2021新高考数学二轮总复习专题突破练21 直线与圆及圆锥曲线 Word版含解析

专题突破直线与圆及圆锥曲线
1.(2020全国Ⅱ,理19)已知椭圆C1:x2
a +y2
b
=1(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重
合,C1的中心与C2的顶点重合.过F且与x轴垂直的直线交C1于A,B两点,交C2于C,D
两点,且|CD|=4
3
|AB|.
(1)求C1的离心率;
(2)设M是C1与C2的公共点.若|MF|=5,求C1与C2的标准方程.
2.
已知圆O:x2+y2=4,点A(√3,0),以线段AB为直径的圆内切于圆O,记点B的轨迹为Γ.
(1)求曲线Γ的方程;
(2)直线AB交圆O于C,D两点,当B为CD的中点时,求直线AB的方程.
3.(2019全国Ⅰ,理19)已知抛物线C :y 2=3x 的焦点为F ,斜率为3
2的直线l 与C 的交点为A ,B ,与x 轴的交点为P. (1)若|AF|+|BF|=4,求l 的方程; (2)若AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =3PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,求|AB|.
4.(2020山东威海一模,20)已知椭圆x 2
a +y 2
b =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,点P (-1,3
2)是椭圆上一点,|F 1F 2|是|PF 1|和|PF 2|的等差中项. (1)求椭圆的标准方程;
(2)若A 为椭圆的右顶点,直线AP 与y 轴交于点H ,过点H 的另一条直线与椭圆交于M ,N 两点,且S △HMA =6S △PHN ,求直线MN 的方程.
5.(2020重庆名校联盟高三二诊,19)已知椭圆C :x 2
a +y 2
b =1(a>b>0),F 1,F 2为椭圆的左、右焦点,P (1,
√2
2)为椭圆上一点,且|PF 1|=3√22
. (1)求椭圆的标准方程;
(2)设直线l :x=-2,过点F 2的直线交椭圆于A ,B 两点,线段AB 的垂直平分线分别交直线l 、直线AB 于M ,N 两点,当∠MAN 最小时,求直线AB 的方程.
6.(2020天津河北一模,19)已知椭圆C :x 2a 2+y 2
b 2=1(a>b>0)的离心率为1
2,直线x+y-√6=0与圆x 2+y 2=b 2相切. (1)求椭圆C 的方程;
(2)过点P (4,0)的直线l 与椭圆C 交于不同两点A ,B ,线段AB 的中垂线为l 1,若l 1在y 轴上的截距为4
13,求直线l 的方程.
答案及解析
1.解(1)由已知可设C 2的方程为y 2=4cx ,其中c=2
2.
不妨设A ,C 在第一象限,由题设得A ,B 的纵坐标分别为b 2a ,-b 2
a ;C ,D 的纵坐标分别为2c ,-2c ,故|AB|=
2b 2a
,|CD|=4c.
由|CD|=43|AB|得4c=8b 2
3a ,即3×c
a =2-2(c a )2
,解得c
a =-2(舍去),c
a =1
2.所以C 1的离心率为
12
.
(2)由(1)知a=2c ,b=√3c ,故C 1:x 24c +y 2
3c =1. 设M (x 0,y 0),则x 0
24c 2+
y 0
23c 2=1,y 02
=4cx 0,故x 024c 2+
4x 03c
=1.
① 由于C 2的准线为x=-c ,所以|MF|=x 0+c ,而|MF|=5,故x 0=5-c ,代入①得(5-c )24c 2
+
4(5-c )3c
=1,
即c 2-2c-3=0,解得c=-1(舍去),c=3.
所以C 1的标准方程为x 2
36+y 2
27
=1,C 2的标准方程为y 2
=12x. 2.解
(1)设AB 的中点为M ,切点为N ,连接OM ,MN ,则|OM|+|MN|=|ON|=2,|AB|=|ON|-(|OM|-|MN|)=2-|OM|+1
2|AB|,即|AB|+2|OM|=4.
取A 关于y 轴的对称点A',连接A'B ,则|A'B|=2|OM|, 故|AB|+2|OM|=|AB|+|A'B|=4.
所以点B 的轨迹是以A',A 为焦点,长轴长为4的椭圆. 其中a=2,c=√3,b=1,则曲线Γ的方程为x 2
4+y 2=1. (2)
因为B 为CD 的中点,所以OB ⊥CD ,则OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ .
设B (x 0,y 0),则x 0(x 0-√3)+y 02
=0. 又x 0
24+y 02=1,
解得x 0=√
3,y 0=±√2
√
3.
则k OB =±√2
2,k AB =∓√2,
则直线AB 的方程为y=±√2(x-√3), 即√2x-y-√6=0或√2x+y-√6=0. 3.解设直线l :y=3
2x+t ,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).
(1)由题设得F (34,0), 故|AF|+|BF|=x 1+x 2+3
2, 由题设可得x 1+x 2=52.
