第一换元积分法凑微分法
凑微分法和分部积分法学习笔记
（3）一般的选择原则：在选择u(x)与v(x)上，一般来说，有 如下规律
反三角函数、对数函数、幂函数、三角函数、指数函数 相乘，将排在前者令为u(x)，排在后者令为v(x)的导数，一般 能简化计算。
4 举例
例1 求下列不定积分
(1) xexdx xdex xex exdx xex ex C
2na2
dx (x2 a2)n1
(x2
x a2)2
2nIn
2na2In1
所以有递推关系式：
In1
1 2na2
(x2
x a2)n
2n 1 2na2
In,n
1,2,
特别地有：
I2
(x2
dx a
2
)2
n
1
1 2a2
x2
x a2
1 2a3
arctan x a
C
例4 求下列不定积分：
(1) ln(1 x)dx x t2,t 0 ln(1 t)dt2
因而要求 u(x)v(x)dx比 u(x)v(x)dx的计算简单才有意义
（2）此法常用于计算两类性质不同函数乘积的不定积分， 在计算中关键是u(x)与v(x)的选择问题，选择得当，计算将简
化；否则会更复杂，有时甚至无法求出。如 x cosxdx
令u x, dv cos xdx,即v sin x,则有
1 1 u2
du
arctanu a
C
1 a
arctan
x a
C
(5) xex2 dx 1 ex2 dx2 1 eudu
2
2
1 eu C 1 ex2 C
2
2
(6) f (x) f (x)dx f (x)df (x) udu
第五章 2-1 第一类换元法
步骤: (1)凑微分；(2)换元求出积分； (3)代回原变量。
例 求 sin 2 xdx .
sin u du
1 解 sin 2 xdx sin 2 xd ( 2 x ) 2
(4). 有些问题需要反复使用凑微分法求解不定积分. 例.
dx x ln x ln ln x
d (ln x ) d (ln ln x ) ln | ln ln x | C. ln x ln ln x ln ln x
(5) 常用的几种配元形式:
1 (1) f (ax b)dx a 1 n n 1 (2) f ( x )x dx n 1 n 1 (3) f (x ) dx n x
机动 目录 上页 下页 返回 结束
解法 2
(sec x tan x) sec x tan x sec 2 x sec x tan x dx sec x tan x d (sec x tan x) sec x tan x
同样可证
csc xdx ln csc x cot x C
令u 2x
1 1 sin udu cos u C 2 2 1 cos 2 x C ; 2
1 dx. 例 求 2x 3
1 udu 1 1 令2 x 3 u 1 1 d (2 x 3) du 解: 原式 2 2x 3 2 u 1 1 l n u C ln 2 x 3 C . 2 2 ( x) u f [ ( x )] ( x )dx f (u)du
常用积分换元公式
第一类换元积分法
部分常用的凑微分公式：
（1）
1
()
dx d ax b
a
=+（2）1
1
()
1
n n
x dx d x
n
+
=
+
（3
d
=（4）
2
11
()
dx d
x x
=-
（5）1
(ln)
dx d x
x
=（6）()
x x
e dx d e
=
（7）cos(sin)
xdx d x
=（8）sin(cos)
xdx d x
=-
常用的凑微分公式
第二类换元积分法
1.当被积函数中含有
1)sin
x a t
=或cos
x a t
=；
2)tan
x a t
=；
3)sec
x a t
=.
通过三角代换化掉根式。
但是，去掉被积函数根号并不一定要采用三角代换，
22
ch sh1
t t
-=，采用双曲代换sh
x a t
=或ch
x a t
=消去根式，所得结果一致。
所以应根据被积函数的具体情况尽量选取简单的方法对根式进行有理化代换。
2.当有理分式函数中分母的阶数较高时，可采用倒代换
1
x
t
=.
3.类型f dx
⎰：可令t=；类型f dx
⎰：可令t=（第四节内容）
4.类型()x
f a dx
⎰：可令x
t a
=.
