2017年中国数学奥林匹克希望联盟夏令营试题一试(三)

2017年中国数学奥林匹克希望联盟夏令营试题（三）

一试

一、填空题（本大题共8道小题，每小题8分）

1.各项均为正数的数列满足121n n a a +≥+，且对*N n ∈恒成立，则的取值范围

为 .

2.已知函数23()log cos()2

x f x x x π-=+-.若()10,()10f f αβ==-，则 . 3.已知双曲线的左、右焦点分别为，离心率为2.直线与双曲线交于点，与的内心分别为, 且. 则的值为

.

4.已知是定义在上的奇函数，当时，13

()|sin ||sin |2sin 22

f x x x ααα=+++-，

(,)αππ∈-.若对任意实数，都有，则的取值范围是 .

5.从集合{1,2,,105}中任取一个元素a ，使得260x ax a ++=只有整数解的概率为 .

6.三棱锥中，三个侧面与底面所成角相等，三个侧面的面积分别为3，4，5，且底面积为6，则三棱锥的外接球的表面积是 .

7.已知点(4,2)P ，过的直线与轴、轴正半轴分别交于、两点，为坐标原点，则周长的最小值为 .

8.高兴中学李老师为同学们购买纪念品，商店中有书签、明信片、笔记本、签字笔四种类型纪念品各10个（每种类型纪念品完全相同），李老师计划购买25个纪念品，且每种纪念品至少购买一个，则共有__________种不同的购买方案.（用数字作答）

二、解答题（本大题共3道小题，第9题16分，第10题20分，第11题20分）

9.若二次函数（）有零点，求的最大值.

10.已知椭圆的左、右焦点分别为，过点(1,0)的两条互相垂直的动直线的一{}n a 12+

221(,0)x y a b a b

-=>12(,0),(,0)F c F c -2()y x c =-,A B 12AF F ∆12BF F ∆12,I I 12I I =a )(x f R 0≤x x )2()(+≥x f x f αP ABC -P ABC -P l x y A B O AOB

∆2()f x ax bx c =++,,0a b c >min{,,}b c c a a b a b c

+++2

2:12

x y Γ+=21,F F

端分别交于两点．当向量与互相垂直时，求直线的斜率．

11.已知非零复数,x y 满足，求的值.

ΓQ P ,21PF PF +21QF QF +PQ 0)()(3222=-++-y x x y xy x y ∑∑==-290290

1818m n mn mn y x