第七章线性差分方程模型的辨识
差分方程模型的基本概念
预测经济趋势
通过建立差分方程模型，可以对 未来的经济趋势进行预测，帮助 决策者制定相应的经济政策。
评估经济政策
差分方程模型可以用来评估不同 经济政策的实施效果，为政策制 定者提供参考依据。
在物理学中的应用
描述振动现象
差分方程模型可以用来描述物体的振动规律，如弹簧振荡、单摆 等。
预Байду номын сангаас波动传播
在声学和波动理论中，差分方程模型可以用来描述波动传播的规 律，如声波、电磁波等。
可以采用动态模型来反映数据的变化趋势，减少时间滞后的影 响。
可以利用大数据技术来处理大规模的数据集，提高模型的预测 精度和稳定性。
可以尝试优化参数估计方法，例如采用全局优化算法或贝叶斯 推断等方法，以提高参数估计的准确性和稳定性。
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确定差分关系
根据时间序列数据的特性，确定合适的差分关系，以描述数据的变化规律。差分关系通常表示为变量在不同时间 点的变化量或变化率。
建立差分方程模型
根据变量和参数建立模型
根据确定的变量和参数，建立差分方程模型，以描述变量的变化规律。
验证模型的适用性
建立差分方程模型后，需要验证模型的适用性，确保模型能够准确描述实际问题的变化规律。
Python
使用Python的数值计算库，如NumPy和 SciPy，求解差分方程。
Mathematica
使用Mathematica的符号计算和数值计算功 能求解差分方程。
04 差分方程模型的应用
在经济学中的应用
描述经济周期
差分方程模型可以用来描述经济 活动的周期性变化，如经济增长、 通货膨胀、就业率等的时间序列 数据。
第4次课：差分方程模型
模型的差分方程与分析 点 P ( x0 , y0 ) 满足 y0 f ( x0 ), x0 g ( y0 ) ，在 P 0 0 点附近取直线来近似曲线 y f ( x), x g ( y) ：
yk y0 ( xk x0 ), 0 xk 1 x0 ( yk y0 ), 0
... 0 ... 0 ... 0 ... ... ... 1
考虑收获的情况，设收获向量为 y ( y1 , y2 ,..., yn ) ,
T
根据假设（3），砍伐的总数和补种的幼苗数相等， n n 记 矩阵为 1 1 ... 1 y1 y2 ... yn 0 0 ... 0 0 R ,则 R y ... ... ... ... ... 0 0 0 ... 0
7.2 供需平衡问题
7.2.1 问题的背景与提出
在自由竞争的社会中，很多领域会出现供需平衡 问题。供大于需时，供给减少；需大于供时，供给增 加。这种现象在经济领域中尤其突出，从自由集市上 某种商品的供需变化中可以看到，在某一时期，商品 的上市量过于大于需求量时，就会引起价格的下跌。 生产者觉得无利可图就会减产或转产，从而导致上市 量大减。一段时间之后，随着产量的下降，带来的供 不应求又会导致价格上涨，生产者见有利可图就会增 产或转回该商品的生产，随之而来的，又会出现商品 过剩，价格下降。在没有干预的情况下，这种现象将 循环下去。
*
yn1 qn2 xn2 q x
*
……
* 3 3
（7）
* n 1 n 1
yn q x
* n 1 n 1
因为 y 是收获向量，则 yi 0, i 1,2,..., n 。又由 于幼苗的经济价值为0，故不砍伐幼苗，即 y1 0 。 xk 代替 xk * ，从式（7）有 仍用
差分方程
1
2
3
P 0
P0是稳定平衡点
P0是不稳定平衡点
y
f
y2 P3
yy30 y1
P2
g P4
曲线斜率
y
P0
K f K g y0
P1
0 x2 x0 x3 x1 x
0
P3 f
P2
P0
P1
x0
g P4
Kf
x
Kg
方程模型 yk f (xk )
在P0点附近用直线近似曲线
yk y0 (xk x0 ) ( 0)
k2
k 1
k
0
方程通解 x c k c k
k
11
22
(c1, c2由初始条件确定)
1, 2~特征根，即方程 22 0 的根
平衡点稳定，即k, xkx0的条件:
1, 2
1
1,2
( )2 8
4
平衡点稳定条件 2
1, 2
2
比原来的条件 1 放宽了
7.2 差分形式的阻滞增长模型
平衡点及其稳定性需研究 xk4 f (4) (xk )
3.449 b 3.544 时有4个稳定平衡点 4倍周期收敛
2n倍周期收敛, n=1,2,… bn~ 2n倍周期收敛的上界
b0=3, b1=3.449, b2=3.544, … n, bn3.57
b>3.57, 不存在任何收敛子序列
混沌现象
b=2.6 0.2000 0.4160 0.6317 0.6049
0.6154 0.6154 0.6154 0.6154 0.6154 0.6154 0.6154 0.6154 0.6154 0.6154
b=3.3 0.2000 0.5280 0.8224 0.4820
高数第七章(13)二阶差分方程PPT
称为相应方程的特征根 .