适合用分部积分法求解的被积函数。
4-2(第一换元法)
u 3 2 x 1 1du 1 ln u C 2 u 2 1 ln( 3 2 x ) C . 2
一般地，对于积分 f (ax b)dx(a 0)
总可以取 u ax b ，使之化为
f (ax b)dx f (ax b)d (ax b)
熟练以后就不需要进行 u ( x ) 转化了
dx (a 0) 例7 求 2 2 a x
解
dx 1 1 1 a 2 x 2 2a ( a x a x )dx 1 1 1 1 dx dx 2a a x 2a a x
1 d (a x ) 1 d (a x ) 2a a x 2a a x 1 1 ln a x ln a x C 2a 2a 1 a x 2a ln a x C
2
总可以取 u ax b ，使之化为
2
1 f (ax b) xdx [ f ( u)du]uax b 2a
2
2
课堂练习1:
1、 (1 2 x )
2、
100
dx
x 1 x 2 dx
常用的凑微分
dx d (ax b) a
2
2 xdx dx
1 x dx dx 1 1
x2
x2
2 ， e u x ；
解 间变量 u x 2 的导数，
于是有
2 2 xe dx e dx x2 x2
2 xe dx e dx 2
x2 x2
e C
x2
一般地，对于积分 f (ax b) xdx(a 0)
(1)
说明：使用公式（1）的关键在于将 g( x )dx
凑微分法技巧口诀
凑微分法技巧口诀
这三句口诀是：换元必换限，换限不还原，换顺序必化为重积分。
“换元必换限”中限指的是上下限，也就是函数中自变量的取值范围，这句话意思是换了自变量则必须要重新确定自变量的取值范围。
“换限不还原”意思是自变量的取值范围变化了，则原来函数定义就不需要还原了。
“换顺序必化为重积分”指的是在做重积分运算时，如果要交换x,y的计算顺序则必须先化成二重积分在进行换算。
积分运算法则：
一、凑微分法(第一类换元积分)
当被积函数有一部分比较复杂时，可以通过观察把某些函数放到d的后面（放在d后面的函数会发生变化），使得d后面的函数与前面复杂的被积函数具有相似的结构，最后运用基本积分公式将其求出。
二、换元法(第二类换元积分)
当被积函数比较复杂时，可以通过换元的方法从d后面的函数放一部分到前面来，使其更容易积分。
微积分第一类换元法
定理1 设 f (u)具有原函数，u ( x)可导，
则有换元公式
f [ ( x)] ( x)dx [ f (u)du]u ( x)
第一类换元公式（凑微分法） 说明: 使用此公式的关键在于将
g( x)dx 化为 f [(x)](x)dx f [(x)]d[(x)].
例1 求 e5xdx
例12 求 csc xdx.
解（一） csc xdx
1 sin
x
dx
2sin
1 x cos
x
dx
tan
x 2
1 cos
x 2
2
d
x 2
1 tan
x
d
2 tan
x 2
2
2
ln
tan
x 2
tan x sin
1
1
x2
dx
d (
), x
exdx d (ex ),
cosxdx d(sin x),
1 (cot
x),
1 cos2x dx d (tan x).
例7 求 sin 2xdx.
解（一）
sin
1 2
2 xdx
sin 2
xd
1 2
(2
sin 2x(2x)dx
x) 1 cos 2x 2
5
例2 求 (3 2x)3dx
解 令u 3 2x, 则du 2dx,从而dx 1 du,
2
原式
1 2
u3du
1u4 C
8
1 (3 2x)4 C.
8
例2 求 (3 2x)3dx
解 Q (3 2x)3 1 (3 2x)3 (3 2x) 2
原式 1 (3 2x)3 (3 2x)dx 2
第一换元积分法
x 2
c
.
tan
x 2
2 sin 2
x 2
2
sin
x 2
cos
x 2
1 cos sin x
x
csc
x
cot
x
.
csc x dx ln csc x cot x c . (新公式)
sec x dx
csc
2
x
d
2
x
(新公式)
ln
csc
2
x
cot
2
x
c ln sec x tan x
b)
x k dx
k
1
1
d
(
xk 1)
(k
1 1) a
d
(axk
1
b)
1 x
dx
d (ln x) d (a ln x)
1 b
d (a b ln x)
e xdx d (e x ) d (e x b)
cos x dx d (sin x) d (sin x b)
sin x dx d (cos x) d (cos x b)
dx
a
2
1
1
x a
ad 2
x a
1 a
arctan
x a
c.
例10, 例11加入基本积分表.
