5-2(2) 开环系统的频率特性

分子分母同乘以 1
•
K [(an 1bm1 2 1) (bm1 an 1 )( j )] 2 [a n2 1 2 1] 2型系统， 2
K (an 1bm1 2 1) U ( ) 2 (an2 1 2 1)
1
2
1
3
2
所以，开环频率特性为：
G ( j ) A( ) e j ( ) G1 ( j ) G2 ( j ) G3 ( j )
A1 ( ) A2 ( ) A3 ( ) e j ( ) ( ) ( )
1 2 3
开环幅频特性 开环相频特性
第五章 线性系统的频域分析法
第二节 典型环节与开环系统的 频率特性
5-2-2 开环系统频率特性的绘制
项目 内 容
教 学 目 的 数坐标图的绘制方法。
掌握控制系统的概略极坐标图和渐近线形式的对
教 学 重 点 标图的绘制。
控制系统的概略极坐标图和渐近线形式的对数坐
教 学 难 点 渐近线形式的对数坐标图幅频特性的绘制。
i 1
n
对数幅频特性和相频特性都符合叠加原则。
K 例题2：设系统的开环传递函数 G( s) H ( s) sT1 s 1T2 s 1
（T1 ＞T2 ＞ 0，K ＞ 0），试绘制系统开环对数频率特性曲线。 解： 因为系统的开环频率特性为：G( j ) 1）对数幅频特性
K j ( jT1 1)( jT2 1)
0
lim G ( j ) K0

lim G ( j ) 0 180
曲线与坐标轴的交点
可由G（jω）=0分别求得曲线与实轴或虚轴的交点:（也可能不存在 交点，而有渐近线的情形，如本例和P201例5的情况）
G( j )
K K (1 jT1 )(1 jT2 ) ( jT1 1)( jT2 1) ( 2T1 2 1)( 2T22 1)
K (bm1 an 1 ) U ( ) 2 2 an 1 1
0 0
K (an 1bm1 2 1) V ( ) (a n2 1 2 1)
j ( 900 )
lim G ( j ) lim U ( ) j lim V ( ) K (bm1 an 1 ) j e
A() A1 () A2 () An
20lg A( ) 20lg A1 ( ) 20lg A2 ( ) 20lg An ( ) 20lg Ai ()
n i 1
( ) 1 ( ) 2 ( ) n ( ) n ( )
K[b0 ( j )m b1 ( j )m1 bm1 ( j ) 1] G( j ) ( j ) [a0 ( j)n a1 ( j)n 1 an 1 ( j) 1]
(2)高频段 (→∞，终点)
Kb0 ( j )m Kb0 1 1 Kb0 1 ( n m )900 nm nm lim G( j ) nm e n a0 j a0 ( j ) a0
0 0 0
K (bm1 an 1 ) V ( ) 2 2 an 1 1
j 00
lim G ( j ) lim U ( ) j lim V ( ) K j0 Ke
0
lim A( ) K
0
lim ( ) 0
G( j )
0
K [(an 1bm1 2 1) (bm1 an 1 )( j )] 2 2 ] 1 ( j) [ a n 1
0 • 0型系统，
K (an 1bm1 2 1) U ( ) 2 2 an 1 1
II型
j
III型
0 0型
根据零型系统的分析方法，可 以得到其它类型系统开环幅相特性 曲线大致如右图所示：
I型
各类型系统的幅相曲线
二、开环频率特性对数坐标图的绘制
1、从解析形式看对数坐标图的绘制
G ( j ) G1 ( j )G2 ( j ) Gn ( j ) A1 ( ) A2 ( ) An ( )e j[1 ( ) 2 ( )n ( )] A( )e j ( )
3.2 根据所得的幅值A()和相角()，算出系统 频率特性的实部U()和虚部V()，根据实部和虚部绘 制轨迹图(避免使用量角工具)。
• 优点：可以精确地绘制频率特性的极坐标图。 • 缺点：非常麻烦，工作量大，不实用。 开环极坐标图用于系统分析时，不需要精确 的图形，只需要绘制概略极坐标图。为了较快地 绘制极坐标图的大致形状，需研究根据开环频率 特性的解析式绘制极坐标图的一般规律和特点。
A( ) A1 ( ) A2 () An
( ) 1 ( ) 2 ( ) n ( )
系统频率特性的幅值为各组成环节幅值的乘积， 相位为各组成环节相位的和。
步骤:
1 、分别求出组成系统的各串联典型环节频率特 性的幅值和相角；
2 、按照“幅值相乘、相角相加”的原则算出与 选定的 相对应的开环系统频率特性的相角 ()和幅 值A() ； 3.1 按照所得相角和幅值绘制开环系统的极坐标 图(逐点描迹)。
此时 Re[G（jω）]= K ………………与实轴的交点（起点）
j
1 T1T2
故
0型系统开环幅相曲线为：
ω =∞
K（ω =0）
0
思路：寻求绘制概略幅相曲线的快捷方法
2、实用概略极坐标图的绘制 设系统开环频率特性为：
K[b0 ( j )m b1 ( j )m1 bm1 ( j ) 1] G( j ) ( j ) [a0 ( j)n a1 ( j)n 1 an 1 ( j) 1]
K L( ) 20 lg G ( j ) 20 lg j ( jT1 1)( jT2 1)
讨论：
(1)低频段(→0,起始点)
G( j )
0
K [bm1 ( j ) 1] ( j ) [an 1 ( j ) 1]
分子分母同乘以 1 an 11) (bm1 an 1 )( j )] 2 2 ( j ) [a n 1] 1
0
K (bm1 an 1 ) V ( ) 2 (an2 1 2 1)
K (bm1 an 1 )
lim U ( )
lim A( )
2
0
lim V ( )
0

