高中数学抽象函数、复合函数综合练习

抽象函数专题训练

1 线性函数型抽象函数

【例题1】已知函数()f x 对任意实数x y 、，均有()()()f x y f x f y +=+，且当0x >时，()0,(1)2,f x f >-=-求()f x 在区间[-2,1]上的值域。

【例题2】已知函数()f x 对任意实数x y 、，均有()()=2+()f x f y f x y ++，且当0x >时，()2,(3)5,f x f >=求不等式2(23)3f a a --<的解。

2 指数函数型抽象函数

【例题3】已知函数()f x 定义域为R ，满足条件：存在12x x ≠，使得12()(),f x f x ≠对任何x 和y ，()()()f x y f x f y +=⋅成立。 求： （1）(0);f

(2) 对任意值x ,判断()f x 值的正负。

【例题4】是否存在函数()f x 满足下列三个条件： ①()0,.f x x N >∈②()()() ,.f a b f a f b a b N +=⋅∈，③(2)4f =同时成立？ 若存在，求出()f x 的解析式，若不存在，说明理由。

3 对数函数型抽象函数

【例题5】设()f x 定义在+∞（0，）上的单调增函数，满足()()+()f xy f x f y =，(3)1f =。 求： （1）(1);f

(2) 若()+(8)2,f x f x -≤求x 的取值范围。

4 三角函数型抽象函数

【例题6】已知函数()f x 的定义域关于原点对称，且满足下列三个条件：①当12,x x 是其定义域中的数时，有121221()()1

();()()

f x f x f x x f x f x ⋅+-=

-②()1,f a =-（0a >，a 是定义域中的一个数）

③当02x a <<时，()0.f x <试问：

（1） ()f x 的奇偶性如何？说明理由。 （2） 在0,4a （）上，()f x 的单调性如何？说明理由。

5 幂函数型抽象函数

【例题7】已知函数()f x 对任意实数x y 、，均有()()()f xy f x f y =⋅，且(1)1,(27)9f f -==，当01x ≤<时，[)()0,1f x ∈.

(1) 判断()f x 的奇偶性； (2) 判断()f x 在+∞[0，）的单调性，并给出证明； (3) 若0a ≥

，且(1)f a +≤，求a 的取值范围。

练习：2010省市部分试题

1.（上海十四校联考）已知R x f 是定义在)(上的函数，且R x f ∈=对任意的,1)1(都有下

列两式成立：

)6(,1)()(.1)()1(;5)()5(g x x f x g x f x f x f x f 则若-+=+≤++≥+的值为

答案 1

2．已知)(x f 是定义在R 上的不恒为零的函数，且对于任意实数a 、R b ∈满足：

)()()(a bf b af b a f +=⋅，2)2(=f ，n f a n n )2(=

*)(N n ∈，n n n f b 2)

2(=（*N n ∈），考察下列结论，①)1()0(f f =；②)(x f 为偶函数；③数列}{n b 为等差数列；④数列}{n

a 为等比数列，其中正确的是_______（填序号） 答案 ①③④

3.（岳阳联考题）若()f x 是定义在R 上的函数，对任意的实数x ，都有 (4)()4f x f x +≤+

和,2)()2(+≥+x f x f 且21=）（f ，则）（2009f 的值是（ ）

A ．2008

B ．2009

C ．2010

D ．2011

答案 C

4．(成都市石室中学高三三诊模拟)定义在[0，1]上的函数)(x f 满足

)(2

1

)5(,1)1()(,0)0(x f x f x f x f f ==-+=，且当1021≤<≤x x 时，

)2010

1

().()(21f x f x f 则≤等于

（ C ） A ．21 B ．161 C ．321 D ．

641

5.（安徽两地三校联考）定义在R 上的函数y=f(x)，f(0)≠0，当x>0时，f(x)>1，且对任意的a 、b ∈R ，有f(a+b)=f(a)f(b)， （1）求证：f(0)=1；

（2）求证：对任意的x ∈R ，恒有f(x)>0； （3）证明：f(x)是R 上的增函数；

（4）若f(x)·f(2x-x2)>1，求x 的取值范围。

解 （1）令a=b=0，则f(0)=[f(0)]2∵f(0)≠0 ∴f(0)=1

（2）令a=x ，b=-x 则 f(0)=f(x)f(-x) ∴

)

(1

)(x f x f =

-

由已知x>0时，f(x)>1>0，当x<0时，-x>0，f(-x)>0

∴

0)

(1

)(>-=

x f x f 又x=0时，f(0)=1>0

∴对任意x ∈R ，f(x)>0

(3)任取x2>x1，则f(x2)>0，f(x1)>0，x2-x1>0

∴1)()()()

()

(121212>-=-⋅=x x f x f x f x f x f

∴f(x2)>f(x1) ∴f(x)在R 上是增函数

（4）f(x)·f(2x-x2)=f[x+(2x-x2)]=f(-x2+3x)又1=f(0)， f(x)在R 上递增

∴由f(3x-x2)>f(0)得：3x-x2>0 ∴ 0

6. （四川省成都外国语学校）已知定义在R 上的函数()f x 对任意实数x 、y 恒有

()()()f x f y f x y +=+，且当0x >时，()0f x <，又2

(1)3

f =-。

(1)求证：()f x 为奇函数；(2)求证：()f x 为R 上的减函数；

(3)解关于x 的不等式：

11

(2)()()()22f bx f x f bx f b ->-. (2)b >其中 答案 (1)，（2）略 (3)22

b

x b -<-。

第一篇、复合函数问题

一、复合函数定义： 设y=f(u)的定义域为A ，u=g(x)的值域为B ，若A ⊇B ，则y 关于x 函数的y=f ［g(x)］叫做函数f 与g 的复合函数，u 叫中间量.

二、复合函数定义域问题： （一）例题剖析：

(1)、已知f x ()的定义域，求[]f g x ()的定义域

思路：设函数f x ()的定义域为D ，即x D ∈，所以f 的作用范围为D ，又f 对g x ()作用，作用范围不变，所以D x g ∈)(，解得x E ∈，E 为[]f g x ()的定义域。

例1. 设函数f u ()的定义域为（0，1），则函数f x (ln )的定义域为_____________。 解析：函数f u ()的定义域为（0，1）即u ∈()01，，所以f 的作用范围为（0，1） 又f 对lnx 作用，作用范围不变，所以01<

例2. 若函数f x x ()=

+1

1

，则函数[]f f x ()的定义域为______________。 解析：先求f 的作用范围，由f x x ()=+1

1

，知x ≠-1

即f 的作用范围为{}x R x ∈≠-|1，又f 对f(x)作用