全等三角形 轴对称 勾股定理 中难度题型荟萃

全等三角形轴对称勾股定理中难度题型荟萃（强化训练）

3. 如图，在中，，A B= 6米，BC= 8米，动点P以2米/秒的速度

从A点出发，沿AC向点C移动，同时，动点Q以1米/秒的速度从C点出发，沿CB向点B移动．当其中有一点到达终点时，它们都停止移动．设移动的时间为秒．

的面积;

（1）①当t=2.5秒时，求

②求

（2）在P，Q移动的过程中，当

1. 将两个等边△ABC和△DEF（DE＞AB）如图所示摆放，点D是BC上一点（除B、C 外），把△DEF绕顶点D顺时针方向旋转一定的角度，使得边DE、DF与△ABC的边（边BC除外）分别相交于点M、N.

（1）∠BMD和∠CDN相等吗？

（2）画出使∠BMD和∠CDN相等得所有情况的图形;

（3）在（2）题中任选一种图形说明∠BMD和∠CDN相等的理由.

8. 如图，△ABC的边BC在直线上，AC⊥BC，且AC=BC，△DEF的边FE也在直线

上，边DF与边AC重合，且DF=EF．

（1）在图（1）中，请你通过观察、思考，猜想并写出AB与AE所满足的数量关系和位置关系；（不要求证明）

（2）将△DEF沿直线向左平移到图（2）的位置时，DE交AC于点G，连结AE，BG．猜想△BCG与△ACE能否通过旋转重合？请证明你的猜想．

10. 已知：在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝900，点D是AB的中点，点E是AB边上一点. （1）直线BF垂直于CE于点F，交CD于点G（如图①），求证：AE＝CG;

（2）直线AH垂直于CE于，垂足为H，交CD的延长线于点M（如图②），找出图中与BE相等的线段，并说明.

13. 将两块大小相同的含30°角的直角三角板（∠BAC＝∠B′A′C＝30°）按图①方式放置，固定三角板A′B′C，然后将三角板ABC绕直角顶点C顺时针方向旋转（旋转角小于90°）至图②所示的位置，AB与A′C交于点E，AC与A′B′交于点F，AB与A′B′相交于点O．

（1）求证：BCE≌B′CF;

（2）当旋转角等于30°时，AB与A′B′垂直吗？请说明理由

19. 如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC边上一点，∠B=30º，∠DAB=45º.

（1）求∠DAC的度数;（2）求证：DC=AB

20. 如图，矩形ABCD中，点P是线段AD上一动点，O为BD的中点，PO的延长线交BC于Q.

（1）求证：OP=OQ；

（2）若AD=8厘米，AB=6厘米，P从点A出发，以1厘米/秒的速度向D运动（不与D 重合）.设点P运动时间为t秒，请用t表示PD的长；并求t为何值时，四边形PBQD是菱形．

22. （1）如图①，在正方形ABCD中，△AEF的顶点E，F分别在BC，CD边上，高AG 与正方形的边长相等，求的度数．

（2）如图②，在Rt△ABD中，，，点M，N是BD边上的任意两点，且，将△ABM绕点A逆时针旋转至△ADH位置，连接，试判断MN，ND，DH之间的数量关系，并说明理由．

（3）在图①中，连接BD分别交AE，AF于点M，N，若，，，求AG，MN的长．

25. 在□ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F．

;

（1）在图1中证明

（2）若

，G是EF的中点（如图2），直接写出∠BDG的度数;

（3）若

，FG∥CE，，分别连结DB、DG（如图3），求∠BDG

的度数．

26. 如图，在△ABC，∠ACB=90°中，D是BC的中点，DE⊥BC，CE∥AD，若AC=2，CE=4，求四边形ACEB的周长．

28. 问题：已知△ABC中，∠BAC=2∠ACB，点D是△ABC内一点，且AD=CD，BD=BA.探究∠DBC与∠ABC度数的比值.

请你完成下列探究过程：

先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明.

（1）当∠BAC=90°时，依问题中的条件补全下图.

观察图形，AB与AC的数量关系为________________；

当推出∠DAC=15°时，可进一步推出∠DBC的度数为_________；

可得到∠DBC与∠ABC度数的比值为_______________.

（2）当∠BAC≠90°时，请你画出图形，研究∠DBC与∠ABC度数的比值是否与（1）中的结论相同，写出你的猜想并加以证明.

全部试题答案：

1. 解：（1）可能相等，也可能不相等.

（2）有四种情况，如下面四个图

（3）选④证明：

∵△ABC 和△DEF 均为等边三角形， ∴∠B=∠EDF=60°， ∴∠ADB+∠BMD=∠ADB+∠CDN=120°，

∴∠BMD=∠CDN

3. 解：在Rt △ABC 中，AB = 6米 ，BC = 8米 ∴AC = 10米

由题意得：AP =2t ，CQ =t 则PC =10-2t （1）①过点P 作PD ⊥BC 于D ，

∵t =2.5秒时，AP =2×2.5= 5米 ，QC = 2.5米

∴PD =

AB = 3米 ，∴S = = 3.75平方米 ;

②过点Q 作QE ⊥PC 于点E ，

易知Rt

∽

Rt ∴

，

∴S =

= (10-2t )

=

;

（2）当秒（此时PC=QC）,秒（此是PQ=QC）,或秒（此时PQ=PC）时，

为等腰三角形;

8. 解:(1)AB=AE, AB⊥AE

(2)将△BCG绕点C顺时针旋转90°后能与△ACE重合（或将△ACE绕点

C逆时针旋转90°后能与△BCG重合），理由如下：

∵AC⊥BC，DF⊥EF，B、F、C、E共线，∴∠ACB=∠ACE=∠DFE=90°又∵AC=BC，DF=EF，∴∠DFE=∠D=45°，

在△CEG中，∵∠ACE=90°，∴∠CGE=∠DEF=90°，

∴CG=CE，

在△BCG和△ACE中

∵

∴△BCG≌△ACE（SAS）

∴将△BCG绕点C顺时针旋转90°后能与△ACE重合（或将△ACE绕点C逆时针旋转90°后能与△BCG重合）.

10. 解：（1）证明：∵点D是AB中点，AC＝BC，∠ACB＝900

∴CD⊥AB，∠ACD＝∠BCD＝450 ∠CAD＝∠CBD＝450 ∴∠CAE＝∠BCG 又BF⊥CE，∴∠CBG＋∠BCG＝900

又∠ACE＋∠BCF＝900 ∴∠ACE＝∠C BG

∴△AEC≌△CGB ∴AE＝CG

（2）BE＝CM

证明：∵CH⊥HM，CD⊥ED ∴∠CMA＋∠MCH＝900 ∠BEC＋∠MCH＝900 ∴∠CMA＝∠BEC 又，AC＝BC，∠ACM＝∠CBE＝450