2010年全国高教杯数学建模——关于油罐问题
2010数学建模—A题
储油罐的变位识别与计量监测管理模型分析摘 要：本文根据微积分原理建立监测管理模型，用以研究储油罐的变位识别与罐容表标定。
根据罐容表的定义，文章从罐内油位高度和储油量（即罐内油品所占体积）的角度出发。
对于问题一，文章解决了小椭圆型储油罐在无变位情况下的油位高度与储油量的关系问题，并建立了相关模型；其次，还得到了小椭圆型储油罐在仅有纵向变位条件下，油位高度与储油量的关系，其中针对其特殊位置的油量关系，进行了分类讨论；最后，根据题目要求，对于罐体变位后的油位高度间隔为1cm 的罐容表进行重新标定，标定结果见表一，得出实际计算进油量与油罐内油量的偏差率为4.5%。
对于问题二，在解决问题一的前提下，根据之前建立的模型，研究了实际储油罐在既有纵向变位又有横向变位的条件下罐内储油量与油位高度之间的一般关系，过程中主要讨论了在实际情况下储油罐在无变位情况，仅存在纵向变位或横向变位情况，以及既有纵向变位又有横向变位的条件下罐内储油量与油位高度之间的一般关系，并建立理想数学模型。
另外，在模型求解的过程中，充分运用了mathematics 数学软件，省去了繁琐的积分演算过程，并且利用了罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据，确定变位参数，得出 2.3=α， 8.2=β，从而确立实际数学模型，对罐体变位后油位高度间隔为10cm 的罐容表重新标定，标定结果见表三。
最后，为了将模型付诸于实践，我们利用实际检测数据分析检验模型的正确性与方法的可靠性，利用包面法在mathematics 软件中的应用，得出实际出油量与计算所得的出油量的偏差率为1.45﹪，数值较为理想，模型可应用于实际。
关键词：储油罐；变位参数；微积分；包面法；偏差1问题重述随着社会经济发展迅速，汽车逐渐普及，加油站点数目不断增长。
通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。
2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛A
储油罐的变位识别与罐容表标定的积分方程模型摘要：本文通过建立积分方程组模型：()()()()()()()()()()()()()1110022010313120444235454334,0,0,,cos ,,cos ,,cos ,,x d H C V x h x x H x H C V x h x H x H x H C V H S A x B x dx h x H x H x H C C V H x h x H x H C C V H x h x h H H x H ααα==≤≤⎧⎪-⎪==≤≤⎪⎪-⎪=+--=≤≤⎨⎪⎪-=--=≤≤⎪⎪=--=≤≤⎪⎩⎰刻画、描述和揭示了储油罐由于地基变化而引起的罐体变位时储油罐内油面高度i H 与罐容表标定刻度()i h x 之间的关系。
合理的假设当储油罐在软土地基所加荷载不大时，地基变形小；当荷载增大到一定程度后．油罐地基沉降速率变快，由于地基内孔隙水来不及消散，地基变形保持体积不变，导致土体侧向移动，从而引起远罐地表土隆起，近罐地表土沉降，随着荷载的增加和时间的延续，地基内孔隙水压力逐渐消散，土体固结而产生沉降，使得隆起的地表又逐渐下沉，经过一段时间后，趋于稳定，即储油罐内油面高度i H 与罐容表标定刻度()i h x 之间的关系曲线就是先是有坡度的，然后有一个平缓的部分，还有一个有坡度的部分。
再利用非线性回归分析的方法通过附表中的数据将α与β非线性拟合出来 ，且拟合效果高度逼近理论结果，从而在模型中任意给出重要参数()S x (油面横切面的面积)，1l (倾斜时油箱左下顶点到油位探针底部的距离)，2l (倾斜时油位探针底部距油箱右下顶点的距离), 3l (倾斜时油箱右上顶点到油面的距离)的值，便可以描述出储油罐内油面高度i H 与罐容表标定刻度()i h x 之间的关系。
以此为基础，给出了两个问题较完备的答案。
关键词：积分方程；非线性回归分析；非线性拟合；油面高度；罐容表标定刻度一 问题的重述通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。
2010“高教社杯”全国大学生数学建模大赛A题论文
基于微元法的变位储油罐罐容表标定问题摘要加油站当地下储油罐发生一定程度变位时，需要重新标定其罐容表，优化“油位计量管理系统”，目的是得到地下储油罐内油量的真实值，所以研究该问题对加油站具有重要意义。
本文主要利用微元法建立积分模型，解决了储油罐的变位识别与罐容表标定的问题，得到了实验储油罐变位后罐容表新的标定值，实际储油罐变位后储油量与油位高度及变位参数之间的关系，以及实际储油罐变位后罐容表新的标定值。
问题一中，首先对纵向倾斜的小椭圆油罐进行分析，将油罐从罐中无油到加满油的过程分为7个部分来分析，分别是：（1）从罐中无油到将油加到刚好不接触油浮子；（2）从油开始接触油浮子到油灌满倾斜角但刚好不接触罐右侧壁；（3）从罐中油开始接触右侧壁到油灌到左侧壁中点水平线；（4）油从左侧壁中点灌到左侧壁终点水平线；（5）油从左侧壁终点灌到右侧壁中点水平线；（6）油从右侧壁中点灌到油浮子刚好显示油满；（7）从油浮子刚好显示油满到将油罐灌满。
分别分析这7个加油的过程，建立模型，用微元法求解每个部分罐中油体积的变化，根据体积的变化得到油面高度的变化，将变位后的油面高度与无变位时的油面高度作比较，分析得出变位对罐容表的影响。
最后由变位后油面的高度，用Matlab编程序得到变位后罐容表新的标定值。
问题二中，经过对实际储油罐的形状与倾斜及偏转角度情况的分析，我们利用割补法建立罐体变位后的数学模型，先分别分析储油罐只纵向倾斜和只横向偏转的情况，用h的函数关系式，再分析储油罐同时纵向倾微元法得到罐中油体积与变位后罐容表刻度斜和横向偏转的情况，我们将模型转变为先将储油罐横向偏转，然后在横向偏转的基础上再纵向倾斜，由所给的实际储油罐的数据，分别结合只进行纵向倾斜和只进行横向偏转的情况，用拟合的方法，利用Simpson公式，近似得到了倾斜角α=4.5230,偏转角β=1.220。
在α和β确定之后，罐内储油量与油位高度及倾斜角α、偏转角β的关系式即转化为油体积与油位高度的关系式，进而计算得到变位后油位间隔为10cm的罐容表新标定值。
全国数学建模大赛题目
附件2：实际储油罐的检测数据
2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目
（请先阅读“全国大学生数学建模竞赛论文格式规范”）
B题 2010年上海世博会影响力的定量评估
2010年上海世博会是首次在中国举办的世界博览会。从1851年伦敦的“万国工业博览会”开始，世博会正日益成为各国人民交流历史文化、展示科技成果、体现合作精神、展望未来发展等的重要舞台。请你们选择感兴趣的某个侧面，建立数学模型，利用互联网数据，定量评估2010年上海世博会的影响力。