现根据 a2 4b的符号来确定其通式解 . 形
(1)第一种情形 a2 4b时
有 两 个 相 异 的1与 实2， 特此 征时 根的 通
如下形式：
yxA11xA22x(A1,A2为 任 意 ) 常 数
(2)第二种情形 a2 4b时
例2 求差分方程yx2 3yx1 4yx 2的通解． 解 1 a b 1 3 4 0 , 且 a 3 2
y xx(B0B1x) 代入方程得: B 0 (x 2 ) B 1 (x 2 )2 3 B 0 (x 1 ) 3 B 1 (x 1 )2 4 B 0 x 4 B 1 x 2 x 可B 得 0570 ,B1110
代入方程 B 0 B 1 (x 2 ) 5 B 0 5 B 1 (x 1 ) 4 B 0 4 B 1 x x 比较两端同次项系数有
1100BB10
7B1 1
0
B0170,0B1110
则yx
7 1 x 10010
故y x 通 1 7 0 1 1 解 x 0 A 1 ( 1 为 ) x A 2 ( 4 ) x
即 ( 2 )( 1 ) 0 解 1 得 2 ,2 1
yxA 1(2)xA2
1 a b 1 1 2 0 , 但 a 1 2 ,
yx
12x 12
4x
所给方yx 程 4x通 A 1( 解 2)x为 A 2 由 y0A 1A 2,即 A 1A 20 y142A 1A 2,即 2A 1A 24
i)i当 1ab0且 a 2时， s1 ; 取 ii)当 i1 a b0 ， a 且 2 时s ， 2 . 取
分别就以上定 情特 形解 ，代 将,入 设 可原 确方 定程 其特 . 解
差分方程模型
第7章 差分方程模型在第三章中我们看到，动态连续模型用微分方程方法建立，与此相应，当时间变化离散后，可以用差分方程方法建立。
有些实际问题既可建立连续模型，又可建立离散模型。
本章将主要讨论差分方程模型。
7.1市场经济中的蛛网模型在自由贸易市场上你注意过这样的现象吗：一个时期以来某种消费品如肉的上市量远大于需求，由于销售不畅导致价格下跌，生产者发现养猪赔钱，于是转而经营其他农副业。
这一段时间猪肉上市量就会大减，供不应求将导致价格上涨。
生产者看到有利可图，有重操旧业。
这样在下一个时期会重现供大于求、价格下降的局面、在这种没有外界干预的情况下，这种现象将如此循环下去。
在完全自由竞争的市场经济中上述现象通常是不可避免的，因为商品的价格是由消费者的需求关系决定的，商品数量越多价格越底，而下一时期商品的数量有生产者的需求关系决定的，商品的价格越低生产的数量越少，这样的需求和供应关系决定了市场经济中商品的价格和数量必然是振荡的。
在现实世界里这样的振荡会出现不同的形式，有的振荡渐小趋向平稳，有的则振幅越来越大，没有外界如政府的干预，将导致经济崩溃。
本节先用图形方法建立所谓“蛛网模型”，对上述现象进行分析，给出市场经济区域稳定的条件，再利用差分方程建模，对结果进行解释，并讨论当市场经济不稳定时政府可以采取什么样的干预措施，最后对上述模型做适当推广。
蛛网模型 记第k 时段商品的数量为k x ，价格为k y ，1,2,3,k = 这里我们把时间离散化为时段，1个时段相当于商品的1个生产周期，如蔬菜、水果是一个种植周期，肉类是牲畜的饲养周期。
同一时段商品的价格k y 取决于数量k x ，设()k k y f x = (1)它反映消费者对这种商品的需求关系，称需求函数，因为商品的数量越多价格越低，所以在图1中用一条下降曲线f 表示它，f 称需求曲线。
下一时段商品的数量1k x +由上一时段价格k y 决定，设1()k k x h y +=,或1()k k y g x += (2)这里g 是h 的反函数，反映生产者的供应关系，称供应函数，因为价格越高生产量越大，所以在图中供应曲线g 是一条上升的曲线。
差分方程模型
差分方程模型
周家全
对连续型变化的问题而言, 常常可建立微分方程模型. 而对离散状态转移的问题, 则可建立差分方程模型. 差分方 程与常微分方程有很多类似的性质和结论．首先引入差分的 概念．
1 差分定义及其性质
定义 设函数 y = y(x) 在等距节点 xi = x0 + ih ( i = 0,1, , n)
对于一般的差分方程 xn+2 + axn+1 + bxn = f 来讲, 其平衡 点的稳定性问题可以同样给出. 二阶方程的上述结果可以推
广到 n 阶线性差分方程, 即稳定平衡点的条件是特征根： n
次代数方程的根 λi (i = 1, 2, , n) 均有| λi |< 1.
