标准正态分布特征函数是--设----求
正态分布讲解[含标准表]
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2．4正态分布复习引入：总体密度曲线:样本容量越大，所分组数越多，各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率．设想样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线,这条曲线叫做总体密度曲线．总体密度曲线b单位O频率/组距a它反映了总体在各个范围内取值的概率．根据这条曲线，可求出总体在区间(a ，b )内取值的概率等于总体密度曲线，直线x =a ，x =b 及x 轴所围图形的面积．观察总体密度曲线的形状，它具有“两头低，中间高，左右对称”的特征，具有这种特征的总体密度曲线一般可用下面函数的图象来表示或近似表示：22()2,1(),(,)2x x ex μσμσϕπσ--=∈-∞+∞式中的实数μ、)0(>σσ是参数，分别表示总体的平均数与标准差，,()x μσϕ的图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线． 讲解新课：一般地，如果对于任何实数a b <，随机变量X 满足,()()baP a X B x dx μσϕ<≤=⎰,则称 X 的分布为正态分布（normal distribution ) ．正态分布完全由参数μ和σ确定，因此正态分布常记作),(2σμN ．如果随机变量 X 服从正态分布，则记为X ～),(2σμN .经验表明，一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布．例如，高尔顿板试验中，小球在下落过程中要与众多小木块发生碰撞，每次碰撞的结果使得小球随机地向左或向右下落，因此小球第1次与高尔顿板底部接触时的坐标 X 是众多随机碰撞的结果，所以它近似服从正态分布．在现实生活中，很多随机变量都服从或近似地服从正态分布．例如长度测量误差；某一地区同年龄人群的身高、体重、肺活量等；一定条件下生长的小麦的株高、穗长、单位面积产量等；正常生产条件下各种产品的质量指标（如零件的尺寸、纤维的纤度、电容器的电容量、电子管的使用寿命等）；某地每年七月份的平均气温、平均湿度、降雨量等；一般都服从正态分布．因此，正态分布广泛存在于自然现象、生产和生活实际之中．正态分布在概率和统计中占有重要的地位．说明:1参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本均值去佑计；σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本标准差去估计．2.早在 1733 年，法国数学家棣莫弗就用n ！的近似公式得到了正态分布．之后，德国数学家高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它，并研究了它的性质，因此，人们也称正态分布为高斯分布． 2．正态分布),(2σμN ）是由均值μ和标准差σ唯一决定的分布通过固定其中一个值，讨论均值与标准差对于正态曲线的影响3．通过对三组正态曲线分析，得出正态曲线具有的基本特征是两头底、中间高、左右对称正态曲线的作图，书中没有做要求，教师也不必补上曲线的图形，结合前面均值与标准差对图形的影响，引导学生观察总结正态曲线的性质4．正态曲线的性质：（1）曲线在x 轴的上方，与x 轴不相交（2）曲线关于直线x=μ对称（3）当x=μ时，曲线位于最高点（4）当x ＜μ时，曲线上升（增函数）；当x ＞μ时，曲线下降（减函数）边无限延伸时，以x 轴为渐近线，向它无限靠近（5）μ一定时，曲线的形状由σ确定σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散； σ越小．曲线越“瘦高”．总体分布越集中：五条性质中前三条学生较易掌握，后两条较难理解，因此在讲授时应运用数形结合的原则，采用对比教学5．标准正态曲线:当μ=0、σ=l 时，正态总体称为标准正态总体，其相应的函数表示式是2221)(x ex f -=π，（-∞＜x ＜+∞）其相应的曲线称为标准正态曲线标准正态总体N （0，1）在正态总体的研究中占有重要的地位 任何正态分布的概率问题均可转化成标准正态分布的概率问题讲解范例：例1．给出下列三个正态总体的函数表达式，请找出其均值μ和标准差σ（１）),(,21)(22+∞-∞∈=-x ex f x π（２）),(,221)(8)1(2+∞-∞∈=--x ex f x π（３）22(1)(),(,)x f x x -+=∈-∞+∞ 答案：(1)0，1；(2)1，2；(3)-1，0.5例2求标准正态总体在（-1，2）内取值的概率． 解：利用等式)()(12x x p Φ-Φ=有)([]}{11)2()1()2(--Φ--Φ=-Φ-Φ=p=1)1()2(-Φ+Φ=0.9772＋0.8413－1=0.8151．1.标准正态总体的概率问题:对于标准正态总体N （0，1），)(0x Φ是总体取值小于0x 的概率， 即 )()(00x x P x <=Φ，其中00>x ，图中阴影部分的面积表示为概率0()P x x <只要有标准正态分布表即可查表解决.从图中不难发现:当00<x 时，)(1)(00x x -Φ-=Φ；而当00=x 时，Φ（0）=0.52.标准正态分布表 标准正态总体)1,0(N 在正态总体的研究中有非常重要的地位，为此专门制作了“标准正态分布表”．在这个表中，对应于x 的值)(0x Φ是指总体取值小于x 的概率，即)()(00x x P x <=Φ，)0(0≥x ．若00<x ，则)(1)(00x x -Φ-=Φ．利用标准正态分布表，可以求出标准正态总体在任意区间),(21x x 内取值的概率，即直线1x x =，2x x =与正态曲线、x 轴所围成的曲边梯形的面积1221()()()P x x x x x <<=Φ-Φ．3．非标准正态总体在某区间内取值的概率:可以通过)()(σμ-Φ=x x F 转化成标准正态总体，然后查标准正态分布表即可 在这里重点掌握如何转化首先要掌握正态总体的均值和标准差，然后进行相应的转化4.小概率事件的含义发生概率一般不超过5％的事件，即事件在一次试验中几乎不可能发生假设检验方法的基本思想:首先，假设总体应是或近似为正态总体，然后，依照小概率事件几乎不可能在一次试验中发生的原理对试验结果进行分析假设检验方法的操作程序，即“三步曲”一是提出统计假设，教科书中的统计假设总体是正态总体；二是确定一次试验中的a 值是否落入(μ-3σ，μ+3σ)； 三是作出判断讲解范例：例1. 若x ～N (0,1),求(l)P (-2.32<x <1.2)；(2)P (x >2). 解：(1)P (-2.32<x <1.2)=Φ(1.2)-Φ(-2.32)=Φ(1.2)-[1-Φ(2.32)]=0.8849-(1-0.9898)=0.8747. (2)P (x >2)=1-P (x <2)=1-Φ(2)=l-0.9772=0.0228.例2．利用标准正态分布表，求标准正态总体在下面区间取值的概率： (1)在N(1,4)下，求)3(F（2）在N （μ，σ2）下，求Ｆ（μ－σ，μ＋σ）； Ｆ（μ－1.84σ，μ＋1.84σ）；Ｆ（μ－2σ，μ＋2σ）； Ｆ（μ－3σ，μ＋3σ）解：（１）)3(F ＝)213(-Φ＝Φ（1）＝0.8413 （２）Ｆ（μ＋σ）＝)(σμσμ-+Φ＝Φ（1）＝0.8413Ｆ（μ－σ）＝)(σμσμ--Φ＝Φ（－1）＝１－Φ（1）＝１－0.8413＝0.1587Ｆ（μ－σ，μ＋σ）＝Ｆ（μ＋σ）－Ｆ（μ－σ）＝0.8413－0.1587＝0.6826 Ｆ（μ－1.84σ，μ＋1.84σ）＝Ｆ（μ＋1.84σ）－Ｆ（μ－1.84σ）＝0.9342 Ｆ（μ－2σ，μ＋2σ）＝Ｆ（μ＋2σ）－Ｆ（μ－2σ）＝0.954 Ｆ（μ－3σ，μ＋3σ）＝Ｆ（μ＋3σ）－Ｆ（μ－3σ）＝0.997 对于正态总体),(2σμN 取值的概率：在区间（μ-σ，μ+σ）、（μ-2σ，μ+2σ）、（μ-3σ，μ+3σ）内取值的概率分别为68.3%、95.4%、99.7% 因此我们时常只在区间（μ-3σ，μ+3σ）内研究正态总体分布情况，而忽略其中很小的一部分例3．