第一节 圆的基本性质
九年级圆的基础知识点
九年级圆的基础知识点圆，作为几何学中的一个常见概念，是我们在学习数学的过程中经常接触到的内容之一。
本文将为你介绍九年级学生需要掌握的圆的基础知识点，帮助你更好地理解和应用圆的相关概念。
一、圆的定义和基本性质圆是由平面上到一个定点的距离恒定的所有点的集合。
其中，到定点的距离称为圆的半径，定点称为圆心。
在圆上任意取两点，其连接线段称为弦，如果弦的中垂线恰好经过圆心，那么该弦称为直径。
圆的基本性质包括：1. 任意两点都在圆上；2. 定义圆心为O，若点P在圆上，则OP为半径；3. 圆的半径相等；4. 相交于一点的两弦相等时，这两弦的有公共的中点；5. 互补的两弧对应的弦相等。
二、圆的元素与相关术语1. 圆弧：圆上两点间的弧称为圆弧。
圆周长为360°，因此圆弧的度数也是以360°为单位来计算的。
2. 弦：连接圆上两点的线段称为弦。
可以根据弦的位置分为直径、半径和弦等。
3. 弧度：圆的弧度是指一条弧所对圆心角所对应的弧长与半径之比。
4. 扇形：以圆心为顶点，圆周上的两条边为边的图形称为扇形。
扇形的面积可以通过计算它所对的圆心角所占的比例求解。
5. 切线：切线是指在圆的圆周上，与切点相切且垂直于半径的直线。
切线与半径的夹角为90°。
三、圆的重要定理1. 圆心角定理：同一个圆的圆心角所对的弧长相等。
2. 弧长定理：圆心角为θ的弧所对的弧长等于整个圆的周长乘以θ和360°之比。
3. 正多边形的内角和定理：一个正n边形的内角和等于(n-2) ×180°，其中n为正整数且大于等于3。
四、常见计算问题在计算圆的相关问题时，我们可以运用以下公式和方法：1. 圆的面积计算公式：S = πr^2，其中S为圆的面积，r为半径。
2. 扇形面积计算公式：S = (θ / 360°) × πr^2，其中S为扇形的面积，r为半径，θ为圆心角的度数。
3. 圆弧长度计算公式：L = (θ / 360°) × 2πr，其中L为圆弧的长度，r为半径，θ为圆心角的度数。
六年级数学课件圆的基本性质
建筑结构：桥梁、高架路等建筑结构中，也常常采用圆形作为受力结构，因为圆形的受力分布均匀，能够承受更大的重量。
数学中的圆的应用
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
圆在几何学中的应用：圆是几何学中一个基本图形，可以用来研究图形的性质和特点，例如圆周长、圆面积、圆心角等。
圆的定义可以用来描述圆的特征和性质
圆的形成
圆的概念：圆是平面上所有与给定点（圆心）距离相等的点的集合
圆的形成：通过绕一个固定点旋转直线来形成圆
圆的基本性质：圆是中心对称图形，具有旋转不变性
圆的应用：圆在生活和生产中有着广泛的应用，如车轮、钟表等
圆的基本属性
圆的概念：平面上所有与给定点（中心）距离相等的点的集合
周长的定义：图形边界的总长度
圆的面积公式推导
圆的面积公式：S=πr²
注意事项：在推导过程中，需要注意扇形的数量和大小，以确保推导结果的准确性。
拓展知识：除了圆的面积公式外，还可以推导出其他与圆相关的公式，如圆的周长公式、圆的半径公式等。
推导过程：通过将圆分割成若干个扇形，再将这些扇形重新组合成一个近似长方形，从而推导出圆的面积公式。
圆的性质：圆是中心对称图形，具有旋转不变性
圆的基本元素：圆心、半径、直径
圆的面积和周长计算公式
03
圆的基本性质
圆心与半径
圆心的定义：圆心是圆的中心点，通过圆心的任意直线都可以将圆等分。
半径的定义：半径是连接圆心到圆上任意一点的线段，是圆的特征之一。
半径的长度：半径的长度等于圆的直径的一半，可以通过测量或计算得出。
圆与对称轴的关系
第六章 第一节 圆的基本性质
圆的有关概念及其性质
1．圆的概念
(1)圆是平面内到一定点的距离等于定长的所有点组成的图形．这个定点叫做
，定长
叫做
；
(2)平面内一个动点绕一个定点旋转一周所形成的图形叫做圆，定点叫做圆心，定点与动点
的连线叫做半径．
2．圆的有关概念
(1)连接圆上任意两点的
叫做弦．
(2)圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．
田面积所用的经验公式是：弧田面积＝12(弦×矢＋矢 2)．弧田是由圆弧和其所对的弦围成(如
图中的阴影部分)，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，
运用垂径定理(当半径 OC⊥弦 AB 时，OC 平分 AB)可以求解．现已知弦 AB＝8 米，半径等
于 5 米的弧田，按照上述公式计算出弧田的面积为
．
3
利用圆、角、弧、弦之间的联系解题时忽略前提条件 利用圆心角、弧、弦之间的关系解题时，其前提条件是在同圆或等圆中，即(1)在同圆 或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．(2)在同圆或等圆中，如果两个圆 心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．切记 前提条件是在同圆或等圆中．
1．(2019·宁波二模)如图，圆形纸片⊙O 半径为 5，先在其内剪出 2 个边长相等的最大正方 形，再在剩余部分剪出 2 个边长相等的最大正方形，4 个正方形面积总和为 ．
《九章算术》——圆材埋壁
1．(2019·广西)《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古
希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉．
中顶部圆弧 AB 的圆心 O1 在竖直边缘 AD 上，另一条圆弧 BC 的圆心 O2 在水平边缘 DC 的
《圆的有关性质》圆
2023-11-05•圆的基本性质•圆的几何性质•圆的切线与弦的性质目录•圆的方程与性质的应用•圆的面积与体积计算•圆的综合应用与拓展01圆的基本性质圆是一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形。
其中，线段OA叫做半径，记作r，点O叫做圆心，固定的端点叫做中心。