例12 .
x2
dx 4x
8
(
d x
(
x 2)2
2)
例 10
4
1 2
arctan (
x
2
2) c
.
在积分过程中, 适当的函数运算是必要的 .
例 13 .
5.3 凑微分法和分部积分法
例7. 求
解: 令 u a x b , 则 d u ad x , 故
m 1 d u 1 1 u m 1 C 原式 = u
a a m 1
注: 当
时
例8. 求
想到公式
1 a
解:
2
dx 1 ( x )2
du 1 u2
x 1 令 u , 则 du d x a a 1 1 du arctan u C a a 1 u2
小练习: 求下列不定积分
dx (1) ; 2 1 25 x
(2) e x sin( e x )dx;
1 ln x (4) dx. x
(3) x
23
1 x dx;
3
1 Key : arcsin 5 x C ; cos e x C ; 5 4 3 1 2 3 3 (1 x ) C ; (1 ln x ) 2 C . 4 3
2. (3) 3. (1)(9) 4. (2)
P136. 5. (1) (4) (6) (9)
( x 2) 3 C 3 ln x 2 ln x 1 C ln x 1
例18 dx d ( x 1) arctan( x 1) C x2 2x 2 1 ( x 1) 2 1
2x 1
1
1 ( 2 x 2) 4 dx 例19 2 dx 2 2 x 2x 2 x 2x 2
u
指: 指数函数 三: 三角函数
1 1 x
2
, vx
x 1 x
2
原式 = xarccos x
dx
2
1 2
xarccos x
第一换元积分法(凑微分法)
π π 作三角变换，令 x a sin t t , 那么 2 2
求 a 2 x 2 dx.
x
2 a x 1 a 2 x 2 dx arcsin x a 2 x 2 C . 2 a 2
a2 - x 2
x π π 解 令 x a tan t t ，则dx a sec 2 tdt． 2 2 dx a sec 2 t 1 1 d t cos t d t sin t C ． 所以 3 3 3 3 2 a a 2 x 2 2 a sec t a
积分
F t C
t 1 x 回代
1 F x C.
这种方法叫第二换元法．
使用第二换元法关键是恰当的选择变换函数x t , 对 于 x t , 要 求 其 单 调 可 导 ， t 0, 且 其 反 函 数 t 1 x 存在．下面通过一些例子来说明．
例 2
解 注意到被积式中含有 e 项,而余下的部分恰有 微分关系： 2 xdx d( x 2 ) ．于是类似于例 1,可作如下变 换和计算：
求 2 xe dx ．
x2
x2
2 xe dx e d( x )
x
2
x
2
2
令u x 2
回代 x 2 e du e C e C.
2 2
解
设u cos x, 得 du sin xdx ,
求 cos 2 x sin xdx .
例 4
解
dx 求 ． 2 x 1 ln x
dx x 1 ln 2 x 1 ln 2 x x arcsin ln x C . dx 1
不定积分第一类换元法
不定积分第一类换元法（凑微分法）一、 方法简介设)(x f 具有原函数)(u F ，即)()('u f u F =，C u F du u f +=⎰)()(，如果U 是中间变量，)(x u ϕ=，且设)(x ϕ可微，那么根据复合函数微分法，有dx x x f x dF )(')]([)]([ϕϕϕ=从而根据不定积分的定义得)(])([)]([)(')]([x u du u f C x F dx x x f ϕϕϕϕ=⎰⎰=+=.则有定理：设)(u f 具有原函数，)(x u ϕ=可导，则有换元公式)(])([)(')]([x u du u f dx x x f ϕϕϕ=⎰⎰=由此定理可见，虽然⎰dx x x f )(')]([ϕϕ是一个整体的记号，但如用导数记号dxdy 中的dx 及dy 可看作微分，被积表达式中的dx 也可当做变量x 的微分来对待，从而微分等式du dx x =)('ϕ可以方便地应用到被积表达式中。