某正态总体函数的概率密度函数是偶函数，而且该函数的最大值为π21，求总体落入区间（－1.2，0.2）之间的概率解：正态分布的概率密度函数是),(,21)(222)(+∞-∞∈=--x ex f x σμσπ，它是偶函数，说明μ＝0，)(x f 的最大值为)(μf ＝σπ21，所以σ＝1，这个正态分布就是标准正态分布( 1.20.2)(0.2)( 1.2)(0.2)[1(1.2)](0.2)(1.2)1P x -<<=Φ-Φ-=Φ--Φ=Φ+Φ-教学反思：1．在实际遇到的许多随机现象都服从或近似服从正态分布大时，频率分布直方图就无限接近于一条总体密度曲线，总体密度曲线较科学地反映了总体分布密度曲线的相关知识较为抽象，学生不易理解，因此在总体分布研究中我们选择正态分布作为研究的突破口正态分布在统计学中是最基本、最重要的一种分布2．正态分布是可以用函数形式来表述的 其密度函数可写成：22()2(),(,)x f x x μσ--=∈-∞+∞， （σ＞0）由此可见，正态分布是由它的平均数μ和标准差σ唯一决定的 常把它记为),(2σμN3．从形态上看，正态分布是一条单峰、对称呈钟形的曲线，其对称轴为x=μ，并在x=μ时取最大值从x=μ点开始，曲线向正负两个方向递减延伸，不断逼近x 轴，但永不与x 轴相交，因此说曲线在正负两个方向都是以x 轴为渐近线的4．通过三组正态分布的曲线，可知正态曲线具有两头低、中间高、左右对称的基本特征。
标准正态分布的密度函数
标准正态分布的密度函数标准正态分布是统计学中非常重要的一种概率分布，它在许多领域都有着广泛的应用。
在实际应用中，我们经常会遇到标准正态分布的密度函数，本文将对标准正态分布的密度函数进行详细的介绍和解释。
首先，我们来了解一下标准正态分布。
标准正态分布又称为正态分布，是一种连续型的概率分布，其概率密度函数呈钟形曲线，左右对称，均值为0，标准差为1。
标准正态分布的密度函数可以用数学公式来表示：\[f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}\]其中，\(e\) 是自然对数的底，\(π\) 是圆周率，\(x\) 是随机变量的取值。
在这个公式中，\(e^{-\frac{x^2}{2}}\) 是标准正态分布的核心部分，它决定了随机变量取某个值的概率大小。
当\(x=0\)时，\(e^{-\frac{x^2}{2}}=1\)，因此当随机变量取到均值时，概率密度函数达到最大值。
随着\(x\)的增大或减小，\(e^{-\frac{x^2}{2}}\)的值逐渐减小，因此随机变量偏离均值时，概率密度函数逐渐减小。
另外，公式中的\(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\)是为了保证概率密度函数的总面积为1。
这是因为概率密度函数下的面积代表了随机变量取值的总概率，而总概率应该为1。
标准正态分布的密度函数呈现出钟形曲线的特点，左右对称，均值为0。
这意味着，在标准正态分布中，随机变量取到均值附近的概率较大，而远离均值的概率较小。
这也符合现实生活中许多现象的分布规律，比如身高、体重等数据的分布往往符合正态分布。
标准正态分布的密度函数在统计学和概率论中有着广泛的应用。
在假设检验、置信区间估计、回归分析等统计推断的方法中，标准正态分布都扮演着重要的角色。
研究人员可以利用标准正态分布的性质，对样本数据进行分析和推断，从而得出科学、客观的结论。
除了在统计学中的应用，标准正态分布的密度函数在工程、经济学、自然科学等领域也有着重要的作用。
标准正态分布的特征函数
标准正态分布的特征函数标准正态分布是统计学中非常重要的一种连续概率分布，它在自然科学、社会科学以及工程技术领域都有着广泛的应用。
而要深入理解标准正态分布，就需要了解其特征函数。
本文将对标准正态分布的特征函数进行详细的介绍，帮助读者更好地理解这一概念。
首先，我们来了解一下标准正态分布。
标准正态分布又称为正态分布或高斯分布，是以数学家高斯命名的一种连续概率分布。
其概率密度函数为：\[f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}}\]其中，\(e\) 是自然对数的底，\(\pi\) 是圆周率。
标准正态分布的均值为0，标准差为1，其密度函数呈钟形曲线，左右对称，中心峰较高，两侧逐渐减小，且永远不会 beri为负值。
接下来，我们来讨论标准正态分布的特征函数。
特征函数是概率论中一个非常重要的概念，它可以完全描述一个随机变量的分布特性。
对于随机变量\(X\)，其特征函数定义为：\[\phi(t) = E(e^{itX})\]其中，\(i\) 是虚数单位，\(t\) 是任意实数。
特征函数的存在性是由狄利克雷收敛定理保证的，即对于任意\(t\)，特征函数都是存在的。
对于标准正态分布，其特征函数可以表示为：\[\phi(t) = e^{-\frac{t^2}{2}}\]特征函数的性质有很多，下面我们来介绍几条与标准正态分布相关的性质。
首先，特征函数的实部是一个偶函数，虚部是一个奇函数。
其次，特征函数的绝对值总是不超过1的。
最后，特征函数在原点处的值为1。
特征函数在统计学中有着广泛的应用。
通过特征函数，我们可以方便地求得随机变量的各阶矩。
特征函数还可以用于证明中心极限定理，这是概率论中一个非常重要的定理，指出在适当的条件下，大量独立随机变量的均值的分布会趋近于正态分布。
除此之外，特征函数还可以用于刻画随机变量之间的独立性。
对于独立随机变量，其特征函数的乘积等于它们各自特征函数的乘积。
正态分布讲解(含标准表)
2．4正态分布复习引入：总体密度曲线:样本容量越大，所分组数越多，各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率．设想样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线,这条曲线叫做总体密度曲线． 总体密度曲线b 单位O 频率/组距a它反映了总体在各个范围内取值的概率．根据这条曲线，可求出总体在区间(a ，b )内取值的概率等于总体密度曲线，直线x =a ，x =b 及x 轴所围图形的面积．观察总体密度曲线的形状，它具有“两头低，中间高，左右对称”的特征，具有这种特征的总体密度曲线一般可用下面函数的图象来表示或近似表示：22()2,1(),(,)2x x e x μσμσϕπσ--=∈-∞+∞ 式中的实数μ、)0(>σσ是参数，分别表示总体的平均数与标准差，,()x μσϕ的图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线．讲解新课：一般地，如果对于任何实数a b <，随机变量X 满足,()()b aP a X B x dx μσϕ<≤=⎰, 则称 X 的分布为正态分布（normal distribution ) ．正态分布完全由参数μ和σ确定，因此正态分布常记作),(2σμN ．如果随机变量 X 服从正态分布，则记为X ～),(2σμN .经验表明，一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布．例如，高尔顿板试验中，小球在下落过程中要与众多小木块发生碰撞，每次碰撞的结果使得小球随机地向左或向右下落，因此小球第1次与高尔顿板底部接触时的坐标 X 是众多随机碰撞的结果，所以它近似服从正态分布．在现实生活中，很多随机变量都服从或近似地服从正态分布．例如长度测量误差；某一地区同年龄人群的身高、体重、肺活量等；一定条件下生长的小麦的株高、穗长、单位面积产量等；正常生产条件下各种产品的质量指标（如零件的尺寸、纤维的纤度、电容器的电容量、电子管的使用寿命等）；某地每年七月份的平均气温、平均湿度、降雨量等；一般都服从正态分布．因此，正态分布广泛存在于自然现象、生产和生活实际之中．正态分布在概率和统计中占有重要的地位．