0
lim ( ) 1800
G1 ( j ) K A1 ( ) e j ( ) 1 1 j ( ) j arctgT ) G2 ( j ) A2 ( ) e e jT1 1 (T1 ) 2 1 1 1 j arctgT ) G3 ( j ) A3 ( ) e j ( ) e jT2 1 (T2 ) 2 1
K [1 T1T2 2 j (T1 T2 )] ( 2T1 2 1)( 2T22 1)
令
Re[G（jω）]=0，即
1－T1 T2ω2=0
→
K T1T2 此时 Im[G ( j )] ………………与虚轴的交点 T1 T2 再令 Im[G（jω）]=0，即（T1+ T2）ω=0 有 ω=0
(bm1 an 1 ) (bm1 an 1 )
结论： 2 型系统的幅相曲线的低频段起始于负实 轴上的无穷远点。
同样的方法，可知：
3型系统的幅相曲线的低频段起始于正虚轴
上的无穷远点。
4型系统的幅相曲线的低频段起始于正实轴
上的无穷远点。
5型及5型以上系统很难稳定，需要改造。
讲授技巧及注 通过数学公式推导、详细给出绘制步骤进行分析。 意事项
一、开环频率特性的极坐标图的绘制
1、从解析形式看极坐标图的绘制
G ( j ) G1 ( j )G2 ( j ) Gn ( j ) A1 ( ) A2 ( ) An ( )e j[1 ( ) 2 ( )n ( )] A( )e j ( )
讨论：
n m 0 ,在物理上难以实现系统。
Kb0 Kb0 , j 0) 点。 n m, lim G( j ) ,终止于 ( a0 a0 n m 0, A() 0 () (n m)900
n m 0时, 幅相曲线的高频段最终趋于坐标原点 ,趋 于原点的方向与正、负虚半轴或正、负实半轴相切。
(3)中频段
方法：逐点描迹 选特殊点：与虚轴的交点、与实轴的交点、转折 频率点 开环频率特性的概略极坐标图的绘制一般至少要 求给出三个点的精确坐标：起点、终点、与负实轴的 交点，分别对应低频段、高频段和中频段的特殊点。
3、总结极坐标图的绘制
（1）开环幅相特性曲线的绘制方法 1）直接绘制法 计算出 ω∈[0,∞)所对应的 A(ω) 和 φ（ ω）的值，并绘制于 [s]平 面上即得到系统的开环幅相曲线。（如上例） 2）复数法 计算出ω∈[0,∞)所对应的Re[G(jω)]和Im[G(jω)]的值，并绘制于[s] 平面上即得到系统的开环幅相曲线。 3）计算机方法 （2）各类型系统开环幅相特性曲线
例题1：设某0型系统开环传递函数为 G( s) H ( s)
K T1s 1T2 s 1
（K、T1 、T2>0），试绘制系统的开环幅相曲线。（P198 例题1） 解 G（s）可以认为是由 K 、
1 1 、 三个典型环节串联组成。 T1 s 1 T2 s 1
即 G （ s） = G 1 （ s） · G 2 （ s） · G 3 （ s） 由于环节 G1（s）、G2（s）、G3（s）的频率特性分别为:
(T1 ) 2 1 (T2 ) 2 1 () G( j) 0 (arctgT1 ) (arctgT2 )
A( ) K
1

1
当K 、T1、 T2确定时，计算出ω：0→∞所对应的A(ω)和φ(ω)的值， 并绘制于[s]平面上即得到系统的开环幅相曲线。 曲线的起点 曲线的终点
0
0
lim A( )
0
lim ( ) 900
结论： 1 型系统的幅相曲线的低频段起始于负虚 轴上的无穷远点。
G( j )
0
K [(an 1bm1 2 1) (bm1 an 1 )( j )] 2 2 2 ( j) [a n 1] 1
结论： 0 型系统的幅相曲线的低频段起始于实轴 上的点(K,j0)。
G( j )
0
K [(an 1bm1 2 1) (bm1 an 1 )( j )] 2 2 j ( j ) [a n 1] 1
分子分母同乘以 j
•
K [(bm1 an 1 ) j (an 1bm1 2 1)] (a n2 1 2 1) 1型系统， 1