许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。图1是一种典型的储油罐尺寸及形状示意图，其主体为圆柱体，两端为球冠体。图2是其罐体纵向倾斜变位的示意图，图3是罐体横向偏转变位的截面示意图。
（2）对于图1所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度和横向偏转角度）之间的一般关系。请利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件2），根据你们所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。进一步利用附件2中的实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性。
请你们用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。
（1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用如图4的小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为=4.10的纵向变位两种情况做了实验，实验数据如附件1所示。请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。
2010数学建模论文(储油罐问题)
储油罐的变为识别与灌容表标定目录储油罐的变为识别与灌容表标定 (1)目录 (1)摘要 (2)一问题的提出 (3)二符号说明 (3)三模型的假设 (4)四问题分析 (4)五模型的建立及求解 (5)1.问题一 (5)1.1未变位的椭圆球体 (5)1.2变位后的椭圆球体 (7)1.3用已经建立的模型研究罐体变位后对灌容表的影响。
(9)1.4计算油位高度为1cm的灌容表标定值 (10)2.问题二 (11)2.1确定储油量与储油高度及变位参数的关系 (11)六．模型的检验 (14)七．模型改进方向 (15)参考文献 (15)摘 要加油站的地下储油罐使用一段时间后会发生变位，针对这个问题，我们建立了数学模型，并利用matlab 和mathmatica 等软件对其进行求解，得到了储油罐的变位后对灌容表的影响和对变位后的罐容量重新标定。
问题一，我们先针对储油罐变位前后分别对体积其建立数学积分模型，用数值积分求得模型，然后用附表一中的有无变位进油中所得的油位高度分别代入两个模型求得体积与附表一相对应的累加进油量和灌内容量初始值之和相差不大，说明我们建立的模型可以接受。
用这两个模型变位前后的曲线，发现变位后的油罐灌容表测得高度值偏大，致使测得容量值与实际值相比偏小。
根据误差分析对模型进行修正并检验，并利用变位后的修正模型模型给出了间隔1cm 的灌容表标定值。
问题二，以圆柱体为主体，两边是两个球冠体的储油罐发生横向偏移和纵向偏移之，首先分析储油罐横向偏转对油位探针测量的高度2h 的影响，储油罐发生纵向倾斜对任意位置油面的高度的影响。
把该储油罐分成中间部分和左右两个球冠体，然后针对储油罐变位后分别对三部分建立数学积分模型，得出油罐中油的体积与油位探针测量的高度2h 的积分关系，比较复杂不易求解，从而对模型进行简化，得到了灌内储油量与油位高度及变位参数α和β的关系5232.532528.3356cos 42.5034cos 56.6712tan v h ββα=+--，通过待定系数法确定了变位参数的值0.2693,21.3484αβ=︒=︒。
数学建模A题油罐问题思路
数学建模A题油罐问题思路————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：2010油罐问题思路问题一：解题的总思路是采用微元法求体积。
（1）罐体无变位时的罐容体积模型：当油罐无变位时，取小椭圆油罐截面椭圆，建立适当的坐标系如右图所示：利用椭圆曲线方程，沿右半椭圆曲线对y (0,)h ∈积分,从而 求出小椭圆油截面积为()S h ,由此得出罐体体积()()V h L S h =*。
为验证模型的准确合理性：取附录一数据中的高度h 代入体积公式算出对应的剩余油量理论值，将其与实际剩余值进行曲线拟合。
（2）纵向变位倾斜角04.1α=时的罐容表标定模型： 同样利用积分思想求变位后的体积，对油罐正面示意图建立相应的坐标系，如下图所示：其中120.4, 2.05,3L m L m M m ===根据上图可求得横坐标油面的高度为：1()*tan y h L x α=+- 根据罐油量的多少，可以将它分为三种类型讨论：① 当20tan h L α≤≤，如右下图所示：可求得油罐量的体积为：1tan 10()(()*tan )h L V h S h L x dx αα+=+-⎰②当21tan tan L h M L αα<<-时，如下图所示： 可求得油罐量的体积为：1210()(()*tan )L L V h S h L x dx α+=+-⎰③当1tan M L h M α-≤≤时，如图所示： 可求得油罐量的体积为：1tan 10(()*tan )hL m V V S h L x dx αα+=-+-⎰然后进行模型的验证：由附件1实验数据中的各高度得到储油量中的理论油量V ，将理论油量与实际的相比较找出它的变化规律，作出误差分析，判断模型建立的合理性。
根据上述得到的储油罐发生变位时体积关于h 的公式，则可以算出罐体变位后油位高度间隔为1cm 的灌容表标定值。
2010年数学建模论文
储油罐的变位识别与罐容表标定摘要在加油站的储油罐中，一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据。
在问题1中，我们对无α=︒的纵向变位的情况利用重积分的方法建立了基本数学模型，并对倾斜角 4.1变位建立了罐体变位后对灌容表影响的两种数学模型，并利用MATLAB软件中误差分析函数，对附件1的数据进行处理，同时对两种模型进行校验得出了最优模型，并确定了罐体变位后油位高度间隔1cm的罐容表标定值。
在问题2中，我们利用问题1的相关结论以及近似、微元法、迭代法、重积分、数理统计等常用的数学方法建立了罐内储油量与油位高度及变位参数之间的关系模型，而后通过MATLAB软件对附件2数据进行分析与校验，最终确定了所建数学模型的变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。
同时进一步利用附件2中的实际检测数据验证了所建模型的正确性与方法的可靠性。
关键词：变位、最优化处理、微元法、数理统计、迭代法、MATLAB一、问题重述通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。
许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。
按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。
图1是一种典型的储油罐尺寸及形状示意图，其主体为圆柱体，两端为球冠体。
图2是其罐体纵向倾斜变位的示意图，图3是罐体横向偏转变位的截面示意图。
