中考二次函数压轴题专题分类训练

（ 2）请你探索在第一象限内是否存在点 P，使得四边形 PCOB的面积等于 2b，且
△PBC是以点 P 为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点
P 的坐标；如
果不存在，请说明理由；
（ 3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点 Q，使得△ QCO，△ QOA和△ QAB中
的任意两个三角形均相似（全等可作相似的特殊情况）？如果存在，求出点
最多可平移多少个单位长度 ?
y
1
O1
x
3. 在平面直角坐标系内，反比例函数和二次函数 （ 1， k）和点 B（﹣ 1，﹣ k）．
y=k （x2+x﹣ 1）的图象交于点 A
（ 1）当 k=﹣ 2 时，求反比例函数的解析式；
（ 2）要使反比例函数和二次函数都是 y 随着 x 的增大而增大，求 k 应满足的条 件以及 x 的取值范围；
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P，使 S△PAB
图2
【变式练习】 1. 如图，在直角坐标系中，点 A 的坐标为 ( －2，0) ，连结 OA，将线段 OA绕原点 O顺时针旋转 120°，得到线段 OB． （ 1）求点 B 的坐标；
（ 2）求经过 A、O、 B三点的抛物线的解析式； （ 3）在（ 2）中抛物线的对称轴上是否存在点 C，使△ BOC的周长最小？若存在， 求出点 C的坐标；若不存在，请说明理由． （ 4）如果点 P 是（ 2）中的抛物线上的动点，且在 x 轴的下方，那么△ PAB是否 有最大面积？若有，求出此时 P 点的坐标及△ PAB的最大面积；若没有，请说明 理由．
【变式练习】 1. 如图，已知抛物线经过 A（4， 0）， B（ 1， 0），C（ 0， -2 ）三点． （ 1）求该抛物线的解析式；
（ 2）在直线 AC上方的该抛物线上是否存在一点 D，使得△ DCA的面积最大？若 存在，求出点 D的坐标及△ DCA面积的最大值；若不存在，请说明理由． （ 3） P 是直线 x=1 右侧的该抛物线上一动点，过 P 作 PM⊥ x 轴，垂足为 M，是否 存在 P 点，使得以 A、P、 M为顶点的三角形与 △ OAC相似？若存在，请求出符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．
题型四：构造相似三角形 【例 4】 如图，已知抛物线经过 A（﹣ 2， 0）， B（﹣ 3，3）及原点 O，顶点为 C． （ 1）求抛物线的解析式； （ 2）若点 D 在抛物线上， 点 E 在抛物线的对称轴上， 且 A、 O、D、E 为顶点的四边形是平行四边形，求点 D的坐标； （ 3） P 是抛物线上的第一象限内的动点，过点 P 作 PM⊥ x 轴，垂足为 M，是否存在点 P，使得以 P、M、A 为顶点的三角形△ BOC相似？若存 在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．
（ 1）求这条抛物线所对应的函数关系式；
（ 2）在抛物线的对称轴 x＝ 1 上求一点 M，使点 M到点 A 的距离与到点 C的距离 之和最小，并求此时点 M的坐标；
（ 3）设点 P 为抛物线的对称轴 x=1 上的一动点， 求使∠ PCB＝ 90o
的点 P的坐标．
E
【变式练习】 1．如图，抛物线 y= 与 y 轴交于点 C． （ 1）求点 A、 B 的坐标；
与 x 轴交于 A、 B 两点（点 A 在点 B 的左侧），
（ 2）设 D为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ ACD 的面积等于△ ACB的面 积时，求点 D 的坐标；
（ 3）若直线 l 过点 E（ 4， 0）， M为直线 l 上的动点，当以 A、 B、 M为顶点所作 的直角三角形有且只有三个时，求直线 l 的解析式．
2. 如图，二次函数的图象经过点 D(0， 7 3 ) ，且顶点百度文库C的横坐标为 4，该图象在
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x 轴上截得的线段 AB的长为 6. （ 1）求二次函数的解析式； （ 2）在该抛物线的对称轴上找一点 P，使 PA+PD最小，求出点 P 的坐标； （ 3）在抛物线上是否存在点 Q，使△ QAB与△ ABC相似？如果存在，求出点 Q的 坐标；如果不存在，请说明理由．
（ 3）在（ 2）的条件下，在 x 轴下方的抛物线上，是否存在点 E，使 ΔADE 的面积等于四边形 APCE的面积？如果存在，请求出点 E 的 坐标；如果不存在，请说明理由．
题型二：构造直角三角形 【例 2】 如图，已知抛物线 y＝ ax2+bx+c（ a≠ 0）的对称轴为 x＝1，且抛物线经 过 A（－ 1， 0）、C（ 0，－ 3）两点，与 x 轴交于另一点 B．
2. 如图，抛物线 y = ax2 + bx + 4 与 x 轴的两个交点分别为 A（－ 4， 0）、 B（ 2， 0），与 y 轴交于点 C，顶点为 D．E（1，2）为线段 BC的中点， BC的垂直平分线 与 x 轴、 y 轴分别交于 F、 G． （ 1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点 D的坐标； （ 2）在直线 EF上求一点 H，使△ CDH的周长最小，并求出最小周长； （ 3）若点 K 在 x 轴上方的抛物线上运动，当 K 运动到什么位置时， △ EFK的面积最大？并求出最大面积．
3．如图，已知：直线 y x 3 交 x 轴于点 A，交 y 轴于点 B，抛物线 y=ax2+bx+c 经过 A、 B、 C（ 1， 0）三点 .