4 经济学中的蛛网模型
1. 提出问题 在自由竞争的社会中, 很多领域会出现循环波动的现象. 在经济领域中, 可以从自由集市上某种商品的价格变化看到 如下现象：在某一时期, 商品的上市量大于需求, 引起价格 下跌, 生产者觉得该商品无利可图, 转而经营其它商品；一
解
Δf (0) = f (0.5) − f (0) = 0.75 ,
-2-
洛阳理工学院数学建模竞赛培训教案
Δf (0.5) = f (1) − f (0.5) = 1.25
周家全
Δ2 f (0)= Δ(Δf (0)) = Δf (0.5) − Δf (0) = 1.25 − 0.75 = 0.5
计算较多点的差分可按差分表进行, 容易看出表中每一 个需要计算的差分值分别等于其左侧的数减去左上侧的 数．每个点 xi 处的各阶差分位于与主对角线平行的斜线上．
(I) 先求解对应的特征方程
a0λn + a1λn−1 + + a0 = 0
§7.3 差分方程及其求解
P,Q为待定系数
M 1 y n 为等幅正弦序列 M 1 y n 为增幅正弦序列 M 1 y n 为减幅正弦序列
X
2.特解
线性时不变系统输入与输出有相同的形式
第 21 页
输入 an x n e
x n e
jn
输出 an y n Ae
y n Ae
第 11 页
X
常系数线性差分方程的求解
北京电子科技学院
第
解法
1.迭代法
13 页
2.时域经典法：齐次解+特解； 3.零输入响应+零状态响应 利用卷积求系统的零状态响应
4. z变换法反变换y(n)
X
第
一．迭代法
解差分方程的基础方法 差分方程本身是一种递推关系。
缺点：得不到y n 输出序列的解析式
通式 : a k y n k br x n r
k 0 r 0 N M
X
差分方程的特点
(3)微分方程可以用差分方程来逼近，微分方程解是 精确解，差分方程解是近似解，两者有许多类似之 处。
(4)差分方程描述离散时间系统，输入序列与输出序 列间的运算关系与系统框图有对应关系，应该会写 会画。
yn C
yn C r
n
x n r （r与特征根重）
yn C1nr C2 r
n
n
X
第
例3
y n 2 y n 1 5u n 求全解 且 y 1 1
22 页
r 2 0 r 2
由递推关系,可得输出值：
y n 1, 4, 13, 40, n 0
7-13 二阶常系数线性差分方程解析
通解为
yx
x( 7 50
1 10
x)
A1 (4) x
A2
三、小结
1.二阶常系数齐次线性差分方程求通解 2.二阶常系数非齐次线性差分方程求通解
练习题
1.求下列差分方程的通解及特解． (1) yx2 4 yx1 16 yx 0,( y0 1, y1 1) (2) yx2 2 yx1 2 yx 0,( y0 2, y1 2)
的和组成：
一 项 是 该 方 程 的 一 个 特解yx， 另一项是对应的齐次差分方程的通解Yx .
即差分方程（2）的通解为y x
Yx
y
x
.