几大类常见的凑微分形式：○1⎰⎰++=+)()(1)(b ax d b ax f a dx b ax f )0(≠a ； ○2⎰⎰=x d x f xdx x f sin )(sin cos )(sin ，⎰⎰-=xd x f xdx x f cos )(cos sin )(cos ，⎰⎰=x d x f x dx x f tan )(tan cos )(tan 2，x d x f xdxx f cot )(cot sin )(cot 2⎰⎰-=； ○3⎰⎰=x d x f dx xx f ln )(ln 1)(ln ，⎰⎰=x x x x de e f dx e e f )()(； ○4n n n n x d x f ndx x x f ⎰⎰=-)(1)(1)0(≠n ，⎰⎰-=)1()1()1(2xd x f x dx x f ，⎰⎰=)()(2)(x d x f xdx x f ；○5⎰⎰=-x d x f xdx x f arcsin )(arcsin 1)(arcsin 2；⎰⎰=+x d x f xdxx f arctan )(arctan 1)(arctan 2； ○6复杂因式【不定积分的第一类换元法】 已知()()f u du F u C =+⎰求()(())'()(())()g x dx f x x dx f x d x ϕϕϕϕ==⎰⎰⎰ 【凑微分】()()f u du F u C ==+⎰ 【做变换，令()u x ϕ=，再积分】(())F x C ϕ=+ 【变量还原，()u x ϕ=】【求不定积分()g x dx ⎰的第一换元法的具体步骤如下：】（1）变换被积函数的积分形式：()(())'()dx g x f x x dx ϕϕ=⎰⎰（2）凑微分：()(())((')))(()x g x dx d x dx f x f x ϕϕϕϕ==⎰⎰⎰（3）作变量代换()u x ϕ=得：()(())'()()()()g x dx f x x x x dx f d ϕϕϕϕ==⎰⎰⎰()u f u d =⎰（4）利用基本积分公式()()f u du F u C =+⎰求出原函数：()(())'()(())()g x dx f x x dx f x d x ϕϕϕϕ==⎰⎰⎰()()d u u C f u F ==+⎰（5）将()u x ϕ=代入上面的结果，回到原来的积分变量x 得：()(())'()(())()g x dx f x x dx f x d x ϕϕϕϕ==⎰⎰⎰()()f u du F u C ==+⎰(())F x C ϕ=+【注】熟悉上述步骤后，也可以不引入中间变量()u x ϕ=，省略(3)(4)步骤，这与复合函数的求导法则类似。
第一类换元法(凑微分法)
例 10 求下列不定积分
(1) sin 3 x dx ;
( 2) sin 2 x cos 5 x dx .
解 (2) 原式 sin 2 x cos 4 xd (sin x )
sin 2 x (1 sin 2 x ) 2 d (sin x ) (sin 2 x 2 sin 4 x sin 6 x ) d (sin x )
完
1 dx . 例 2 求不定积分 3 2x 解 1 dx 1 1 ( 3 2 x )dx 3 2x 2 3 2x 1 1 d (3 2 x ) 2 3 2x 3 2x u 1 1 1 ln u C du 换元 2 u 2 u 3 2x 1 ln 3 2 x C . 回代 2
例7
求下列不定积分
1 dx ; ( 2) 2 1 dx . 2 2 x 8 x 25 a x 1 arctan x C ; 解 (1) 原式 a a 1 1 (2) 原式 dx 12 dx 2 2 ( x 4) 9 3 x 4 1 3 (1)
解法一 原式 1 sin 2 x d ( 2 x ) 1 cos 2 x C ;
2 2 解法二 原式 2 sin x cos x dx 2 sin x d (sin x )
(sin x ) 2 C ;
解法三 原式 2 sin x cos x dx 2 cos x d (cos x )
注: 一般情形: f (ln x ) 1 dx f (ln x)d (ln x) x
例 6 求下列不定积分
微积分第一类换元法
定理1
u 设 f (u) 具有原函数， ( x ) 可导，
则有换元公式
f [ ( x )] ( x )dx [ f (u)du]u ( x )
第一类换元公式（凑微分法） 说明: 使用此公式的关键在于将
g( x )dx
1 2 a
例10 解
1 求 x 2 a 2 dx.
1 1 1 原式 ( x a x a )dx 2a
1 xa ln C. 2a x a
令：u ( x) x a 可以吗？
2 2
1 a 2 x 2 dx ?
例11 求 解
tan xdx
解
1 dx 2 2 ( x 1) 2
1 dx 用 2 2 x a 1 xa ln C 2a x a
1 d ( x 1) 2 2 ( x 1) 2
1 x 1 1 ( x 1) 2 C. ln C ln 4 x3 4 ( x 1) 2
ln csc x cot x C.
