各种湍流模式的比较与分析_张晓前1153373

各个参数为
,
5 9 3 9 , , 0.5, 0.5, Prt 0.9 40 100
边界条件
k=0和 =10 6 2 ห้องสมุดไป่ตู้ （y1）
y1为离开避免第一个点的距离。
单方程涡粘系数输运模式（一方 程模型）
标准 k - 模式是局部平衡模式，不能准确预测平均流
雷诺应力扩散项的模式：
扩散项包括3阶矩和压强—脉动速度关联，一般情况，
后者相对前者小得多，所以把其放在3阶项里一起处理。 扩散项通常采用梯度形式封闭，简单的模型采用各向 同性形式
( pui

jk
pu j

ik uiu juk
uiu j xk
仍具有涡粘模式的固有缺陷，如没有包括雷诺应力的 松弛效应等。同时，在平均切变流很大的流场内， k - 模式有可能不满足真实性条件。 最后，理论上 k - 模式是以湍动能生成和耗散相平衡 为基础的，在固壁处分子粘性扩散将在湍动能中起重 要作用，实际应用中我们使用壁函数而不是数值积分 对其处理。
S ij k 3 S ij 5 2 ( uk ) t xk
k3
此模式不仅仅是代数意义上的二次式，它包括了涡粘
系数的各向异性，历史效应以及平均涡量的影响。此 模式能够预测到方管湍流中的二次流，而标准 模式只 能预测到流向均匀的单向平均流动。
非线性 k - 模式较之标准 k - 模式有很大改进，但
Dij Eij
D ij和 E ij 。 待封闭项为 ij ，
2阶矩模式分别封闭扩散、耗散和压强速度梯度相关项。
雷诺应力再分配项的模式：
2 ij C1bij C2 kSij C3k (bik Sij b jk Sik bmn Smn ij ) C4 k (bik jk b jk kl ) ij 3

为流体密度， t为涡粘性，
t = k /
K和
的输运方程为
k k [ u j k ( t ) ] tij Sij k t x j x j
[ u j ( t ) ] tij Sij 2 t x j x j k
----张晓前 1153373 工程力学（创新试验区）
研究湍流的目的最终是为了预测和控制湍流。为了做到这



些必须了解湍流的本质。随着电子计算机的发展，利用数 值模拟方法研究湍流成了必不可少的方法。 如果从流动控制方程出发，进行最精细的数值模拟，称为 直接数值模拟（DNS，Direct Numerical Simulation）。 只需预测湍流的统计量时，从雷诺平均方程出发的模拟， 称为雷诺平均数值模拟（RANS，Reynolds Average Numerical Simulation）。 介于DNS和RANS之间的是大涡模拟（LES，Large Eddy Simulation）。LES的思想是大尺度脉动用数值方法计算， 小尺度脉动对大尺度的作用通过 模型假设处理。 以下我们主要讨论雷诺平均 数值模拟（RANS）的封闭模式。
不能反应雷诺应力沿流向的松弛效应；2 模式是各向同性 的，不能反应雷诺应力的各向异性，尤其是近壁湍流；3 不能反应平均涡量的影响。 为了克服 模式的缺点，发展了近代的非线性 模式。
非线性
k - 模式
我们把雷诺应力的泛函表达式近似为代数表达式，并
把他做Taylor展开，并保留到2阶项，得如下二次式:
壁面律的最大缺陷是难以推广到三维和复杂的湍流中，
如果网格分辨率足够，我们还可以对近壁 k - 模式修 正，称为低雷诺数模型。
k