(1) f ( x) c(c为常数),即方程为 yx2 ayx1 byx c
可设
其
特解
形
式为y
x
kxs .
i)当1
a
b
练习题答案
1.(1) yx
4x ( Acos
3
x
B sin
3
x),
yx
4x ( 1 )sin
23 3
x;
(2) yx (
2)x ( Acos x B sin x),
4
4
yx (
2)x 2 cos x 1
4
§7-13 二阶常系数线性差分方程
一、二阶常系数齐次线性差分方程的求解 二、二阶常系数非齐次线性差分方程的求解 三、小结
1.定义
形如yx2 ayx1 byx f ( x)
(其中a, b 0均为常数，f ( x)为已知函数)
高数第七章(14)差分方程的简单应用
C
ac bd
可 得C
P0
ac bd
，
从 而Pt
P0
ac bd
d b
t
ac bd
.
2.分析市场趋向的种种形态
1 d 1
b
lim
t
Pt
ac bd
Pt
这说明市场价格趋于平衡，且特解Pt
ac bd
是一个平衡价格.
2 d 1
b
lim
t
Pt
这说明市场价格的波动越来越大，且呈发散状态.
3 d
bபைடு நூலகம்
生
产
者
在
下
一
时
期
愿
意提
供
给
市
场
的
产
量St
，
1
还 决 定 着 本 时 期 该 产 品的 需 求 量Dt， 因 此 有 Dt a bPt，St c dPt1
其 中a，b，c，d均 为 正 常 数
假设每一时期的价格总是确定在市场售清
的水平上，即St Dt .
1.求价格随时间变动的规律；
2.讨论市场价格的种种变化趋势.
这是一个二阶常系数线性非齐次差分方程.
易求其方程的通解为
C 1λ
t 1
C 2λ
t 2
G 1 α
(若Δ
0)
yt
(C 1
C 2 )λ t
G 1α
(若Δ
0)
γ
t
(C 1
cosθ
t
C2
s inθ
t)
G 1 α
(若Δ
0)
随着，的取值不同，国民收入随时间呈现不同的规律.
二、小结
自动控制原理胡寿松第七章解析
1、线性定理 齐次性 Z [ae (t)] aE(z ) Z[e1 (t) e 2 (t)] E1 (z ) E 2 (z ) 叠加性 2、实数位移定理
Z[e(t- kT )] z -k E(z)
Z [e(t kT)] z k [E(z)- e(nT)z -n ]
n 0
k -1
z变换实际上是采样函数拉氏变换的变形，
因此又称为采样拉氏变换
z变换只适用于离散函数，或者说只能表征
连续函数在采样时刻的特性，而不能反映其 在采样时刻之间的特性。
24
成都信息工程学院控制工程系
第七章 线性离散系统的分析与校正
25
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第七章 线性离散系统的分析与校正
二、Z变换的性质
0T
*
采样器可以用一个周期性闭合的采样开关S来表示。
理想采样开关S： T (t ) (t nT )
n 0
11
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第七章 线性离散系统的分析与校正
理想单位脉冲序列 采样过程可以看成是一个幅值调制过程。
12
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第七章 线性离散系统的分析与校正
1 jns t T ( t ) e T n -
1 jns t * 代入采样信号表达式：e ( t ) e( t ) T (t ) e( t )e T n
对采样信号表达式取拉氏变换： 1 E* (s) E(s jns ) T n 采样信号的付氏变换： 1 E* ( j ) E[j( ns )] T n
T (t)的付氏级数形式：
T (t)
n -
(t - nT) C e
差分方程模型
问题:
若k n，则
y C1 y1 C2 y2 Ck yk 一定是通解吗？
定理7：如果
y1 (x),y2 (x)， ，yn (x) 是
方程(1)的n个线性无关的特解, 那么
y C1 y1 C2 y2 Cn yn 就是方程(1)的通解.