类似地可推出
sec xdx ln sec x tan x C.
基 本 积 分 表
(16)
(17)
(18)
(19)
(20)
1 1 xa (21) 2 dx ln C; 2 x a 2a x a 1 x (22) dx arcsin C. a a2 x2
化为
f [ ( x)] ( x)dx f [ ( x)]d [ ( x)].
例1 求
e dx
5x
1 解 令u 5x, 则du 5dx, 从而dx du , 5
(完整版)5.3第一类换元积分法-凑微分
问题 cos 2xdx sin 2x C,
解决方法 利用复合函数，设置中间变量.
过程 令 u 2x du udx 2dx
cos
1
2xdx
cos udu
cos
u 1 du
1
2
sin
u
C
dx
1 2
du,
2
2
u 2x
1 sin 2x C.
d(a x ax
)
d(a x) ax
1 ln a x C.
2a a x
dx 1 ln a x C
a2 x2 2a a x
小结 用第一换元积分法求不定积分的步骤是：
1.换元 若能将被积表达式化为f (x) '(x)dx的形式，
2
2
经求导验算，
即 结果正确 .
1 e x2 C xe x2 .
2
例
求
lnx x
dx.
解 将被积分式中的 1 dx 因子凑微分，即
x
1 dx d(ln x). x 则
ln x dx
ln xd ln x 1 ln2 x C.
x
2
例
求
x(1
1 2ln
cos
x
x
dx
dcos x
cos x
ln | cos x | C.
例 求 sin x cos2 xdx
解 原式 cos2 x sin xdx cos2 x（d cos x）
不定积分第一类换元法
不定积分第一类换元法（凑微分法）一、 方法简介设)(x f 具有原函数)(u F ，即)()('u f u F =，C u F du u f +=⎰)()(，如果U 是中间变量，)(x u ϕ=，且设)(x ϕ可微，那么根据复合函数微分法，有dx x x f x dF )(')]([)]([ϕϕϕ=从而根据不定积分的定义得)(])([)]([)(')]([x u du u f C x F dx x x f ϕϕϕϕ=⎰⎰=+=.则有定理：设)(u f 具有原函数，)(x u ϕ=可导，则有换元公式)(])([)(')]([x u du u f dx x x f ϕϕϕ=⎰⎰=由此定理可见，虽然⎰dx x x f )(')]([ϕϕ是一个整体的记号，但如用导数记号dxdy 中的dx 及dy 可看作微分，被积表达式中的dx 也可当做变量x 的微分来对待，从而微分等式du dx x =)('ϕ可以方便地应用到被积表达式中。
几大类常见的凑微分形式：○1⎰⎰++=+)()(1)(b ax d b ax f adx b ax f )0(≠a ； ○2⎰⎰=x d x f xdx x f sin )(sin cos )(sin ，⎰⎰-=x d x f xdx x f cos )(cos sin )(cos ，⎰⎰=x d x f x dx x f tan )(tan cos )(tan 2，x d x f xdxx f cot )(cot sin )(cot 2⎰⎰-=； ○3⎰⎰=x d x f dx xx f ln )(ln 1)(ln ，⎰⎰=x x x x de e f dx e e f )()(；○4nn n n x d x f n dx x x f ⎰⎰=-)(1)(1)0(≠n ，⎰⎰-=)1()1()1(2x d x f x dx x f ，⎰⎰=)()(2)(x d x f xdx x f ； ○5⎰⎰=-x d x f xdx x f arcsin )(arcsin 1)(arcsin 2；⎰⎰=+x d x f x dxx f arctan )(arctan 1)(arctan 2； ○6复杂因式【不定积分的第一类换元法】 已知()()f u du F u C =+⎰求()(())'()(())()g x dx f x x dx f x d x ϕϕϕϕ==⎰⎰⎰ 【凑微分】()()f u du F u C ==+⎰ 【做变换，令()u x ϕ=，再积分】(())F x C ϕ=+ 【变量还原，()u x ϕ=】【求不定积分()g x dx ⎰的第一换元法的具体步骤如下：】 （1）变换被积函数的积分形式：()(())'()dx g x f x x dx ϕϕ=⎰⎰（2）凑微分：()(())((')))(()x g x dx d x dx f x f x ϕϕϕϕ==⎰⎰⎰ （3）作变量代换()u x ϕ=得：()(())'()()()()g x dx f x x x x dx f d ϕϕϕϕ==⎰⎰⎰()u f u d =⎰（4）利用基本积分公式()()f u du F u C =+⎰求出原函数：()(())'()(())()g x dx f x x dx f x d x ϕϕϕϕ==⎰⎰⎰()()d u u C f u F ==+⎰（5）将()u x ϕ=代入上面的结果，回到原来的积分变量x 得：()(())'()(())()g x dx f x x dx f x d x ϕϕϕϕ==⎰⎰⎰()()f u du F u C ==+⎰(())F x C ϕ=+【注】熟悉上述步骤后，也可以不引入中间变量()u x ϕ=，省略(3)(4)步骤，这与复合函数的求导法则类似。
第一类换元积分法的“凑微分”思想探析及运用
第一类换元积分法的“凑微分”思想探析及运用随着科学技术的发展，制约人类社会发展和文明进步的越来越复杂的工程问题应运而生，这就要求科学家们不断尝试新的解决方法，开发出更先进、更高效、更有效的解决方案，特别是数学理论在解决这些问题中发挥越来越大的作用。
其中，“第一类换元积分法”就是这样一个非常重要的数学方法，它可以帮助科学家们解决一些复杂的问题。
第一类换元积分法可以说是一种传统的积分方法，它用解析方法来解决多元函数的积分问题。
在古典的积分公式和变分方法的框架中，第一类换元积分法的基本思想是“凑微分”:原先对多元函数求极限积分的问题转变为计算某些特定函数的微分。
它是由英国数学家艾灵顿在十九世纪中叶开发出来的，由此可见，它是一种非常古老而又实用的积分方法。
由于第一类换元积分法的特殊性，它的计算方法有着许多独特的优势和优点，尤其是在解决多元函数求极限积分问题时。
首先，由于其采用微积分的概念，因此要求求解者具备一定的微积分基础，使其可以更准确地计算多元函数的积分。
其次，第一类换元积分法可以有效节约计算时间，因为它可以减少计算量，从而减少计算过程中可能出现的错误。
此外，考虑到其对数学知识的要求，它也能有效地改进学生的学习水平，使其更好地了解数学的基础知识。
除此之外，第一类换元积分法还可以应用于实际工程问题的解决中。
例如，结构力学中的结构形变的计算问题就可以采用第一类换元积分法来解决。
在这种情况下，通过求解相关多元函数的极限积分问题，可以更准确地计算出结构形变的参数，有效降低计算难度，提高计算精度。
总之，第一类换元积分法是一种非常实用的积分方法，其特殊性和有效性使它在解决实际问题时发挥着重要的作用。
此外，它也为学习数学提供了一个有效的学习方式，能够提高学生对数学基础知识的理解。
因此，第一类换元积分法有着异常重要的意义。
5.3凑微分法和分部积分法
x 1 1 1 2 2 2 x x 1 ( x 1) x( x 1)
dx dx dx 原式 2 x x 1 ( x 1)2 d( x 1) d( x 1) ln x 2 x 1 ( x 1)2
1 d( x 2 1) ln x arctan x 2 2 x 1
1 ln x ln( x 2 1) arctan x C . 2
2. 当真分式分母中含有因子( x a) 时,则分解后
k
有下列k 个部分分式之和：
A1 A2 2 x a ( x a) Ak . k ( x a)
解 (1) (sin x) cos xdx (sin x) d sin x
t dt ( 令 t sin x )
ln sin x C , 1 ln t C , 1 1 1 (sin x ) t C , 1 . C , 1 1 1
1 1 1 d(a x) d (a x) 2a a x ax
1 ax 1 ln C ln a x ln a x C 2a a x 2a
1. 当真分式分母中含有因子( x 2 px q)k , p 2 4q 0 时,则分解后有下列k 个部分分式之和：
f [ ( x )] ( x )dx F [ ( x )] C [ f ( u)du]u ( x ) .
使用此公式的关键在于
(5 1)
第一换元积分公式（凑微分法）
说明
将
f ( x)dx 凑成 F '[ ( x)] '( x)dx.