请你们用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。
（1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用如图4的小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为α=4.10的纵向变位两种情况做了实验，实验数据如附件1所示。
2010年全国高教杯数学建模——关于油罐问题解析
承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：云南大学滇池学院参赛队员(打印并签名) ：1. 文可鑫2. 李翔3. 何宝林指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：张懋洵日期： 2010 年 9 月 12 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：储油罐的变位识别与罐容表标定摘要本文研究的是储油罐的变位识别与罐容表标定问题，针对问题一和问题二所提的不同要求，分别建立了可靠、有效的数学模型。
针对问题一中的椭圆柱体形的储油罐纵向变位对H V -的影响，建立了两个模型来进行求解：模型一，针对题中给定的实验数据建立了数据拟合模型，比较直观的拟合了面的高度可以分为两种特殊情况即max H H =和0=H ，和另外三种一般情况得出H V -的关系()()()) 180 4.1 tan(l -h 2 tan ) 180 4.1 tan(l -h ) 180 4.1 (tan l)-(L 2 ) 180 4.1 tan(l)-(L H 0 2)( tan tan )( 0 2222 0 tan tan 0 2222tan 0 2222tan tan 0⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧**>--+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+**≤<**--**≤≤--=⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+-+-++-+L h H l z l H L z l H H l z l H H dydz b y b a a h H l ab H dydz b y b a a dydz b y b a a H V αααααααπαππππ并用附录给定数据和matlab 验证了该数学积分容积模型的正确性。
2010年数学建模A题论文
储油罐的变位识别与罐容表标定摘要本文主要运用了积分知识和几何知识分析解决储油罐的变位识别和罐容表标定问题。
模型一的对象是小椭圆形储油罐（两端平头的椭圆柱体）。
我们首先运用几何知识对变位罐体进行分析，得到垂直于罐体的液高1h 和储油罐水平状态下的液高2h 之间的关系，2h =1h +1L ×tan()α（倾斜角α，1L =0.4m ，为罐体长的一部分）。
然后以椭圆中心为中心，以椭圆的长轴和短轴分别为x 轴y 轴，建立空间直角坐标系，再对x 求定积分可得椭圆面上的储油面积为S =(2)f h dx ⎰，继而求得储油的体积V =S ×L （L 为罐体的水平总长度）。
并且在不同的情况下，运用分段函数的思想将罐容分为四段，解得各部分罐容表达式。
并且，以附件一中给出的油位高度为自变量，运用matlab 求得对应的罐容。
将求的的罐容与附件一中加上初始油量后的罐容相比较，分析数据得到其平均误差率为0.038371<0.05，较为合理。
因此，便可根据上述函数关系编定小椭圆罐体罐体变位后的油位高度1h 间隔为1cm 的罐容表标定。
模型二对于图4所示的实际储油罐，可由题中所给数据算出球冠形封头的半径为1.625m,所对应的圆心角为134.76度，弧长为 3.822m考虑到所对圆心角较大及弧长相对于油罐的高度D = 3m 相差不是很大，利用问题一中的模型可近似的认为 当液面由倾斜状态转化为水平状态时，两球冠形内的液面高度与卧式圆柱体内的液面高度近似相等，都等于圆柱体内的油在水平状态下的高度2h ，此时罐内液体的体积为两球冠形封头内液体的体积与圆柱体内液体的体积之和。
当油罐同时在倾斜和偏转的状态下时，利用油浮子测得的液面高度为3h ,3h 可化为仅在倾斜状态下的液面高度1h ，进而转化为水平状态下的液面高度2h ，从而h2可油位高度及纵向倾斜角α和横向偏转角β 表示出来，即()()()()()()13cos ,212tan 3cos tan h R h R h h R h R βαβα=+-=+=+-+cos(β)在已建立的较合理的模型一的基础上建立问题二的模型，将h2带入即可求得罐体变位后储油量与油位高度和变位参数α，β的关系。
油罐车建模论文参考资料
2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：A 题 储油罐的变位识别与罐容表标定摘要：加油站储存燃油的地下储油罐，通常用罐容表进行计算，来反映罐内油位高度和储油量的变化情况。
但是某些外界因素使得罐体变位，导致罐容表发生改变。
因此需要定期对罐容表进行重新标定。
问题一：研究罐体变位对灌容表的影响。
首先用积分导出小椭圆型储油罐无变位时的油液容积与油位高度的关系。
用分段积分的方法算出储油罐倾斜时油位高度与贮油量的关系式。
根据积分得出的油位高度与贮油量的关系，用MATLAB 软件求解得出罐体变位后油位高度间隔为1cm 的罐容表标定值。
（见附录表一）最后分别用实验数据和计算得出的数据拟合曲线进行对比，重合度较高，说明此模型可行性较好。
问题二：研究罐体横向，纵向都有变位时，储油量与油位高度及变位参数之间的关系。
我们将变位分为两步进行，先纵向变位，得出一个储油量与油位高度及变位参数之间的关系模型。
因为横向变位只于高度有关，此变位处理只需对高度处理。
在计算储油罐贮油量时，将油罐分为三部分求解，即右左身V V V V ++=。
分别对三部分积分求解。
关键词： 储油罐的变位 罐容表 油位高度 贮油量 体积积分 曲线拟合一、问题重述通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。
许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。
按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。
图1（见附录）是一种典型的储油罐尺寸及形状示意图，其主体为圆柱体，两端为球冠体。
2010年数模A题
基于微积分思想的卧式储油罐变位识别与罐容表标定研究摘 要本文针对卧式储油罐变位识别与罐容表标定问题，运用微积分知识建立了卧式平端椭圆体和卧式双球冠圆筒储油罐变位前后罐容表标定的数学模型，并运用AutoCAD 软件对模型建立过程中的部分图像进行绘制，达到图文并茂的效果。
在模型的求解中运用了Excel 软件进行误差分析，保证了结论的真实可靠。