模式（两方程模型2）
为湍动能比耗散率。此模式主要求解湍动能及它的
比耗散率的对流输运方程。 已经证明， k 两方程模式在粘性子层比 k - 模 式模式有更好的数值稳定性。同时由于 在壁面处 较大，此模式不需要显式的壁面衰减函数。 雷诺应力的涡粘性方程 tij 2t (Sij Snnij / 3) 2 kij / 3
模式。
代数涡粘模式的评价
计算量少，只要附加粘性模块就可以利用通常的N-S数值 计算程序，是最受工程师们欢迎的方法。没有普适性，适合 对特定的流动做各种修正。 结论：二维薄层湍流预测结果满意，三维复杂湍流基本 不能满意。
标准 k - 模式（两方程模型1）
由涡粘模式发展而来，把涡粘系数和湍动能及湍动能 耗散率联系在一起。 T C k 2 / ， C 为无量纲系数。
湍流模式的基本思想
在雷诺方程中建立雷诺应力 和平均运动场间的关系式，就可以
使雷诺方程封闭，此模式称为低阶矩模式。如果以雷诺方程和 雷诺应力输运方程联立作为湍流统计平衡的控制方程，这种模 式称为二阶矩模式。此外，依据封闭关系式的数学方程模式， 湍流模式又可分为代数模式或者微分模式。 湍流的直接数值模拟（DNS）不存在封闭性问题，原则上可以 求解所有湍流问题。由于计算机资源的限制，迄今为止DNS只 能求低雷诺数的湍流简单问题。雷诺统计平均模式（RANS）计 算速度快而且符合设计精度要求，成为目前工程应用的唯一方 法。 RANS的缺点是缺乏普适性，要使这种方法称为一种简单可靠的 方法还需要做很深入的工作。大涡数值模拟方法（LES）只对小 尺度脉动做封闭模型，因此可能有较宽的适应范围。
b为无量纲化的雷诺应力偏张量：
bij
模式常数由典型湍流的实验结果确定如下：
C1 3.6, C2 0.8, C3 0.6, C4 0.6
1 1 ( ui u j ui u j ij ) k 3
最后一项称为壁面项，只在极近壁处有较大贡献，通
常忽略或者合并到其他项。
k k Uj Pk Dk t x j
Uj P D E t x j
Dk xk
k ( T ) x k
k
P C 1 uiu j
Ui
x j
P k ui u j
涡粘模式的评价
涡粘模式在工程中应用比较方便，主要缺点是它的局
部性（Spalart模式除外）。如果从雷诺应力输运方程 出发，雷诺应力的历史效应就可以模拟，此封闭模式 成为二阶矩模式。
2阶矩模式的封闭式（RSM）
脉动速度2阶矩的目的就是封闭以下雷诺应力输运方程：
uiu j t
代数涡粘模式（零方程模型）
1 u u 2 S u i j T ij ij i ui 雷诺应力表达式 3
即bussinesqe涡团粘度模式。 Sij 为平均切变率张量。 目前在工程上广泛应用的代数涡粘模式是Baldwin-Lomax
雷诺应力耗散项的模式：
在湍流统计方程的封闭模式中，湍流输运的耗散模式
是最难建立的。耗散包括大涡耗散，小涡耗散，湍动 能耗散的扩散项，湍动能耗散的耗散项和湍动能耗散 的分子扩散项。目前常用各向同性的耗散模 2 型。 ij 3 ij 。这是不得已而为之，但是目前还未提 出工程中更实用、更好的耗散模式。
封闭模式方程的约束条件
脉动速度的高阶矩是张量，统计量之间是张量关系式。
张量关系的封闭式必须满足客观性原则：
张量函数的可表性原则
关于参照系统的不变性原则 真实性原则 渐近性原则
常用的一些封闭模式
2阶矩模式 涡粘模式 （也称为雷诺应力模式）
涡粘模式是工程中广 泛应用的模式，表达 式和分子粘性类似。 比涡粘模式多6个雷 诺应力的偏微分方程
2 k2 k3 1 ui u j k ij 2C Sij 1 2 ( Sik S kj S mn S mn ij ) 3 3
1 k3 2 2 ( ik kj mn mn ij ) 3 2 ( S ik kj S jk ik ) 3
l q为脉动速度的特征量， 为脉动长度尺度。 在 k - 模式中，k和 分别在他们的输运方程中解出。
湍动能消耗的机制十分复杂，对它的方程做逐项模化
3/ 2 ql , l k /,q k 上式依据是脉动动量输运的物理机制。 T

几乎是不可能的。现在采用的是基于类比方法，基本 思想是湍动能耗散的生成、扩散以及消失等项和湍动 能方程中的对应项有类似的机制和公式。其封闭的方 程如下：
建立湍流统计模式的一般原理
建立足够的雷诺应力方程组（代数、微分或一般泛函）使
得平均运动方程可解。 雷诺应力是平均速度场和初边值条件的泛函，待封闭项是 平均速度场、边界速度脉动和边界湍动能的泛函。而泛函 的具体形式很难用解析、实验或者直接数值模拟的方式确 定。因而湍流统计矩具有以下性质： 1、泛函表达式不是局部的 2、脉动场的泛函形式除了与平均速度场有关，还隐含流 场的几何边界。 综上所述，湍流脉动的统计矩中包含丰富的脉动场的性质， 但是他们不可能用解析方法表达出来。因而我们不得不做 各种假设，各个假设又有自己的适用范围。应用湍流模式 既需要理性又需要经验。
Ui x j
D xk
( / ) T xk
E C 2
2
k
模型方程的常数如下：
C 0.09, 1.3, C 1 1.45, C 2 1.90
关于标准 k - 模式的评价 主要缺点：1假定雷诺应力和当地的平均切应变成正比，
动有剧烈变化的湍流，如流线曲率突然变化、分离流 动以及有激波的可压缩湍流。既要保持涡粘模式的简 单形式，又要考虑雷诺应力的松弛效应，Spalart提出 了单方程涡粘系数模式。仍然采用涡粘形式的雷诺应 2 C k / ，而直接导出涡粘的输 力公式，但是放弃 T 运方程。对平均应变率表达式的平方求质点导数并代 入雷诺应力输运方程，再加上雷诺应力输运方程的封 闭模式，就能得到涡粘系数的封闭模式。常用的有 Baldwin-Barth（BB）模式和Spalart-Allmaras（SA） 模式。
待改进。 2阶矩模式的不足之处在近壁湍流，强旋转湍流中尤其 突出。
代数形式的2阶矩模式（ASM）
雷诺应力输运局部平衡假定：不计雷诺应力质点导数，
只有生成、耗散和再分配3项。Rodi提出代数应力模式 （ASM），忽略雷诺应力沿平均轨迹的变化和扩散， 得到雷诺应力的隐式代数方程。 Pij ij ij 0 代入各项得实用公式：
2 k 2 jk ik ij ) Cs ( ) 3 xi x j xk
考虑各向异性还有其他推广形式。 ij
是雷诺应力。
模式常数 Cs 0.11 。
2阶矩模式的评价
包括了雷诺应力的发展过程，能很好的预测复杂湍流。
近壁雷诺应力各向异性很强，各向同性的耗散模式有
uiuk
Uk
Cij
uiu j xk

U j xk
Ui p ui u j u j uk ( ) xk x j xi
ij
Pij

pu j uiu j u u j pui ( jk ik uiu juk ) 2 i xk xk xk xk