说明:1参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本均值去佑计；σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本标准差去估计．2.早在 1733 年，法国数学家棣莫弗就用n ！的近似公式得到了正态分布．之后，德国数学家高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它，并研究了它的性质，因此，人们也称正态分布为高斯分布．2．正态分布),(2σμN ）是由均值μ和标准差σ唯一决定的分布 通过固定其中一个值，讨论均值与标准差对于正态曲线的影响3．通过对三组正态曲线分析，得出正态曲线具有的基本特征是两头底、中间高、左右对称 正态曲线的作图，书中没有做要求，教师也不必补上 讲课时教师可以应用几何画板，形象、美观地画出三条正态曲线的图形，结合前面均值与标准差对图形的影响，引导学生观察总结正态曲线的性质4．正态曲线的性质：（1）曲线在x 轴的上方，与x 轴不相交（2）曲线关于直线x=μ对称（3）当x=μ时，曲线位于最高点（4）当x ＜μ时，曲线上升（增函数）；当x ＞μ时，曲线下降（减函数） 并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x 轴为渐近线，向它无限靠近（5）μ一定时，曲线的形状由σ确定σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；σ越小．曲线越“瘦高”．总体分布越集中：五条性质中前三条学生较易掌握，后两条较难理解，因此在讲授时应运用数形结合的原则，采用对比教学5．标准正态曲线:当μ=0、σ=l 时，正态总体称为标准正态总体，其相应的函数表示式是2221)(x e x f -=π，（-∞＜x ＜+∞）其相应的曲线称为标准正态曲线标准正态总体N （0，1）在正态总体的研究中占有重要的地位 任何正态分布的概率问题均可转化成标准正态分布的概率问题讲解范例：例1．给出下列三个正态总体的函数表达式，请找出其均值μ和标准差σ （１）),(,21)(22+∞-∞∈=-x e x f x π（２）),(,221)(8)1(2+∞-∞∈=--x e x f x π （３）22(1)2(),(,)2x f x e x π-+=∈-∞+∞ 答案：(1)0，1；(2)1，2；(3)-1，0.5例2求标准正态总体在（-1，2）内取值的概率．解：利用等式)()(12x x p Φ-Φ=有)([]}{11)2()1()2(--Φ--Φ=-Φ-Φ=p=1)1()2(-Φ+Φ=0.9772＋0.8413－1=0.8151．1.标准正态总体的概率问题: xy对于标准正态总体N （0，1），)(0x Φ是总体取值小于0x 的概率，即 )()(00x x P x <=Φ， 其中00>x ，图中阴影部分的面积表示为概率0()P x x < 只要有标准正态分布表即可查表解决.从图中不难发现:当00<x 时，)(1)(00x x -Φ-=Φ；而当00=x 时，Φ（0）=0.5 2.标准正态分布表标准正态总体)1,0(N 在正态总体的研究中有非常重要的地位，为此专门制作了“标准正态分布表”．在这个表中，对应于0x 的值)(0x Φ是指总体取值小于0x 的概率，即)()(00x x P x <=Φ，)0(0≥x ．若00<x ，则)(1)(00x x -Φ-=Φ．利用标准正态分布表，可以求出标准正态总体在任意区间),(21x x 内取值的概率，即直线1x x =，2x x =与正态曲线、x 轴所围成的曲边梯形的面积1221()()()P x x x x x <<=Φ-Φ． 3．非标准正态总体在某区间内取值的概率:可以通过)()(σμ-Φ=x x F 转化成标准正态总体，然后查标准正态分布表即可 在这里重点掌握如何转化 首先要掌握正态总体的均值和标准差，然后进行相应的转化4.小概率事件的含义发生概率一般不超过5％的事件，即事件在一次试验中几乎不可能发生假设检验方法的基本思想:首先，假设总体应是或近似为正态总体，然后，依照小概率事件几乎不可能在一次试验中发生的原理对试验结果进行分析假设检验方法的操作程序，即“三步曲”一是提出统计假设，教科书中的统计假设总体是正态总体；二是确定一次试验中的a 值是否落入(μ-3σ，μ+3σ)；三是作出判断讲解范例：例1. 若x ～N (0,1),求(l)P (-2.32<x <1.2)；(2)P (x >2).解：(1)P (-2.32<x <1.2)=Φ(1.2)-Φ(-2.32)=Φ(1.2)-[1-Φ(2.32)]=0.8849-(1-0.9898)=0.8747.(2)P (x >2)=1-P (x <2)=1-Φ(2)=l-0.9772=0.0228.例2．利用标准正态分布表，求标准正态总体在下面区间取值的概率：(1)在N(1,4)下，求)3(F（2）在N （μ，σ2）下，求Ｆ（μ－σ，μ＋σ）；Ｆ（μ－1.84σ，μ＋1.84σ）；Ｆ（μ－2σ，μ＋2σ）；Ｆ（μ－3σ，μ＋3σ） 解：（１）)3(F ＝)213(-Φ＝Φ（1）＝0.8413 （２）Ｆ（μ＋σ）＝)(σμσμ-+Φ＝Φ（1）＝0.8413 Ｆ（μ－σ）＝)(σμσμ--Φ＝Φ（－1）＝１－Φ（1）＝１－0.8413＝0.1587 Ｆ（μ－σ，μ＋σ）＝Ｆ（μ＋σ）－Ｆ（μ－σ）＝0.8413－0.1587＝0.6826Ｆ（μ－1.84σ，μ＋1.84σ）＝Ｆ（μ＋1.84σ）－Ｆ（μ－1.84σ）＝0.9342Ｆ（μ－2σ，μ＋2σ）＝Ｆ（μ＋2σ）－Ｆ（μ－2σ）＝0.954Ｆ（μ－3σ，μ＋3σ）＝Ｆ（μ＋3σ）－Ｆ（μ－3σ）＝0.997对于正态总体),(2σμN 取值的概率：68.3%2σx 95.4%4σx 99.7%6σx在区间（μ-σ，μ+σ）、（μ-2σ，μ+2σ）、（μ-3σ，μ+3σ）内取值的概率分别为68.3%、95.4%、99.7% 因此我们时常只在区间（μ-3σ，μ+3σ）内研究正态总体分布情况，而忽略其中很小的一部分 例3．某正态总体函数的概率密度函数是偶函数，而且该函数的最大值为π21，求总体落入区间（－1.2，0.2）之间的概率解：正态分布的概率密度函数是),(,21)(222)(+∞-∞∈=--x e x f x σμσπ，它是偶函数，说明μ＝0，)(x f 的最大值为)(μf ＝σπ21，所以σ＝1，这个正态分布就是标准正态分布( 1.20.2)(0.2)( 1.2)(0.2)[1(1.2)](0.2)(1.2)1P x -<<=Φ-Φ-=Φ--Φ=Φ+Φ- 教学反思：1．在实际遇到的许多随机现象都服从或近似服从正态分布 在上一节课我们研究了当样本容量无限增大时，频率分布直方图就无限接近于一条总体密度曲线，总体密度曲线较科学地反映了总体分布 但总体密度曲线的相关知识较为抽象，学生不易理解，因此在总体分布研究中我们选择正态分布作为研究的突破口 正态分布在统计学中是最基本、最重要的一种分布 2．正态分布是可以用函数形式来表述的 其密度函数可写成：22()21(),(,)2x f x e x μσπσ--=∈-∞+∞， （σ＞0）由此可见，正态分布是由它的平均数μ和标准差σ唯一决定的 常把它记为),(2σμN 3．从形态上看，正态分布是一条单峰、对称呈钟形的曲线，其对称轴为x=μ，并在x=μ时取最大值 从x=μ点开始，曲线向正负两个方向递减延伸，不断逼近x 轴，但永不与x 轴相交，因此说曲线在正负两个方向都是以x 轴为渐近线的4．通过三组正态分布的曲线，可知正态曲线具有两头低、中间高、左右对称的基本特征。
正态分布概念
(3)对称性：正态曲线关于直线 x=μ对称， 曲线成“钟形”． (4)单调性：在直线 x=μ的左边, 曲线是上升的; 在直线 x=μ的右边, 曲线是下降的.
1 (5)最值性:当 x=μ时, f , ( x )取得最大值 2
σ越大，曲线越“矮胖”,表示总体的分布越 分散;反之σ越小,曲线越“瘦高”,表示总体 的分布越集中． (6) 几 何 性 : 参 数 μ 和 σ 的统计意义:E(x)=μ,曲 线的位置由μ决定 ;D(x)=σ2, 曲 线 的 形 状 由σ决定.