问题一，针对卧式平端面椭圆体储油变位与罐容表标定的关系，将问题分为变位前后利用微积分思想建立模型，并运用Excel 软件进行求解得到未变位前结果结果误差为%3左右，引入修正参数96835.0=u 修正后的到最大误差%188.0；变位后运用Matlab 软件求解得到答案。
问题二，针对卧式圆形加球冠储油罐变位与罐容表标定研究，在变位前后都将其分为中间圆柱体和两端球冠型进行微积分，针对不同水平截面几何形状建立与液面高度分段函数关系式，运用Matlab 软件求解，最终得到07.1=α，03.3=β。
此模型在现实工业生产中推广运用将会有很大的利用价值。
关键词：卧式储油罐的变位识别 罐容表标定 微积分 CAD 制图 Excel 软件一、问题的提出1.1问题提出背景石油作为一种不可再生能源在今天的社会生活中处于不可替代的地位。
随着社会经济的发展，石油需求量越来越大，生活中有很多时候都是和石油直接或间接相关。
就这样，石油储运中的储油罐变位识别与罐容表标定问题进入了本文的研究范围。
通过相关的了解储油罐的类型有很多，相同的类型也大致有卧式和竖式等不同形式的安放，甚至一些特殊地形下的特殊安放。
本文就卧式储油罐进行建模，针对卧式储油罐外部形状和变位后的储油体积进行了研究。
1.2问题的提出通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。
2010全国赛A题
12010高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目（请先阅读“全国大学生数学建模竞赛论文格式规范”）A 题 储油罐的变位识别与罐容表标定通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。
许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。
按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。
图1是一种典型的储油罐尺寸及形状示意图，其主体为圆柱体，两端为球冠体。
图2是其罐体纵向倾斜变位的示意图，图3是罐体横向偏转变位的截面示意图。
请你们用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。
（1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用如图4的小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为α=4.10的纵向变位两种情况做了实验，实验数据如附件1所示。
请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm 的罐容表标定值。
（2）对于图1所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度α和横向偏转角度β ）之间的一般关系。
请利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件2），根据你们所建立的数学模型确定变位参数， 并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm 的罐容表标定值。
进一步利用附件2中的实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性。
（先检测误差补偿的可靠性，然后进行计算0-10,10-20…..）附件1：小椭圆储油罐的实验数据附件2：实际储油罐的检测数据地平线 图1 储油罐正面示意图油位探针2误差补偿公式：油位探针地平线 图2 储油罐纵向倾斜变位后示意图(b) 小椭圆油罐截面示意图水平线1.2m(a) 小椭圆油罐正面示意图图4 小椭圆型油罐形状及尺寸示意图图3 储油罐截面示意图（b ）横向偏转倾斜后正截面图地平线油位探针（a ）无偏转倾斜的正截面图。
2010年数学建模试题(全部)
2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目（请先阅读“全国大学生数学建模竞赛论文格式规范”）A 题 储油罐的变位识别与罐容表标定通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。
许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。
按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。
图1是一种典型的储油罐尺寸及形状示意图，其主体为圆柱体，两端为球冠体。
图2是其罐体纵向倾斜变位的示意图，图3是罐体横向偏转变位的截面示意图。
请你们用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。
（1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用如图4的小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为α=4.10的纵向变位两种情况做了实验，实验数据如附件1所示。
请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm 的罐容表标定值。
（2）对于图1所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度α和横向偏转角度β ）之间的一般关系。
请利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件2），根据你们所建立的数学的罐地平线 图1 储油罐正面示意图 油位探针2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 （请先阅读“全国大学生数学建模竞赛论文格式规范”）B 题 2010年上海世博会影响力的定量评估 20101851年伦互联网数据，定量评估2010年上海世博会的影响力。
2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目（请先阅读“全国大学生数学建模竞赛论文格式规范”）C 题 输油管的布置某油田计划在铁路线一侧建造两家炼油厂，同时在铁路线上增建一个车站，用来运送成品油。
2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛论文
H R
S x
五、
模型的建立与求解
5.1. 问题一：研究罐体变位对罐容表的影响 1. 问题一模型的建立与求解 罐体变位对罐容表的影响可通过对比变位前后同一高度下容量的差异来研 究。因此须先得到罐体变位前后后罐内储油量与油位高度的关系式，该关系式可 以通过建立坐标进行积分得到。 1. 建立坐标系 在小椭圆油罐示意图中建立以油罐左下角为原点，罐底线为 x 轴，油罐截面 为 z-y 平面的空间坐标系，如下图所示：