圆的定义可以推广到空间，即一个球体或球面被通过球心的平面截得的图形叫做球或球面。
在二维平面上，圆是一种特殊的椭圆，当椭圆的长轴和短轴相等时，即成为圆。
圆的概念与定义圆的半径与直径圆的半径是从圆心到圆周任一点的距离，通常用字母r表示。
圆的直径是从圆周经过圆心的任一直线段，通常用字母d表示。
根据勾股定理，直径d等于半径r的2倍，即d=2r。
圆的直径和半径是成对出现的，直径是半径的2倍，半径是直径的一半。
在同一个圆中，直径是半径的2倍，这个关系是不变的。
圆的标准方程是$(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^2$，其中圆心坐标为$(a,b)$，半径为r。
圆的标准方程是描述圆位置和大小的一种数学表达式，它可以帮助我们快速地求解圆的方程。
圆的标准方程02圆的几何性质圆的直径的性质直径与弦的关系在圆中，直径垂直于过直径中点的弦，并且直径平分弦所对的弧。
直径与弧的关系在圆中，直径所对的弧是圆中最长的弧，即直径与弧所成的角是圆周角。
直径是圆中最长的弦圆的直径将圆分成两个完全相等的部分，且过直径中点的任何弦都被直径平分。
1圆内角与外角23在圆内，顶点在圆心且两边与圆相交的角叫做圆内角。
圆内角的定义在圆外，顶点在圆上且两边与圆相交的角叫做圆外角。
圆外角的定义圆内角和圆外角都是锐角或钝角，它们所对的弦和弧都可以在圆内找到。
圆内角和圆外角的特征在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
圆周角定理的表述定理的证明定理的应用通过证明三角形相似或全等，利用三角形的性质来证明圆周角定理。
利用圆周角定理可以证明一些与圆有关的性质和定理，例如垂径定理、切线长定理等。
圆的基本性质课件
圆与直线的位置关系
判定直线与圆的位置关系：直线与圆有三种可能的位置关系，相离（直线与 圆没有交点），相切（直线与圆有一个切点），相交（直线与圆有两个交 点）。
圆与圆的位置关系
判定两个圆的位置关系：两个圆之间有四种可能的位置关系，相离（两个圆 没有交点），外切（两个圆相切于外面的一点），相交（两个圆相交于两个 不重合的交点），内切（一个圆位于另一个圆的内部且相切于内面）。
切线和弧长
切线是与圆相切且只有一个交点的直线。 弧长是弧上的一段弧的长度，它与整个周长之间的关系为弧长 = 圆心角度数 / 360° × 周长。
圆的判定定理
判定两个圆是否相交：两个圆的半径之和大于它们的圆心之间的距离即可。 判定一点与圆的位置关系：如果点到圆心的距离小于半径，则该点在圆的内部；如果点到圆心的距离等于半径， 则该点在圆上；如果点到圆心的距离大于半径，则该点在圆的外部。
圆的基本性质
欢迎来到本次PPT课件，我们将介绍圆的基本性质。让我们一起探索圆的定 义、周长和面积公式，圆心角和圆周角，切线和弧长，圆的判定定理，以及 圆与直线、圆与圆的位置关系。
圆的定义和元素
圆由一组等距离于圆心的点组成，圆心为圆的中心点。 元素有半径（圆心到圆上任一点的距离）和直径（通过圆心而且两端落在圆上的线段）。
圆的周长和面积公式
圆的周长是圆上的一段弧的长度，它与圆的直径之间的关系为周长 = 直径 ×半径之间的关系为面积 = 半径²× π。
圆心角和圆周角
圆心角是以圆心为顶点的角，它的度数等于对应的弧所夹的角度。 圆周角是以圆上两点和圆心为顶点的角，它的度数等于对应的弧所夹的角度。
人教版中考数学考点系统复习 第六章 圆 第一节 圆的基本性质
论有
( C)
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
10．(2021·随州第12题3分)如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接AO并延 长交⊙O于点D，若∠C＝50°，则∠BAD的度数为440 0°°.
11．(2022·随州第12题3分)如图，点A，B，C在⊙O上，若∠ABC＝60 °，则∠AOC的度数为121020°°.
另解：计算∠AEB＝135°也可以得证．
(2)若AB＝10，BE＝2 10，求BC的长． 解：如图，连接 OC，CD，OD，OD 交 BC 于点 F. ∵∠DBC＝∠CAD＝∠BAD＝∠BCD，∴BD＝DC. ∵OB＝OC，∴OD 垂直平分 BC. ∵△BDE 是等腰直角三角形，BE＝2 10， ∴BD＝2 5. ∵AB＝10，∴OB＝OD＝5. 设 OF＝t，则 DF＝5－t. 在 Rt△BOF 和 Rt△BDF 中， 52－t2＝(2 5)2－(5－t)2. 解得 t＝3.∴BF＝4.∴BC＝8.
长是
( A)
A．10
B．8
C．6
D．4
7．★(2019·十堰第8题3分)如图，四边形ABCD内接于⊙O，AE⊥CB交CB 的延长线于点E，若BA平分∠DBE，AD＝5，CE＝ 13，则AE的长为( D ) A．3 B．3 2 C．4 3 D．2 3
8．(2022·宜昌第7题3分)如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接OB, OD,
(4)若∠CAB＝30°，则∠CDB＝3300°°，∠COB＝6600°°，∠OCB＝6600°°；若
B 为︵CD的中点，则∠BCD＝3300°°； (5)当 CD⊥AB 时，若 AB＝10，CD＝8，则 BE＝22，AE＝88，BC＝22 5 ， AC＝44 5 ；
第一节 圆的基本性质 课件 2025年九年级中考数学人教版一轮复习(广西)
数学
广西专版
第六章 圆
第一节 圆的基本性质
2025版
数学
广西专版
2025版
数学
广西专版
2025版
数学
广西专版
2025版
数学
广西专版
2025版
数学
广西专版
2025版
数学
广西专版
2025版
数学
广西专版
2025版
数学
广西专版
2025版
数学
广西专版
2025版
数学
广西专版
1．如图①，在⊙O中，点A，D分别在直径BC两侧的圆上，连接AB，AC，
(3)如图②，连接CD，若CD＝BD，⊙O的半径为2.
Ⅰ)AB的长为 2 ；
Ⅱ)BD的长为 2 .
