两角和、差的正余弦公式

提示 由题图知 P1(1,0)，P2(cos α，sin α)， P3(cos(α＋β)，sin(α＋β))， P4(cos(－β)，sin(－β))． 由|P→ 3|＝|P→ 4|，得 1P 2P [cos(α＋β)－1]2＋sin2(α＋β) ＝[cos(－β)－cos α]2＋[sin(－β)－sin α]2
[思路探索] 用特殊角的和或差表示已知角，用两角和与差的 余弦公式求解．
解 (1)sin 285° ＝sin(270° ＋15° ) ＝－cos 15° ＝－cos(60° －45° ) ＝－(cos 60°cos 45° · ＋sin 60°sin 45° · ) 6＋ 2 ＝－ . 4 (2)原式＝－sin 100°sin 160° · ＋cos 200°cos 280° · ＝－sin 100°sin 20° · －cos 20°cos 80° · ＝－(cos 80°cos 20° · ＋sin 80°sin 20° · ) ＝－cos 60° 1 ＝－2.
展开并整理，得 2－2cos(α＋β)＝2－2(cos αcຫໍສະໝຸດ Baidus β－sin αsin β)， ∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β.
想一想：cos(α－β)与 cos α－cos β 相等吗？
提示 cos(α－β)与 cos α－cos β 一般不相等，cos(α－β)＝cos α· β＋sin α· β. cos sin
【变式 2】 设 α＋β π ＜2，求 cos 2 .
α 2 π β 1 cosα－2＝－ ，sin2－β＝ 且 ＜α＜π，0＜β 9 3 2
解
π π ∵ ＜α＜π，0＜β＜ ， 2 2
π β π α π ∴4＜α－2＜π，－4＜2－β＜2，
β sinα－2＝ α cos2－β＝ 1 4 5 － 2 ＝ 1－ 9 9 ， 2 1－32＝
在给值求角问题中， 要将所求角度的范围限制清楚， 必要时，需结合题目中的关系式、条件缩小角的范围.
(3)公式既可“正用”求一些角的三角函数值，也可“反用” 化简一些式子． (4)公式的应用中应注意角的变换：如 2α＝(α＋β)＋(α－β)，α ＝(α＋β)－β 等；将未知角用已知角表示出来，使之能直接运用公 式．
题型一 给角求值、化简 【例 1】 求值： (1)sin 285° ； (2)sin 460°sin(－160° · )＋cos 560°cos(－280° · )．
2 2
1 2 5 1－5＝ 5 ，(3 分) 9 10 1－10＝ 10 ，(7 分)
∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β 2 5 3 10 5 10 2 ＝ 5 × 10 － 5 × 10 ＝ 2 .(11 分) π π 由 0＜α＜2，0＜β＜2，
得 0＜α＋β＜π， 又 cos(α＋β)＞0， π ∴α＋β 为锐角，∴α＋β＝4.(14 分)
规律方法
(1)求解含非特殊角的三角函数式的求值问题的一
般思路是：①把非特殊角转化为特殊角的和或差，正用公式直接 求值．②在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余弦 公式的结构形式，然后逆用公式求值．
【变式 1】 求下列三角函数式的值： π (1)sin 12；(2)cos 15° 105° cos ＋sin 15° 105° sin ； (3)cos(α－45° )cos(15° ＋α)＋sin(α－45° )sin(15° ＋α)．
5 10 解 因为 α、β 为锐角，所以由 sin α＝ 5 ，cos β＝ 10 得到， 2 5 3 10 π cos α＝ 5 ，sin β＝ 10 ，且 α＜β，即－2＜α－β＜0.于是 cos(α 2 5 10 5 3 10 2 π －β)＝ 5 × 10 ＋ 5 × 10 ＝ 2 ，故 α－β＝－4.
3．1
两角和与差的三角函数 两角和与差的余弦
3．1.1
【课标要求】
1．理解两角和与差的余弦及推导过程． 2．掌握两角和与差的余弦公式，并能利用这些公式进行简单 的三角恒等变换．
【核心扫描】 1．两角和与差的余弦公式．(重点) 2．应用两角和与差的余弦公式进行三角化简、求值．(难点)
自学导引 两角和与差的余弦公式
cosβ－sinα· sinβ C(α＋β)：cos(α＋β)＝ cosα· cosβ＋sinα· sinβ C(α－β)：cos(α－β)＝ cosα·
试一试：
. .