二、 问题分析
罐容表是罐内油位高度与储油量的对应关系表， 它可以通过油量与油位高度 的数学表达式进行计算制定。 而表达式的具体形式与油罐的形状及油罐的位置有 关。对一般位置的油罐，油量的计算式中应包含油位高度及反映油罐位置信息的 参数。因此，为识别油罐是否变位，可以先建立油量与油位高度及位置参数的一 般数学表达式，然后利用实际检测的油量及油位高度的数据估计出位置参数，若 参数不为零，则罐体发生了变位，然后利用估计出的变位参数代入表达式中计算 标定罐容表。 油量与油位高度的关系式可以通过积分算得，但实际中油位计探针、出油管 和油浮子等浸没油中占据一定空间体积，会导致实测的油位高度比理论值大，反 之即是实测油位高度对应的油量比理论值小， 因此建立油量与油位高度的关系式 时须给理论的数学表达式加上一项修正项。 该修正项可以通过无变位时油量理论 值与附件中的实测值间的差值通过拟合得到。 对于问题一，为掌握变位对罐容表的影响，可以先得到变位前和变位后油量 与实测油位高度的关系式， 即都经过修正后的最终表达式， 然后绘制这两条曲线， 直观得到变位对罐容表的影响，并计算其相对误差，具体体现变位对罐容表的影 响程度。 对于问题二，油罐的形状较复杂，因此通过积分可能得不到油量与油位高度 及变位参数的具体解析式，对于该问题或许可以运用数值分析的方法，离散两个 变位参数，搜索出不同油位高度对应的计算值与实测值误差最小时的参数，这时 的参数即可作为罐体的变位参数。由于附件 2 中没给油罐内油量的初值，对此我
储油罐的变位识别和罐容表标定问题(2010年数学建模竞赛A题论文)
储油罐的变位识别和罐容表标定问题摘要储油罐使用一段时间后，由于地基变形等原因罐体发生纵向倾斜和横向偏转，导致罐容表发生改变，需要对其重新标定。
本文建立了积分模型和非线性回归模型，解决了储油罐的变位识别和罐容表标定问题。
为了得到罐体变位对灌容表的影响，首先通过积分得到储油量与油高之间的方程。
在求该关系过程中，先将有变位情况的油高转化为无变位的油高，通过求无变位状态下的储油量来求变位后的储油量，得到积分模型。
利用实验数据对模型进行检验，发现无变位状态下进出油时理论计算值与实测值的相对误差约为定值3.49%，而倾斜4.1°时相对误差随着油高的减小而增大，最大为5%，这是因为倾斜下油高较小时底部储油并不引起油浮子变化，从而导致相对误差大。
该误差可能来源于测量误差、温度等外界因素影响，而积分模型没有考虑这些因素，因此在函数关系的基础上建立非线性回归模型，用MATLAB7.1进行拟合得到回归方程，并进行系数的区间估计和残差检验，最大残差为6L，最大相对误差为3.06%。
因此，利用非线性回归模型按油高分三段得到油位高度间隔1cm的罐容表标定值。
问题二中考虑到纵、横变位对灌容表的影响是独立的，变位影响增量可叠加，得到无变位状态下的油高与变位后的油高及纵横变位参数之间的关系=。
先不考虑两端球冠，按照问题一的求解思路可得到中间柱体储(,,)H H hαβ油量与油高的关系。
然后对两端球冠单独积分，将得到的油量与柱体油量相加得到储油罐总油量方程(,,)=。
根据实际数据，采用非线性拟合，利用TaylorV V hαβ级数对复杂的函数关系式进行简化，从而实现对变位参数的点估计，得到的系数为变位参数的函数，反解即可得到变位参数值：α=2.57°，β=4.82°。
接着将变位参数反代回(,,)=得到变位情况下的罐容表函数，然后按间隔10cmV V hαβ的油高标定罐容表。
又对实际数据进行了多项式拟合，比较两种方式得到的函数值与实际值的残差分布情况，说明用积分模型标定罐容表的方法是可行的。
2010数学建模答案椭圆柱油罐标定问题
椭圆柱状油罐油量标定问题椭圆柱油罐在空间的位移可分解为平移和转动，而平移不影响油量标度，所以我们可以油罐的对称轴为Y 轴，探针为Z 轴建立固定在油罐上的直角坐标架，另一个坐标架是地面的直角坐标架，z 轴向上. 设坐标架都是右手系.先假设XYZ 坐标架与xyz 坐标架重合， 把XYZ 坐标架绕x 轴转动α角度，规定从正y 轴转向正z 轴角度为正. 称夹角α为纵向偏移角，[,]αππ∈-，得到的坐标架记为X Y Z '''坐标架， 则X Y Z '''坐标架中的点(X ,Y ,Z )'''与xyz 坐标架中的点(,,)x y z 的关系式为，100X 0cos sin Y 0sin cos Z x y z αααα'⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥'=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦再把（与X Y Z '''坐标架重合的）XYZ 坐标架绕Y '轴转动角度β得到的坐标架为最终的XYZ 坐标架，从Y '轴转到Z'轴方向为正，称夹角β为横向偏移角. 则X Y Z '''坐标架中的点(X ,Y ,Z )'''与XYZ 坐标架中的点(X,Y ,Z)的关系式为，X cos 0sin Y 010Z sin 0cos X Y Z ββββ'⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥'=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦因此xyz 坐标架中的点(x,y,z)与XYZ 坐标架中的点的关系为cos 0sin sin sin cos sin cos cos sin sin cos cos x X y Y z Z ββαβααβαβααβ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦ （1）其逆变换为cos sin sin cos sin 0cos sin sin sin cos cos cos X x Y y Z z βαβαβααβαβαβ-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦ （2）在探针与油面的交点0(0,0,)Z 处， 油面的纵坐标0cos cos z Z αβ=，因此油面在XYZ 坐标架上是平面方程0tan tan cos Z Z YX αββ=-+ （3） 油罐的截面是椭圆22220X Z a b +=， （4）油罐的Y 坐标满足: 12L Y L ≤≤，21L L L =-是油罐的长度, 油罐容积为L ab π， 作坐标系的伸缩变换 Z z b '=，X x a '=，Y y b'=，则椭圆（4）化为单位圆 221x z ''+= （5）油平面（3）化为tan tan cos a z z y x bαββ''''=-+，00Z z b '= （6） y '是常数的平面(6)与(5)的截面是一个弓形，圆心到弓形的弦（带有正负号的）距离为tan :z y h α''-=（7）弓形的面积为120,1,(,)arccos()11,, 1.h S y z h h y y y h π≤-⎧⎪⎪'''''=-+-<<<<⎨⎪≥⎪⎩所以椭圆柱油罐中油的体积212S(y ,z )d L L VOL aby '''''=⎰ （8）其中11L L b '=，22LL b '= 当0α=时0tiji (arccos()abL h h =-+，0:h =面积函数子程序mianji.mfunction S=mianji(yp,alpha,beta,z0p) a2b=1.4833333333333333; %a2b=a/b=8.9/6;h=(z0p-tan(alpha*pi/180)./cos(beta*pi/180).