2025版
数学
广西专版
2．如图，在⊙O中，OA与弦BC相交于点D，E为⊙O上一点，连接AE，
BE，OC，且OA⊥BC.
(1)若∠BEA＝30°，则∠AOC的度数为 60° ；
(2)若BC＝2 3，则CD的长为 ；
AD，BD，AO，且AD与BC交于点E，已知∠ACB＝30°.
回答下列问题：
2025版
数学
广西专版
(1)∠BAC的度数为 90° ，∠OAC的度数为 30°，∠AOB的度数为 60°，
∠ADB的度数为 30° ；
(2)如图①，连接OD，若∠ABD＝120°，则∠AOD的度数为 120°，∠OAD
的度数为 30° ；
(3)若CO的延长线交⊙O于点E，OD＝2，则BE的长为 4 ；
(4)若CO＝5，BC＝8，则OD的长为 3
；
(5)若BC＝4，AD＝1，则⊙O的半径长为 2.5
第一节 圆的基本性质
情况
圆心在圆周 角一条边上
圆心在圆 周角内部
理
圆心在圆 周角外部
图形
结论
∠APB = 15
1 AOB 2
推论1
推论2
半圆（或直径）所对
圆 内容 同弧或等弧所对的 的圆周角是⑯ 90°，
周
圆周角相等
90°的圆周角所对的
角
弦是⑰直径
推 论
表现 如∴∠图1，=(⑱1)∵∠2BD； BD
如图，(1)∵AB是直 径,∴∠C=⑲ 90°
及其
h表示弓形高，半径OC与弦AB垂直，则有：
推论 垂径
定理 （1）r=d+h；
简单 （2）r2=( 应用
1 2
1
a)
2
+d
2=( a
2
a)2+(r-h)2；
（3 h）
r
r
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心
圆
内容 角的⑭
1 2
周
角 定
形式 (2)∵DE BD , ∴∠2=∠3
(2)∵∠C=90°,∴AB 是直径
推论1
推论2
圆
周 角
图形
推
论 (1)连直径,得直角;
作用 证明圆周角相等 (2)确定圆的直径
1.如果一个多边形的所有顶点都在同一个 圆上，这个多边形叫做圆的内接多边形 圆的内接 多边形
2.圆内接四边形的对角⑳ 互补
第六章 圆
第一节 圆的基本性质
考点精讲
与圆有关的概念及性质
圆 弧、弦、圆心角之间的关系
的 基
垂径定理及其推论
定理
本 性 质
圆周角定理及其推论 推论
圆的内接多边形 圆与多边形
2024年中考数学总复习考点培优训练第六章第一节圆的基本性质
A. 40°
B. 50°
C. 60°
D. 70°
第1题图
第2题图
第一节 圆的基本性质
3. 数学文化 (2023岳阳)我国古代数学名著《九章算术》中有这 样一道题：“今有圆材，径二尺五寸，欲为方版，令厚七寸，
问广几何？”结合题图，其大意是：今有圆形材质，直径BD为
25寸，要做成方形板材，使其厚度CD达到7寸，则BC的长是( C )
第12题图
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°.
在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝6，
∴AB＝ AC2 BC2 ＝10.
∵OD⊥AC，OA＝OC，
∴AE＝CE＝
1 2
AC＝4.
第10题解图
第一节 圆的基本性质
∵OA＝OB，∴OE是△ABC的中位线，
∴OE＝
1 2
BC＝3.
由于PQ过圆心O，且PQ⊥AC，
48°，∠APD＝80°，则∠B的度数为( A )
A. 32° B. 42°
C. 48° D. 52°
6. (2023泰安)如图，AB是⊙O的直径，D，C是⊙O上的点，
∠ADC＝115°，则∠BAC的度数是( A )
A. 25°
B. 30° C. 35° D. 40°
7. (2023巴中)如图，⊙O是△ABC的外接圆，若∠C＝25°，则
第9题图
第一节 圆的基本性质
10. (2022广州)如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且AC＝8， BC＝6. (1)尺规作图：过点O作AC的垂线，交劣弧 AC于点D，连接CD( 保留作图痕迹，不写作法)；
第10题图
第一节 圆的基本性质
【作法提示】 分别以点A，C为圆心，大于 1 AC为半径画弧，在
中考数学 精讲篇 考点系统复习 第六章 圆 第一节 圆的基本性质
圆与边 BC 相切于点 D，与 AC，AB 分别交于点 E 和点 G，点 F 是优弧G︵E上
一点，∠CDE＝18°，则∠GFE 的度数是
( B)
A．50° B．48° C．45° D．36°
1．垂径定理的应用类型： (1)如图，下列五个结论：①︵AC＝C︵B；②︵AD＝D︵B；③AM＝BM； ④AB⊥CD；⑤CD 是直径．只要满足其中的两个，另外三个结论 一定成立(简称为“知二推三”)； (2)如图，在 Rt△AOM 中，满足 r2＝d2＋a2，利用勾股定理可以对半径、 弦、弦心距“知二求一”．
又∵AD＝BC，∴EC＝BC.∴OM＝ON， ∴CO 平分∠BCE.
命题点 2：垂径定理及其推论(近 6 年考查 2 次)
4．(2020·安徽第 9 题 4 分)已知点 A，B，C 在⊙O 上，则下列命题为真
命题的是
(B)
A．若半径 OB 平分弦 AC，则四边形 OABC 是平行四边形
B．若四边形 OABC 是平行四边形，则∠ABC＝120°
第六章 圆 第一节 圆的基本性质
1．如图，AB，CD 是⊙O 的直径，连接 AC，BC，AD，BD，若∠ABC＝40°， 则∠AOC＝8 80°0°，∠ADC＝4040°°，∠ACB＝9 90°0°，∠BAC＝ 5 500°°.
2．(RJ 九上 P90 练习 T9 改编)如图，在以点 O 为圆心的两个同心圆中， 大圆的弦 AB 交小圆于 C，D 两点，若大圆的半径 R＝10，小圆的半径 r＝ 8，且圆心 O 到线段 AB 的距离为 6，则 AC 的长为__88－－22 7 __．
解：(1)∵OP⊥PQ，PQ∥AB，∴OP⊥AB， 在 Rt△OPB 中， OP＝OB·tan∠ABC＝3·tan 30°＝ 3.