注：由差分的定义及性质可知，差分方程的 不同定义形式之间可以相互转换。 如y x 5 4 y x 3 3 y x 2 2 0是三阶差分方程；
y x y x 1 0，虽然含有三阶差分，
3
但实际上是二阶差分方 程，
由于该方程可以化为 y x 3 3 y x 2 3 y x 1 1 0因此它是二阶差分方程 ，
nx ( n1)
（公式）
2.差分的四则运算法则
(1)(Cy x ) Cy x (C为常数)
(2)( y x z x ) y x z x
3 yx z x yx1z x z x yx yx z x z x1yx
y x z x y x y x z x z x 1y x y x 1z x 4 z z x z x 1 z x z x 1 x
差分方程及差分方程模型
一、差分的概念及性质 二、差分方程的概念 三、线性差分方程解的结构
四、一阶常系数线性差分方程
五、差分方程模型
一、差分的概念及性质
1.差分的定义
设 函 数 f ( x ).当x取 非 负 整 数 时 ， y 函数值可以排成一个列 : 数 f (0)，f (1)， ，f ( x )，f ( x 1)， 将之简记为 y 0，y1，y 2， ，y x，y x 1 , 称 函 数 的 改 变 量x 1 y x 为 函 数 的 差 分 ， y y 也 称 为 一 阶 差 分 ， 记 Δ y x y x 1 y x . 为
差分方程模型讲义
差分⽅程模型讲义差分⽅程模型—?引⾔数学模型按照离散的⽅法和连续的⽅法，可以分为离散模型和连续模型。
1.确定性连续模型1）微分法建模（静态优化模型），如森林救⽕模型、⾎管分⽀模型、最优价格模型。
2）微分⽅程建模（动态模型），如传染病模型、⼈⼝控制与预测模型、经济增长模型。
3）稳定性⽅法建模（平衡与稳定状态模型），如军备竞赛模型、种群的互相竞争模型、种群的互相依存模型、种群弱⾁强⾷模型。
4）变分法建模（动态优化模型），如⽣产计划的制定模型、国民收⼊的增长模型、渔业资源的开发模型。
2.确定性离散模型1）逻辑⽅法建模，如效益的合理分配模型、价格的指数模型。
2）层次分析法建模，如旅游景点的选择模型、科研成果的综合评价模型。
3）图的⽅法建模，如循环⽐赛的名次模型、红绿灯的调节模型、化学制品的存放模型。
4）差分⽅程建模，如市场经济中的蛛⽹模型、交通⽹络控制模型、借贷模型、养⽼基⾦设置模型、⼈⼝的预测与控制模型、⽣物种群的数量模型。
随着科学技术的发展，⼈们将愈来愈多的遇到离散动态系统的问题，差分⽅程就是建⽴离散动态系统数学模型的有效⽅法。
在⼀般情况下，动态连续模型⽤微分⽅程⽅法建⽴，与此相适应，当时间变量离散化以后，可以⽤差分⽅程建⽴动态离散模型。
有些实际问题既可以建⽴连续模型，乂可建⽴离散模型，究竟采⽤那种模型应视建模的LI的⽽定。
例如，⼈⼝模型既可建⽴连续模型（其中有马尔萨斯模型Malthus.洛杰斯蒂克Logistic模型），乂可建⽴⼈⼝差分⽅程模型。
这⾥讲讲差分⽅程在建⽴离散动态系统数学模型的的具体应⽤。
差分⽅程简介在实际中，许多问题所研究的变量都是离散的形式，所建⽴的数学模型也是离散的，譬如，像政治、经济和社会等领域中的实际问题。
有些时候，即使所建⽴的数学模型是连续形式，例如像常见的微分⽅程模型、积分⽅程模型等。
但是, 往往都需要⽤计算机求数值解。
这就需要将连续变量在⼀定的条件下进⾏离散化，从⽽将连续型模型转化为离散型模型。
第七章线性差分方程模型的辨识
第七章线性差分方程模型的辨识根据对过程的初步分析，可以是先提出一个结构已定的参数模型来描述过程的动态特性，而模型中有一些参数需要通过辨识来加以确定，像这样的辨识问题称为参数估计问题，最小二乘法是很常用的估计方法。
线性差分方程模型的最小二乘估计首先讨论一种较简单的情况，即无噪声或噪声较小的情况，这样可以应用一般最小二乘估计模型参数，但是对于噪声较大的情况，采用一般最小二乘法估计通常是有偏差的，需要应用更加复杂的算法，如广义最小二乘法。