1．正态分布
x－μ2 1 正态分布的分布密度函数为：f(x)＝ e － 2σ2 ，x σ 2π
∈(－∞， ＋∞)， 其中 μ 表示 均值， σ2(σ>0)表示 方差 ． 通 常用 X～N(μ，σ2)表示 X 服从参数为 μ 和 σ2 的正态分布． 2．正态分布密度函数满足以下性质 (1)函数图像关于直线 x＝μ 对称． (2)σ(σ＞0)的大小决定函数图像的 “胖”“瘦” ．
[一点通]
对于正态分布N(μ，σ2)，由x＝μ是正态曲
线的对称轴知， (1)对任意的a，有P(X＜μ－a)＝P(X＞μ＋a)； (2)P(X＜x0)＝1－P(X≥x0)； (3)P(a＜X＜b)＝P(X＜b)－P(X≤a)．
1．已知随机变量 X 服从正态分布 N(4，σ2)，则 P(X ＞4)= 1 A.5 1 C.3 1 B.4 1 D.2 ( )
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求特征函数的公式
求特征函数的公式特征函数是概率论中的一个重要概念，它是随机变量的一种表现形式。
特征函数能够描述随机变量不同的特性和属性，同时也是各种数学方法和统计学方法的基础。
在进行随机变量的分析和求解时，往往需要先求出其特征函数，根据特征函数来推导随机变量的概率分布函数、矩等基本性质。
因此，本文将详细介绍求特征函数的公式和相关知识。
一、什么是特征函数？特征函数是一种与随机变量（或者随机向量）相关的函数，它能够完整地描述该随机变量的全部性质和特征。
特征函数是唯一的，具有一致性、可加性、正定性、连续性等性质。
特别是对于连续性随机变量，它的特征函数具有很好的解析性质。
因此，特征函数被广泛应用于概率论、数学统计、信号处理、图像处理等领域。
特征函数是一个复值函数，定义为：$$\varphi_X(t)=\mathrm{E}\left(e^{itX}\right)$$ 其中，$t$是实数、$i$是虚数单位(即$i^2=-1)$，$X$是一个随机变量。
特征函数的实部和虚部分别对应着随机变量的余弦变换和正弦变换的性质。
如果随机变量$X$的概率密度函数为$f_X(x)$，那么特征函数可以用$f_X(x)$来表示：$$\varphi_X(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}e^{itx}f_X(x)dx$$二、特征函数的性质1、一致性如果两个随机变量$X$和$Y$有相同的分布，则它们的特征函数是相同的，即$\varphi_X(t)=\varphi_Y(t)$。
2、可加性如果$X$和$Y$是两个独立的随机变量，则它们的和$Z=X+Y$的特征函数等于它们各自特征函数的乘积，即$\varphi_Z(t)=\varphi_X(t)\varphi_Y(t)$。
3、正定性对于特征函数$\varphi(t)$的任何一个复数系数$c_1,c_2,...,c_n$和任意实数$t_1,t_2,...,t_n$，有：$$\sum_{k,l=1}^nc_k\overline{c_l}\varphi(t_k-t_l)\geq0$$其中，$\overline{c_l}$表示$c_l$的共轭复数。
标准正态分布特征函数
标准正态分布特征函数标准正态分布，又称标准正态积分或高斯分布，是一种连续概率分布，用来对未知的随机变量的取值进行建模。
它是普遍存在的，可以用来统计测量各种规模的事件中出现的概率情况。
标准正态分布由其函数描述： $$f（x）=\frac{1}{{\sqrt {2\pi \sigma^2 }}}\mathrme^{ \frac{-(x-\mu )^2}{2\sigma^2} }$$其中，$\mu$ 为随机变量的期望，$\sigma^2$为随机变量的方差。
从函数形式上可以看出，标准正态分布出现了一种抛物线形状，当取值越接近$\mu$时，随机变量出现的概率也会越大，而当取值越偏离$\mu$时，就越小。
标准正态分布的方差衡量的是随机变量的概率集中程度，也就是变量出现在$\mu$附近的概率有多大。
当$\sigma^2$越小，就表示概率集中程度越高，变量出现在期望$\mu$附近的概率也越高；而$\sigma^2$越大，概率集中程度相对就越低，变量出现在期望附近的概率就会变小。
标准正态分布的偏度和峰度分别可以用偏斜系数来衡量，偏斜系数恒定等于零，表示经验历史资料的非对称强度，也表明随机变量的分布具有正态性。
峰度系数也恒定等于三，表示随机变量的波动性要比正态分布偏度低。
标准正态分布有着多种应用。
首先，它可以用来度量特定事件出现概率。
比如在机器学习中，用来使用正态分布可以广泛用来定义各种机会，根据其概率密度函数来计算特定输入下模型输出的概率有多大。
标准正态分布还可以用来拟合众多实际问题，比如人体身高体重分布等。
把实际测量的数据和标准正态分布的模型进行拟合，也就可以得出模型的期望、方差等等参数，进而决定实验测量的概率分布。
标准正态分布对统计分析也有重要的意义。
比如，在进行t检验的时候，就用到了它的假设，即总体均值服从标准正态分布。
这样就可以拿到一个t检验解，来判断实验观测结果是否和总体一致。
标准正态分布也可以用来进行贝叶斯定理中的概率更新，有助于估计未知参数。
标准正态分布密度函数
标准正态分布密度函数标准正态分布是统计学中最重要的概率分布之一，它在自然科学、社会科学和工程技术等领域都有着广泛的应用。
标准正态分布密度函数是描述标准正态分布的函数形式，它的图像呈现出典型的钟形曲线，具有许多重要的性质和特点。
本文将详细介绍标准正态分布密度函数的定义、性质和应用，帮助读者更好地理解和应用这一重要的数学工具。
标准正态分布密度函数的定义。
标准正态分布密度函数的数学表达式为：\[f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}}\]其中，\(x\) 是随机变量，\(e\) 是自然对数的底，\(\pi\) 是圆周率。
这个函数描述了当随机变量服从标准正态分布时，取某个特定值的概率密度。
在数学上，标准正态分布密度函数是一个关于 \(x\) 的偶函数，其图像关于 \(y\) 轴对称。
标准正态分布密度函数的性质。
1. 曲线下面积。
标准正态分布密度函数的曲线下面积等于1，这意味着在整个实数轴上，标准正态分布的概率密度总和为1。
这是概率分布函数的基本性质，也是标准正态分布在统计学中应用广泛的原因之一。
2. 峰值。
标准正态分布密度函数的峰值出现在 \(x=0\) 处，峰值为\(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\)。
这意味着当随机变量服从标准正态分布时，取0附近的值的概率密度最大。
3. 标准差。
标准正态分布密度函数的标准差为1，这意味着标准正态分布的曲线在 \(x=0\) 处与 \(y\) 轴相交，且在 \(x=1\) 和 \(x=-1\) 处的函数值分别约为0.2419。
这些数值可以用来计算标准正态分布中特定区间的概率。
标准正态分布密度函数的应用。
1. 统计推断。
在统计学中，标准正态分布密度函数经常用于进行统计推断。
例如，可以利用标准正态分布计算样本均值的置信区间、进行假设检验等。
2. 随机模拟。
在工程技术领域，标准正态分布密度函数常用于随机模拟和风险分析。
标准正态分布函数表
标准正态分布函数表函数:函数的定义通常分为传统定义和近代定义，函数的两个定义本质是相同的，只是叙述概念的出发点不同，传统定义是从运动变化的观点出发，而近代定义是从集合、映射的观点出发。
标准正态分布：标准正态分布，是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。
期望值μ=0，即曲线图象对称轴为Y轴，标准差σ=1条件下的正态分布，记为N(0，1)。
定义：标准正态分布又称为u分布，是以0为均数、以1为标准差的正态分布，记为N（0，1）。
标准正态分布曲线下面积分布规律是：在-1.96～+1.96范围内曲线下的面积等于0.9500，在-2.58～+2.58范围内曲线下面积为0.9900。
统计学家还制定了一张统计用表（自由度为∞时），借助该表就可以估计出某些特殊u1和u2值范围内的曲线下面积。
正态分布的概率密度函数曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。
我们通常所说的标准正态分布是位置参数均数为0, 尺度参数：标准差为1的正态分布（见下图中绿色曲线）。
特点：密度函数关于平均值对称平均值与它的众数（statistical mode）以及中位数（median）同一数值。
函数曲线下68.268949%的面积在平均数左右的一个标准差范围内。
95.449974%的面积在平均数左右两个标准差的范围内。
99.730020%的面积在平均数左右三个标准差的范围内。
99.993666%的面积在平均数左右四个标准差的范围内。
函数曲线的反曲点（inflection point）为离平均数一个标准差距离的位置。