第1讲 圆的基本性质
考点2：圆周角定理及其推论 例2． （2015· 沛县）如右图，AB是⊙O的直 径，C，D两点在⊙O上，若∠C=40°． 求∠ABD的度数．
解法一：∵ BD 所对圆周角为∠A，∠C，∠C=40°， ∴∠A=40°． ∵AB为直径， ∴∠ADB=90°， ∴∠ABD=∠ADB－∠A=90°－40°=50°. 解法二：∵∠C=40°， ∴∠DOB=2∠C=80°， ∵OD=OB， ∴∠ABD= 1 ×（180°－∠DOB）=50°.
推论1 ：在同圆或等圆中，如果两条弧相等， 那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相 等；
推论2：在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它 们所对的圆心角相等，所对的弦也相等． 如图，在⊙O中，弦AB = CD， 可得出哪些结论（至少些3个）
AB CD 、
∠AOB=∠COD 、
∠AOC=∠BOD ．
三、与圆有关的角及其性质 1．圆心角：顶点在 圆心 ，角的两边和 圆相交的角叫做圆心角． 圆周角：顶点在 圆上 ，且角的两边和 圆相交的角叫做圆周角． 2．圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它 所对的圆心角的 一半 ．
3．推论：同弧或等弧所对的 圆周角 相等，同圆 或等圆中，相等的圆周角所对的 弧 也相等． 4．半圆（或直径）所对的弦是圆的
考点4：圆心角、弧、弦之间的关系 例4．如图，半圆O的直径AB=10cm，弦AC=6cm，AD平 分∠BAC ，则AD的长为（ ）A 4 5 cm A． 3 5 cm B． C． 5 5 cm D． 4cm
【举一反三】6．（2015 •贵港）如右图，AB是⊙O BC CD DE，∠COD=34°，则∠AEO度 的直径， 数是（ A ） A． 51° B． 56° C． 68° D． 78°
九年级数学上册 24.1 圆的概念与基本性质课件 (新版)新人教版
推 过圆心、平分弦、垂直于弦、平分弦所对的劣弧、平分 论 弦所对的优弧，若一条直线具备这五项中的任意两项， 3 则必具备另外三项.
• 1、熟练地运用垂径定理及其推论、勾股定理，并 用方程的思想来解决问题.
（1）是轴对称图形．直径CD所在的 直线是它的对称轴
（2） 线段： AE=BE
A
弧 ：AD=BD,AC=BC
C
·O
E B
D
C
已知：直径CDAB于E,
结论：AE=BE,AD=BD,AC=BC
·O
即：直径CD平分弦AB， 并且平分AB及ACD
E
A
B
D
垂径定理：垂直于弦的直径平分 弦，并且平分弦所对的两条弧．
2、对于一个圆中的弦长a、圆心到弦的距离d、圆 半径r、弓形高h，这四个量中，只要已知其中任意 两个量，就可以求出另外两个量，如图有：
⑴d + h = r ⑵ r2 d2 (a)2
2
在a,d,r,h中，已知其中任意两 个量,可以求出其它两个量.
活动三
练习
例1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心 O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．
（2）圆的内部可以看作是由到定点的距离小于定长的所有的点 组成的图形． （3）圆的外部可以看作是由到定点的距离大于定长的所有的点 组成的图形．
2、圆的有关概念 1）弦：连接圆上任意两点间的线段叫做弦．经过圆心的
弦叫做直径，直径是特殊的弦．（弦是线段，只有长度）
2）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧．小于半圆的弧叫 劣弧，大于半圆的弧叫优弧.（弧既有弧度又有长度。）
中考数学复习第六章圆第一节圆的基本性质课件
(2)证明：∵△ABC是等边三角形，∴AC＝BC， ∴∠5＝∠6，∵∠3＝∠2， ∴△AED∽△CEB.
8.(2024·泰安)如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，BA平分∠CBD， 若∠AOD＝50°，则∠A的度数为( A ) A.65° B.55° C.50° D.75°
C
D
11.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝40°，AB＝4，斜边AB是半
(1)证明：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠ADE＝∠ABC， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∵∠ACB＝∠ADB，∴∠ADB＝∠ADE.
13.如图，⊙O外接于△ABC，延长BO交⊙O于点D，过点C作CE⊥BD交BD于 点E. (1)求证：∠BAC＝∠BCE； (2)若∠BAC＝60°，BC＝2 ，求⊙O的半径．
第六章 圆 第一节 圆的基本性质
B
2.(2024·吉林)如图，四边形ABCD内接于⊙O，过点B作BE∥AD，交CD于 点E.若∠BEC＝50°，则∠ABC的度数是( C ) A.50° B.100° C.130° D.150°
3.(2024·临夏州)如图，AB是⊙O的直径，∠E＝35°，则∠BOD的度数为( D ) A. 80° B. 100° C. 120° D. 110°
(1)证明：连接CD， ∵BD是⊙O的直径， ∴∠BCD＝90°， ∴∠DCE＋∠BCE＝90°， ∵CE⊥BD，∴∠CED＝90°， ∴∠BDC＋∠DCE＝90°， ∴∠BCE＝∠BDC， ∵∠BAC＝∠BDC， ∴∠BAC＝∠BCE.
C
90°
6.(2024·龙东)如图，△ABC内接于⊙O，AD是直径，若∠B＝25°，则∠CAD＝ 65° .