*yp)./sqrt(1+(a2b.*tan(beta*pi/180)).*2); h(h>1)=1; h(h<-1)=-1;S=acos(-h)+h.*sqrt((1-h).*(1+h));体积函数子程序tiji.mfunction V=tiji(alpha,beta,Z0)b=6; z0p=Z0/b; abb=320.4; L1=-4; L2=20.5; %abb=a*b^2,a=8.9L1p=L1/b;L2p=L2/b;V=abb*quadv(@(yp) mianji(yp,alpha,beta,z0p),L1p,L2p,1.e-15);拟合函数Nihefun.m (油面坐标为Z时与油面坐标为-6时油体积之差)function F=Nihefun(alpha,Z,beta)F=tiji(alpha,beta,Z)-tiji(alpha,beta, -6);拟合m-文件Nihefunexe.mbeta=0;x0=4; xdata=0.01; ydata=1744.81; LB=0; UB=8;options=optimset('TolX', 5.e-6, 'TolFun', 1.e-10);[alpha,RESNORM,RESIDUAL]=lsqcurvefit(@(alpha,Z)Nihefun(alpha,Z,beta),3,xdata,ydata, LB, UB,options)运行结果alpha=5.00000138493397； RESNORM=2.067951531382569e-025RESIDUAL=-4.547473508864641e-013舍入到6位有效数字得 alpha=5.00000度如果横向也有偏移，则还需一组数据才能确定横向偏移的余弦值，但不能确定偏移角是正还是负.对于一个单变量方程，也可以通过fzero求根函数来求alpha，先建立要求根的函数子程序function F=Qiugenfun(alpha,Z,beta)F=tiji(alpha,beta,Z)-tiji(alpha,beta,-6)-1744.81;求根m-文件Z=0.01, beta=0;options=optimset('TolX', 5.e-6, 'TolFun', 1.e-10);[alpha,fval]=fzero(@(alpha) Qiugenfun(alpha,Z,beta),[3,6],options)实验五对于实验四的椭圆柱状储油罐，当有横向偏移角beta>0及纵向偏移角alpha>0时，在标高刚好为0时加入1912.00升,标高为6.12分米;再加入1811.56升油时，标高为11.02分米，求alpha及beta（单位度）. 把结果舍入到6位有效数字.在实际问题中，往往多次测量每次加油量及标高的数据，我们可以累加加油量得到 [标高,累加加油量]的数据，如果任取两组数据进行拟合，我们会发现取不同的二组数据得到的偏移角是不严格相等的，这是由数值的舍入误差，计算机的表示误差，还有仪器的测量误差等等引起的，我们不知道用哪二组数据得到的结果是最接近正确值的，一般采取的方法是取一半数据进行拟合，得到的解是在最小二乘意义下的解，再拿另一半数据用作检验. 在拟合后，检查数据是否有异常，异常值是有各种差错产生的，一般要剔除异常值后再进行拟合才能得到接近实际的结果.注：虽然也可以得到积分(8)的显式表示（2010年cumcmA题的第二问的油体积也有显式表示），但表达式相当复杂，而且当α很小时，要进行特别的处理来避免数值精度的损失. 说明如下当tan0α≠时由（7）式d y h'=[arccos()d[arccos()h y h h'-+=-+⎰而[arccos()arccos()arccos()arccos()h h h h h hh hh h-+=-+-=-=-+⎰⎰现求积分的下限及上限，记011tan:z yhα''-=022tan:z yhα''-=，则21h h''-=（9）当α很小时很小，从而积分的值是两个相差很小的函数的差再除以一个小量，使得精度减少.为了避免这精度损失，我们可以改写22(2[3(1h h +--222122122222212[3(1[3(1)h h h h h h ----=+⎡⎤⎥=++⎥⎦然后用（9）式替换其中的量21h h - 对于另一项，可用221121212121212121212121arccos()arccos()()arccos()(arccos()arccos())()arccos()(arcsin()arcsin())()arccos()arcsin(()arccos()arcsinh h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h ---=--+---=--+-=--+=--+然后用（9）式替换其中的量21h h -，但仍然可能是两个异号的量相加. 总之，求出积分（8）的解析式是很复杂的而且由计算机算得的值不一定比数值积分更精确.。
数学建模2010A题
承诺书
我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则． 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮 件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问 题. 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的， 如果引用别人的成果或其 他公开的资料(包括网上查到的资料),必须按照规定的参考文献的表述方式在正 文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺,严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性.如有违反竞 赛规则的行为,我们将受到严肃处理。
许多储油罐在使用一段时间后,由于地基变形等原因,使罐体的位置会发生 纵向倾斜和横向偏转等变化(以下称为变位)，从而导致罐容表发生改变.按照有 关规定,需要定期对罐容表进行重新标定.图1是一种典型的储油罐尺寸及形状示 意图,其主体为圆柱体，两端为球冠体.图2是其罐体纵向倾斜变位的示意图，图 ３是罐体横向偏转变位的截面示意图。
我们参赛选择的题号是（从Ａ／Ｂ/C/D 中选择一项填写）：
A
ﻩ我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）:
所属学校（请填写完整的全名）：
南通大学
参赛队员 （打印并签名） ：1.