辨识问题的提法设被辨识的动态系统，可用如下n阶常系数线性差分方程描述：y(k) + a^y(Jc—1) + •• - a n y(k— n) = bju(k) + biu(k— 1) ---------- 卜b n u(k— n) 系统方程也写成如下算子形式：A(q_1)y(k) = B(q_1)u(k),其中，= 14- fliQ-1 + a2q~2+ …+ 如厂"，B(q_1)= 14- bq_1 + ①厂？H ------------- F bq~n,辨识问题的提法，已知：(1)由方程描述的系统都是稳定的。
(2)系统的阶是n阶。
(3)输入输出观测数据{u (k) },{y(k)}(k“,2,...,N+n), 要求根据上述己知条件来估计差分方程的参数：a】, b](i = 1,2, ・・・N + n),参数最小二乘估计的慕本思根是，选择b x(i = 1,2, ...N + n),使得系统方程尽可能好的与观测数据拟合，考虑到模型误差测最误差，模型方程改为：A(q")y(k) = B(q_1)u(k) + e(k),其中，e(約称为模型残差，乂称方程误差。
现在的问题就是决定A(q"), B(g")的系数，是e2最小最小二乘估计将下式A(q_1)y(k) = B(q_1)u(k) + e(k\改成以下形式广义最小二乘估计-般最小二乘法简称LS法，广义最下二乘法简称GLSGLS的基本思想是，将相关残差啲用白噪声屮)，经过传递函数右的滤波器的滤波输出來表示，即e(k)=€伙)其中,C((7_1)= 1 + Cig" + c2q~2 + …+ c p q~p cg・..p)为常数,p表示残差模型的阶,c,和p事先是未知的: {G (k)}为白噪声序列根据方程的误差定义A(q_1)y(k) = B(q_1)u(k) + e(k),可得：A(q_1)y(k) 一B(q_1)u(k) =C(q 丄)进而，AS")C(qT)y(k) 一B(qT)C(qT)u(k) =G (k)由丁花(幻为白噪声，所以系统参数和噪声参数可以通过以上方程而得到无偏估计，为此定义谋差函数：丿=》2⑹刁[A(qT)C(q7)y(k) - B(q")C(qT)u(k)]2现在的问题是，选择参数使得误差函数J的值为最小，由于参数a,b,c在上述方程中的关系不是线性的，所以不能用一般的LS法求解。
§7.4 常系数线性差分方程的求解
(
) u(n)
2、若把初值y(0)=1,看作激励加入后系统的初始样值y+(0)， 若把初值y(0)=1,看作激励加入后系统的初始样值 (0)， 始样值y (0)=1应满足方程 应满足方程： 则y+(0)=1应满足方程： y(n)-3y(n-1)= u(n) <0时 迭代法得： 当n<0时，由迭代法得： y+(n)=0 当n ≥ 时，则有： 0 则有： y+(0)= 1 +3y y+(1)= u(1) +3y+(0)=1+3*1=4
y − (− 1) = 1 1 y − (0 ) = 3 3 2 1 1 y − (− 2 ) = y − (− 1) = 3 3
…...
1 1 y − (n ) = y − (n + 1) = 3 3
−n
假设系统是因果系统， 假设系统是因果系统， 由于激励u n=0 由于激励u(n)在n=0接 那么,此解就是n 入，那么,此解就是n<0 时系统的零输入响应。 时系统的零输入响应。
如果系统起始样值 如果系统起始样值y-(n) ≠ 0，则系统差分方程的完全 起始样值y 0，则系统差分方程的完全 解将不满足线性时不变的特性。 解将不满足线性时不变的特性。 今后我们规定，所有初值如无下标 值如无下标， 今后我们规定，所有初值如无下标，则一律按初始 样值处理。 样值处理。
返回
种方法） 二、差分方程的解法（前3种方法） 差分方程的解法（
y+(2)= u(2) +3y+(1)=1+3+32=13 +3y …... 1 2+……+3n = (3 n +1 − 1) y+(n)= u(n) +3y+(n-1)=1+3+3 +3y 2 1 n +1 则方程的解为： 则方程的解为： y(n)= (3 − 1) u(n)
高数第七章(13)二阶差分方程
一、二阶常系数齐次线性差分方程的求解 二、二阶常系数非齐次线性差分方程的求解 三、小结