7.(2023·贵州)如图，已知⊙O是等边三角形ABC的外接圆，连接CO并延长交A B于点D，交⊙O于点E，连接EA，EB. (1)写出图中一个度数为30°的角：∠1(答案不唯一)，图中与△ACD全等的三角 形是 △BCD ； (2)求证：△AED∽△CEB； (3)连接OA，OB，判断四边动点，连接CD与AB交于点E，若△BCE是等
第一课时圆的基本性质
对应考点冲刺 例2、（2013•黔西南州）如图，AB是⊙O的直径， 弦CD⊥AB与点E，点P在⊙O上，∠1=∠C， （1）求证：CB∥PD； 3 （2）若BC=3，sin∠P= 5 ，求⊙O的直径．
对应考点冲刺
例3、 （2013•恩施州）如图所示，AB是⊙O的直径，AE是弦，C 是劣弧AE的中点，过C作CD⊥AB于点D，CD交AE于点F，过C作 CG∥AE交BA的延长线于点G． （1）求证：CG是⊙O的切线． （2）求证：AF=CF． （3）若∠EAB=30°，CF=2，求GA的长．
18 则AD的长为______. 5
C
A
E
D
B
对应考点训练
3、(2013河南省)如图，CD是⊙O的直径， 弦AB ⊥ CD于 点G，直线EF与⊙O相切于点D，则下列结论中不一定正确 的是【 C 】 （A）AG=BG （B）AB∥EF （C）AD∥BC （D）∠ABC=∠ADC
巩固练习
1、已知 ⊙ O中，弦AB垂直于直径CD，垂足为P， 5 。 AB=6，CP=1，则 ⊙ O的半径为 -------------2、已知 ⊙ O的直径为10cm,A是⊙ O内一点，且
2、CD⊥AB
4、⌒ AC = ⌒ BC (CD平分弧ACB)
⌒ (CD平分弧AB) 5、⌒ AD= BD
对应考点训练
1、（2013年潍坊市）如图，⊙O的直径AB=12，CD是 ⊙O的弦，CD⊥AB，垂足为P，且BP：AP=1:5,则CD的 长为_______.
对应考点训练
2、(2013年黄石)如右图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°， AC=3，BC=4，以C点为圆心，CA为半径的圆与AB交于D点，
九年级秋季班 (1)-第9讲圆的基本性质-教师版
圆的基本性质内容分析圆的基本性质是初中数学九年级下学期第一章第一节的内容．需要掌握点与圆的位置关系，理解圆心角、弧、弦、弦心距的概念和掌握它们之间的关系，重点是这四者关系的灵活运用，以及垂径定理及其推论的应用．知识结构模块一：圆的确定知识精讲1、圆的概念圆：平面上到一个定点的距离等于定长的所有点所成的图形．圆心：以上概念中的“定点”；以点O 为圆心的圆称为“圆O”，记作O ．半径：联结圆心和圆上任意一点的线段；以上概念中的“定长”是圆的半径长．2、点与圆的位置关系设一个圆的半径长为R，点P 到圆心的距离为d，则有以下结论：当点P 在圆外时，d > R；当点P 在圆上时，d = R；当点P 在圆内时，0 ≤d <R ．反之亦然．3、相关定理：不在同一直线上的三个点确定一个圆．三角形的三个顶点确定一个圆．经过一个三角形各顶点的圆叫做这个三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做这个三角形的外心；这个三角形叫做这个圆的内接三角形．如果一个圆经过一个多边形的各顶点，那么这个圆叫做这个多边形的外接圆，这个多边形叫做这个圆的内接多边形．OlHa 2aAB【例1】 在平面直角坐标系内，A （ -3 ， - tan 30︒ ），B （ ，0）， A 的半径为 4，试说明点 B 与 A 的位置关系．【例2】 过一个点可以画个圆，过两个点可以画 个圆，过三个点可以画个圆．【例3】 已知，如图，在 O 中，AB 、BC 为弦，OC 交 AB 于点 D ．求证：（1） ∠ODB > ∠OBD ；（2） ∠ODB > ∠OBC ．OBAD C【例4】 如图， O 的半径为 15，O 到直线 l 的距离 OH = 9，A 、B 、C 为直线 l 上的三个点，AH = 9，QH = 12，RH = 15，请分别说明点 A 、B 、C 与 O 的位置关系．【例5】 若 A （a ， -27 ）在以点 B （ -35 ， -27 ）为圆心，37 为半径的圆上，求 a 的值．【例6】 如图，作出 AB 所在圆的圆心，并补全整个圆．例题解析EBD O C A【例7】如图，CD 是半圆的直径，O 是圆心，E 是半圆上一点，且∠EOD = 45︒，A 是DC 延长线上一点，AE 与半圆交于B，若AB = OC，求∠EAD 的度数．【例8】已知，如图，AB 是O 的直径，半径OC ⊥AB ，过OC 的中点D 作EF // AB．求证：∠ABE =1∠CBE ．2CE D FAOB【例9】已知：AB 是O 的直径，点P 是OA 上任意一点，点C 是O 上任意一点．求证：PA ≤PC ≤PB ．CAO B知识精讲1、圆心角、弧、弦、弦心距的概念圆心角：以圆心为顶点的角叫做圆心角；弧：圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧；弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦就是直径；弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距．2、半圆、优弧、劣弧半圆：圆的任意一条直径的两个端点将圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．优弧：大于半圆的弧叫做优弧．劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧．如图，以A、C 为端点的劣弧记作AC，读作“弧AC”；以A、C 为端点的优弧记作ABC，读作“弧ABC”．3、等弧和等圆能够重合的两条弧称为等弧，或者说这两条弧相等．若AB 与A' B ' 是等弧，记作AB A' B ' ．半径相等的两个圆一定能够重合，我们把半径相等的两个圆称为等圆．4、圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等．5、圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理的推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条劣弧（或优弧）、两条弦、两条弦的弦心距得到的四组量中有一组量相等，那么它们所对应的其余三组量也分别相等．