（1）求抛物线的解析式 ;
（2）若点 D 的坐标为（ -1 ，0），在直线 y x 3 上有一点 P, 使 ΔABO与 ΔADP 相似，求出点 P 的坐标；
2. 在平面直角坐标系
xOy 中，已知抛物线
y= a( x
2
1)
c(a
0) 与 x 轴交于 A、B 两
点 ( 点 A 在点 B 的左侧 ) ，与 y 轴交于点 C，其顶点为 M,若直线 MC的函数表达式
为 y kx 3 , 与 x 轴的交点为 N，且 COS∠BCO＝ 3 10 。
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（ 1）求此抛物线的函数表达式；
其对称轴与直线 AB交于点 P，
（ 1）求抛物线的表达式；
（ 2）求∠ POC的正切值；
（ 3）点 M在 x 轴上，且△ ABM与△ APD相似，求点 M 的坐标。
3．如图，二次函数 y=ax2+bx+c 的图象交 x 轴于 A（﹣ 1， 0），B（ 2， 0），交 y 轴 于 C（0，﹣ 2），过 A， C画直线． （ 1）求二次函数的解析式； （ 2）点 P 在 x 轴正半轴上，且 PA=PC，求 OP的长；
Q的
坐标；如果不存在，请说明理由．
【变式练习】
1. 如图，平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A（2，3），线段 AB 垂直于 y 轴，垂足为
B ，将线段 AB 绕点 A 逆时针方向旋转 90°，点 B 落在点 C 处，直线 BC 与 x 轴的
交于点 D ．
y
B
（ 1）试求出点 D的坐标；
（ 2）试求经过 A 、 B 、 D 三点的抛物线的表达式，
(4,0) ，点 C的坐标为 (0， 2) ，直线 y
2 x 与边 BC相交于点 D．
3
（ 1）求点 D的坐标；
（ 2）抛物线 y ax 2 bx c 经过点 A、 D、O，求此抛物线的表 达式；
（ 3）在这个抛物线上是否存在点 M，使 O、D、A、 M为顶点的四边形是梯形？若 存在，请求出所有符合条件的点 M的坐标；若不存在，请说明理由．
题型一：面积问题
2017 中考二次函数压轴题专题分类训练
【例 1】 如图 2，抛物线顶点坐标为点 C(1 ，4) ，交 x 轴于点 A(3 ， 0) ，交 y 轴于 点 B.
（ 1）求抛物线和直线 AB的解析式；
（ 2）求△ CAB的铅垂高 CD及 S ； △ CAB
（ 3）设点 P 是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，是否存在一点 ＝ 9 S△CAB，若存在，求出 P 点的坐标；若不存在，请说明理由 .
（ 3）是否存在这样的 b，使得 VBOC 是以 BC 为斜边的直角三角形，若存在，求 出 b；若不存在，说明理由 .
