二次函数辅导讲义

名思教育辅导讲义

x =-—，对称轴与抛物线唯一的交点是抛物线的顶点 P 。特别

地，当b =0时，抛物线的对称轴是 y 轴（即直线x =0 ）

函数y 有最小值；当a <0时，函数y 有最大值。

当-一=0时，P 在y 轴上（即交点的横坐标为 0）；当△ =b 2-4ac =o 时，P 在x 轴上（即函数与 x 轴只 2a

有一个交点）。

3?二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小（即形状）。

当a >0时，抛物线开口向上；当 a v0时，抛物线开口向下。|a |越大，则抛物线的开口越小。对于两个抛物线，若形状相同，开口方向相同，则

a 相等；若形状相同，开口方向相反，贝U a 互为相反数。

4?二次项系数a 和一次项系数b 共同决定对称轴的位置，四字口诀为“左同右异”，即：当对称轴在y 轴左边时，a 与b 同号（即ab > 0）；当对称轴在y 轴右边时，a 与b 异号（即ab v 0 ）。

5. 常数项c 决定抛物线与y 轴交点位置，抛物线与 y 轴交于点（0, c ）。

6 .抛物线y =ax 2+bx +c （a 丰0）与x 轴交点个数与方程 ax 2+ bx +c=0的根的判定方法： △ =b 2-4 ac > 0时，抛物线与x 轴有2个交点，对应方程有两个不相同的实数根； △ =b 2-4 ac =0时，抛物线与 x 轴有1个交点，对应方程有两个相同的实数根。 △ =b 2-4 ac v 0时，抛物线与x 轴没有交点，对应方程没有实数根。五、二次函数与一元二次方程

特别地，二次函数（以下称函数） y = ax 2+ bx + c （a 丰0），当y =0时，二次函数为关于 x 的一元二次方程，即ax 2+ bx + c =0，此时，函数图像与 x 轴有无交点即方程有无实数根。函数与x 轴交点的横坐标即为方程的根。（参考四

-6 ）

二、考点分析

考点一、图象

1、根据二次函数图象提供的信息，判断与

a 、

b 、

c 相关的代数式是否成立

例1、已知二次函数 y=ax 2+bx+c （a 工0）的图象如图1所示，有下列5个结论:

1.抛物线是轴对称图形，对称轴为直线

2 .抛物线有一个顶点

K P ,坐标为P ( ------ , 2a

4ac-b 2 4a

）。

当 X =- 2b a 时，

y 最值= 4ac- b 2 4a

，当a >0时,

3、已知抛物线的顶点坐标，和某一个点的坐标，求解析式例3、在直角坐标平面，二次函数图象的顶点为 A (1 , -4 )，且过点B (3 , 0)

求该二次函数的解析式。

4、已知抛物线的对称轴，和某两个点的坐标，求解析式例4、有一座抛物线形拱桥，正常水位时，

AB 宽为20米，水位上升

宽度为10米。请你在如图所示的平面直角坐标系中，求出二次函数的解析式。

5、已知一个抛物线的解析式，求平移的函数解析式

例5、将抛物线y=x 2的图象向右平移 3个单位，接着再向上平移

6个单位，则平移后的抛物线的解析式为

3米就达到警戒水位线 CD ，这时水面的

(2) 当x为何值时，所围成的苗圃面积最大？最大面积是多少?

2、只围三边的矩形的面积最值

例2、如图2，用长为50米的篱笆围成一个养鸡场，养鸡场的一面靠墙。问如何围，才能使养鸡场的面积最大？

4、截出图形面积的最值问题

例4、如图4, △ABC是一块锐角三角形的余料,边

BC=120mm, 高AD=80mm, 要把它加工成长方形零件

PQMN ,使长方形PQMN的边QM在BC上，其余两点P、N 在AB、AC

上。