模块二：圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系ADEOCB【例10】 下列命题中真命题的个数是（ ）○ 1 相等的圆心角所对的弧也相等；○ 2 在同圆中，如果两条弦相等，那么所对的弧也相等； ○ 3 A 、B 是 O 上任意两点，则 AO + BO 等于 O 的直径长； ○ 4 三角形的外心到三角形三边的距离相等．A ．1 个B ．2 个C ．3 个D ．4 个 【例11】 一条弦把圆分成 1 : 3 两部分，则弦所对的圆心角为 °．A【例12】 如图，在 O 中， AB = AC ， ∠B = 70︒ ，则∠BAC = ．OBC【例13】 如图，已知 O 的半径是 6， ∠BOD = 30︒ ， BD = BC ，CD =．【例14】 如图， O 1 和O 2 是等圆，P 是O 1O 2 的中点，过点 P 作直线 AD 交 O 1 于点 A 、B ，交 O 2 于点C 、D ． 求证：AB = CD ．【例15】 已知，如图，AB 、CD 是 O 的直径，弦 AE // CD ，联结 CE 、BC ． 求证：BC = CE ．例题解析AOCBDDCBPAC DAM O N B【例16】如图，O 是∆ABC 的外接圆，AO 平分∠BAC ，∠AOB =∠BOC ，判断∆ABC 的形状，并说明理由．AOB C【例17】已知，如图，AB 是O直径，M、N 分别是AO、BO 的中点，CM ⊥AB ，DN ⊥AB ．求证：AC =BD ．【例18】如图，以点O 为圆心的圆弧上依次有四个点A、B、C、D，且∠A O B求证：四边形ABCD 是等腰梯形．=∠C O D．OA DB C1、 垂径定理如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的弧． 2、 相关结论（1）如果圆的直径平分弦（这条弦不是直径），那么这条直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的弧．（2）如果圆的直径平分弧，那么这条直径就垂直平分这条弧所对的弦． （3）如果一条直线是弦的垂直平分线，那么这条直线经过圆心，并且平分这条弦所对的弧．（4）如果一条直线平分弦和弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条弦．（5）如果一条直线垂直于弦，并且平分弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心， 并且平分这条弦．总结：在圆中，对于某一条直线“经过圆心”、“垂直于弦”、“平分弦”、“平分弦所对的弧”这四组关系中，如果有两组关系成立，那么其余两组关系也成立．【例19】 O 的直径为10，圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为3，则弦AB的长为 ． 【例20】 在半径为2 的 O 中，弦AB 的长为2 2 ，则弦AB 所对的圆心角∠AOB =°．【例21】 如图， O 是∆ABC 的外接圆，圆心 O 在这个三角形的高 CD 上，点 E 和点 F分别是边 AC 和 BC 的中点． 求证：四边形 CEDF 是菱形．模块三：垂径定理知识精讲例题解析CE OF A DBCGQODER FPHOBCA【例22】 如图，一根横截面为圆形的输水管道，阴影部分为有水部分，此时水面宽 AB为 0.6 米，污水深 CD 为 0.1 米，求圆形的下水管道的直径．【例23】 如图，在 O 中，弦 CD 、EF 的延长线相交于点 P ，G 、H 分别是CD 、EF 的中点，GH 与 PC 、PE 分别相交于 Q 、R 两点，试判断∆PQR 的形状，并证明所得到的结论．【例24】 如图，P 是 O 的弦 AB 的中点，PC ⊥ OA ，垂足为 C ，求证：PA PB = AC AO ．【例25】 位于本市浦东临港新城的滴水湖是圆形人工湖．为测量该湖的半径，小智和小方沿湖边选取 A 、B 、C 三根木柱，使得 A 、B 之间的距离与 A 、C 之间的距离相等，并测得 BC 长 240 米，A 到 BC 的距离为 5 米，如图所示．请你帮他们求出滴水湖的半径．O A D BCBPACO【例26】 如图，弦 CD 垂直于 O 的直径 AB ，垂足为 H ，且CD = 2 2 ， BD = 3 ，则AB的长为 ．C B HODA【例27】 已知 O 的半径r = 4 ，AB 、CD 为 O 的两条弦，AB 、CD 的长分别是方程x 2 - (4 + 4)x + 16 = 0 的两根，其中 AB > CD ，且 AB // CD ，求 AB 与 CD 间的距离．【例28】 已知，如图， O 1 与 O 2 交于 A 、B ，过 A 的直线分别交 O 1 与 O 2 于 M 、N ，C 是 MN 的中点，P 是O 1O 2 的中点．【例29】 如图，已知四边形 ABCD 外接圆 O 的半径为 2，对角线 AC 与 BD 的交点为E ，AE = EC ， AB = 2AE ，且 BD = 2 ，求四边形 ABCD 的面积．ABD EOCB P NC AM3 3 3BDCEOA【例30】 如图，在半径为 2 的扇形 AOB 中，∠AOB = 90︒ ，点 C 是弧 AB 上的一个动点（不与点 A 、B 重合）， OD ⊥ BC ， OE ⊥ AC ，垂足分别为 D 、E ．（1）在∆DOE 中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度， 如果不存在，请说明理由．（2）设 BD = x ， ∆DOE 的面积为 y ，求 y 关于 x 的函数关系式，并写出它的定义域．BA C EFOBD【习题1】已知 半径为 5，若点 P 不在上，则线段 OP 的取值范围为．【习题2】 如图，AB 是直径， BC = CD = DE ， ∠BOC = 40︒ ，则∠AOE = ．EDCAOB【习题3】如图，为方便三个村庄居民子女的上学问题，上级镇政府决定在 A 、B 、C 三个村庄旁边造一所学校，要求它到各村庄的距离相等，请你在图中画出学校的位置．（保留作图痕迹）【习题4】如图， AB = CD ， OE ⊥ AB ， OF ⊥ CD ， ∠OEF = 25︒ ，求∠EOF 的度数．