标准偏差：深蓝色区域是距平均值小于一个标准差之内的数值范围。
在正态分布中，此范围所占比率为全部数值之68%，根据正态分布，两个标准差之内的比率合起来为95%；三个标准差之内的比率合起来为99%。
在实际应用上，常考虑一组数据具有近似于正态分布的概率分布。
若其假设正确，则约68.3%数值分布在距离平均值有1个标准差之内的范围，约95.4%数值分布在距离平均值有2个标准差之内的范围，以及约99.7%数值分布在距离平均值有3个标准差之内的范围。
正态分布讲解(含标准表)
2．4正态分布复习引入：总体密度曲线:样本容量越大，所分组数越多，各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率．设想样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线,这条曲线叫做总体密度曲线． 总体密度曲线b 单位O 频率/组距a它反映了总体在各个范围内取值的概率．根据这条曲线，可求出总体在区间(a ，b )内取值的概率等于总体密度曲线，直线x =a ，x =b 及x 轴所围图形的面积．观察总体密度曲线的形状，它具有“两头低，中间高，左右对称”的特征，具有这种特征的总体密度曲线一般可用下面函数的图象来表示或近似表示：22()2,1(),(,)2x x e x μσμσϕπσ--=∈-∞+∞ 式中的实数μ、)0(>σσ是参数，分别表示总体的平均数与标准差，,()x μσϕ的图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线．讲解新课：一般地，如果对于任何实数a b <，随机变量X 满足,()()b aP a X B x dx μσϕ<≤=⎰, 则称 X 的分布为正态分布（normal distribution ) ．正态分布完全由参数μ和σ确定，因此正态分布常记作),(2σμN ．如果随机变量 X 服从正态分布，则记为X ～),(2σμN .经验表明，一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布．例如，高尔顿板试验中，小球在下落过程中要与众多小木块发生碰撞，每次碰撞的结果使得小球随机地向左或向右下落，因此小球第1次与高尔顿板底部接触时的坐标 X 是众多随机碰撞的结果，所以它近似服从正态分布．在现实生活中，很多随机变量都服从或近似地服从正态分布．例如长度测量误差；某一地区同年龄人群的身高、体重、肺活量等；一定条件下生长的小麦的株高、穗长、单位面积产量等；正常生产条件下各种产品的质量指标（如零件的尺寸、纤维的纤度、电容器的电容量、电子管的使用寿命等）；某地每年七月份的平均气温、平均湿度、降雨量等；一般都服从正态分布．因此，正态分布广泛存在于自然现象、生产和生活实际之中．正态分布在概率和统计中占有重要的地位．说明:1参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本均值去佑计；σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本标准差去估计．2.早在 1733 年，法国数学家棣莫弗就用n ！的近似公式得到了正态分布．之后，德国数学家高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它，并研究了它的性质，因此，人们也称正态分布为高斯分布．2．正态分布),(2σμN ）是由均值μ和标准差σ唯一决定的分布 通过固定其中一个值，讨论均值与标准差对于正态曲线的影响3．通过对三组正态曲线分析，得出正态曲线具有的基本特征是两头底、中间高、左右对称 正态曲线的作图，书中没有做要求，教师也不必补上 讲课时教师可以应用几何画板，形象、美观地画出三条正态曲线的图形，结合前面均值与标准差对图形的影响，引导学生观察总结正态曲线的性质4．正态曲线的性质：（1）曲线在x 轴的上方，与x 轴不相交（2）曲线关于直线x=μ对称（3）当x=μ时，曲线位于最高点（4）当x ＜μ时，曲线上升（增函数）；当x ＞μ时，曲线下降（减函数） 并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x 轴为渐近线，向它无限靠近（5）μ一定时，曲线的形状由σ确定σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；σ越小．曲线越“瘦高”．总体分布越集中：五条性质中前三条学生较易掌握，后两条较难理解，因此在讲授时应运用数形结合的原则，采用对比教学5．标准正态曲线:当μ=0、σ=l 时，正态总体称为标准正态总体，其相应的函数表示式是2221)(x e x f -=π，（-∞＜x ＜+∞）其相应的曲线称为标准正态曲线标准正态总体N （0，1）在正态总体的研究中占有重要的地位 任何正态分布的概率问题均可转化成标准正态分布的概率问题讲解范例：例1．给出下列三个正态总体的函数表达式，请找出其均值μ和标准差σ （１）),(,21)(22+∞-∞∈=-x e x f x π（２）),(,221)(8)1(2+∞-∞∈=--x e x f x π （３）22(1)2(),(,)2x f x e x π-+=∈-∞+∞ 答案：(1)0，1；(2)1，2；(3)-1，0.5例2求标准正态总体在（-1，2）内取值的概率．解：利用等式)()(12x x p Φ-Φ=有)([]}{11)2()1()2(--Φ--Φ=-Φ-Φ=p=1)1()2(-Φ+Φ=0.9772＋0.8413－1=0.8151．1.标准正态总体的概率问题: xy对于标准正态总体N （0，1），)(0x Φ是总体取值小于0x 的概率，即 )()(00x x P x <=Φ， 其中00>x ，图中阴影部分的面积表示为概率0()P x x < 只要有标准正态分布表即可查表解决.从图中不难发现:当00<x 时，)(1)(00x x -Φ-=Φ；而当00=x 时，Φ（0）=0.5 2.标准正态分布表标准正态总体)1,0(N 在正态总体的研究中有非常重要的地位，为此专门制作了“标准正态分布表”．在这个表中，对应于0x 的值)(0x Φ是指总体取值小于0x 的概率，即)()(00x x P x <=Φ，)0(0≥x ．若00<x ，则)(1)(00x x -Φ-=Φ．利用标准正态分布表，可以求出标准正态总体在任意区间),(21x x 内取值的概率，即直线1x x =，2x x =与正态曲线、x 轴所围成的曲边梯形的面积1221()()()P x x x x x <<=Φ-Φ． 3．非标准正态总体在某区间内取值的概率:可以通过)()(σμ-Φ=x x F 转化成标准正态总体，然后查标准正态分布表即可 在这里重点掌握如何转化 首先要掌握正态总体的均值和标准差，然后进行相应的转化4.小概率事件的含义发生概率一般不超过5％的事件，即事件在一次试验中几乎不可能发生假设检验方法的基本思想:首先，假设总体应是或近似为正态总体，然后，依照小概率事件几乎不可能在一次试验中发生的原理对试验结果进行分析假设检验方法的操作程序，即“三步曲”一是提出统计假设，教科书中的统计假设总体是正态总体；二是确定一次试验中的a 值是否落入(μ-3σ，μ+3σ)；三是作出判断讲解范例：例1. 若x ～N (0,1),求(l)P (-2.32<x <1.2)；(2)P (x >2).解：(1)P (-2.32<x <1.2)=Φ(1.2)-Φ(-2.32)=Φ(1.2)-[1-Φ(2.32)]=0.8849-(1-0.9898)=0.8747.(2)P (x >2)=1-P (x <2)=1-Φ(2)=l-0.9772=0.0228.例2．利用标准正态分布表，求标准正态总体在下面区间取值的概率：(1)在N(1,4)下，求)3(F（2）在N （μ，σ2）下，求Ｆ（μ－σ，μ＋σ）；Ｆ（μ－1.84σ，μ＋1.84σ）；Ｆ（μ－2σ，μ＋2σ）；Ｆ（μ－3σ，μ＋3σ） 解：（１）)3(F ＝)213(-Φ＝Φ（1）＝0.8413 （２）Ｆ（μ＋σ）＝)(σμσμ-+Φ＝Φ（1）＝0.8413 Ｆ（μ－σ）＝)(σμσμ--Φ＝Φ（－1）＝１－Φ（1）＝１－0.8413＝0.1587 Ｆ（μ－σ，μ＋σ）＝Ｆ（μ＋σ）－Ｆ（μ－σ）＝0.8413－0.1587＝0.6826Ｆ（μ－1.84σ，μ＋1.84σ）＝Ｆ（μ＋1.84σ）－Ｆ（μ－1.84σ）＝0.9342Ｆ（μ－2σ，μ＋2σ）＝Ｆ（μ＋2σ）－Ｆ（μ－2σ）＝0.954Ｆ（μ－3σ，μ＋3σ）＝Ｆ（μ＋3σ）－Ｆ（μ－3σ）＝0.997对于正态总体),(2σμN 取值的概率：68.3%2σx 95.4%4σx 99.7%6σx在区间（μ-σ，μ+σ）、（μ-2σ，μ+2σ）、（μ-3σ，μ+3σ）内取值的概率分别为68.3%、95.4%、99.7% 因此我们时常只在区间（μ-3σ，μ+3σ）内研究正态总体分布情况，而忽略其中很小的一部分 例3．