２.
3。
指导教师或指导教师组负责人 （打印并签名):
7月 7日
日期: 201６ 年
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）:
请你们用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。 （1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用如图4的小椭圆型储油罐（两 端平头的椭圆柱体）,分别对罐体无变位和倾斜角为 =4.10的纵向变位两种情况 做了实验，实验数据如附件1所示.请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影 响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。 (2)对于图1所示的实际储油罐,试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型, 即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度 和横向偏转角度 ）之 间的一般关系。请利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件２）, 根据你们所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为 10cｍ的罐容表标定值。进一步利用附件2中的实际检测数据来分析检验你们模型 的正确性与方法的可靠性。
数值积分与拟合求解油罐变位问题
承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
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如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：*******所属学校（请填写完整的全名）：*******参赛队员(打印并签名) ：1. *******2. *******3. *******指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：指导教师组日期： 2010 年 9 月 13 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：数值积分与拟合求解油罐变位问题摘要本文根据地下储油罐“油位计量管理系统”实验和实际检测的相关数据，在合理的假设下，针对要解决的问题，分别从主体为椭圆柱体、两端平头小椭圆型、纵向变位倾斜角为α=4.1°的储油罐，及主体为圆柱体、两端为球冠体、纵向倾斜角度α和横向偏转角度β的油罐两方面建立了重积分模型[1]、数值积分模型和最小二乘拟合[4]模型，并用Matlab和Mathematica编程求解，得到结果，较好地解决了罐体变位后对罐容表的影响及变位后罐容表标定值问题。
针对问题1，考虑到要研究罐体纵向倾斜α=4.1°后对罐容表的影响，和罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值，是典型的重积分求体积问题，因此，根据油罐形状，按不同的油面高度分三种情况,采用不同的方法建立积分模型，用Matlab编程进行积分求解，得出油罐容积随液面高度的变化情况及高度间隔为1cm的油罐罐容表标定值统计表。
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承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：云南大学滇池学院参赛队员(打印并签名) ：1. 文可鑫2. 李翔3. 何宝林指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：张懋洵日期： 2010 年 9 月 12 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：储油罐的变位识别与罐容表标定摘要本文研究的是储油罐的变位识别与罐容表标定问题，针对问题一和问题二所提的不同要求，分别建立了可靠、有效的数学模型。
针对问题一中的椭圆柱体形的储油罐纵向变位对H V -的影响，建立了两个模型来进行求解：模型一，针对题中给定的实验数据建立了数据拟合模型，比较直观的拟合了面的高度可以分为两种特殊情况即max H H =和0=H ，和另外三种一般情况得出H V -的关系()()()) 180 4.1 tan(l -h 2 tan ) 180 4.1 tan(l -h ) 180 4.1 (tan l)-(L 2 ) 180 4.1 tan(l)-(L H 0 2)( tan tan )( 0 2222 0 tan tan 0 2222tan 0 2222tan tan 0⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧**>--+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+**≤<**--**≤≤--=⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+-+-++-+L h H l z l H L z l H H l z l H H dydz b y b a a h H l ab H dydz b y b a a dydz b y b a a H V αααααααπαππππ并用附录给定数据和matlab 验证了该数学积分容积模型的正确性。
针对问题二中的典型储油罐的横纵变位对罐容表的影响，建立了积分容积模型。
我们对横向变位(α≠0,β=0)、纵向变位(α=0,β≠0)和横纵变位(α≠0,β≠0)三种情况分别进行研究，最终得到了三种情况α,β和罐容表之间的一般关系。
根据所建模型求解出了三种情况下α，β值分别为：(1)α=3.878;(2)β=7.920;(3)α= 2.762，β=5.390。
对于所建的模型，都有严谨的数学推导，并通过模型检验证明所建模型具有可靠性和准确性。
关键词：变位 积分 修正高度 运动合成模型一、问题重述通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。
许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。
按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。
图1是一种典型的储油罐尺寸及形状示意图，其主体为圆柱体，两端为球冠体。
图2是其罐体纵向倾斜变位的示意图，图3是罐体横向偏转变位的截面示意图。
请你们用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。