复合积分运算公式
复合积分运算公式复合积分（通常指的是复合函数的积分）相关运算公式如下：一、换元积分法（第一类换元法 - 凑微分法）1. 公式形式。
- 设u = φ(x)在区间[a,b]上可导，且α≤slantφ(x)≤slantβ，函数f(u)在[α,β]上有定义且有原函数F(u)，则。
∫ f[φ(x)]φ^′(x)dx=∫ f(u)du=F(u)+C = F[φ(x)]+C2. 示例。
- 计算∫ 2xcos(x^2)dx。
- 令u = x^2，则du=2xdx。
- 所以∫ 2xcos(x^2)dx=∫cos udu=sin u + C=sin(x^2)+C二、换元积分法（第二类换元法）1. 公式形式。
- 设x = φ(t)是单调的、可导的函数，并且φ^′(t)≠0，又设f[φ(t)]φ^′(t)具有原函数F(t)，则。
∫ f(x)dx=∫ f[φ(t)]φ^′(t)dt=F(t)+C=F[φ^-1(x)]+C- 其中t=φ^-1(x)是x = φ(t)的反函数。
2. 示例。
- 计算∫(1)/(1 + √(x))dx。
- 令t=√(x)，即x = t^2(t≥slant0)，则dx = 2tdt。
- ∫(1)/(1+√(x))dx=∫(2t)/(1 + t)dt=2∫(t + 1-1)/(1 + t)dt=2∫(1-(1)/(1 + t))dt - =2(t-ln1 + t)+C = 2(√(x)-ln(1+√(x)))+C三、分部积分法。
1. 公式形式。
- ∫ u(x)v^′(x)dx=u(x)v(x)-∫ v(x)u^′(x)dx，通常简记为∫ udv = uv-∫ vdu 2. 示例。
- 计算∫ xsin xdx。
- 令u = x，dv=sin xdx，则du = dx，v =-cos x。
- 根据分部积分公式∫ xsin xdx=-xcos x-∫(-cos x)dx=-xcos x+sin x + C。
换元积分法
x
dx
22
tan
1 x cos2
x
d( x) 2
22
1 tan
x
d(tan
x )
2
ln tan x C 2
2
lncsc x cot x C.
解(二)
csc xdx
1 sin
x
dx
sin sin2
x x
dx
1
1 cos2
x
d(cos
x) u2
du
1 2
1
1
u
1
常数因子恰好是中间变量u的导数. 作变换u 2x,有
2cos2xdx cos2x 2dx cos2x (2x)dx cos udu sin u C
sin 2x C.
例2
求
3
1 2
dx. x
解
3
1 2
dx x
1 2
3
1 2
d(2 x
x
)
1 2
3
1 d(3 2x
2
x
)
令 u 3 2x
sin2 x (1 sin2 x)2d(sin x)
(sin2 x 2sin4 x sin6 x)d(sin x)
1 sin 3 x 2 sin5 x 1 sin7 x C .
3
5
7
说明 当被积函数是三角函数相乘时, 拆开奇次项 去凑微分.
例14 求 cos2 xdx.
解
cos2
例12 求 sin3 xdx. 解 sin3 xdx sin2 xsinxdx
(1 cos2 x)d(cos x) d(cos x) cos2 xd(cos x)
cos x 1 cos3 x C . 3
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
其中u (x)是x 的任一个可微函数．
证
由 于 f (x)dx F (x) C , 所 以
dF (x) f (x)dx．根据微分形式不变性,则有：
dF (u) f (u)du ．其中u (x)是 x 的可微函数，由此得
f (u)du dF(u) F(u) C.
3arcsin
x 2
1
2 d4 x2
4 x2
3arcsin x 4 x2 C. 2
（３）
1
1 ex
dx
1
ex 1
ex
ex
dx
1
1
e
x
e
x
dx
dx
1
1 e
x
d1
e
x
x ln1 ex C.
凑微分法运用时的难点在于原题并未指明应该把
哪一部分凑成 d ( x) ,这需要解题经验,如果记熟下列一
些微分式,解题中则会给我们以启示．
dx 1 d(ax b)， xdx 1 d(x2 )，
a
2
dx 2d( x)， x
exdx d(ex )，
1 dx d(ln | x |)， sin xdx d(cos x)， x
§６.２ 换元积分法
一、第一换元积分法(凑微分法)
例 1 求 e3xdx .