某正态总体函数的概率密度函数是偶函数，而且该函数的最大值为π21，求总体落入区间（－1.2，0.2）之间的概率解：正态分布的概率密度函数是),(,21)(222)(+∞-∞∈=--x e x f x σμσπ，它是偶函数，说明μ＝0，)(x f 的最大值为)(μf ＝σπ21，所以σ＝1，这个正态分布就是标准正态分布( 1.20.2)(0.2)( 1.2)(0.2)[1(1.2)](0.2)(1.2)1P x -<<=Φ-Φ-=Φ--Φ=Φ+Φ- 教学反思：1．在实际遇到的许多随机现象都服从或近似服从正态分布 在上一节课我们研究了当样本容量无限增大时，频率分布直方图就无限接近于一条总体密度曲线，总体密度曲线较科学地反映了总体分布 但总体密度曲线的相关知识较为抽象，学生不易理解，因此在总体分布研究中我们选择正态分布作为研究的突破口 正态分布在统计学中是最基本、最重要的一种分布 2．正态分布是可以用函数形式来表述的 其密度函数可写成：22()21(),(,)2x f x e x μσπσ--=∈-∞+∞， （σ＞0）由此可见，正态分布是由它的平均数μ和标准差σ唯一决定的 常把它记为),(2σμN 3．从形态上看，正态分布是一条单峰、对称呈钟形的曲线，其对称轴为x=μ，并在x=μ时取最大值 从x=μ点开始，曲线向正负两个方向递减延伸，不断逼近x 轴，但永不与x 轴相交，因此说曲线在正负两个方向都是以x 轴为渐近线的4．通过三组正态分布的曲线，可知正态曲线具有两头低、中间高、左右对称的基本特征。
正态分布——精选推荐
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概率密度函数绿线代表标准正态分布颜色与概率密度函数同正态分布（Normal distribution）又名高斯分布（Gaussian distribution），是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。
若随机变量X服从一个数学期望为μ、标准方差为σ2的高斯分布，记为：X∼N(μ,σ2),则其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。
因其曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。
我们通常所说的标准正态分布是μ = 0,σ = 1的正态分布（见右图中绿色曲线）。
目录∙ 1 概要o 1.1 历史∙ 2 正态分布的定义o 2.1 概率密度函数o 2.2 累积分布函数o 2.3 生成函数▪ 2.3.1 动差生成函数▪ 2.3.2 特征函数∙ 3 性质o 3.1 标准化正态随机变量o 3.2 矩(英文:moment)o 3.3 生成正态随机变量o 3.4 中心极限定理o 3.5 无限可分性o 3.6 稳定性o 3.7 标准偏差∙ 4 正态测试∙ 5 相关分布∙ 6 参量估计o 6.1 参数的极大似然估计6.1.1 概念一般化o 6.2 参数的矩估计∙7 常见实例o7.1 光子计数o7.2 计量误差o7.3 生物标本的物理特性o7.4 金融变量o7.5 寿命o7.6 测试和智力分布∙8 计算统计应用o8.1 生成正态分布随机变量∙9 参见∙10 引用条目∙11 外部连接[编辑]概要正态分布是自然科学与行为科学中的定量现象的一个方便模型。
各种各样的心理学测试分数和物理现象比如光子计数都被发现近似地服从正态分布。
尽管这些现象的根本原因经常是未知的，理论上可以证明如果把许多小作用加起来看做一个变量，那么这个变量服从正态分布(在R.N.Bracewell的Fourier transform and its application中可以找到一种简单的证明)。
陈国华等主编概率论与数理统计第五章习题解答
x>0 x≤0
(α > 0, β > 0)
a a 1 1 1 dx = ∫ cos(tx) ⋅ dx + ∫ sin(tx) ⋅ dx −a −a −a 2a 2a 2a 1 1 1 = ⋅ sin(tx) |a sin(at ) x =− a = at 2a t t −1 （2）参数为 λ 的指数分布的特征函数为， φ X (t ) = (1 − i ) ，参数为 λ 的指数分布可看做
1
π (1 + x 2 )
(−∞ < x < +∞) ；
⎧A ⎪ (D) X i 的概率函数为 ： g ( x) = ⎨ x 3 ⎪0 ⎩
x ≥1 x <1
(i = 1,2,3, ) ．
答案：CABAD 三．解答题
1．一颗骰子连续掷 4 次，点数总和记为 X ，估计 p (10 < X < 18) ．
3．已知随机变量 X 的数学期望为 10，方差 DX 存在且 P (−20 < X < 40) ≤ 0.1 ，则
DX ≥ ． 4．设 X 1 , X 2 , , X n， 为独立同分布的随机变量序列，且 X i (i = 1,2, ) 服从参数为 2 的
指数分布，则 n → ∞ 当时， Yn =
1 n 2 ∑ X i 依概率收敛于 n i =1
1 1 ln n + ln n = 0 2 2
n
DX n = EX n = ln n
n 1 1 D ( Xi) = 2 ∑ 2 n n i =1
2
∑ ln i → 0(n → ∞)
i =1
根据马尔可夫大数定律， {X n } 服从大数定律。
3 、 已 知 随 机 变 量 X 和 Y 的 数 学 期 望 、 方 差 以 及 相 关 系 数 分 别 为 E ( X ) = E (Y ) = 2 ,
专题 正态分布介绍
正态分布正态分布，亦称“常态分布”、“高斯分布”、“常态曲线”等，是统计中最重要的一种分布。
德国数学家高斯(Gauss.C.F.)首先发现，正态分布指示了自然和社会多种随机现象分布的一种分布规律。
1．正态分布：若总体密度曲线就是或近似地是函数()22()21(),,2x f x ex μσπσ--=∈-∞+∞的图象其中：π是圆周率；e 是自然对数的底；x 是随机变量的取值，μ为正态分布的平均值；σ是正态分布的标准差．这个总体是无限容量的抽样总体，其分布叫做正态分布．正态分布由参数μ，σ唯一确定，记作ξ~2(,)N μσ，E(ξ)=μ，D(ξ)=2σ.2．函数f(x)图象被称为正态曲线．（1）从形态上看，正态分布是一条单峰、对称呈钟形的曲线，其对称轴为．．．．x=μ．．．，并在．．．x=μ．．．时取最大值．．．．．。
（2）从x=μ点开始，曲线向正负两个方向递减延伸，不断逼近x 轴，但永不与x 轴相交，因此说曲线在正负两个方向都是以x 轴为渐近线的，（3）当μ的值一定时， σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；σ越小，曲线越“高”．总体分布越集中．3．把ξ~(0,1)N 即μ=0，σ=1称为标准正态分布，这样的正态总体称为标准正态总体，其密度函数为2121()2x f x e π-=，x ∈(-∞，+∞)，相应的曲线称为标准正态曲线．４．利用标准正态分布表可求得标准正态总体在某一区间内取值的概率. （1）对于标准正态总体(0,1)N ，)(0x Φ是总体取值小于0x 的概率，即：)()(00x x P x <=Φ，其中00>x ，其值可以通过“标准正态分布表”查得，也就是图中阴影部分的面积，它表示总体取值小于0x 的概率．（2）标准正态曲线关于y 轴对称。
因为当00>x 时，)()(00x x P x <=Φ；xyO而当00<x 时，根据正态曲线的性质可得：)(1)(00x x -Φ-=Φ，并且可以求得在任一区间),(21x x 内取值的概率：)()()(1221x x x x x P Φ-Φ=<<，显然Φ(0)=0.5. （3）对于任一正态总体ξ~),(2σμN ，都可以通过ξμησ-=使之标准化η~(0,1)N ，那么， P(x ξ<)=P(η<x μσ-)=()x μσ-Φ，求得其在某一区间内取值的概率.例如: ~ξN(1，4)，那么，设η=12ξ-，则η~(0,1)N ，有P(ξ<3)=P(η<1)=(1)Φ=0.8413.（4）Φ(1)=0.8413、Φ(2)=0.9772、Φ(3)=0.9987（5）在标准正态分布表中相应于0x 的值()0x Φ是指总体取值小于0x 的概率即 ()()00x P x x Φ=<00≥x 时，则)(0x Φ的值可在标准正态分布表中查到 00<x 时，可利用其图象的对称性获得)(1)(00x x -Φ-=Φ来求出，)()()()()(121221x x x P x P x x P Φ-Φ=<-<=<<ξξξ（6）两个重要公式：① ②（7）()2,Nμσ与()0,1N 的关系：①若ξ～()2,Nμσ，则ξμησ-=～()0,1N ，有()()0x P x F x μξσ-⎛⎫<==Φ ⎪⎝⎭②若ξ～()2,N μσ，则()2112x x P x x x μμσσ--⎛⎫⎛⎫<<=Φ-Φ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭())()(1221x x x x P Φ-Φ=<<ξ())(100x x -Φ-=Φ1x 2x )(0x Φ)(10x -Φ-例1求标准正态总体在（-1，2）内取值的概率． 