（1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用如图4的小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为α=4.10的纵向变位两种情况做了实验，实验数据如附件1所示。
请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。
（2）对于图1所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度α和横向偏转角度β）之间的一般关系。
请利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件2），根据你们所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。
进一步利用附件2中的实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性。
二、基本假设1、假设温度变化对实验数据没有影响。
2、假设罐体壁厚度不考虑。
3、由地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化，假设这个纵向倾斜和横向偏转角度都为小角度。
4、假设油浮子阻力可以忽略不计。
5、假设油浮子的体积大小忽略，将其认为为一个点。
三、符号说明H油浮子的高度V储油罐内的油量α纵向变位的角度β横向变位的角度L油罐的长度l 浮油子杆到油罐左端的距离 h 油罐的直径R 球冠体所在球的半径 r 油罐圆柱体的半径 a 椭圆油罐的长半轴 b 椭圆油罐的短半轴'H 油面修正高度四、 问题分析与建模4.1 数据预处理对于附件中的实验数据，由于在实验中存在读数、测量方法、仪器及电磁干扰等等因素产生的粗大误差和由固定不变的或者规律变化因素造成的系统误差。
对于存在的这两种误差，我们分采用了中位数检验法和马利科夫判据读数据作处理，筛选出真实有效的数据。
在附件一中，两组进油数据中都有底油，H 高度油罐中的油量为累加油量加上底油才是当前高度H 对应的油量V ，对两附件数据部分处理结果（见附录）。
4.2 问题一的分析与建模在问题一中用)(1H V 表示无变位的高度H 和油量V ，)(2H V 表示无变位的高度H 和油量V ，问题一中为了要掌握罐体变位后对罐容表的影响，必须要得到罐体无变位和倾斜后油量V 和高度H 的函数V 关系,因此根据附件数据，建立了模型一：数据拟合模型。
我们采用了对于该数据比较适合的拟合算法麦夸特(Levenberg-Marquardt) 和通用全局优化法,用1stOpt 进行拟合得到函数模型：油罐无变位时： 油罐无变位(1)2324.20003.00163.04695.03387.77590.625595.21402495.0)(273252231H H H H H H H H V *-*+*-*+*-*+*-=时：(2)109298.610600.2108963.3100158.3104300.100742.00872.0)(123310268206144822H H H H H H H V **-**+**-**+**-*+=-----由于用拟合方式只有在统计上具有说服力，要得到油量V 和高度H 更加准确和更加有说服力对应函数)(H F V =，根据题中给出的罐体的各种参数和对于这种规则但罐体倾斜的体积，我们采用了积分方法建模，得到了我们的模型二：积分容积模型。
4.2.1 问题一无变位情况 在这种情况下，利用积分求体积的方式很快就能够建立出无变位的数学模型—--积分容积模型（各参变量如图1所示）。
z图1 不变位情况图示具体方法如下：建立如图1所示的坐标系，在油罐液体中，沿着平行于xoy 平面的方向取出一个油液薄片，其体积L dS dV *=。
dS 为截面的面积，得到下面坐标系如图2的截面图：图 1 椭圆截面图示截面椭圆方程为1)(2222=-+bb y a x ，dy x dS **2= ，因此dy b y ba a dS *)(*22222--=，在将dS 沿y 轴从0到H 积分得到油的体积：()(3) 2)(0221⎰--=Hdy b y b baL H V 4.2.2 问题一变位情况经过分析在变位时存在两种特殊情况：第一种油面很低，由于变位油液始终在斜底部，以至于增加少量油液，油液高度H 始终为0；第二种情况当油面很高，高到油浮子到了杆的顶部，此后随着油液的增加油液高度始终保持最大值H 不变。
除这两种特殊情况外存在三种一般情况，求出了具体的H V -关系。
由于H 在不同的取值区间有不同函数以及被积区间，我们把积分过程分成以下情况。
情况一：液高度H 低于AB ，即︒*≤≤tan4.1l)-(L H 0时，根据几何关系，能够建立模型----积分容积模型（各参变量如图3所示）。
z图 2 变位情况一图示对于这种情况，建立如图3所示的坐标系，截面椭圆方程为1)(2222=-+b b y a x ，取出油液薄片，油液薄片投影如图4所示。
X图 3 变位情况一截面投影图示先对算出截面的面积dy b y ba a dy x ds *)(*2**22222--==，而对dS 积分的上限即y 的值与截面所取的位置有关即与z 有关，所以根据油高H 和α角建立关系求出上限值，上限值等于ααtan *tan *z l H -+，再将面积对z 积分，z 的上限值确定也与H 和α有关，为αtan Hl +，得出积分表达式如下：()(4) 2)(tan 02222tan tan 02dydz b y ba a H V H l z l H ⎰⎰+-+--=ααα情况二：液高度H 低于AB , 即︒︒*≤<*tan4.1l -h 4.1tan l)-(L H 时，能够建立模型----积分容积数学模型（各参变量如图5所示）。
z图 4 变位情况二图示对于此情况，建立如图5所示的坐标系，截面椭圆方程为1)(2222=-+bb y a x ，油液薄片如上图所示，仿照情况一的思路，我们得到这种情况下的积分式：()(5) 2)(0tan tan 022222⎰⎰-+--=Lz l H dydz b y ba a H V αα情况三：液高度H 低于AB ,即︒*>tan4.1l -h H 时，根据几何关系，能够建立模型----积分容积模型（各参变量如图6所示）。
z图 5 变位情况三图示对于这种情况，建立如图6所示的坐标系，截面椭圆方程为1)(2222=-+bb y a x ，油的体积可分成两部分，第一部分为规则的椭圆柱的体积，第二部分为一不规则体的体积。
对规则的椭圆柱求其体积，求出椭圆柱的高为αtan hH l -+，利用底乘以高得到)tan (*απhH l ab -+，从而得出第一部分的体积；对于第二部分，仍取油液薄片如图6所示，仍是算出薄片的微元体积再对其积分，为此先根据H 和α的关系确定出积分上下限，对面积积分即对y 积分时因为积分的高度与取油液薄片的位置（z的取值）、H 和α的值有关，所以根据H l z y =-+αtan *)(,求出y 的值即为对y 积分的上限，对z 积分时，下限的取值是椭圆柱的高到罐体长L 。