解 被积函数e3x是复合函数，不能直接套用公式
exdx ex C，我们可以把原积分作下列变形后计算：
e3xdx 1 3
e3xd(3x) 令u 3x
1 3
eudu 1 eu C 3
回代 1 e3x C .
积分化为关于u 的一个简单的积分，再套用基本积分公
式求解,现在的问题是，在公式 exdx ex C 中，将 x 换成了u (x) ,对应得到的公式 eudu eu C 是否
还成立?回答是肯定的,我们有下述定理：
定理 如果 f (x)dx F(x) C ，则
f (u)du F(u) C.
dx a2 x2
1 arctan x
a
a
C.
(3)
tan
xdx
sin cos
x x
dx
d(cos x) cos x
ln
|
cos
x
|
C.
类似得(4) cot xdx ln | sin x | C.
(5)
sec
xdx
sec
x(sec x tan tan x sec x
x
1
a
x
1
a
dx
1 2a
[
dx a
xa
dx a]
xa
1 [ln x a ln x a ] C
2a
1 ln x a C.
2a x a
（２）
3 x 4 x2
dx
3
dx 4 x2
x dx 4 x2
3
3
方法较熟悉后,可略去中间的换元步骤,直接凑微
分成积分公式的形式．
例4
求 x
dx ． 1 ln2 x
解
x
dx 1 ln 2
x
1 1 ln 2
x
dx x
arcsin ln x C .
1 d ln x
1 ln 2 x
例 5 求 sin x x dx． 解 sin x x dx 2 sin xd x 2cos x C ．
(1)
x2
1
a2
dx；(2)
3 x dx；(3) 4 x2
1 1 ex
dx；
(4) sin 2
xdx；
(5)
1
1 cos
x
dx；(6)
sin
5x
cos
3xdx
．
解 本题积分前，需先用代数运算或三角变换对被
积函数做适当变形．
1
x
2
1
a
2
dx
1 2a
dx ； (3) a2 x2
tan xdx；
(4) cot xdx；
(5) sec xdx； (6) csc xdx.
解 （1）
dx
a2 x2
a
1
dx
1
x a
2
1
=arcsin x
1
x a
C.
2
d
x a
a
类似得(2)
x)
dx
sec2 x tan x
sec x tan sec x
xdx
(tan
x
1
sec
x)
d(tan
x
sec
x)
ln
|
sec
x
tan
x
|
C.
类似得(6) csc xdx ln | csc x cot x | C．
本题六个积分今后经常用到，可以作为公式使用．
例 7 求下列积分：
回代 F (u ) C
F [ ( x )] C .
这种先“凑”微分式，再作变量置换的方法，叫 第换一元积分法，也称凑微分法．
例 3 求 cos2 x sin xdx .
解 设u cos x,得du sin xdx,
cos2 x sin xdx u2du 1 u3 C 1 cos3 x C.
cos xdx d(sin x)，sec2 xdx d(tan x)，csc2 xdx d(cotx)，
dx d(arcsin x)， 1 x2
dx 1 x2
d(arctan x)．
下面的例子,将继续展示凑微分法的解题技巧．
例 6 求下列积分：
(1)
dx (a 0)； (2) a2 x2
பைடு நூலகம்
（４）
sin
2
xdx
1
cos 2
2x
dx
1 2
3
直接验证得知,计算方法正确．
例 2 求 2xex2dx．
解 注意到被积式中含有 ex2 项,而余下的部分恰有
微分关系：2xdx d(x2 )．于是类似于例 1,可作如下变 换和计算：
2xex2dx
ex2 d(x2 ) 令u x2
eudu
eu
C
回代 e
x2
C.
上述解法的特点是引入新变量u (x),从而把原
这个定理非常重要，它表明：在基本积分公式中，
自变量 x换成任一可微函数u (x)后公式仍成立．
这就大大扩充了基本积分公式的使用范围．应用这一 结论，上述例题引用的方法, 可一般化为下列计算程 序：
f [(x)](x)dx 凑微分 f [(x)]d(x) 令u (x)
f (u )du