2021新高考数学二轮总复习专题突破练21 直线与圆及圆锥曲线 Word版含解析

专题突破直线与圆及圆锥曲线

1.(2020全国Ⅱ,理19)已知椭圆C1:x2

a +y2

b

=1(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重

合,C1的中心与C2的顶点重合.过F且与x轴垂直的直线交C1于A,B两点,交C2于C,D

两点,且|CD|=4

3

|AB|.

(1)求C1的离心率;

(2)设M是C1与C2的公共点.若|MF|=5,求C1与C2的标准方程.

2.

已知圆O:x2+y2=4,点A(√3,0),以线段AB为直径的圆内切于圆O,记点B的轨迹为Γ.

(1)求曲线Γ的方程;

(2)直线AB交圆O于C,D两点,当B为CD的中点时,求直线AB的方程.

3.(2019全国Ⅰ,理19)已知抛物线C :y 2=3x 的焦点为F ,斜率为3

2的直线l 与C 的交点为A ,B ,与x 轴的交点为P. (1)若|AF|+|BF|=4,求l 的方程; (2)若AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =3PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,求|AB|.

4.(2020山东威海一模,20)已知椭圆x 2

a +y 2

b =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,点P (-1,3

2)是椭圆上一点,|F 1F 2|是|PF 1|和|PF 2|的等差中项. (1)求椭圆的标准方程;

(2)若A 为椭圆的右顶点,直线AP 与y 轴交于点H ,过点H 的另一条直线与椭圆交于M ,N 两点,且S △HMA =6S △PHN ,求直线MN 的方程.

5.(2020重庆名校联盟高三二诊,19)已知椭圆C :x 2

a +y 2

b =1(a>b>0),F 1,F 2为椭圆的左、右焦点,P (1,

√2

2)为椭圆上一点,且|PF 1|=3√22

. (1)求椭圆的标准方程;

(2)设直线l :x=-2,过点F 2的直线交椭圆于A ,B 两点,线段AB 的垂直平分线分别交直线l 、直线AB 于M ,N 两点,当∠MAN 最小时,求直线AB 的方程.

6.(2020天津河北一模,19)已知椭圆C :x 2a 2+y 2

b 2=1(a>b>0)的离心率为1

2,直线x+y-√6=0与圆x 2+y 2=b 2相切. (1)求椭圆C 的方程;

(2)过点P (4,0)的直线l 与椭圆C 交于不同两点A ,B ,线段AB 的中垂线为l 1,若l 1在y 轴上的截距为4

13,求直线l 的方程.

答案及解析

1.解(1)由已知可设C 2的方程为y 2=4cx ,其中c=2

2.

不妨设A ,C 在第一象限,由题设得A ,B 的纵坐标分别为b 2a ,-b 2

a ;C ,D 的纵坐标分别为2c ,-2c ,故|AB|=

2b 2a

,|CD|=4c.

由|CD|=43|AB|得4c=8b 2

3a ,即3×c

a =2-2(c a )2

,解得c

a =-2(舍去),c

a =1

2.所以C 1的离心率为

12

.

(2)由(1)知a=2c ,b=√3c ,故C 1:x 24c +y 2

3c =1. 设M (x 0,y 0),则x 0

24c 2+

y 0

23c 2=1,y 02

=4cx 0,故x 024c 2+

4x 03c

=1.

① 由于C 2的准线为x=-c ,所以|MF|=x 0+c ,而|MF|=5,故x 0=5-c ,代入①得(5-c )24c 2

+

4(5-c )3c

=1,

即c 2-2c-3=0,解得c=-1(舍去),c=3.

所以C 1的标准方程为x 2

36+y 2

27

=1,C 2的标准方程为y 2

=12x. 2.解

(1)设AB 的中点为M ,切点为N ,连接OM ,MN ,则|OM|+|MN|=|ON|=2,|AB|=|ON|-(|OM|-|MN|)=2-|OM|+1

2|AB|,即|AB|+2|OM|=4.

取A 关于y 轴的对称点A',连接A'B ,则|A'B|=2|OM|, 故|AB|+2|OM|=|AB|+|A'B|=4.

所以点B 的轨迹是以A',A 为焦点,长轴长为4的椭圆. 其中a=2,c=√3,b=1,则曲线Γ的方程为x 2

4+y 2=1. (2)

因为B 为CD 的中点,所以OB ⊥CD ,则OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ .

设B (x 0,y 0),则x 0(x 0-√3)+y 02

=0. 又x 0

24+y 02=1,

解得x 0=√

3,y 0=±√2

√

3.

则k OB =±√2

2,k AB =∓√2,

则直线AB 的方程为y=±√2(x-√3), 即√2x-y-√6=0或√2x+y-√6=0. 3.解设直线l :y=3

2x+t ,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).

(1)由题设得F (34,0), 故|AF|+|BF|=x 1+x 2+3

2, 由题设可得x 1+x 2=52.

由{

y =3

2x +t ,y 2

=3x ,

可得9x 2+12(t-1)x+4t 2=0,则x 1+x 2=-12(t -1)9

.

从而-

12(t -1)9

=5

2,得t=-7

8.

所以l 的方程为y=3

2x-7

8. (2)由AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =3PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 可得y 1=-3y 2. 由{

y =3

2x +t ,y 2=3x

可得y 2-2y+2t=0.

所以y 1+y 2=2.

从而-3y 2+y 2=2,故y 2=-1,y 1=3. 代入C 的方程得x 1=3,x 2=1

3. 故|AB|=

4√13

3

. 4.解(1)因为|F 1F 2|是|PF 1|和|PF 2|的等差中项,所以a=2c ,得a 2=4c 2,则b 2=a 2-c 2=3c 2.

又P (-1,3

2)在椭圆上,所以1

4c 2+9

4b 2=1,即1

4c 2+3

4c 2=1,所以c=1. 则a 2=4,b 2=3,