【习题5】 如图，在∆ABC 中， ∠B = 90︒ ， ∠A = 60︒ ，以点 B 为圆心，AB 为半径画圆，交 AC 于点 D ，交 BC 于点 E ．求证：（1）AD = 2DE ；（2）D 是 AC 的中点．随堂检测ACADBECO OA OB CA O BDCECEFO D【习题6】如图，AB 为O直径，E 为BC的中，OE 交BC 于点D，BD = 3，AB = 10，则AC = ．【习题7】如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（即图中的CD），点O 是CD的圆心，其中CD = 600 米，E 为CD 上一点，且OE ⊥CD ，垂足为F，EF = 90 米，求这段弯路的半径．【习题8】如图，在∆ABC 中，∠A = 70︒，O 截∆ABC 的三边所得的弦长都相等，求∠BOC 的度数．【习题9】已知，如图，∆ABC 是等边三角形，AB 是O 的直径，AE =EF =FB ，CE、CF 交AB 于点M、N．求证：AM = MN = NB．CA M NOBE F【习题10】 如图，AB 为 O 的直径，CD 为弦，过点C 、D 分别作CN ⊥ CD 、DM ⊥ CD ，分别交 AB 于点 N 、M ，请问图中的 AN 与 BM 是否相等，说明理由．【作业1】在下列命题中，正确的个数是（）○ 1 圆心角相等，则它们所对的弦必相等；○ 2 经过线段的两个端点及线段所在直线外一点可以确定一个圆； ○ 3 直径平分弦，则必垂直于弦；○ 4 如果同圆中，两条弦互相平分，那么这两条弦都是直径．A ．0 个B ．1 个C ．2 个D ．3 个【作业2】在∆ABC 中，∠C = 90︒ ，D 、E 分别是 AB 、AC 的中点，AC = 7，BC = 4．若以点 C 为圆心，BC 为半径作圆，判断点 D 、E 与 C 的位置关系．【作业3】已知直线 a 和直线外两点 A 、B ，经过 A 、B 作一圆，使它的圆心在直线 a上．aM BAN OCD课后作业ABD E F C AGOB【作业4】已知 O 外一点 A 和圆上的点最大距离为 23 厘米，最小距离为 10 厘米，则 O 的半径为厘米．【作业5】如图，在 O 中， 2AB BC ，试确定 AB 与 2BC 的大小关系．【作业6】如图，矩形 ABCD 与圆心在 AB 上的 O 交于点 G 、B 、F 、E ，GB = 8 厘米，AG = 1 厘米，DE = 2 厘米，则 EF =厘米．【作业7】 已知点 A （1，0），B （4，0）， P 是经过 A 、B 两点的一个动圆，当与 y 轴相交，且在 y 轴上两交点的距离为 3 时，求圆心 P 的坐标．【作业8】 已知，如图，在 O 中，弦 AB 的长是半径 OA 的 3 倍，C 为 AB 的中点，AB 、OC 相交于 P ．求证：四边形 OACB 为菱形．BAOCCBAP OPCAPOB D EF 【作业9】 已知：过圆 O 内一点 P 作弦 AB 、CD ，且 AB = CD ，在 BD 上取两点 E 、F ，且 BE = DF ．求证：直线 PO 是 EF 的垂直平分线．【作业10】 如图，O 1 与 O 2 交于 A 、B ，M 为O 1O 2 的中点，过点 A 作 EF ⊥ AM 分别 交 O 1 与 O 2 于点 E 、F ．若∠O 1 AO 2 = 90︒ ， AO 1 AO 2 = O 1O 2 = m （ m ≥ 2 ）， 求 EF 的长．BMFAE。
《圆的基本性质》课件
• 什么时候圆周角是直角？ 反过来呢？ • 直角三角形斜边中线有 什么性质？反过来呢？
△ABC的三个顶点在半径为 2cm的圆上，BC=2 3 cm， 求∠A的度数。
O
D
A
圆中 多解 问题
半径为2.5的⊙O中，直径AB的不同侧有 定点C和动点P．已知BC ：CA＝4 : 3， (3）当点P运动到什么位置时，CQ取到 点P在上运动，过点C作CP的垂线，与PB 最大值？求此时CQ的长． 的延长线交于点O(l)当点P与点C关于AB (2）当点P运动到弧AB的中点时，求 对称时，求CQ的长； CQ的长；
如图，弦AB和CD交于点P,且CD是 ∠ACB的平分线 C 问题（1）：你能找 问题（3）：若点C在 O 出图中相等的圆周 P B 圆上上运动（不和A，A 角和相等的线段吗? B重合），在此运动 D 问题（2）：图中有哪些 过程中，哪些线段是 相似的三角形？
不变的，哪些线段发 生了改变？
如图，弦AB和CD交于点P, 且CD是∠ACB的平分线 C 问题（4）：若弦 O AB= , P 3 ∠BAD=30°, 在点C A D 运动的过程中,四边形 ADBC的最大面积为 多少?此时∠CAD等 于多少度?
C
的弧也相等
E O1 C A D O2
F
B
推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等 同圆或等圆中，相等的圆周角所对的 思考： 弧相等。
1、“同圆或等圆”的条件能否去掉？ 2、判断正误：在同圆或等圆中，如果两个 圆心角、两条弧、两条弦、两条弦心距、两个 圆周角中有一组量相等，那么它们所对应的 其余各组量也相等。
B
C
E
O A D B
A
ODC源自F关于等积式的证明 • 如图，已知AB是⊙O的弦，半径 OP⊥AB，弦PD交AB于C， P • 求证：PA2＝PC· PD A 经验： C
第一节 圆的基本性质
推论3
新乐市实验学校
探究三
圆周角定理及推论
命题角度： 1. 利用圆心角与圆周角的关系求圆周角或圆心角的度数；
2. 直径所对的圆周角或圆周角为直角的圆的相关计算．
例3 [2012· 湘潭 ]如图27－3，在⊙O中，弦AB∥CD，若
∠ABC＝40°，则∠BOD＝( D ) A. 20° B. 40°
∠BOC＝40°，那么∠AOE＝( B ) A．40° B．60° C．80° D．120°
图27－2
考点聚焦 归类探究
新乐市实验学校
解
根据圆心角与弧的关系可求得∠BOE 的度 数，从而即可求解． ︵ ︵ ︵ ∵BC＝CD＝DE，∠BOC＝40°， ∴∠BOE＝3∠BOC＝120°， ∴∠AOE＝180°－∠BOE＝60°.
考点聚焦
归类探究
新乐市实验学校
解
析
连接 OC， ∵CD ⊥AB ，CD ＝8， 1 1 ∴PC＝ CD ＝ × 8＝ 4. 2 2 在 Rt △OCP 中， ∵PC＝ 4， OP＝ 3， ∴OC ＝ PC2＋OP 2＝ 42＋32＝5.