y
C
E
BO
x
A
y
C
E
O
x
B
A
题型三：构造等腰三角形
【例 3】如图， 已知抛物线 y ax 2 bx 3（a≠ 0）与 x 轴交于点 A(1 ，0) 和点 B ( － 3，0) ，与 y 轴交于点 C．
【例 5】 如图，已知抛物线 y=错误！未找到引用源。 x2 - 错误！未找到引用源。 (b+1)x+ 错误！未找到引用源。 （ b 是实数且 b＞ 2）与 x 轴的正半轴分别交于点 A、 B（点 A 位于点 B 的左侧），与 y 轴的正半轴交于点 C．
（ 1）点 B 的坐标为 ，点 C 的坐标为 （用含 b 的代数式表示） ；
（ 2）在此抛物线上是否存在异于点 C 的点 P，使以 N、P、 C 为顶点的三角形是以 NC 为一条直角边的直角三角形？ 若存在，求出点 P 的坐标：若不存在，请说明理由；
（ 3）过点 A 作 x 轴的垂线，交直线 MC于点 Q.若将抛物线沿其对称轴上下平移， 使抛物线与线段 NQ总有公共点， 则抛物线向上最多可平移多少个单位长度 ?向下
（ 1）求抛物线的解析式；
（ 2）在 x 轴上是否存在一点 Q使得△ ACQ为等腰三角形？若存在， 请直接写出所 有符合条件的点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由；
（ 3）设抛物线的对称轴与 x 轴交于点 M ，问在对称轴上是否存在点 P，使△ CMP
为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点
（ 2）若点 P 为线段 OB上的一个动点 （不与点 O、B 重合）， 直线 PC与抛物线交于 D、E 两点（点 D 在 y 轴右侧），连 接 OD、 BD．
①当△ OPC为等腰三角形时，求点 P 的坐标； ②求△ BOD面积的最大值，并写出此时点 D的坐标．
2. 如图，抛物线 y
2
ax
5ax
4 经过 △ ABC 的三个顶点， 已知 BC ∥ x 轴，点 A 在 x
P 的坐标；若不存在，请
说明理由．
【变式练习】
1．如图， 在平面直角坐标系中， 点 A 的坐标为 （m，m），点 B 的坐标为 （ n，﹣ n）， 抛物线经过 A、O、B 三点， 连接 OA、OB、AB，线段 AB交 y 轴于点 C．已知实数 m、 n（m＜n）分别是方程 x2﹣ 2x﹣3=0 的两根． （ 1）求抛物线的解析式；
并写出其顶点 E 的坐标；
（ 3）在（ 2）中所求抛物线的对称轴上找点 F ，使得
以点 A 、 E 、 F 为顶点的三角形与△ ACD相似．
2．已知直线 y
1 x
1 与 x 轴交于点
A，与 y 轴交于点
B，将△ AOB绕点 O顺时针
2
旋转 90 ，使点 A 落在点 C，点 B 落在点 D，抛物线 y ax2 bx c 过点 A、 D、 C，
（ 3）设二次函数的图象的顶点为 Q，当△ ABQ是以 AB 为斜边的直角三角形时， 求 k 的值
4. 如图（ 1），抛物线 y x2 x 4与 y 轴交于点 A， E（ 0，b）为 y 轴上一动点， 过点 E的直线 y x b 与抛物线交于点 B、 C.
（ 1）求点 A 的坐标；
（ 2) 当 b=0 时（如图（ 2））， VABE 与 VACE 的面积大小关系如何？当 b 4 时，上 述关系还成立吗，为什么？
轴上，点 C在 y 轴上，且 AC=BC．
（ 1）写出 A,B,C 三点的坐标并求抛物线的解析式；
（ 2）探究：若点 P 是抛物线对称轴上且在 x 轴下方的动点，是否存在 △PAB 是等 腰三角形．若存在，求出所有符合条件的点 P 坐标；不存在，请说明理由．
3．已知抛物线 y ax2 bx c(a 0) 顶点为 C（ 1，1）且过原点 O. 过抛物线上一点 P（x，y）向直线 y 5 作垂线，垂足为 M，连 FM（如图） .
4
（ 1）求字母 a，b， c 的值；
（ 2）在直线
x＝ 1 上有一点
F
(1,
3 )
，求以
PM为底边的等腰三角形
PFM的 P 点的坐
4
标，并证明此时△ PFM为正三角形；
（ 3）对抛物线上任意一点 P，是否总存在一点 N（ 1，t ），使 PM＝ PN恒成立，若 存在请求出 t 值，若不存在请说明理由 .
（ 3）点 M在二次函数图象上，以 M为圆心的圆与直线 AC相切，切点为 H． ①若 M在 y 轴右侧，且△ CHM∽△ AOC（点 C与点 A对应），求点 M的坐标； ②若⊙ M的半径为 ，求点 M的坐标．
题型五：构造梯形
【例 6】 已知，矩形 OABC在平面直角坐标系中位置如图 1 所示，点 A 的坐标为