多少棵橙 子树?这时平均每棵树结多 少个橙子?
(3)y=ax²+bx ---- (a≠0,b≠0,c=0). 16 16
初试牛刀
定义：一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c 是常数,a≠ 0)的函数叫做x的二次函数。
下列函数中，哪些是二次函数？
（1）y=3(x-1)²+1
(3)y=(x+3)²-x² (5) y 1 3x2 ,
设人民币一年定期储蓄的年利率是x,一年到 期后,银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转 存.如果存款是100元,那么请你写出两年后的本 息和y(元)的表达式(不考虑利息税).
y=100(x+1)²=100x²+200x+100.
13
思索归纳
二次函数
1、 y = ∏ x ² 2、y =- x ²+30 x
（2）若是，请写出y与x之间的函数关系式；
y与x的函数关系式是： y = x( 60 - x)
2
8
即 y =- x ²+30 x
8
问题一
某果园有100棵橙子树，每一 棵树平均结600个橙子。现准备多 种一些橙子树以提高产量，但是 如果多种树，那么树之间的距离 和每一棵树所接受的阳光就会减 少．根据经验估计，每多种一棵 树，平均每棵树就会少结5个橙子。
2
(7)s=1+t+5t²，
(2)s=-2t²
(4)
y
1 x2
x
(6)y=2²+2x,
(8)y1x2x325 2
二次函数y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的几种不同表示形式:
(1)y=ax²(a≠0).
(2)y=ax²+c(a≠0).
(3)y=ax²+bx (a≠0)
（4）y=ax²+bx+c (a≠0)
y与x的函数关系式是： y =лx 2 7 7
勇于探索
学校要建成一个周长为60m的矩形场地，用做生物园。
你能画出设计图吗？此时矩形场地的面积是多少？
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15
25
20
15
（1） 场地面积y(m²)与矩形一边长x(m)之间是函
数关系吗？
是。因为当给定了一个x的值时，相应地就确定了一
个y值，因此y是x的函数。
火眼金睛
若 y(m 2)xm 2m 4 是关于x的二次函数，求m的值。
m2 +m-4=2 解：依题意得
m-2≠0 解得 m=-3 ∴ 当m=-3时，原函数为二次函数。
已知函数 y(k2k)x2k x2k （1）当k ≠0且k ≠1 时，y是x的二次函数？ （2）当k =1 时，y是x的一次函数？
19 19
y= (100+x) (600-5x) =-5x2+100x+60000
11
11
想一想 亲历知识的发生和发展
银行的储蓄利率 是随时间的变化而变 化的,也就是说，利 率是一个变量.在我 国,利率的调整是由 中国人民银行根据国 民经济发展的情况而 决定的.
12 12
问题四
亲历知识的发生和发展
银行的储蓄利率是随时间的变化而变化的,也就 是说，利率是一个变量.在我国,利率的调整是由 中国人民银行根据国民经济发展的情况而决定的.
(100+x)棵 (600-5x)个 10
10
问题三
某果园有100棵橙子树，每一 棵树平均结600个橙子。现准备多 种一些橙子树以提高产量，但是 如果多种树，那么树之间的距离 和每一棵树所接受的阳光就会减 少．根据经验估计，每多种一棵 树，平均每棵树就会少结5个橙子。
(3)如果果园橙子的总产 量为y个，那么请你写出 y与x之间的关系式．
3、y=-5x²+100x+60000,
4、 y=100x²+200x+100.
y是x的函数吗？ x2 y是x的一次函数吗？ y是x的反比例函数吗？
有何特 点?
14 14
思索归纳
定义：一般地,形如y=ax²+bx+c(a,b,c 是常数,a≠ 0)的函数叫做x的二次函数.
提示:
(1)关于x的代数式一定是整式,a,b,c为常数,且 a≠0.
请同学们各写出三个二次函数
17
17
火眼金睛
在二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)中， a、b、c分别叫做二 次项系数、一次项系数、常数项。填表：
y=-2x²+6
6
0
0
1
3
-2
-2
0
6
2
1
-3
1
-2 3
二次函数 yx22x5中，x=-2时，y= -3 ；
当y =2时， x = -1或3 ；
18 18
(2)等式的右边最高次数为2,可以没有一次项 和常数项,但不能没有二次项.
15 15
思索归纳
定义中应该注意的几个问题:
1.定义：一般地,形如y=ax²+bx+c(a, b,c是常数,a≠0)的函数叫做x的二次函数
. y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)
的几种不同表示形式: (1)y=ax² --------- (a≠0,b=0,c=0,).
形如y=kx+b (k、b为常数，k≠0)
形如y=
kk xx
(k为常数，k≠0)
解生活中你见过哪些圆形图案？它们面积的大小与什么 有关？
设圆的半径为x，面积为y 。（1） y是x的函数吗？ 是。因为当给定了一个x的值时，相应地就
确定了一个y值，因此y是x的函数。 （2）若是，请写出y与x之间的函数关系式；
1
在观看篮球比赛时，你是否注意过篮球入篮的路线？
22
图片欣赏
彩虹桥
33
图片欣赏
石拱桥
44
它们会与某种函数有联系吗？
55
温故知新
复习：
1、什么是函数？
在某个变化过程中，有两个变量x 和y ，如果对于x 的 每一个可取的值，都有唯一一个y 值与它对应，那么y 称为x
的函数。
2、什么叫做一次函数？ 3、什么叫做反比例函数？ 4、函数有哪些表示方法？
(1)问题中有哪些变量?
其中哪些是自变量?
哪些是因变量?
9 9
问题二
某果园有100棵橙子树，每一 棵树平均结600个橙子。现准备多 种一些橙子树以提高产量，但是 如果多种树，那么树之间的距离 和每一棵树所接受的阳光就会减 少．根据经验估计，每多种一棵 树，平均每棵树就会少结5个橙子。
(2)假设果园增种x棵橙子 树，那么果园共有多少棵橙 子树?这时平均每棵树结多 少个橙子?