由{
y =3
2x +t ,y 2
=3x ,
可得9x 2+12(t-1)x+4t 2=0,则x 1+x 2=-12(t -1)9
.
从而-
12(t -1)9
=5
2,得t=-7
8.
所以l 的方程为y=3
2x-7
8. (2)由AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =3PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 可得y 1=-3y 2. 由{
y =3
2x +t ,y 2=3x
可得y 2-2y+2t=0.
所以y 1+y 2=2.
从而-3y 2+y 2=2,故y 2=-1,y 1=3. 代入C 的方程得x 1=3,x 2=1
3. 故|AB|=
4√13
3
. 4.解(1)因为|F 1F 2|是|PF 1|和|PF 2|的等差中项,所以a=2c ,得a 2=4c 2,则b 2=a 2-c 2=3c 2.
又P (-1,3
2)在椭圆上,所以1
4c 2+9
4b 2=1,即1
4c 2+3
4c 2=1,所以c=1. 则a 2=4,b 2=3,
椭圆的标准方程为x 24+
y 23
=1.
(2)因为P (-1,3
2),由(1)计算可知A (2,0),H (0,1), 当直线MN 与x 轴垂直时,易验证,不合题意.
当直线MN 与x 轴不垂直时,设直线MN 的方程为y=kx+1, 联立直线与椭圆的方程{y =kx +1,x 2
4
+
y 23
=1,
消去y ,可得(4k 2+3)x 2+8kx-8=0, 设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),由韦达定理可得{
x 1+x 2=-8k
4k +3,x 1x 2=-84k 2+3.
①
由S △HMA =6S △PHN ,可得|AH||MH|=6|NH||PH|,又|AH|=2|PH|, 所以|MH|=3|NH|,得x 1=-3x 2, 代入①,可得{-2x 2=-8k
4k +3,
-3x 22
=-84k 2+3,
所以3×16k 2
(4k 2+3)2=8
4k 2+3,解得k=±√6
2,所以直线MN 的方程为y=±√6
2x+1. 5.解(1)设椭圆的左焦点F 1(-c ,0)(c>0),则|PF 1|=√(1+c )2+1
2=
3√2
2
,解得c=1,
所以|PF 2|=√2
2,则由椭圆定义|PF 1|+|PF 2|=2a=2√2,∴a=√2,b=1. 故椭圆的标准方程为x 2
2+y 2=1.
(2)由题意直线AB 的斜率必定不为零,于是可设直线AB :x=ty+1, 联立方程{x =ty +1,x 2
2
+y 2
=1,
得(t 2+2)y 2+2ty-1=0,
∵直线AB 交椭圆于A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), ∴Δ=4t 2+4(t 2+2)=8(t 2+1)>0, 由韦达定理得y 1+y 2=-2t
t 2+2,y 1y 2=-1
t 2+2, 则y N =-t
t +2,∴x N =ty N +1=-t 2
t +2+1=2
t +2.
∵MN ⊥AB ,∴k MN =-t ,∴|MN|=√1+t 2
·-2-2
t 2+2=√1+t 2·
2t 2+6t 2+2
.
又|AN|=1
2|AB|=1
2√1+
t 2·|y 1-y 2|=√1+
t 2
·
√2√1+t 2
t 2+2
, ∴tan ∠MAN=|MN |
|AN |=
√2(2√t 2+1=√2(√t 2+1+√
t 2+1
≥√2·2√2=4.
当且仅当2+1=√
2,即t=±1时取等号.
此时直线AB 的方程为x+y-1=0或x-y-1=0. 6.解(1)由题意得,{e =c
a =1
2,
b =√6|
√1+1=√3,
又a 2=b 2+c 2,
∴a=2.
∴椭圆C 的方程为x 2
4+
y 23
=1.
(2)由题意,直线l 的斜率k 存在且不为零. 设直线l 的方程为y=k (x-4),k ≠0. 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),AB 的中点Q (x 0,y 0). 由{y =k (x -4),x 2
4
+
y 23
=1,
消去y ,整理得(3+4k 2)x 2-32k 2x+64k 2-12=0. 由Δ=(-32k 2)2-4(3+4k 2)(64k 2-12)>0, 解得-1
2<k<1
2,且k ≠0,
∴x 1+x 2=32k 2
3+4k 2.
∴x 0=16k 2
3+4k 2,y 0=k (x 0-4)=-12k
3+4k 2. ∴Q (16k 2
3+4k 2,-12k
3+4k 2).
由题意可知,l 1:y-y 0=-1
k (x-x 0),即y+12k
3+4k 2=-1
k (x -16k 2
3+4k 2).
化简得,y=-1k x+4k
3+4k 2. 令x=0,4k
3+4k 2=4
13. 解得k=14或k=3.
∵-12<k<12,且k ≠0,∴k=1
4.
故直线l 的方程为y=1
4(x-4),即x-4y-4=0.。