图27－1
考点聚焦
归类探究
新乐市实验学校
核心母题
（2014•乐山）在△ABC中，AB=AC=5，
析
考点聚焦
归类探究
新乐市实验学校
考点四
圆周角定理 顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周 角
圆周角 定义
圆周角
定理 推论1 推论2
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角
________ 一半 相等 ，都等于该弧所对的圆心角的________ 在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等 ______ 直角 ；90°的圆 半圆(或直径)所对的圆周角是______ 周角所对的弦是______ 直径 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么 直角 三角形 这个三角形是________
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1 ∠APB＝___2_____∠AOB
第一节 圆的基本性质
返回目录
返回思维导图
2. 推论：(1)同弧或等弧所对的圆周角相等， 如图2，在⊙O中，∠ACB＝∠ADB； (2)半圆(或直径)所对的_圆__周__角___是直角，90°的圆周角所对的弦是
__直__径____．如图2，在⊙O中，BC 是半圆(BC是__直__径____)⇔∠BAC＝
R＝ 1 c.(c为斜边) 2
2. 等边三角形外接圆的半径： R＝ 3 a.(a为边长),
3
返回目录
返回思维导图
图3
第一节 圆的基本性质
提分必练
返回目录
返回思维导图
3. 如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，若BC＝6，AC＝8，则外接圆的半径为 ____5____．
第3题图
第一节 圆的基本性质
返回目录
第1题图
第2题图
第一节 圆的基本性质
考点 3 三角形的外接圆（如图3）
1. 定义：经过三角形的三个顶点的圆． 2. 圆心：外心(三角形三条边的_垂__直__平__分__线___的交点)． 3. 性质：三角形的外心到三角形的__三__个__顶__点___的距离相等． 【知识拓展】1. 直角三角形外接圆的半径：
2. 圆的对称性 圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，任何一条__直__径____所在的直线都是它的 对称轴，__圆__心____是它的对称中心．
第一节 圆的基本性质
返回目录
考点 2 圆周角定理及其推论
1. 定理
返回思维导图
定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的__一__半____
常见图形
结论
优弧：大于半圆的弧叫做优弧，如图1中的 ACB ；
劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧，如图1中的 AC 、BC ；
等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧．
第一节 圆的基本性质
返回目录
返回思维导图
(4)圆周角：在圆中，顶点在圆上，并且两边都与圆相交，我们把这样的角叫做圆 周角，如图1中的∠ACB. (5)圆心角：顶点在__圆__心____的角叫做圆心角，如图1中的∠AOB.
考点 4 弦、弧、圆心角的关系
返回思维导图
1. 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧__相__等______，所对的弦
__相__等____； 如图4，在⊙O中，∠AOB＝∠COD⇒
AB= ___C︵_D_____ AB返回目录
返回思维导图
4.圆的两条平行弦所夹的弧相等
个外角等于它的内对角
第一节 圆的基本性质
返回目录
考点 1 圆的有关概念及对称性
返回思维导图
1. 圆的有关概念
(1)弦：连接圆上任意两点的__线__段____，如图1中的AC、BC.
(2)直径：经过__圆__心____的弦，直径等于半径的2倍．
图1
(3)圆弧：圆上任意两点间的部分，如图1中的 AC 、BC 、AB ；
__9_0_°____．
图2
第一节 圆的基本性质
返回目录
提分必练
返回思维导图
1. 如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦． (1)∠ACB＝__9_0_°____； (2)若∠BOC＝60°，则∠A＝_3_0_°_，∠B＝__6_0_°____． 2. 如图，在⊙O中，与∠1一定相等的角是__∠__2____；与∠4一定相等的角是 __∠__3____．
2
AB ,
AD ＝ BD
CD ⊥ AB
AC ＝BC ,
AD ＝ BD
第一节 圆的基本性质
返回目录
返回思维导图
【提分要点】根据垂径定理及其推论可知，对于一个圆和一条直线来说，如果具 备以下五个条件中的任意两个条件，那么就可以推出其他三个结论：(1)过圆心； (2)垂直于弦；(3)平分弦；(4)平分弦所对的优弧；(5)平分弦所对的劣弧．
弦，并且平分弦所对的两条弧 1.平分弦的直径垂直于弦，
外接圆
垂径
并且平分弦所对的两条弧
定义：四边形的四个
定理
2.弦的垂直平分线经过圆心，
顶点都在同一个圆上
圆内接四边形的对角互补 圆内接四边
及其 推论
推论
并且平分弦所对的两条弧 3.平分弦所对的一条弧的直径垂直 于弦，并且平分弦所对的另一条弧
圆内接四边形的任意一 性质 形的性质
返回目录
返回思维导图
文字描述
字母表示
垂直于弦的直径_平__分___弦， 垂径定理
并且_平__分___弦所对的两条弧
CD⊥AB CD是直径
⇒
平分弦(不是直径)的直径
垂径定理 __垂__直__于弦，并且_平__分___弦
A__M_＝__B__M__ ⇒
的推论
所对的两条弧
CD是直径
1
AAMC＝＝BMB︵＝C
的优弧与劣弧分别_相__等___；AB＝CD⇒ ABA＝OB_＝___∠_C_︵_C__D_O___D____
.
【提分要点】1.理解圆心角、弧、弦三者之间的关系时，注意一条弦对着两条弧， 一条弧对应无数个圆周角.2.在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弦、两条弧中 如果有一组量相等，则它们所对应的其余各组量也相等．
2. 推论：(1)在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角_相__等___，
所对的弦_相__等___；
AOB＝_∠__C_O_D__
如图4，在⊙O中， AB
＝CD⇒
AB＝
____C_D_____
图4
第一节 圆的基本性质
返回目录
返回思维导图
(2)在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角_相__等_____，所对
第一节 圆的基本性质
提分必练
返回目录
返回思维导图
4. 已知在⊙O中，AB ＝CD ，若∠AOB＝40°，则∠COD的度数为__4_0_°____． 5. 如图，在⊙O中，若点C是 AB 的中点，∠OAB＝50°，则∠BOC＝__4_0_°____．
第5题图
第一节 圆的基本性质 考点 5 垂径定理及其推论
第一节 圆的基本性质
面对面“过”考点
【对接教材】人教：九上P 78－P 91； 北师：九下P 64－P 88； 华师：九下P 35－P 46.
返回目录
思维导图
返回目录
概念（圆心角、圆周角、弦、圆弧）
定理：在同圆或等圆中，
圆的对称性
圆的有关 概念及对称性
相等的圆心角所对的弧 推论：在同圆或等圆中，两个圆
定理：一条弧所对的圆周角 等于它所对的圆心角的一半
同弧或等弧所对的圆周角相等 推论
圆周角定 理及推论
半圆所对的圆周角是直角，
弦、弧、圆 心角、两条弧、两条弦中有一组
心角的关系
量相等，他们所对应的的其余各 组量也相等，简记为知一推二
圆的基
定理：垂直于弦的直径平分
90°的圆周角所对的弦是直径 三角形的 本性质