解：利用等式)()(12x x p Φ-Φ=有)([]}{11)2()1()2(--Φ--Φ=-Φ-Φ=p=1)1()2(-Φ+Φ=0.9772＋0.8413－1=0.8151． 例2. 若x ～N (0,1),求(l)P (-2.32<x <1.2)；(2)P (x >2). 解：(1)P (-2.32<x <1.2)=Φ(1.2)-Φ(-2.32)=Φ(1.2)-[1-Φ(2.32)]=0.8849-(1-0.9898)=0.8747. (2)P (x >2)=1-P (x <2)=1-Φ(2)=l-0.9772=0.0228.（07安徽卷,10）以()x Φ表示标准正态总体在区间(),x -∞内取值的概率，若随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，则概率()P ξμσ-<等于（ B ）A.()()μσμσΦ+-Φ-B. ()()11Φ-Φ-C. 1μσ-⎛⎫Φ ⎪⎝⎭D. ()2μσΦ+解析：考查()2,Nμσ与()0,1N 的关系：若ξ～()2,Nμσ，则()2112x x P xx x μμσσ--⎛⎫⎛⎫<<=Φ-Φ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解：答案为B 或1)1(2-Φ（07全国卷Ⅱ,14）:在某项测量中,测量结果ξ服从正态分布()()21,0N σσ>.若ξ在()0,1内取值的概率为0.4,则ξ在()0,2内取值的概率为----------。
正态分布课件
矩估计
定义
矩估计法是利用样本矩估计总体矩的一种方法。
原理
基于概率论中的矩理论，通过样本矩来估计总体 矩。
方法
首先需要计算样本的一阶矩（均值）和二阶矩（ 方差），然后用样本矩来估计总体矩。
贝叶斯估计
定义
01
贝叶斯估计法是通过贝叶斯定理来估计参数的方法。
原理
02
基于概率论中的贝叶斯定理，通过已知的先验概率和样本信息
应用
累积分布函数在统计学中 有广泛应用，如概率模拟 、置信区间的计算等。
正态分布的分位数函数
定义
正态分布的分位数函数是Φ(x) = (1/2) * [1 + erf(x / (√(2) * σ))] ，其中erf是误差函数。
解释
分位数函数描述了随机变量取值大于等于x的概率，即Φ(x) = P(X >= x)。
预测
正态分布还被用于时间 序列数据的预测，例如 在ARIMA模型中，差分 项通常假定服从正态分 布。
状态空间模型
在状态空间模型中，正 态分布被用于描述系统 扰动项的分布，以确保 模型的有效性和准确性 。
在金融风险管理中的应用
风险度量
正态分布被广泛用于金融风险度量，例如在计算VaR（风险价值 ）时，通常假定回报率服从正态分布。
率密度函数为f(x)
=
(1/√(2πσ^2)) * exp(-(x-
μ)^2/(2σ^2))，其中μ为均值，σ
为标准差。
正态分布的特点
钟形曲线
正态分布的曲线呈钟形，左右对 称，最高点位于均值μ处，而标准 差σ则决定了曲线的宽度和扁平程
度。
连续性
正态分布是一种连续型概率分布， 其概率密度函数在全实数域上定义 。
标准正态分布的特征函数
标准正态分布的特征函数标准正态分布，又称为高斯分布，是统计学中非常重要的一种概率分布。
它具有许多独特的特征，其中之一就是其特征函数。
本文将对标准正态分布的特征函数进行详细的介绍和解释。
首先，我们来了解一下什么是特征函数。
特征函数是概率论中一个非常重要的概念，它是随机变量分布的唯一确定性函数。
对于一个随机变量X，其特征函数定义为φ(t) = E(e^(itX))，其中i为虚数单位，t为任意实数。
特征函数的存在性是由独立性定理保证的，即如果两个随机变量具有相同的特征函数，则它们具有相同的分布。
因此，特征函数可以完整地描述一个随机变量的分布特征。
接下来，我们将介绍标准正态分布的特征函数。
标准正态分布的概率密度函数为f(x) = (1/√(2π)) e^(-x^2/2)，其特征函数为φ(t) = E(e^(itX)) = ∫[-∞,∞] e^(itx)f(x) dx。
通过对特征函数的计算，我们可以得到标准正态分布的特征函数为φ(t) =e^(-t^2/2)。
这个特征函数的形式非常简洁，但包含了标准正态分布的所有重要信息。
标准正态分布的特征函数具有许多重要的性质。
首先，特征函数的实部和虚部分别对应于原分布的矩。
其次，特征函数的模长的平方对应于原分布的特征函数。
最后，特征函数的对数对应于原分布的特征函数的对数。
这些性质使得特征函数在统计推断和随机过程中有着广泛的应用。
特征函数的另一个重要性质是其在独立随机变量和的分布中的应用。
如果X和Y是独立随机变量，那么它们的特征函数的乘积对应于它们的和的分布的特征函数。
这个性质在统计学中有着重要的应用，例如在中心极限定理的证明中起着关键的作用。
总之，标准正态分布的特征函数是对其分布特征的完整描述，具有许多重要的性质和应用。
通过对特征函数的研究，我们可以更深入地了解标准正态分布的统计特性，为统计推断和随机过程的研究提供重要的工具和方法。
综上所述，标准正态分布的特征函数是统计学中一个非常重要的概念，它可以完整地描述标准正态分布的分布特征，并具有许多重要的性质和应用。
分布特征函数
分布特征函数分布特征函数是概率分布函数的一种表示方法，它能够提供更加详细的信息，帮助我们更好地理解概率分布的性质及其与其他分布的关系。
本文将为您介绍分布特征函数的定义及其常见形式，同时探讨如何利用它计算概率分布的矩、协方差和相关系数等特征。
一、定义对于一维随机变量 X，其分布特征函数φ(t)定义为：φ(t)=E(e^(itX))其中，E表示期望运算，i是虚数单位。
可以看出，分布特征函数是对随机变量在复平面上的一个积分变换，在概率论中具有重要的应用价值。
二、常见形式1.二项分布对于二项分布B(n,p)，其中n表示试验次数，p表示单次成功概率，其分布特征函数为：由此可见，二项分布的分布特征函数具有幂函数的形式。
2.泊松分布对于泊松分布P(λ)，其中λ表示单位时间（或单位面积等）内发生某一事件的平均次数，其分布特征函数为：3.正态分布从中不难看出，正态分布的分布特征函数是一个关于t的高斯函数。
三、计算矩、协方差和相关系数在掌握了概率分布的分布特征函数之后，我们可以将其应用于计算概率分布的矩、协方差和相关系数等特征。
具体地，我们可以通过对分布特征函数求导得到矩的公式。
例如，对于一维随机变量X的k阶矩，其可以表示为：其中，φ^(k)(0)表示分布特征函数在t=0处的k阶导数。
同样地，通过求分布特征函数的二阶导数可以得到随机变量X和Y的协方差公式：Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=i^2φ^(2)XY(0)-iE(X)E(Y)Corr(X,Y)=Cov(X,Y)/[Var(X)Var(Y)]^0.5其中，Var表示方差。
基于这些公式，我们可以在实际问题中计算不同概率分布的矩、协方差和相关系数，从而更好地理解它们的性质以及它们之间的联系。
正态分布
一种概率分布。
正态分布是具有两个参数μ和σ2的连续型随机变量的分布，第一参数μ是遵从正态分布的随机变量的均值，第二个参数σ2是此随机变量的方差，所以正态分布记作N(μ，σ2 )。
遵从正态分布的随机变量的概率规律为取μ邻近的值的概率大，而取离μ越远的值的概率越小；σ越小，分布越集中在μ附近，σ越大，分布越分散。
正态分布的密度函数的特点是：关于μ对称，在μ处达到最大值，在正（负）无穷远处取值为0，在μ±σ处有拐点。
它的形状是中间高两边低，图像是一条位于x轴上方的钟形曲线。
当μ＝0，σ2 ＝1时，称为标准正态分布，记为N（0，1）。
μ维随机向量具有类似的概率规律时，称此随机向量遵从多维正态分布。
多元正态分布有很好的性质，例如，多元正态分布的边缘分布仍为正态分布，它经任何线性变换得到的随机向量仍为多维正态分布，特别它的线性组合为一元正态分布。
正态分布最早由A.棣莫弗在求二项分布的渐近公式中得到。
C.F.高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它。
P.S.拉普拉斯和高斯研究了它的性质。
生产与科学实验中很多随机变量的概率分布都可以近似地用正态分布来描述。
例如，在生产条件不变的情况下，产品的强力、抗压强度、口径、长度等指标；同一种生物体的身长、体重等指标；同一种种子的重量；测量同一物体的误差；弹着点沿某一方向的偏差；某个地区的年降水量；以及理想气体分子的速度分量，等等。
一般来说，如果一个量是由许多微小的独立随机因素影响的结果，那么就可以认为这个量具有正态分布（见中心极限定理）。
从理论上看，正态分布具有很多良好的性质，许多概率分布可以用它来近似；还有一些常用的概率分布是由它直接导出的，例如对数正态分布、t分布、F分布等答案补充图象所围的面积是概率正态曲线及其性质1.正态分布常记作N()，其正态分布函数：f(x)=, x∈(-∞,+∞)。