1.定义
形如yx2 ayx1 byx f ( x)
(其中a, b 0均为常数，f ( x)为已知函数)
的差分方程，称为二阶常系数线性差分方程．
f ( x) 0时称为非齐次的，否则称为齐次的． yx2 ayx1 byx 0称为相应的齐次方程．
0时，取s
0，即y
x
k,代入原方程得
k c 1 a b
所 求 特 解yx
1
c a
b
ii)当1
a
b
0且a
2时, 取s
1,
即y
x
kx，
代入原方程得 k c 2a
此
时
有
特
解y
x
cx 2a
iii)当1 a b 0且a 2时，取s 2，即yx kx2，
y
x
cx qx1 2q a
iii)当q2 aq b 0但2q a 0时，取s 2得其特解为
y
x
cx qx1 4q a
(3) f ( x) cxn (c为常数)，即方程为
yx2 ayx1 byx cxn 设其具有形式为yx x s (B0 B1 x Bn xn ) 的特解(其中B0 , B1, , Bn为待定系数). i)当1 a b 0时，取s 0; ii)当1 a b 0且a 2时，取s 1;
1 a
差分方程模型应用
金融市场预测
自回归移动平均模型（ARMA）
01
通过差分方程刻画时间序列数据的自相关和移动平均特性，用
于金融市场价格波动的预测。
自回归条件异方差模型（ARCH）
02
应用差分方程描述金融时间序列数据的波动率聚类现象，提高
波动率预测的精度。
随机波动率模型（SV）
03
将波动率视为随机过程，通过差分方程刻画其动态特性，用于
将差分方程模型应用于计算机视觉领域，如目标跟踪、人脸识别、 三维重建等。
06
差分方程求解方法及数值计 算技巧
解析法求解差分方程
迭代法
通过逐步代入的方式，求解差分方程的解， 适用于简单的一阶或二阶差分方程。
特征根法
通过求解差分方程的特征根，进而得到通解的方法 ，适用于线性常系数差分方程。
变换法
通过适当的变换，将差分方程转化为易于求 解的形式，如z变换等。
数值法求解差分方程
欧拉法
一种简单的数值求解方 法，通过逐步逼近的方 式得到差分方程的数值 解。
龙格-库塔法
一种高精度的数值求解 方法，通过多步迭代和 加权平均的方式提高求 解精度。
线性多步法
利用已知多个点的信息 来构造高阶逼近式，从 而提高求解精度和稳定 性。
编程实现和案例分析
01
Python编程实现
金融衍生品定价和风险管理。
03
差分方程模型在物理学中应 用
振动与波动现象描述
振动现象建模
差分方程模型可用于描述物体的振动现象，如弹簧振子、单摆等。通过差分方程，可以分析振动的周期性、振幅、 频率等特性。
波动现象建模
差分方程模型也可用于描述波动现象，如声波、光波等。通过差分方程，可以研究波的传播速度、波长、波幅等 参数。
高数第七章(12)一阶差分方程
(4) yx1 4 yx 2 x2 x 1( y0 1)
练习题答案
1.(1) y x
A(1) x
(x 2
3)• 3x 4
(1)x; 3
(2) yx
3 4
A• 5x,
yx
3 4
37 • 5x ; 12
(3) yx
1 • 2x 3
A(1) x ,
yx
第七节一阶常系数线性差分方程
一、一阶常系数齐次线性差分方程的求解 二、一阶常系数非齐次线性差分方程的求解 三、小结
一阶常系数齐次线性差分方程的一般形式
yx1 ayx 0(a 0为常数)
1
一阶常系数非齐次线性差分方程的一般形式
y x1 ayx f ( x)
2
(a 0为常数，f x 0)
容易验证，yx a x y0满足差分方程，令 y0 C为任意常数，于是差分方程（1）的 通解为Yx Ca x .
例1 求2 yx1 yx 0的通解.
1
解 a
2
差 分 方 程 的 通 解 为Yx
C
1 2
x
.
2.特 征 根 法
yx1 ayx 0(a 0为常数)
设yx
2x
z
，原
x
方
程化为
2zx1 zx
于 是yx
1 3
1 求 得 其 特 解 为zx 2x，
1， 3
所 求 通解 为yx
1 3
2x
C 1x .
例7 求yx1 ayx 2x的通解.