如图，在直角坐标系 xOy 内作单位圆 O，并作出角 α，β 与－β， 使角 α 的始边为 Ox，交⊙O 于点 P1，终边交⊙O 于点 P2；角 β 的 始边为 OP2，终边交⊙O 于点 P3，角－β 的始边为 OP1，终边交⊙O → → 于点 P4，试用|P1P3|＝|P2P4|证明两角和的余弦公式．
5 3，
α＋β β α ∴cos 2 ＝cosα－2－2－β β α β α ＝cosα－2cos2－β＋sinα－2sin2－β
1 5 4 5 2 7 5 ＝－ × ＋ × ＝ . 9 3 9 3 27
【题后反思】 (1)求一个角的值， 应该先求其一种三角函数值， 再根据这个角的范围确定该角的值，关于选择求哪种三角函数值， 应根据已知条件和角的范围而定． (2)已知三角函数值求角的基本步骤是：①求角的某一种三角 函数值；②确定角所在的范围；③根据角的范围写出所求角．
5 10 【变式 3】 已知 α、β 为锐角，且 sin α＝ ，cos β＝ ， 5 10 求 α－β 的值．
误区警示 忽视隐含条件不能确定角的范围而出错 【示例】 已知
π α、β、γ∈0，2，sin
α＋sin γ＝sin β，cos β＋
cos γ＝cos α，求 β－α 的值．
[错解] 由已知得 sin γ＝sin β－sin α① cos γ＝cos α－cos β② ①2＋②2 得：(sin β－sin α)2＋(cos α－cos β)2＝1. ∴－2sin αsin β－2cos αcos β＝－1 1 ∴cos(β－α)＝ ， 2 π ∴β－α＝± . 3
规律方法
(1)在用两角和与差的余弦公式求值时，常将所求
角进行拆分或组合，把所要求的函数值中的角表示成已知函数值 的角． (2)在将所求角分解成某两角的差时，应注意如下变换： 1 α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝(2α－β)－(α－β)，α＝ [(α＋β) 2 1 ＋(α－β)]，α＝ [(β＋α)－(β－α)]等． 2
名师点睛 公式的特点 (1)公式左端为两角和差的余弦，右端为两角的余弦之积与正 弦之积的差和． (2)公式中的 α、β 为任意角，当 α＝π 时，公式变为 cos(π－β) ＝cos πcos β＋sin πsin β＝－cos β，cos(π＋β)＝cos πcos β－sin πsin β＝－cos β，即 cos(π－β)＝－cos β，cos(π＋β)＝－cos β，此即为 诱导公式，也就是说前面的一些诱导公式是它的特殊情况．
解
π π (1)原式＝cos2－12
π π 5 ＝cos 12π＝cos4＋6
6－ 2 π π π π ＝cos cos －sin sin ＝ . 4 6 4 6 4 (2)原式＝cos(105° －15° )＝cos 90° ＝0. 1 (3)原式＝cos[(α－45° )－(15° ＋α)]＝cos(－60° . )＝ 2
题型三 已知三角函数值求角 5 3 10 【例 3】 已知锐角 α、β 满足 sin α＝ 5 ，cos β＝ 10 ，求 α ＋β.
审题指导 本题考查了同角三角函数关系式，两角和的余弦公 式以及由三角函数值确定角．
【解题流程】
5 3 10 [规范解答] ∵α、β 为锐角且 sin α＝ 5 ，cos β＝ 10 ， ∴cos α＝ 1－sin α＝ sin β＝ 1－cos β＝
题型二 已知三角函数值求值 π 3π 12 【例 2】 已知2＜β＜α＜ 4 ，且 cos(α－β)＝13，sin(α＋β)＝ 3 － ，求 cos 2α 的值． 5
[思路探索] 用已知角表示要求角，用公式求解．
π 3π 3π π 解 ∵2＜β＜α＜ 4 ，∴π＜α＋β＜ 2 ，0＜α－β＜4， 12 3 又∵cos(α－β)＝13，sin(α＋β)＝－5， 5 4 ∴sin(α－β)＝ ，cos(α＋β)＝－ ， 13 5 ∴cos 2α＝cos[(α－β)＋(α＋β)] ＝cos(α－β)cos(α＋β)－sin(α－β)sin(α＋β) 12 4 5 3 33 ＝13×－5－13×－5＝－65.
由已知 sin β－sin α＝sin γ＞0.
π ∵α、β、γ∈0，2，∴β＞α，上述解答忽略了这一隐含条件
而解错．
[正解] 由已知，得 sin γ＝sin β－sin α， cos γ＝cos α－cos β. 平方相加得(sin β－sin α)2＋(cos α－cos β)2＝1. 1 π ∴－2cos(β－α)＝－1，∴cos(β－α)＝2，∴β－α＝± . 3 π ∵sin γ＝sin β－sin α＞0，∴β＞α，∴β－α＝3.