把N(0,1)称为标准正态分布，相应的函数表达式：f(x)=, x∈(-∞,+∞)。
求特征函数例题
求特征函数例题一、在概率论中，特征函数是描述随机变量分布性质的重要工具。
设随机变量X服从标准正态分布N(0,1)，其特征函数φ(t)为哪个选项？A. φ(t) = e(it)B. φ(t) = e(-t2/2)C. φ(t) = (1/2π) ∫e(-x2/2)e(itx)dx （积分范围：-∞到+∞）D. φ(t) = sin(t)（答案）C二、设随机变量X的取值为0和1，概率分别为P{X=0}=1/2，P{X=1}=1/2，则X的特征函数φ(t)为？A. φ(t) = (1/2)e(it) + (1/2)B. φ(t) = (1/2) + (1/2)e(i2t)C. φ(t) = (1/2)e(it0) + (1/2)e(it1)D. φ(t) = cos(t)（答案）C（注：实际上C选项应简化为A选项的形式，但考虑到题目要求形式，选C更贴近原意）三、随机变量X服从参数为λ的泊松分布，其特征函数φ(t)的表达式中包含哪个因子？A. e(λ(e(it)-1))B. e(-λ(e(it)-1))C. λX/X!D. (λX/X!)e(-λ)（答案）B四、设随机变量X的密度函数为f(x)=1/π(1+x2)，-∞<x<+∞，则X的特征函数φ(t)为？A. φ(t) = e(-|t|)B. φ(t) = sin(t)/tC. φ(t) = e(-t2)D. φ(t) = cos(t)（答案）A（注：此分布为柯西分布，其特征函数为e(-|t|)）五、随机变量X服从均匀分布U(a,b)，其特征函数φ(t)的表达式中，与t相关的部分是哪个？A. (e(itb) - e(ita))/(it(b-a))B. (e(itb) - e(ita))/(b-a)C. (e(ita) + e(itb))/2D. (b-a)e(it(a+b)/2)（答案）A六、设随机变量X的取值为-1、0和1，概率分别为1/4、1/2和1/4，则X的特征函数φ(t)为？A. φ(t) = (1/4)e(-it) + (1/2) + (1/4)e(it)B. φ(t) = (1/4)e(-i2t) + (1/2)e(it0) + (1/4)e(i2t)C. φ(t) = (1/4) + (1/2)cos(t) + (1/4)e(it)D. φ(t) = (1/2)cos(t)（答案）A七、随机变量X服从二项分布B(n,p)，其特征函数φ(t)的表达式中，与p和t都相关的部分是哪个？A. (p+e(it))nB. (1-p+pe(it))nC. (pe(it))nD. (1-p)n + (pe(it))n（答案）B（注：二项分布的特征函数为(1-p+pe(it))n）八、设随机变量X的密度函数为f(x)=e(-x)，x>0，则X的特征函数φ(t)的实部为？A. 1/(1+t2)B. 1/(1-it)C. e(-t)D. cos(t)/(1+t2)（答案）A（注：此分布为指数分布，其特征函数的实部为1/(1+t2)）。
随机变量特征函数的求法研究
随机变量特征函数的求法研究蒋同斌【摘要】分布函数由其特征函数唯一决定,判断函数为特征函数的条件,成为特征函数的基本要求、基本类型及其具体的确定,利用特征函数的定义积分变换和积分方法等说明特征函数的求解方法,讨论特征函数在数学通信保险数据查询等生产实际中的具体应用.【期刊名称】《淮阴工学院学报》【年(卷),期】2016(025)001【总页数】5页(P81-85)【关键词】特征函数;分布函数;求解方法;实际应用【作者】蒋同斌【作者单位】淮阴工学院数理学院,江苏淮安223003【正文语种】中文【中图分类】O213.2概率论中，随机变量的数学期望和方差只能粗略地反映其分布函数的性质，而分布函数由其特征函数唯一决定[1]。
随机变量的分布主要分为离散型、连续型。
离散随机变量X的特征函数可表示为：eitxkpk，-∞<t<+∞.连续随机变量X的特征函数可以表示成：f(t)。
从以下方面讨论随机变量特征函数的求解方法。
1.1 判断函数为特征函数的条件辛钦一渡赫纳尔定理[2]：函数f(t)是特征函数的充要条件是(1)函数f(t)是非负定性的；(2)f(t)连续；(3)f(0)=1 。
问题的关键是判定f(t)是否具有非负定性。
即对于任意正整数n∈N,任意实数t∈R，任意复数λi∈C,(i=1,2,…,n)均有f(ti-tj)λiλj≥0成立，由于f(t)是实变量的复值函数，类似于高等代数酉空间部分的Hermite二次型。
若Hermite矩阵A为非负定的，则对应的Hermite二次型[2]具有非负定性。
至此把特征函数f(t)的非负定性转化为Hermite矩阵的非负定性。
1.2 实例判定是否为特征函数？解：由辛钦一渡赫纳尔定理可知f(t)连续并且f(0)=1，验证f(t)的非负定性。
即证明任意的ti,tj∈R,任意的正整数n，均有成立，转化为Hermite二次型。
取t=1,2,…,n，此二次型对应的Hermite阵A,它的各阶顺序主子式都大于0，所以f(t)是正定的，即f(t)是特征函数。
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丙方法：按3：5比例二次施完
选正交表 安排试验，试验结果为亩产量，如下表
求：（1）因素的主次顺序；（5分）
（2）最优方案；（5分）
（3）最优方案的工程平均。（10分）
注：本题计算结果可列在表后
因素
列号
试验号
A
B
C
空白
亩产量
1
2
3
4
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
1
1
2
2
2
3
3
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
（2）求样本标准方差 的分布函数。（10分）
3、（本题10分）设总体 ~ ， ， 为已知自然数，（ ）为样本求参数 的极大似然估计。
4、（本题10分）某产品重量指标服从正态分布，此产品生产要求重量方差不能超过 ，现有25件产品侧得重量的修正方差为 ，试问在显著性水平 下能否得出产品不合格的结论。其中 时查 分布表得42.5， 时查 分布表得36.42。
1
2
3
2
3
1
3
1
2
1
2
3
3
1
2
2
3
1
Y1=463
Y2=409
Y3=428
Y4=451
Y5=435
Y6=429
Y7=453
Y8=426
Y9=394
第2页，共2页
灯泡
使用寿命
灯丝
1 2 3 4 5 6 7 8
甲
乙
丙
丁
1600 1610 1650 1680 1700 1720 1800
1580 1640 1640 1700 1750
1460 1550 1530 1600 1640 1740 1660 1820
1510 1520 1530 1570 1680 1600
兰州理工大学研究生试题
学院名称：材料、电信等＿＿＿＿＿＿＿＿ 考试形式：闭卷
课程名称：数理统计＿＿＿＿＿＿＿＿ 2011年 春季学期
1、（本题15分）标准正态分布特征函数是 ，设 ~ ，求
（1）随机变量 的特征函数；（7分）
（2）E ，D 。（8分）
2、（本题20分）设总体 ~ ，（ ）为样本
（1）求样本方差 的分布函数；（10分）
产量
（指标）
1
2
3
4
1
2
3
1（460）
1
1
1（250）
2（270）
3（300）
1（甲）
2（乙）
3（丙）
1
2
3
1.72
1.82
1.80
4
5
6
2（490）
2
2
1
2
3
2
3
1
3
1
2
1.92
1.8（520）
3
3
1
2
3
3
1
2
2
3
1
1.59
1.60
1.80
确定因素主次顺序,最优方案,最优方案的工程平均。
第 1 页，共2页
6、（20分）一农场希望知道某一玉米品种的高产栽培条件，他们选择了三个试验因素：施化肥量、种植密度、施化肥方式，各因素之间无交互作用，每个因素选三个水平，如下表
因素
水平
A
施化肥量
（1kg/亩）
B
种植密度
（1kg/亩）
C
施化肥方式
1
2
3
50
40
30
3700
3200
2800
甲方法：按1：2比例三次施完
5、（本题15分）某商品的需求量 ，消费者的平均收入 ，商品价格 的统计数据如下表：
1000 600 1200 500 300 400 1300 1100 1300 300
5 7 6 6 8 7 5 4 3 9
100 75 80 70 50 65 90 100 110 60
求 对 、 的回归方程。
6、（本题15分）灯丝四种配料方案如下表：
给定显著性水平 下 分布表分位数 = ，方差分析确定四种灯丝配料方案在使用寿命上有无显著差异？
7、（本题15分）合成氨最佳工艺条件试验因素水平表如下：
因素
水平
A
反应温度（C）
B
反应压力（大气压）
C
催化剂种类
1
460
250
甲
2
490
270
乙
3
520
300
丙
选正交表 安排试验如下：
因素
列号
试验号
A
B
C
空白