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= [A ������ −1 C(������ −1 )y k − B ������ −1 C(������ −1 )u k ]2 现在的问题是，选择参数使得误差函数 J 的值为最小，由于参数 a,b,c 在上述 方程中的关系不是线性的，所以不能用一般的 LS 法求解。要采用 GLS 法求解。 GLS 法的算法流程图如下图：
第七章线性差分方程模型的辨识 根据对过程的初步分析，可以是先提出一个结构已定的参数模型来描述过程 的动态特性， 而模型中有一些参数需要通过辨识来加以确定，像这样的辨识问题 称为参数估计问题，最小二乘法是很常用的估计方法。 线性差分方程模型的最小二乘估计 首先讨论一种较简单的情况，即无噪声或噪声较小的情况，这样可以应用一 般最小二乘估计模型参数， 但是对于噪声较大的情况，采用一般最小二乘法估计 通常是有偏差的，需要应用更加复杂的算法，如广义最小二乘法。 辨识问题的提法 设被辨识的动态系统，可用如下 n 阶常系数线性差分方程描述： y k + ������1 ������ ������ − 1 + ⋯ ������������ ������ ������ − ������ = ������1 ������ ������ + ������2 ������ ������ − 1 + ⋯ + ������������ ������ ������ − ������ 系统方程也写成如下算子形式： A ������ −1 y k = B ������ −1 u k , 其中， A ������ −1 = 1 + ������1 ������ −1 + ������2 ������ −2 + ⋯ + ������������ ������ −������ , B ������ −1 = 1 + b������ −1 + ������2 ������ −2 + ⋯ + b������ −������ , 辨识问题的提法，已知： （1） 由方程描述的系统都是稳定的。 （2） 系统的阶是 n 阶。 （3） 输入输出观测数据{u（k）},{y(k)}(k=1,2,…,N+n), 要求根据上述已知条件来估计差分方程的参数： ������1 ，������1 i = 1,2, … N + n , 参数最小二乘估计的基本思想是，选择 ������1 ，������1 i = 1,2, … N + n , 使得系统方程尽可能好的与观测数据拟合，考虑到模型误差测量误差，模型方程 改为： A ������ −1 y k = B ������ −1 u k + ������(������), 其中，������(������)称为模型残差，又称方程误差。 现在的问题就是决定A ������ −1 ，B ������ −1 的系数，是 最小二乘估计 将下式 A ������ −1 y k = B ������ −1 u k + ������(������), 改成以下形式 广义最小二乘估计
输入u(k),y(k)
令Ci=0,计算Θ
产生e(k),计算C
N 产生ū(k),ý(k),计 算Θ
收敛准则满足 吗？
Y
结束
对 GLS 法，当误差函数存在多个局部最小值时，Θ 可能收敛到 J 的局部最小值而不
是全局最小值， 另外由于 GLS 法是一种迭代算法，一般都需要反复计算几次才能 获得结果， 因此计算时间较长， 所以有必要开发计算时间较短的新算法来解决这 一问题。 多级最小二乘估计 多级最小二乘估计简称 MSLS 法，他是解决具有相关残差系统辨识的另一种 有效方法，MSLS 的主要特点是通过三级简单的 LS 估计，最后实现对系统参数和 噪声参数的一致估计。MSLS 比 LS 法优越性在于他没有迭代运算，所以计算时间 较短，也不存在收敛问题。
n+N k=1
������ 2 最小
一般最小二乘法简称 LS 法，广义最下二乘法简称 GLS GLS 的基本思想是， 将相关残差 e(k)用白噪声∈ (������)， 经过传递函数������ (������ −1 )的滤波器 的滤波输出来表示，即 e k = 其中， C(������ −1 )= 1 + ������1 ������ −1 + ������2 ������ −2 + ⋯ + ������������ ������ −������ ������������ (i=1,…p)为常数，p 表示残差模型的阶，������������ 和 p 事先是未知的； {∈ (������)}为白噪声序列 根据方程的误差定义 A ������ −1 y k = B ������ −1 u k + ������(������), 可得： ∈ (������) A ������ −1 y k − B ������ −1 u k = C(������ −1 ) 进而， A ������ −1 C(������ −1 )y k − B ������ −1 C(������ −1 )u k =∈ (������) 由于∈ (������ )为白噪声，所以系统参数和噪声参数可以通过以上方程而得到无偏估 计，为此定义误差函数： ������ = ∈2 ������ 1 ∈ (������) ������(������ −1 )