第5章差分法及变分法解平面问题

f3
f0
h(
f x
)
0
h2 2
2 f ( x2
)0
f h2 2 f f1 f0 h( x )0 2 ( x2 )0
(
f x
)0
f1 f3 2h
2 f ( x 2 )0
f1
f3 2 f0 h2
（5-1） （5-2）
同理，可以得到：
(
f y
)
0
f2 f4 2h
2 f ( y 2 )0
f2
（5-12）
对于弹性体内的每一点，都可建立一个这样的差分方程，但 对边界内一行的结点（距边界为h），建立的差分方程中还将包含 边界上各结点处的F值，并包含边界外一行的虚结点处的F值。
由应力边界条件（2-18），有：
l( x )s m( xy )s f x ， m( y )s l( xy )s f y
般都是微分方程）近似地改用差分方程（
代数方程）来表示，把求解微分方程的问
题转化为求解代数方程的问题。
首先把弹性体用间距为h的两组平行线 织成网格，如图5-1。设函数 f (x, y) 是弹性 体内的某一连续函数，将函数在平行于轴
图5-1
的网线上，如在3—0—1上，在临近结点0 处，展开成台勒级数：
f
1. 应力函数的差分解
当不计体力时，平面问题中的应力分量为：
x
2 y 2
， y
2 x 2
，
xy
2 xy（a）来自把任一结点0处的应力分量表示成：
( x )0
2 ( y 2 )0
1 h2
[( 2
4 ) 20 ]
( y )0 ( xy )0
2 ( x 2 )0
1 h2
[(1
3)
(
2 xy )0
f4 2 f0 h2
（5-3） （5-4）
公式（5-1）至（5-4）称为基本差分公式，其它差分公式可以由基
本差分公式得到：
2 f (xy )0
x
f y
0
f y
1
f y
2h
3
f6 f5 f7 f8
2h
2h
2h
1 4h 2
( f6
f8) ( f5
f7 )
（5-5）
同理，可以得到：
4 f (
x 4
)0
1 h4
[6 f0
4(
f1
f3) ( f9
f11 )]
( 4 f x 2y 2
)0
1 h4
[4 f0
2(
f1
f2
f3
f4) ( f5
f6
f7
f8 )]
4 f
1
( y 4
)0
h4
[6 f0
4( f 2
f4 ) ( f10
f12 )]
（5-6）
§5-2 应力函数的差分解
y A ( y ) A
B
A y f x ds
B
A (xB xA )( x ) A ( yB yA )( y ) A
B
A ( yB y) f xds
B
(x
A
xB )
f
y ds（e）
由式（e）及式（d）可见，若已知
A
、(
x
)
A
、(
y
)
A
，即可由面
力分量
f
x、f
y
求得于 B
、(
x
)
B、(
y
)
B
。取
A
=
(
x
)
A
=
(
y
)
，于是
A
式（e）及式（d）简化为：
( y )B
B
A f x ds
（5-13）
(
x
)
B
B
f
A
y ds
B
B
B
A ( yB y) f xds
(x
A
xB )
f
y ds
（5-14） （5-15）
对多连体情况，只能直接应用式（e）及式（d），不能应用简 化式（5-13）至（5-15）。这就使得应力函数的差分解在多连体问 题中应用不方便。
f0
(
f x
)
0
(
x
x0
)
1 (2 f 2! x2
)0 (x x0 )2
1 (3 f 3! x3
)0 (x x0 )3
（a）
f
f0
(
f x
)0
(x
x0
)
1 2
(
2 x
f
2
)0 (x x0 )2
（b）
在结点3及结点1，x分别等于 x0 h及 x0 h ，即将 (x x0 ) h 及(x x0) h 代入（b）式有：
利用式（a），将其转化为：
l
(
2 y 2
)
s
m(
2 xy
)
s
f
x
2 m( x 2 ) s
2 l(xy )s
f
y
(b)
由图（5-2）可知，
l cos(N, x) cos dy
ds
图5-2
， m cos(N, y) sin dx
ds
将（b）式改写为：
dy ds
2 ( y 2 ) s
( x ) A
B A
f
x
ds
B A
f
y
ds
（c） （d）
因为d dx dy ，故由分步积分法可得：
x y
()
B A
(x
x
)
B A
B
x
A
d ds
(
)ds x
(y
y
)
B A
B
y
d
( )ds
A ds y
将（c）式代入得：
()
B A
(x
x
)
B A
B
x
A
f
y ds
(y
y
)
B A
第一节 差分公式的推导 第二节 应力函数的差分解
第三节 应力函数差分解的实例 第四节 弹性体的形变势能 第五节 位移变分方程 第六节 位移变分法 第七节 位移变分法应用于平面问题
§5-1 差分公式的推导
工程中许多重要的实际问题，并不能
得出函数式解答，必须进行数值计算法求
解，差分法是数值解法之一。
差分法是把基本方程和边界条件（一
dx ds
2 (xy )s
fx
dx ds
(
2 x 2
)
s
dy ds
(
2 xy
)
s
f
y
d ds ( y )s
f
x
，
d ds ( x )s
f
y
将（c）式从A点到B点对s积分，得：
y
B A
B
A f x ds
，
B x A
B
A f y ds
(
y
)
B
( x )B
( ) y
A
1 4h 2
[( 5
7
2 0 ] ) (6
8
)]
（5-11）
可见，若已知了结点处的F值，就可以求出各结点处的应力值。
将差分公式（5-6）代入相容方程，即
4 x 4
0
2
4 x 2 y
2
0
4 y 4
0
0
即可得出：
200 8(1 2 3 4 ) 2(5 6 7 8 ) (9 10 11 12 ) 0
式（5-13）右边的积分表示A与B之间的x方向面力之和；式（514）右边的积分表示A与B之间的y方向面力之和；式（5-15）右边的 积分表示A与B之间的面力对B点的矩（在x轴向右y轴向下的坐标系 下，力矩以顺时针转向为正）。
边界外一行的（距边界为h的）虚结点处的F值，可用边界内一 行结点处的F值及边界上的导数值来表示。如虚结点13及14 ：
B
A y f x ds
A B
x
B
(
x
)
B
x
A
(
x
)
A
B A
x
f
y ds
y
B
(
y
)
B
y
A
(
y
)
A
B
A y f x ds
再将式（d）代入，得：
A B
xB [( x ) A
B A
f
y ds]
xA ( x ) A
B
A x f y ds
yB [( y ) A
B A
f
x ds]